概率论课件1.5

1、概率论与数概率论与数 理理 统统 计计主讲主讲: :赵敏赵敏 1.5 1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式条件概率、全概率公式和贝叶斯公式一、条件概率的概念一、条件概率的概念1 1直观背景直观背景 例例1 1 已知一批产品有已知一批产品有100100个，其中个，其中1515个为一等品，在这个为一等品，在这批产品中一车间生产的有批产品中一车间生产的有7575个，而在第一车间生产的产个，而在第一车间生产的产品中有品中有1010个为一等品，今任取一个产品，问它是一等品个为一等品，今任取一个产品，问它是一等品（事件（事件A）的概率是多少？又若已知抽取的产品是第一）的概率是多少？又若已知抽取的产品是

2、第一车间生产的（事件车间生产的（事件B），问它是一等品的概率是多少？），问它是一等品的概率是多少？ 上述两个问题虽然都是求一等品的概率，但前者是在上述两个问题虽然都是求一等品的概率，但前者是在这批产品这批产品100100个中考虑的，而后者却是在第一车间生产的个中考虑的，而后者却是在第一车间生产的产品产品7575个个中考虑的，因而所求的概率不同，前者为中考虑的，因而所求的概率不同，前者为,10015后者为后者为.75107510,10015BAPAP为了区别这两种概率，我们分别记例例2 袋中有7只白球, 3只红球, 白球中有4只木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球, 1只塑料球. 现从袋中任取

3、1球, 假设每个球被取到的可能性相同. 若已知取到的球是白球, 问它是木球的概率是多少？设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球.古典概型古典概型 所求的概率称为所求的概率称为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。记为记为ABP解解 列表列表白球红球小计木球426塑球314小计731074ABPABABkk 4AAkn7从而有从而有AABkkABP7410/ 710/ 4nknkAAB)()(APABP2条件概率的定义和性质定义：定义： 若（ ，F，P ）是一个概率空间，B F，且P（B）0，则对任意的 A F，称 为在事件B已发生的条件下，事件A发生的条件概条件概

4、率率。 BPABPBAP（1） 古 典 概 型 可用缩减样本空间法（2） 其 他 概 型 用定义与有关公式条件概率的计算方法）还还是是女女孩孩是是等等可可能能的的（假假定定一一个个小小孩孩是是男男孩孩大大？孩孩也也是是女女孩孩的的概概率率为为多多女女孩孩，问问这这时时另另一一个个小小，已已知知其其中中一一个个为为一一个个家家庭庭中中有有两两个个小小孩孩例例. 3 .),( .),( ),( ),( A.),( ),( ),( ),( 女女女女另一个也是女孩另一个也是女孩女女女女男男女女，女女男男已知一个是女孩已知一个是女孩设设女女女女男男女女，女女男男，男男男男据题意，样本空间为据题意，样本空

5、间为解解B.314/34/1)()(A|BAPABPP）（于是所求事件的概率为不难验证，条件概率具有概率的三个基本性质：不难验证，条件概率具有概率的三个基本性质：（1 1）非负性：）非负性： 0BAP（2 2）规范性：）规范性： 1BP（3 3）可列可加性：对任意的一列两两互不相）可列可加性：对任意的一列两两互不相, 2 , 1iAi有有 11iiiiBAPBAP容的事件容的事件类似于概率，还可导出条件概率其它的一些性质类似于概率，还可导出条件概率其它的一些性质0BP（4 4）（5 5） 若若 两两互不相容，则两两互不相容，则 nAAA,21niiniiBAPBAP11BCPBAPBCAP若若

6、 ，则，则 AC （7 7）（8 8）对任意事件对任意事件A A、C C，有，有 BACPBCPBAPBCAP一般地：一般地： BAAAPBAAPBAPBAPnnninjijiinii211111（6 6）对任意事件对任意事件A A， BAPBAP1解解 设设B B=“=“灯泡用到灯泡用到50005000小时小时”，A A=“=“灯泡用到灯泡用到1000010000小时小时” ” 21,43APBP我们知道用到我们知道用到1000010000小时的灯泡一定用了小时的灯泡一定用了50005000小时，即小时，即 , BA所以所以AB=A， APABP BPABPBAP 这表明，用了这表明，用了5

