《直线的倾斜角与斜率》课件

1、 同学们知道在麦克尔麦克尔-哈特哈特的历史上影响最大的历史上影响最大的100人人 吗？当今有了互联网同学们只要百度下就可以了，笛卡尔名列65。同学们，做人就要改变世界。 笛卡尔是谁？ 勒内勒内笛卡儿笛卡儿（，1596年3月31日1650年2月11日），生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷拉海（现笛卡尔，因笛卡儿得名），1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥尔摩，是法国著名的哲学家、数学家、物理学家。他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论唯物论的开拓者且提出了“普遍怀疑”的主张。他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲

2、人，开拓了所谓“欧陆理性主义欧陆理性主义”哲学。 在笛卡尔之前，几何和代数是老死不相往来，各自分开。是笛卡尔让几何代数联系在一起。也就是通过直角坐标系。笛卡儿向世人证明，几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。 比如点有个坐标，但直线由点组成，所以直线是否有代数形式，这很新鲜的。我们知道在几何中两直线由相交、平行，那反应在代数上会是怎么回事，也是很新鲜的。在几何中有圆，那圆的代数形式是怎样的，在几何中直线与圆有好几种关系，这几种关系如果从代数角度讲会有新鲜的结论吗？32022-7-73.1.1直线的倾斜角 与斜率42022-7-7教学目的教学目的 使学生掌握倾斜角和

3、斜率的概念，理解倾斜角和斜率之间的关系，掌握经过两点的直线的斜率公式，并会应用公式解题。 教学重点教学重点：倾斜角和斜率的的意义，斜率的公式及其应用。 教学难点教学难点：斜率意义的理解。 52022-7-7 在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？xyOlP（x，y） 为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方法把这些几何要素表示出来62022-7-7 对于平面直角坐标系内的一条直线 l ，它的位置由哪些条件确定？xyOl72022-7-7 我们知道，两点确定一条直线一点能确定一条直线的位置吗？已知直线 l 经过点P，直线 l 的位置能够

4、确定吗？xyOlllP82022-7-7 过一点P可以作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ，它们都经过点P （组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？xyOlllP92022-7-7 容易看出，它们的倾斜程度不同怎样描述直线的倾斜程度呢？xyOlllP概念定义概念定义一、一、 直线的倾斜角直线的倾斜角倾斜角倾斜角0 xyl倾斜角倾斜角：当直线当直线 与与 轴相交时，我们取轴相交时，我们取 轴作为基轴作为基准，准， 轴正向轴正向与直线与直线 向上方向向上方向之间所成的角之间所成的角 叫做叫做直线直线 的倾斜角的倾斜角lxllxxyxo零度角 ayxo锐角 yxo直角 yxoa钝角 的范围的

5、范围:)180, 0122022-7-7 直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？ 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，度相同的直线其倾斜角相同 倾斜程xyOlll 已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置；同样已知直线的倾斜角也不能确定一条直线的位置 但是，直线上的一个点和这条直线的倾斜角可以唯一确定一条直线132022-7-7 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是： 直线上的一个定点以及它的倾斜角， 二者缺一不可xyOlP142022-7-7日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？前进量升高量前进量前进量升高量升高量坡度（比）坡度（比）152022

6、-7-7前进升高例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度（比）.2323前进量前进量升高量升高量坡度（比）坡度（比）D 前进量 A C 前进量前进量升高量升高量坡度（比）坡度（比） 升高量 前进量 A B C yx直线 的倾斜程度直线 的倾斜程度tanBCABtanBDAB172022-7-7通常用小写字母k表示，即 tan k 一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（slope）. 倾斜角是 的直线有斜率吗？90 倾斜角是 的直线的斜率不存在90)90( 如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡度（比）”实际就是“倾斜角的正切”182022-7-7 如：倾斜角 时，

7、直线的斜率 45 . 145tan k当 为锐角时， .tan)180tan( 如：倾斜角为 时，由135 145tan135tan k即这条直线的斜率为. 1 倾斜角不是90的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度例3 当倾斜角分别为零角、锐角、直角、钝角的直线的斜率的取值范围分别是什么？倾斜角倾斜角斜斜 率率000009009000901800k 0k 0k 无意义无意义下列哪些说法是正确的下列哪些说法是正确的_A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B、直线的倾斜角越大，斜率也越大、直线的倾斜角越大，斜率也越大C

8、 、平行于、平行于x轴的直线的倾斜角是轴的直线的倾斜角是0或或1800D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等E 问：同学们知道为什么把倾斜角的正切当斜率而不是正弦、问：同学们知道为什么把倾斜角的正切当斜率而不是正弦、余弦？斜率是什么意思？斜：倾斜。率：比值，两数之比：效率余弦？斜率是什么意思？斜：倾斜。率：比值，两数之比：效率、税率、概率、圆周率、出勤率、增长率。、税率、概率、圆周率、出勤率、增长率。答：有现实中的坡度比这个事实。答：有现实中的坡度比这个事实。212022-

