2021-2022学年甘肃省兰州第一中学高二下学期4月月考数学（理）试题解析

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页第 Page * MergeFormat 13 页 共 NUMPAGES * MergeFormat 13 页2021-2022学年甘肃省兰州第一中学高二下学期4月月考数学（理）试题一、单选题1若复数满足，则复数的共轭复数的模为A1BC2D【答案】B【分析】首先求出复数，即可得到复数的共轭复数，利用复数模的计算公式，求得答案【详解】由于，则，所以复数的共轭复数，则，故答案选B【点睛】本题考查复数四则运算，共轭复数的概念以及复数模的计算公式，属于基础题2已知，则（）A1B2C4D8【答案】A【解析】对函数求导，并令代入可求得.

2、将的值代入可得导函数，即可求得的值.【详解】函数，则，令代入上式可得，则，所以，则，故选：A.【点睛】本题考查了导数的定义与运算法则，在求导过程中注意为常数，属于基础题.3用反证法证明命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个是偶数”正确的假设为（）Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【答案】A【分析】根据反证法的性质进行判断即可.【详解】由题，利用反证法，则需假设“自然数a，b，c都不是偶数”，即“自然数a，b，c都是奇数”，故选：A4（）A4BCD8【答案】B【解析】由定积分的运算性质，得到，再结合定积分的计算公式和

3、定积分的几何意义，即可求解.【详解】因为是奇函数，且在区间关于原点对称，所以对应的区域是一个半径为2的半圆，面积为故.故选：B5由曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为（）AB4CD6【答案】C【解析】由题意画出图形，确定积分区间，利用定积分即可得解.【详解】由题意，曲线，直线及y轴所围成的图形如图阴影部分所示：联立方程，可得点，因此曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为：故选：C【点睛】本题考查了定积分的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.6若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】首先利用导数求出函数的单调区间和极值，将函数有三个不同的零点，转化为方程有三个不同

4、的根.再列出不等式组，解不等式组即可得到答案.【详解】，.令，解得，.，为增函数，为减函数，为增函数.所以，.因为函数有三个不同的零点，等价于方程有三个不同的根.所以，解得.故选：D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，同时考查了利用导数求函数的单调区间和极值，属于简单题.7当是函数的极值点，则的值为A-2B3C-2或3D-3或2【答案】B【分析】由f，解得或-2，再检验是否函数的极值点，可得结论.【详解】由，得，x1是函数f（x）的极值点，（1）6+a0，解得或2，当2时，恒成立，即单增，无极值点，舍去；当3时，时，x1或x=9，满足x1为函数f（x）的极值点， 故选B.【点睛】本

5、题考查了利用导数研究函数的极值问题，注意在x=处导数值为0不一定满足x=是极值点，属于易错题8已知在上单调递增，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】由题意得在恒成立，转化为最值问题求解【详解】由可得，由条件只需，即在上恒成立，由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，故的最小值为4，只需故选：B9函数的大致图像是（）ABCD【答案】D【分析】求得函数的定义域为，设，由导数求得函数的单调性，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为， 设，则，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，可得，所以函数在上单调递增，在单调递减，且.故选：D【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数图象与

6、性质，其中解答中根据函数的解析式求得函数的定义域，以及利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档题.10已知且且且，则（）ABCD【答案】D【解析】令，利用导数研究其单调性后可得的大小.【详解】因为，故，同理，令，则，当时，当时，故在为减函数，在为增函数，因为，故，即，而，故，同理，因为，故，所以.故选：D【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键11已知函数，若对任意的,存在，使，则实数的取值范围是ABCD【答案】B【解析】由题意可知，转化为分别求两个函数的最小值，函数利用导数求最

7、小值，函数，讨论函数的对称轴和定义域的关系，求函数的最小值.【详解】由题意可知， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，当时，取得最小值，当时，函数单调递增，即 ，解得：，不成立；当时，即，解得：或，不成立；当时，函数单调递减， 即 ，解得：，成立.综上可知：.故选：B【点睛】本题考查双变量不等式恒成立，求参数的取值范围，意在考查转化与化归，分类讨论的思想，属于中档题型，一般双变量不等式恒成立的问题转化为函数的最值问题.12若，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是区间上的“稳定函数”.已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】D【分析】利用导数可求得单调性，进

8、而得到最大值和最小值，根据稳定函数定义可得，由此可得关于的不等式，解不等式可求得的取值范围.【详解】，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，又，由“稳定函数”定义可知：，即，解得：，即实数的取值范围为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查函数导数中的新定义运算问题，解题关键是能够充分理解稳定函数的定义，将问题转化为函数最大值和最小值之间的关系，由此利用导数求得最值来构造不等关系.二、填空题13设，则_.【答案】【分析】根据定积分的运算法则和牛顿莱布尼茨公式求解即可.【详解】解：根据题意：故答案为：14由正方形的对角线相等；矩形的对角线相等；正方形是矩形写一个“三段论”形式的推理，则作为

