函数的性质PPT学习教案

1、会计学1函数的性质函数的性质第1页/共69页第2页/共69页第3页/共69页第4页/共69页第5页/共69页第6页/共69页第7页/共69页第8页/共69页第9页/共69页第10页/共69页例3.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm)f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.证明：因为f(xm)f(x)所以，f(x2m)f(xm)m f(xm) f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.第11页/共69页例4.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm)f(xm),求证:2m是f(x)的一个周期. 证明：因为f(xm)f(xm)令xmt，则xmt2m于是f(t2m)f(t)对于tR恒

2、成立，所以f(x)是以2m为周期的周期函数.第12页/共69页例5.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm),求证:2m是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x2m)f(xm)m f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.第13页/共69页例6.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm) ,求证:4m是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x2m)f(xm)m 于是f(x4m) f(x)所以f(x)是以4m为周期的周期函数.第14页/共69页例7.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx),求证:2|ab|是f(x)的一个周期.(ab)证明：不妨设ab

3、于是f(x2(ab)f(a(xa2b) f(a(xa2b)f(2bx) f(b(xb)f(b(xb) f(x) 2(ab)是f(x)的一个周期当ab时同理可得所以，2|ab|是f(x)的周期第15页/共69页例8.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004，求f(2004)解：因为f(x)f(x1)f(x1)所以f(x1)f(x)f(x2)两式相加得0f(x1)f(x2)即：f(x3)f(x) f(x6)f(x)f(x)是以6为周期的周期函数20046334 f(2004)f(0)2004第16页/共69页第17页/共69页第18页/共6

4、9页第19页/共69页第20页/共69页例10.已知对于任意a，bR，有f(ab)f(ab)2f(a)f(b)，且f(x)0求证：f(x)是偶函数；若存在正整数m使得f(m)0，求满足f(xT)f(x)的一个T值(T0) 证明：令ab0得，f(0)1(f(0)0舍去)又令a0，得f(b)f(b)，即f(x)f(x)所以，f(x)为偶函数令axm，bm得f(x2m)f(x)2f(xm)f(m)0所以f(x2m)f(x)于是f(x4m)f(x2m)2m=f(x2m) f(x) 即T4m(周期函数)第21页/共69页例11.数列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN) 求a100； 求S1

5、00. 解：由已知a1a，a2b，所以a3ba，a4a，a5b，a6ab，a7a，a8b，由此可知，an是以6为周期的周期数列，于是a100a6164a4a又注意到a1a2a3a4a5a60 S100a1a2a3a96a97a98a99a100 0a97a98a99a100 a1a2a3a4 ab(ba)(a)第22页/共69页例12.对每一个实数对x,y,函数f(t)满足f(xy)f(x)f(y)xy1,若f(2)=2,试求满足f(a)a的所有整数a.解：令xy0，得f(0)1再令xy1，得f(2)2f(1)2，又f(2)2所以f(1)2又令x1，y1，可得f1令xy1得f2f114令y1，

6、得f(x1)f(x)x2即f(x1)f(x)x2 第23页/共69页当x取任意正整数时，f(x1)f(x)0又f10所以f(x)0于是f(x1)f(x)x2x1即对任意大于1的正整数t，f(t)t在中，令x3，得f(3)1，进一步可得f(4)1注意到f(x)f(x1)(x2)所以当x4时，f(x)f(x1)0即f(x)f(x1)f(x2)f(4)1所以x4时，f(x)x综上所述，满足f(a)a的整数只有a1或a2第24页/共69页例13.设f(x)是一个从实数集R到R的一个映射,对于任意的实数x,都有|f(x)|1,并且 f(x)+求证:f(x)是周期函数. 证明：由已知f(x)+所以第25页

7、/共69页)421x(f)4243x(f)427x(f)4249x(f (2)第26页/共69页于是f(x1)f(x)f(x2)f(x1)，记这个差为d同理f(x3)f(x2)f(x2)f(x1)d f(xn1)f(xn)f(xn)f(xn1) f(x1)f(x)d即是说数列f(xn)是一个以f(x)为首项，d为公差的等差数列因此f(xn)f(x)ndf(x)nf(x1)f(x)对所有的自然数n成立，而对于xR，|f(x)|1，即f(x)有界，故只有f(x1)f(x)0即f(x1)f(x) xR所以f(x)是周期为1的周期函数.第27页/共69页第28页/共69页第29页/共69页第30页/共

8、69页第31页/共69页1.数列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN)求a100；求S100.解：由已知a1a，a2b，所以a3ba，a4a，a5b，a6ab，a7a，a8b，由此可知，an是以6为周期的周期数列，于是a100a6164a4a又注意到a1a2a3a4a5a60 S100a1a2a3a96a97a98a99a100 0a97a98a99a100 a1a2a3a4 ab(ba)(a) 2ba第32页/共69页2.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004，求f(2004)解：因为f(x)f(x1)f(x1)所以f(

9、x1)f(x)f(x2)两式相加得0f(x1)f(x2)即：f(x3)f(x) f(x6)f(x)第33页/共69页练习.1.数列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN)求a100；求S100. 2.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1) ,f(0)2004，求f(2004) 3.函数f(x) 是定义域为R且以2为周期的周期函数，当x0,2时，f(x)=|x-1|；当x2k,2k+2( kZ)时，求f(x)的解析式，并证明f(x)是偶函数。第34页/共69页第35页/共69页第36页/共69页第37页/共69页第38页/共69页第39页/共6

10、9页练习1已知函数 ，函数y=g(x)的图像与y=f -1(x+1)的图像关于直线y=x对称，则g(11)的值为： A B1 C D 2已知定义在R上的函数f(x)的反函数为f -1(x)，且函数y=f(x+1)的反函数为y= f -1(x+1)。若f(1)=3999求f(2000)3.对于任意的 ,函数f(x)表示 x2-4x+3中的较大者,则求函数f(x)的解析式及f(x)的最小值. (f(x)min=2)第40页/共69页第41页/共69页第42页/共69页第43页/共69页第44页/共69页第45页/共69页第46页/共69页第47页/共69页第48页/共69页第49页/共69页第50页/共69页第51页