高一数学竞赛课讲义练习 平均值不等式含答案_第1页
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1、平均值不等式一、基础知识平均值不等式:设为个正数,则,当且仅当时取等.二、典型例题与基本方法1.设求证：2.设求的最小值.3.设是正数,且求证：4.设且证明：5.设且证明：6.设证明：7.设为个正数,证明：,当且仅当时取等.8.已知正实数满足证明：9.已知正实数满足证明：1.设证明：2.设正实数满足证明：3.设且证明：A2平均值不等式参考解答一、基础知识平均值不等式:设为个正数,则,当且仅当时取等.证明：我们首先证明为正整数)时,平均值不等式成立.为此对用数学归纳法.当时,显然有假设当时命题成立,则当时,所以当时结论成立.所以对于形式的正整数,平均值不等式成立.现假设时,平均值不等式成立,当时

2、,则由假设得于是即所以当时命题也成立.综上可知对一切正整数平均值不等式成立.不难看出,当且仅当所有的相等时等号成立.二、典型例题与基本方法1.设求证：证明：2.设求的最小值.证明：因为于是当且仅当时等号成立.所以的最小值为10.3.设是正数,且求证：证明：同理于是4.设且证明：证明：注意到恒等式于是原不等式等价于因为于是所以5.设且证明：证明：同理所以故6.设证明：证明：因为所以原不等式等价于由对称性只须证明注意到令则且于是等价于因为所以原不等式得证.7.设为个正数,证明：,当且仅当时取等.证明：由平均值不等式令于是即就是平均值不等式.由恒等式知道于是也就是8.已知正实数满足证明：证明：因为所以于是于是于是只须证明于是所以原不等式得证.9.已知正实数满足证明：证明：由平均值不等式知道于是同理于是所以原来不等式得证.B2.练习 姓名： 1.设证明

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