9、7-7已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？ 给定两点P1 （ x1 ，y1）， P2 （ x2 ，y2）， 并且x1 x2，如何计算直线P1 P2的斜率k222022-7-7 当 为锐角时， .,212121yyxxPQP 在直角 中QPP21 12121221|tantanxxyyQPQPPQP 设直线P1 P2的倾斜角为（ 90 ），当直线P1 P2的方向（即从P1指向P2的方向）向上时，过点P1作 x 轴的平行线，过点P2作 y 轴的平行线，两线相交于点 Q，于是点Q的坐标为（ x2，y1 ）232022-7-7 tan)180tan(tan 当 为钝角时， ,18021PQP ,

10、21xx .21yy 在直角 中QPP21 1212211212|tanxxyyxxyyQPQP .tan1212xxyy 242022-7-7 同样，当 的方向向上时，也有12PP.tan1212xxyy 252022-7-7 1已知直线上两点 ，运用上述公式计算直线 斜率时，与 两点坐标的顺序有关吗？),(),(222111yxPyxPAB 21,PP无关2、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？xyo),(111yxP),(222yxP1y2y1212xxyyk不适用,分母为零3、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？xyo),(111yxP)

11、,(222yxP1x2x1212xxyyk成立三、两点斜率公式三、两点斜率公式综上所述，我们得到经过两点),(111yxP)(21xx ),(222yxP的直线的斜率公式：2P1P211221()yykxxxx例1、已知点A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直线AB,BC,CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角。2121121437AByyKxx 直线AB的斜率解：解：直线BC的斜率直线CA的斜率1 110( 4)2BCK 2( 1)130CAK 由 及 知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由 知，直线BC的倾斜角为钝角 0ABk0CAk0BCk这些题目是记住公式然后去套下。

12、这些题目是记住公式然后去套下。302022-7-7 例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线 及 321,lll4l,00111 xy即.11yx 解：取 上某一点为 的坐标是 ，根据斜率公式有:1l),(11yx1A 设 ，则 ，于是 的坐标是 过原点及 的直线即为 11 x11 y1A)1 , 1()1 , 1(1A1lxy1A3A2A4A1l3l2l4l 是过原点及 的直线， 是过原点及 的直线， 是过原点及 的直线2l),(222yxA),(333yxA),(444yxA3l4l例例3 3、 填空填空（1 1） 若若 则则k=_ k=_ 若若3,_k

13、则060（2 2）若）若 ，则，则 ； 若若)60,30(00_k _),33, 3(则k（3 3）若）若 则则 的取值范围的取值范围 _ 若若 则则K K的取值范围的取值范围_ _ 00(60 ,150 ),) 1 , 1(k301203(,3 )300(120 ,150 )0000,45 )(135 ,180 )3(,)( 3,)3 例例4、若三点、若三点A(2,3),B(3,-2),C(1/2,m)共线共线,求求m的值的值.解解:kAB=kAC2122132332mm答案答案B本例的条件变为：若过点本例的条件变为：若过点P(1a,1a)与与Q(3,2a)的直线的直线的倾斜角为钝角，则实数

14、的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是的取值范围是_答案：答案：(2,1)巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)答案：答案：B冲关锦囊冲关锦囊1求倾斜角的取值范围的一般步骤求倾斜角的取值范围的一般步骤(1)求出斜率求出斜率ktan的取值范围的取值范围(2)利用三角函数的单调性，借助图像或单位圆数形结利用三角函数的单调性，借助图像或单位圆数形结 合，确定倾斜角合，确定倾斜角的取值范围的取值范围2求倾斜角时要注意斜率是否存在求倾斜角时要注意斜率是否存在.定定 义义取值范围取值范围小结小结直线倾斜角直线倾斜角斜率公式斜率公式三要素0 ,180 )斜率ktan(90 )

15、k (,)k 211221()yykxxxx(,)k xyo),(111yxP),(222yxP),(12yxQ1x2x1y2y1、当我们求倾斜角是钝角、当我们求倾斜角是钝角的斜率公式时，的斜率公式时， 不是倾不是倾斜角，是斜角，是 是倾斜角。是倾斜角。2、当我们把倾斜角分成、当我们把倾斜角分成四类求斜率时我们先从四类求斜率时我们先从锐角推导出斜率公式，锐角推导出斜率公式，我们猜测对其他三种情我们猜测对其他三种情况斜率公式也成立这是况斜率公式也成立这是为什么？为什么？答：大自然是有秩序的是答：大自然是有秩序的是和谐的，上帝创造世界不和谐的，上帝创造世界不是乱来的而是按规矩来创是乱来的而是按规矩来创造的。如果其他三种情况造的。如果其他三种情况也有自己的斜率公式那大也有自己的斜率公式那大自然的秩序就被破坏了，自然的秩序就被破坏了，这样的大自然是不美好的这样的大自然是不美好的。2、已知三点、已知三点A(1，3)、B(-1，1)、C(3，5)，求证，求证A、B、C三点共三点共线。线。1、斜率为、斜率为2的直线经过点（的直线经过点（3，5），（），（a，7），（），（-1，b)，求，求a、b。3、直线的斜率、直线的斜率k满足满足 则该直线的倾斜角则该直线的倾斜角 的取值的取值范围