7、0005000小时的灯泡再用到小时的灯泡再用到1000010000小时的可能性比没小时的可能性比没有用过的新灯泡用到有用过的新灯泡用到1000010000小时的可能性大，这是很自然的，因小时的可能性大，这是很自然的，因为前者已经剔除了那些没有用到为前者已经剔除了那些没有用到50005000小时的质量较次的灯泡。小时的质量较次的灯泡。 于是，于是，例例4 4 某种灯泡使用某种灯泡使用50005000小时未坏的概率为小时未坏的概率为 ，使用，使用1000010000小时未坏的概率为小时未坏的概率为 ，现有一只这种灯泡已经使，现有一只这种灯泡已经使用了用了50005000小时未坏，问它能用到小时未坏

8、，问它能用到1000010000小时的概率是多少？小时的概率是多少？4321 APBPAP21324321二、乘法公式二、乘法公式 BPBAPABP（ ）. APABPABP上式称为随机事件概率的上式称为随机事件概率的乘法公式乘法公式. . 若若 ，由条件概率定义，可得，由条件概率定义，可得 ( )0P B )0)(AP定理：两个事件积的概率等于其中一个事件的概率与定理：两个事件积的概率等于其中一个事件的概率与另一事件在前一事件发生的条件下的条件概率之积另一事件在前一事件发生的条件下的条件概率之积 。 即：即： BAPBPABP ABPAPABP下面我们利用概率的统计定义证明一下这个结论。下面

9、我们利用概率的统计定义证明一下这个结论。证明：假设试验重复了证明：假设试验重复了n次，事件次，事件A发生了发生了m次，事件次，事件B 发生了发生了k次，事件次，事件AB发生了发生了r次，则次，则事件事件A发生的频率为：发生的频率为：m/n 事件事件B发生的频率为：发生的频率为：k/n 事件事件AB发生的频率为：发生的频率为：r/n 在事件在事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生发生 的频率为：的频率为：r/m 由于由于)()()(,ABfAfABfmrnmnrnnn即由概率的统计定义由概率的统计定义,概率是频率的稳定性数值概率是频率的稳定性数值,故故)/()()(ABPAPABP乘法公式

10、它可推广到任意有限个事件乘法公式它可推广到任意有限个事件. . 设设 为任意为任意n个事件，满足个事件，满足 nAAA,21, 0121nAAAP .12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP则则有有()() nnnP A AAPA AAA12121()(|)(|)(|)iinnP AP AAP AA AAP AA AA121121121()(|)nnnP A AAP AA AA121121 儒林外史儒林外史中有一章讲的是范进中举的故事，这其实中有一章讲的是范进中举的故事，这其实也是一个概率问题。现在我们来算一下，范进晚年中举也是一个概率问题。现在我们来算一下，范进晚年中

11、举的概率究竟有多大？的概率究竟有多大？.0282. 0)3 . 01 ()|()|()()(21iiA)(3 . 0 10921101211021iAAAAPAAPAPAAAP十次都不中的概率为十次都不中的概率为，则他连考，则他连考，次乡试未考中，次乡试未考中，第第令令，非常小非常小中的概率为中的概率为假设每次乡试，范进考假设每次乡试，范进考 通过计算我们发现，范进晚年中举的概率竟高达通过计算我们发现，范进晚年中举的概率竟高达97.18%97.18%，这也从另一个方面启示我们，学习重要的，这也从另一个方面启示我们，学习重要的是持之以恒是持之以恒。 例例5 5 设在一盒子中装有设在一盒子中装有1