9、大前提、小前提和结论的依次为_（写序号）【答案】【详解】根据三段论的模式，大前提为定理、事实或已知的结论，小前提为所举实例，结论则是结果，所以根据题意很容易分析得作为大前提、小前提和结论的依次为15观察下列式子：，根据以上式子可以猜想：_【答案】.【详解】由题得不等式右边分数的分母是左边最后一个分数的分母的底数，所以猜想的分母是2018，分子组成了一个以3为首项，2为公差的等差数列，所以故填.16如果，那么_【答案】i【分析】结合复数除法、乘方运算求得正确答案.【详解】因为，故，所以，故，故.故答案为：17已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，则不等式的解集为_【答案】【分析】

10、构造，利用导数研究单调性，由题设知对称轴为，即可得，进而求，而原不等式等价于，即可求解集.【详解】设，则，又，所以，即在R上是减函数，因为为偶函数，所以图象关于y轴对称，而向右平移3个单位可得，所以对称轴为，则，所以，不等式等价于，故，所以不等式的解集为.故答案为：三、解答题18已知函数.(1)求导函数；(2)当时，求函数的图像在点处的切线方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算即可求解；（2）求出，利用点斜式写出切线方程.【详解】(1)由，得.(2)由（1）知当时，则.又，所以函数的图像在点处的切线方程为，即.19设f(x)，x11，xnf(xn1)

11、(n2，nN).（1）求x2，x3，x4的值；（2）归纳数列xn的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】（1）x2，x3，x4；（2）xn，证明见解析.【分析】（1）由f(x)，x11，xnf(xn1)可依次求出x2，x3，x4的值；（2）由x1，x2，x3，x4的值可归纳出xn，然后利用数学归纳法证明即可【详解】（1）x2f(x1)，x3f(x2)，x4f(x3).（2）根据计算结果，可以归纳出xn.证明：当n1时，x11，与归纳相符，归纳出的公式成立.假设当nk(kN)时，公式成立，即xk，那么，xk1，所以当nk1时，公式也成立.由知，当nN时，xn.20生产某产品的全部成本c与产品的件

12、数x（单位：件）满足函数（单位：万元）；该产品单价p（单位：万元）的平方与生产的产品件数x（单位：件）成反比，现已知生产该产品100件时，其单价万元且工厂生产的产品都可以销售完设工厂生产该产品的利润为（万元）（注：利润=销售额-成本）(1)求函数的表达式(2)求当生产该产品的件数x（件）为多少时，工厂生产该产品的利润最大？【答案】(1)(2)当生产该产品的件数为件时，工厂生产该产品的利润最大【分析】（1）先求得，然后利用“利润=销售额-成本”求得的表达式（2）结合导数求得最大时对应的的值.【详解】(1)依题意：设，代入，得：，故.(2)由（1）得，则，所以函数在上，递增；在上递减，所以函数在处

13、有极大值；因为在上只有唯一极值，所以函数在处有最大值；故当生产该产品的件数为件时，工厂生产该产品的利润最大.21已知函数f(x)=x+(a-1)lnx-2，其中aR.(1)若f(x)存在唯一极值点，且极值为0，求a的值；(2)讨论f(x)在区间1，e上的零点个数【答案】(1)或(2)答案见解析【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合函数的极值为0，得到关于的方程，解出即可；（2）通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合零点存在性定理判断即可【详解】(1)解：，定义域是，若，则当时，恒成立，故在单调递增，与存在极值点矛盾，若时，则由解得：，故时，当时，故在单调递减，

14、在单调递增，故存在唯一极小值点，故，故或；(2)解：，时，在，上恒成立，故在，上单调递增，（1），（e），由零点存在性定理，在，上有1个零点；当时，当，时，时，在，上单调递减，在，上单调递增，（a），此时在，上无零点；当时，在，上恒成立，在，上单调递减，（1），（e），在，上有1个零点；综上：当时，在，上无零点，当或时，在，上有1个零点【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题22已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，函数在上恒成立，求证：.【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）证明见解析【解析】（1）求导后分解因式，分类讨论即可得到函数的单调性；（2）由题意求出，转化为在上恒成立，利用导数求出的最小值，即可求解.【详解】（1）若时，在上单调递增；若时，当或时，为增函数，当时，为减函数，若时，当或时，