第2章稳态热传导

1、第第2 2章章 稳态热传导稳态热传导2.1 2.1 导热基本定律导热基本定律傅里叶定律傅里叶定律2.1.1 2.1.1 各类物体的导热机理各类物体的导热机理微观机理：微观机理： 气体导热：分子碰撞；气体导热：分子碰撞； 固体导热：导体固体导热：导体自由电子运动；自由电子运动； 非导体非导体晶格振动（弹性波）；晶格振动（弹性波）； 液体：介于气体和液体之间（分子力、弹性波）。液体：介于气体和液体之间（分子力、弹性波）。2.1.2 2.1.2 温度场温度场温度场温度场：某一时刻，物体中各点的温度都有确定的值。：某一时刻，物体中各点的温度都有确定的值。)( , z , y,xft 稳态温度场稳态温度

2、场),(zyxft 非稳态温度场非稳态温度场)( , z , y,xft 一维稳态温度场一维稳态温度场)(xft 二维稳态温度场二维稳态温度场)(y,xft 等温面等温面：温度相等的：温度相等的 各点组成的曲面。各点组成的曲面。特点：特点： 不相交；不相交； 疏密反映疏密反映 热流密度大小。热流密度大小。2.1.3 2.1.3 导热基本定律导热基本定律一维导热一维导热xtqx 三位维导热三位维导热kqjqiqqzyx tkztjytixtgrad)( 温度梯度温度梯度nntkztjytixtt grad方向：等温线法线，温度变化最快；方向：等温线法线，温度变化最快；大小：温度变化率最大值。大小

3、：温度变化率最大值。nnttq grad热流线热流线：用曲线表示：用曲线表示 ，与等温面处处垂直。，与等温面处处垂直。q2.1.4 2.1.4 导热系数导热系数nntq 工程上，常由实验测定工程上，常由实验测定（第一个实验）（第一个实验）沿等温面法线沿等温面法线 方向变化率方向变化率nt 导热系数与两因素有关：导热系数与两因素有关： 与温度有关与温度有关线性近似线性近似)1(0bt 常用平均值常用平均值)1(0t b ，或，或2)(21 与物质有关与物质有关保温材料保温材料时，时，C350o tK)W/(m120 . 蜂窝状多孔材料：矿棉渣、硅藻土、岩棉板、膨胀珍珠岩等。蜂窝状多孔材料：矿棉渣

4、、硅藻土、岩棉板、膨胀珍珠岩等。2.1.5 2.1.5 工程导热材料的一般分类工程导热材料的一般分类（课后自己看）课后自己看）2.2 2.2 导热问题的数学描写导热问题的数学描写2.2.1 2.2.1 导热微分方程导热微分方程导热微分方程导热微分方程：温度场所满足的微分方程。：温度场所满足的微分方程。方程推导：取微元平行六面体方程推导：取微元平行六面体zyxddd 导入热流量：导入热流量：zyxtxtAxxdd zxytytAyydd yxztztAzzdd xxxd 导出热流量：导出热流量：xxxx d xxxd xxxxd xzyxtxxddd zyxxtxxxxdddd zyxytyyy

5、ydddd zyxztzzzzdddd 热力学能增量：热力学能增量： tmctmcQ 单位时间单位时间 zyxtctczyxQdddddddd 取微分取微分 内热源：内热源： 单位时间，单位体积内热源产生热量单位时间，单位体积内热源产生热量zyxddd 内热源单位时间生成热量内热源单位时间生成热量能量守恒：能量守恒：热力学能增量热力学能增量 （导入热量（导入热量 导出热量）导出热量） 内热源热量内热源热量 ztzytyxtxtc非稳态项非稳态项扩散项扩散项源项源项温度随时温度随时间变化间变化温度在空温度在空间变化间变化内含热源内含热源简化形式：简化形式：（1）导热系数为常数）导热系数为常数常物

