函数单调性及其极值最值PPT学习教案

1、会计学1函数单调性及其极值最值函数单调性及其极值最值定理1 设函数 在 上连续，在区间),(ba)(xfy ba,内可导，（1）如果在 内 ，则 在),(ba0)( xf)(xfba,上单调增加；),(ba0)( xf)(xfba,上单调减少。（2）如果在 内 ,则 在一、函数单调性的充分条件一、函数单调性的充分条件第1页/共27页证证),(21xx存在使得0)()()(1212fxxxfxf又因为,21xx 即012 xx, 0)()(12xfxf故)()(12xfxf所以)(xf在ba,上单调增加。（1）设在区间 内 ),(ba0)( xf,在),(ba两点21,xx21xx ,由拉格朗日

2、中值定理且内任取即当21xx 同理可证（2）.第2页/共27页确定函数的单调性的一般步骤：1、确定函数的定义域；2、求出使函数 并以这些点为分界点，将定义域分成若干个子区间；( )0( )fxfx 和不存在的点，3、确定 在各个子区间的符号，从而判断出 的单调性。( )fx( )f x第3页/共27页例1 确定函数 的单调区间。32352353)(xxxf解 的定义域是)(xf),(令 ，得 ，又 处导数不存在，0)( xf1x0 x1x， 这两点将 分成三个区间，0 x),(列表分析 在各个区间的符号：)(xf x)0 ,()1 ,0(),( 1)(xf)(xf331321)(xxxxxf由

3、表可知， 的单调增加区间为 和)(xf)0 ,(，单调减少区间为 。), 1 ( )1 ,0(第4页/共27页31292)(23xxxxf的单调区间.12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的单调增单调增区间为, ) 1,();,2()(xf的单调减单调减区间为).2,1 (12xoy12解 的定义域是)(xf),(第5页/共27页.23833238的单调性讨论xxy. 1, 10 xxy得令.0不存在，时当yx32313135) 1)(1() 1(xxxxxxxy例3).,(所给函数的定义

4、域为 解这三个点x=1，0，1将y的定义域分为 四个子区间.),(), 1 (),1 , 0(),0 , 1(),1,(第6页/共27页x010+不存在0+yy) 1,()0 , 1() 1 , 0(), 1 ( 所以函数的单调递增区间为 .), 1 (),0 , 1() 1 , 0(),1,(单调递减区间为 .第7页/共27页如果F(x)满足下面的条件：. 0)(,)2(0 xFxx有时当即，有时当，为单调增加函数可知则由0)(,)(0 xFxxxF. )()(xgxf设 F(x)=f(x)g(x)其基本方法是：往往可以利用单调性证明不等式. )()(xgxf, 0)() 1 (0 xF第8

5、页/共27页.ee1xxx，时试证当ee)(xxF. 0) 1 ()( FxF即. 0) 1 ()( FxF即.ee 0)(1xxFxx，即，都有故对任意例4证明：，令xxFxee)(. 0) 1 (F且,),()(内连续在易知xF, 0ee)(11xxFx时，）当（，递减上的为可知函数单调 1 ,()(xF，上的为可知严格单调增加函数), 1 )(xF, 0ee)(12xxFx时，）当（第9页/共27页二、函数极值及其求法二、函数极值及其求法1、函数极值的定义定义设函数f(x)在x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于x0的x都有 )()(0 xfxf(1) 成立，则称 为f(x)的极

6、大值，称 为f(x)的极大值点；)(0 xf0 x(2) 成立，则称 为f(x)的极小值，称 为f(x)的极小值点.)()(0 xfxf)(0 xf0 x极大值、极小值统称为极值.极大值点、极小值点统称为极值点.第10页/共27页注意：极值是局部性的。因而，函数可以有许多个极大值和极小值，并且极大值不一定大于极小值。3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点52,xx为极小点3x不是极值点第11页/共27页定理2（极值的必要条件） 如果函数 在点)(xf 处可导，且在点 取得极值，则 。0 x0 x0)(0 xf0)(0 xf0 x)(xf使 的点 称为函数 的驻点。注意：可导函数的极值