12、010只球，只球，4 4只黑球，只黑球，6 6只白球，只白球，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，问两次在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，问两次都拿到白球的概率是多少？都拿到白球的概率是多少？解法一：解法一： 用古典概型来做用古典概型来做 设设A A=“=“两次都拿到白球两次都拿到白球”， 3121026CCAP解法二：解法二： 用乘法公式来做用乘法公式来做 设设B B=“=“第一次拿到白球第一次拿到白球”，A A=“=“第二次拿到白球第二次拿到白球”， ABAB=“=“两次都拿到白球两次都拿到白球”， ，则则95,106BAPBP 3195106.BAPBPABP例例6 6 一

13、场精彩的足球赛将要举行一场精彩的足球赛将要举行, 5, 5个个球迷好不容易才搞到一张入场券球迷好不容易才搞到一张入场券. .大家大家都想去都想去, ,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决. .入场入场券券5 5张同样的卡片张同样的卡片, ,只有一张上写有只有一张上写有“入场券入场券”, ,其余的其余的什么也没写什么也没写. . 将它们放在一起将它们放在一起, ,洗匀洗匀, ,让让5 5个人依次抽个人依次抽取取. .后抽比先抽的确实吃亏吗？后抽比先抽的确实吃亏吗？ “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”. ” 到底谁说的对呢？让我们用概率到底谁说

14、的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下论的知识来计算一下, ,每个人抽到每个人抽到“入场券入场券”的概率到底有多大的概率到底有多大? ?“大家不必争先恐后，你们一个大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到一个按次序来，谁抽到入场券入场券的机会都一样大的机会都一样大.”.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”因为若第因为若第2 2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1 1个人个人肯定没抽到肯定没抽到. .也就是要想第也就是要想第2 2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1 1个人未抽到个人未抽到, ,)|()()(1212AAPAPA

15、P212AAA 由于由于由乘法公式由乘法公式 P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5计算得计算得：我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.显然显然，P(A1)=1/5，P( )4/51A第第1 1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/51/5. .也就是说，也就是说，iA则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答. . 同理，第同理，第3 3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必

16、须第，必须第1 1、第、第2 2个人都没有抽到个人都没有抽到. . 因此因此 继续做下去就会发现继续做下去就会发现, , 每个人抽到每个人抽到“入场券入场券” ” 的的概率都是概率都是1/5.1/5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后也就是说，也就是说，(4/5)(3/4)(1/3)=1/5三、全概率公式三、全概率公式例例7 7从从5 5个乒乓球（个乒乓球（3 3个新的，个新的，2 2个旧的）中每次取一个旧的）中每次取一个，无放回地取两次，试求第二次取到新球的概率。个，无放回地取两次，试求第二次取到新球的概率。解：解： 设B=“第一次取到新球”，A=“第二次取到新球” 注意，这不是求条件概率 A

17、BPBAP,BAABBBAAA BAPABPBAABPAP BAPBPBAPBP5343524253BBAAB AB( )()P AP ABAB()()P ABP AB( ) (|)( ) (|)P B P A BP B P A B全概率公式全概率公式例例8 8在在A、B、C三个盒子中共装有三个盒子中共装有1010个外形不可分辨的个外形不可分辨的球，在球，在A盒中有两个新球，一个旧球；在盒中有两个新球，一个旧球；在B盒中有两个新盒中有两个新球，两个旧球；在球，两个旧球；在C盒中有一个新球，两个旧球。设取盒中有一个新球，两个旧球。设取到每一个盒子的机会是均等的，现从三个盒子中任取一到每一个盒子的

18、机会是均等的，现从三个盒子中任取一个球，问取到新球的概率是多少？个球，问取到新球的概率是多少？解： 设A=“取到新球” =“取到A盒”， =“取到B盒”， =“取到C盒”。1B2B3B 321ABABABPAP321ABPABPABP 332211BAPBPBAPBPBAPBP21313142313231图示图示A1B2B3B1AB2AB3AB 321ABABABPAP 332211BAPBPBAPBPBAPBP 由以上两例看出，当求某一事件由以上两例看出，当求某一事件A的概率比较困难，的概率比较困难，而求条件概率比较容易时，可先设法将这个事件而求条件概率比较容易时，可先设法将这个事件A分成分

