十一章节复变函数PPT学习教案

1、会计学1十一章节复变函数十一章节复变函数第1页/共35页有理数实数无理数复数纯虚数虚数非纯虚数第2页/共35页111zxiy222zxiy121212()()zzxxi yy1 21 21 21 22 1() ()zzxx yy ixy xy1111 21 22 11 2222222222222(0)zx iyxxyyxy xyizzx iyxyxy121212()()zzxxi yy第3页/共35页1221zzzz1221zzzz123123() ()zzzzzz123123() ()z z zz z z1231 21 3()z zzzzzz0, 00zzz 11,1zzzz 1 20zz第

2、4页/共35页zz1 21 2zzzz11222(0)zzzzz22Re Im zzzzRe, Im22z zz zzziz zz 第5页/共35页2(23 )2ii2(2 3)4 9 1222( 5 12 )(2)10 12 29(2)(2)4 12 295iiiiiiiiii 解：例2 1 22()Re , Im3 45iizzz zzii设， 求及第6页/共35页1 22(1 2 )(34 )234(34 )(34 )5511 2(2)( 5 )11 25 10168255 ( 5 )25252525168Re, Im252516816864()()25252525125iiiiizii

3、iiiiiiiiiiizzzzii解：所以，第7页/共35页第8页/共35页zxiyizre(cossin )z riOP OP OP 第9页/共35页3Arg(22 )Arg( 34 )Arg(22 )arg(22 )22arctan22(0,1,2,)24iiiikkkk 例 求和解：23413Re1Im33Argan31132arg133222(cossin)233izixzyzztzizziie 例求的三 角 表 示 式 与 指 数 表 示 式解 ： 因 为，设， 则又 因 为， 位 于 第 二 象 限 ， 所 以， 于 是第10页/共35页0 x zD第11页/共35页第12页/共3

4、5页21wz222222,1()1121zxiy wuivwzwuivxiyxyixyuxy 代入得比较实部虚部得第13页/共35页4042142213312 cos()sin()4433224412 cossin(0,1)22332(cossin)88552(cossin)88iiikkiikwiwi 例 计算解：因为所以即第14页/共35页第15页/共35页z000( )()limzzf zf zzz0( )f z0zzdwdz00000()()()limzz zf zzf zdwfzdzz 如果函数f(z)在区域D内每一点都可导，则称f(z)在D内可导。第16页/共35页33322200

5、023( )()( )()limlimlim 333( ) 3xxxf zzf zzf zzzzzz zzzzzf zz例求 复 变 函 数的 导 数解 ： 因 为 所 以 122.(1)()0,2,3( )( )( )( )4( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )5( )0)( )( )6 ( )nnCCznznfzg zfzgzfzg zfz g zfz gzfzfz g zfz gzg zg zg zfzf 导 数 运 算 法 则复 变 函 数 的 求 导 法 则 (以 下 出 现 的 函 数 均 假 设 可 导 ):其 中为 复 常 数 ；（ ） （）其 中

6、 为 正 整 数 ；（ ）（ ）（ ）（ ）()( ),( )wzwz其 中第17页/共35页2 425224242 332 42 32433(1)1( )(2)2( )(0)( )5(2) 420 (2)4(1) 22 (1)22( )(1) (31)zf zzif zzzfzzizzzizzzzfzzzzz例 求下列函数的导数（），（ ）解：（1）（ ）22( )2(24) (22)( )2( )2( ) 4 2 ( ) 24(3 2)(1)4 20f zzzzfiiiiiii 解：因为所以第18页/共35页第19页/共35页( )2fzz第20页/共35页( )( , )( , )f z

7、u x yiv x y,uvuvxyyx ,uuvvxyxy( )( , )( , )f zu x yiv x y,uvuvxyyx 第21页/共35页2222222226( )( )()2( , ), ( , )2( , ), ( , )2( , )( , )2 ,2( , )( , )f zzf zzxiyxyi xyu x yxyv x yxyu x yxyv x yxyu x yv x yuvuvxyxyyxu x yv x yCR 2例 讨论函数的可导性，并求其导数解：由得则显然，在复平面内和的偏导数处处连续，且即和处处满足条件且处处可微，所以,f（z)=z 在复平面内处处可导且f

8、(z)=2z第22页/共35页第23页/共35页(cossin )zx iyxeeey iy第24页/共35页(0,)wzezwLnwzln( 1),Ln( 1),lnLnii和ln( 1)ln1iiLn( 1)2(21) (0, 1, 2, )ik iki k 1lnln1Ln2(2)2222(0,1,2,)iiiiikikik第25页/共35页Ln11 212122(1)0lnln(2)0 Lnln(21) ,(0, 1,2,)(3),Ln2,(0, 1,2,)(4)Ln()LnLn,Ln()LnLnzzzxzxzxxxikkezezki kzz zzzzzz 时，第26页/共35页Ln(

9、0)zzez2ln1,ikzewze 第27页/共35页Ln(ln2)mmmzziknnnzzee只有 n 个不同的值，即当 K 取 0,1,2,n-1时的对应值.（3）当 为无理数或复数时，z 有无穷多个值. 此时的 z 与根式函数 的区别 是无穷多值函数.而后者的值是有限的。1nz第28页/共35页1()nnznz 1nnzz第29页/共35页222Ln( 1)2(21)22 21(ln12)(2)Ln2223222Ln(2)333 2232( 1)( 1)(0, 1, 2,)3(0, 1, 2,)444cos()sin(),0,1,2333313,22kiik iiiii kkiiiik

10、ieeeekiieeekiieekikkii例 求解：例 求解：例 求解：所以 的三个值分别为13,122i第30页/共35页1( )()2izizf zeei1( )()2izizg zeei22121212121212sin()cos ,sincos12sin()sincoscossincos()coscossinsinzzzzzzzzzzzzzzzz第31页/共35页()()11cos222i x iyi x iyyixyixyyeezeeeeeeysinzcoszsinzcosz第32页/共35页5 sin cos(sin )cos , (cos )sinsincossincostan, cot,cossin11sec, csc.cossinzzzzzzzzzzzzzzzzzz（），在复平面内