7、点必定是它的驻点.但是需要注意，函数的驻点并不一定是函数的极值点. 例如 为其驻点，但是x=0不是 的极值点.0,3xxy3xy 第12页/共27页定理定理 3 (极值第一判别法极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1) )(xf “左正右左正右负负” ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,.)(0取极大值在则xxf第13页/共27页(4)判定每个驻点和导数不存在的点 两侧(在xi较小的邻域内) 的符号，依定理3判定xi是否为f(x)的极值点.), 2 , 1(kixi )(xf 由定理3判定函数极值一

8、般步骤为：. )()()3(1kxxxfxf， 不存在的点的所有驻点和求出).()2(xf 求出(1)求函数的定义域第14页/共27页例5 求函数 的极值。123)(32xxxf 解 的定义域是)(xf),(333111)(xxxxf令 ，得驻点 ，而 时 不存在。0)( xf1x0 x)(xf 因此函数只可能在这两点取得极值，列表讨论如下：x)(xf )(xf)0 ,()1 ,0(01), 1 ( 不存在021极小值1极大值第15页/共27页由表可知， 在 处取得极大值 ， )(xf0 x1)0(f)(xf在 处取得极小值 。1x21)(xf函数 的图形如图123)(32xxxf01x121

9、y第16页/共27页32) 1()(xxxf的极值 .32)(xxf3132) 1(xx32531xx令,0)( xf得;52x,)(, 0无意义而xfx列表得x)(xf )(xf无意义05200极大值33. 0极小值)0,(),0(52),(520 x是极大点， 其极大值为0)0(f是极小点， 其极小值为52x33. 0)(52f解 的定义域是)(xf),(第17页/共27页，的极大值点为，时当)(0)() 1 (00 xfxxf 定理4(判定极值的第二充分条件) 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且 则, 0)(, 0)(00 xfxf的极小值点.为时，当)(0)()2(00 xfxx

10、f 由定理4判定函数极值一般步骤为：1、确定定义域，并求出所给函数的全部驻点；2、考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点；3、求出极值点处的函数值，得到极值。第18页/共27页.638234的极值与极值点求，分条件利用判定极值的第二充xxxy. 3010 321xxxy，得驻点令xxxy128423.1216122 xxy例7所给的函数定义域为 .),(解).3)(1(4xxx016121612|1 xy012|0 xy048|3 xy第19页/共27页,11为函数的极小值点可知x.37|1xy极小值为的相应，为函数的极大值点02x. 0|0 xy相应极小大值为.33为函数的极小值点x.

11、45|3xy相应极小值为第20页/共27页 函数的极值是局部性概念，而最值是一个全局性概念。 可以由驻点及导数不存在的点与区间端点的函数值相比较，其中最大的就是函数 在 上的最大值，)(xfba,)(xfba,最小的就是函数 在 上的最小值。三、函数的最值三、函数的最值闭区间a，b上的连续函数 最值求法：)(xf第21页/共27页例8、求函数 在区间41232)(23xxxxf4 , 3 上的最大值与最小值。解) 1)(2(61266)(2xxxxxf132413331242 )(,)(,)(,)(ffff比较可知， 在 上最大值为 ，最小值)(xf4 , 3132)4(f为3) 1 (f0)

12、( xf令 得驻点 : .,1221 xx第22页/共27页 若函数在所讨论的区间内只有一个可能的极值点，则该点处的函数值一定是最大值或最小值。例9 将边长为a的一块正方形铁皮，四角各截去一各大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒。问截去的小正方形边长为多大时，所得方盒的容积最大？解 如图设小正方形的边长为x，则盒底的边长为)2(xa第23页/共27页)2, 0(,)2(2axxaxv令 ，得 （舍去）。又0 v2,621axax04)6( aav所以函数 在 处取得唯一极大值，此极大值就是最大值。因此，当截去的正方形的边长等于所给正方形铁皮边长的 时，所做的方盒容积最大。v6ax 61ax方盒的容积为：),6)(2(xaxav第24页/共27页例10 制作一个容积为 的圆柱形密闭容器，V怎样