19、成几个互不相容事件的和，再利用加法公式和乘法公式解几个互不相容事件的和，再利用加法公式和乘法公式解之。把这个方法一般化，便得到下面的定理。之。把这个方法一般化，便得到下面的定理。. )|()()( A, 2 , 1, 0)(, 2 . 1 1121iiiiiiBAPBPAPiBPBBB，有有则则对对任任一一事事件件有有，且且是是一一列列互互不不相相容容的的事事件件设设定定理理这个公式通常称为这个公式通常称为全概率公式全概率公式，它是概率论中，它是概率论中最基本的公式之一。最基本的公式之一。jiBB由由()()ijABAB 图示图示A1B2B3B证明证明化整为零化整为零各个击破各个击破).|()

20、()( )()()()(1111iiiiiiiiiBAPBPABPABPBAPAPAP由此有由此有nB 说明说明 全概率公式的主要用途全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题率计算问题, ,分解为若干个简单分解为若干个简单事件的概率计算问题事件的概率计算问题, ,最后应用最后应用概率的可加性求出最终结果概率的可加性求出最终结果. .而而这需要对样本空间进行划分这需要对样本空间进行划分. .A1B2B3B1nBnB12001212,1, ,1,2, ;2,.nijnnEB BBEB Bi jnBBBB BB 定义设为试验 的样本空间为的一组事件 若则

21、称为样本空间的一个划分1B2B3BnB1nB 例例9 9 某外形相同的球分别装入三个盒子，每盒某外形相同的球分别装入三个盒子，每盒1010个，个，其中第一个盒子中其中第一个盒子中7 7个球标有字母个球标有字母A,A,三个标有字母三个标有字母B;B;第第二个盒子有红球和白球各二个盒子有红球和白球各5 5个，第三个盒子中个，第三个盒子中8 8个红球，个红球， 2 2个白球。试验按如下规则进行，先在第一盒子任取一个白球。试验按如下规则进行，先在第一盒子任取一球，若取得球标有字母球，若取得球标有字母A A，则在第二盒子任取一球；若，则在第二盒子任取一球；若取得球标有字母取得球标有字母B B，则在第三个

22、盒子任取一球；若第二，则在第三个盒子任取一球；若第二次取出的球标是红球，则称试验为成功，求试验成功的次取出的球标是红球，则称试验为成功，求试验成功的概率。概率。令A=从第一个盒子取得标有字母A的球解解B=从第一个盒子取得标有字母B的球A=从第一个盒子中取得标有字母 A的球B=从第一个盒子中取得标有字母B的球R=第二次取出的球是红球W=第二次取出的球是白球 BRPBPARPAPRP59010810321107.解令品的概率是多少？品的概率是多少？格格一件，问恰好抽到不合一件，问恰好抽到不合现在从出厂产品中任取现在从出厂产品中任取及及、格品率依次为格品率依次为又这四条流水线的不合又这四条流水线的不

23、合，和和、总产量的总产量的条流水线的产量分别占条流水线的产量分别占产同一种产品，该四产同一种产品，该四某工厂有四条流水线生某工厂有四条流水线生例例.02. 003. 004. 005. 0%35%30%20%15 10 ,02. 0)|(,03. 0)|(,04. 0)|(,05. 0)|(,35. 0)(, 3 . 0)(, 2 . 0)(,15. 0)(43214321BAPBAPBAPBAPBPBPBPBP则则解解 令令A= =任取一件，恰好抽到不合格品任取一件，恰好抽到不合格品, ,Bi= = 任取一件任取一件, ,恰好抽到第恰好抽到第i条流水线的产品条流水线的产品,i=1,2,3,4

24、=1,2,3,4%15. 30315. 002. 035. 003. 03 . 0 04. 02 . 005. 015. 0)|()()( 41iiiBAPBPAP于是由全概率公式可得于是由全概率公式可得 例例11(11(续例续例10)10)在上例中在上例中, ,若该厂规定若该厂规定, ,出了不合格品要追出了不合格品要追究有关流水线的经济责任，现在在出厂产品中任取一件究有关流水线的经济责任，现在在出厂产品中任取一件, ,结果为不合格品结果为不合格品, , 但该产品是哪一条流水线生产的标志已但该产品是哪一条流水线生产的标志已经脱落经脱落, ,问厂方如何处理这件不合格品比较合理？比方说，问厂方如何

25、处理这件不合格品比较合理？比方说，第第4 4条条( (或第或第1 1、2 2、3 3条条) )流水线应承担多大的责任？流水线应承担多大的责任？解解 从概率论的角度考虑可以按从概率论的角度考虑可以按P( (Bi| |A) )的大小来追究第的大小来追究第i条条( (i=1,2,3,4)=1,2,3,4)流水线的经济责任流水线的经济责任. .由上例知由上例知P( (A)=0.0315,)=0.0315,应用条件概率的定义，得应用条件概率的定义，得2381. 00315. 005. 015. 0)()|()()()()|(1111APBAPBPAPABPABP,2222. 0)|(,2857. 0)|

26、(,2540. 0)|( 432ABPABPABP同理可得同理可得 四、四、 贝叶斯公式贝叶斯公式 定理定理 设设 为一列互不相容的事件，且有为一列互不相容的事件，且有,21BB., 2 , 1,1iBAPBPBAPBPABPjjjiii这个公式称为这个公式称为贝叶斯公式贝叶斯公式（逆概公式）（逆概公式）.则对任意的事件则对任意的事件A，有，有, 2 , 1, 0)(,1iBPBiii例12 盒中有12只乒乓球，其中9只是没有用过的新球，第一次比赛时任取3只使用，用毕返回，第二次比赛时任取3只球。（1）求第二次取出的全是新球的概率 （2）若已知第二次取出的都是新球，求第一次取出的都是新球的概率

27、。解 设 =“第一次取出的3只球都是旧球”， 1A2A=“第一次取出的3只球中有2只新球”， =“第一次取出的3只球中有2只新球”， =“第一次取出的3只球都是新球”， B=“第二次取出的都是新球”。3A4A 44111ABPAPABPAPBP）则（1458. 031236312393123731229133123831219233123931233CCCCCCCCCCCCCCCCCC 2381. 02444BPABPAPBAP）（贝叶斯公式在实际中有很多应用贝叶斯公式在实际中有很多应用. . 它可以帮助人们确定某结果（事件它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最）发生的最可能原因可能原因

28、. .例例1313某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.0050.005，患者对一种试，患者对一种试验反应是阳性的概率为验反应是阳性的概率为0.950.95，正常人对这种试验反，正常人对这种试验反应是阳性的概率为应是阳性的概率为0.040.04，现抽查了一个人，试验反，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大? ?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”. . CCC已知已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04求解如下求解如下: : 设设 C=抽查的人患有癌

29、症抽查的人患有癌症 ， A=试验结果是阳性试验结果是阳性 ，求求 P(C|A).现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义. .由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入数据计算得代入数据计算得 P(CA)= 0.1066 2. 2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? ? 1. 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？ 如果不做试验如果不做试验, ,抽查一人抽查一人, ,他是患者的概率他是患者的概率患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.95

30、，若试验后得阳性反应，若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为从从0.0050.005增加到增加到0.1066,0.1066,将近增加约将近增加约2121倍倍. .1. 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义. .P( (CA)= 0.1066)= 0.1066 P( (C)=0.005)=0.005 试验结果为阳性试验结果为阳性 , , 此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066 2. 2. 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌即使你检出阳性，尚可不必过早下结论