6、性常物性 ztzytyxtxtccztytxtat 222222热扩散率热扩散率ca （2）常物性、无内热源）常物性、无内热源 222222ztytxtat （3）常物性、稳态）常物性、稳态0222222 ztytxt ztzytyxtxtc 泊松方程泊松方程（3）常物性、无内热源、稳态）常物性、无内热源、稳态0222222 ztytxt 拉普拉斯方程拉普拉斯方程注：圆柱坐标系和球坐标系的导热微分方程，见书注：圆柱坐标系和球坐标系的导热微分方程，见书P44 。2.2.2 2.2.2 定解条件定解条件定解条件定解条件：求解微分方程时，：求解微分方程时， 解解 的附加条件。的附加条件。)( , z

7、 , y,xft 初始条件初始条件：)(000w ,z ,y,xft )0(, z , y,xft 边界条件边界条件：三类边界条件：三类边界条件：（1）第一类边界条件第一类边界条件：规定边界上的温度值：规定边界上的温度值0 时，时，)(1w ft 或或常常量量 wt（2）第二类边界条件第二类边界条件：规定边界上的热流密度值：规定边界上的热流密度值0 时，时，)(2w fq 或或常常量量 wq（3）第三类边界条件第三类边界条件：规定边界上：规定边界上 和流体和流体 （ 未知）未知） 0 时，时，)(fwwtthq hftwt2.2.2 2.2.2 热扩散率的物理意义热扩散率的物理意义ca 与两因

8、素有关：与两因素有关： 导热系数导热系数 ：导热性能好，传导热量多，温度变化快；导热性能好，传导热量多，温度变化快； ：单位体积物体，升温：单位体积物体，升温 时，吸收的热量。时，吸收的热量。 越小，物体吸收较少的热量就能升温，温度变化快。越小，物体吸收较少的热量就能升温，温度变化快。c C1oc 物理意义：表示物体内部温度扯平能力的大小；物理意义：表示物体内部温度扯平能力的大小； 也是材料传播温度变化能力大小的指标。也是材料传播温度变化能力大小的指标。2.3 2.3 典型一维稳态导热问题的分析解典型一维稳态导热问题的分析解2.3.1 2.3.1 通过平壁的导热通过平壁的导热1. 1. 单层平

9、壁单层平壁一维稳态导热：一维稳态导热： ，0 xt0 t常常量量 并且：并且： ，0 导热方程：导热方程：0dd22 xt边界条件：边界条件：10tt,x 2tt,x 通解为：通解为：21cxct 温度分布：温度分布：112txttt 温度分布：温度分布：112txttt 傅里叶定律：傅里叶定律： tttxtq)(dd21 )()(dd21 AtttAxtA 注意：同例题注意：同例题1-1一样，解的结果相同。一样，解的结果相同。用热阻表示更为简洁：用热阻表示更为简洁：平壁导热热阻平壁导热热阻AR Rt 平壁面积热阻平壁面积热阻 ARARtq 2. 2. 多层平壁多层平壁例如：锅炉墙壁，由耐火层

10、、保温层、普通砖墙组成。例如：锅炉墙壁，由耐火层、保温层、普通砖墙组成。多层不同材料：多层不同材料： 、 、1 2 3 无接触热阻：无接触热阻：常常数数 q一维稳态导热，各层面积热阻：一维稳态导热，各层面积热阻：1121 qtt2232 qtt3343 qtt总热阻：总热阻：33221141 qtt热流密度：热流密度：ARtttq33221141 分界面温度：分界面温度：1112 qtt 2223 qtt 同理，同理，n 层平壁：层平壁：ARtq niiiAR1 1112 qtt P50例题例题2-1 一锅炉炉墙采用密度为一锅炉炉墙采用密度为300kg/m3 的水泥珍珠岩制作，的水泥珍珠岩制作

11、，壁厚壁厚=120mm，已知内壁温度，已知内壁温度t1=500oC，外壁温度外壁温度t2=50oC，试求试求每平方米炉墙每小时的散热量。每平方米炉墙每小时的散热量。解解：温度变化大，影响导热系数：温度变化大，影响导热系数 变化变化 C2752o21 tttK)(mW09400000105006510 .t. P558 附录附录4221mW353)( ttRtqA )h(mJ1027126 .qQ P50例题例题2-2 一台锅炉的炉墙由三层材料叠合组成。最里面是耐火一台锅炉的炉墙由三层材料叠合组成。最里面是耐火粘土砖，厚粘土砖，厚115mm；中间是；中间是B级硅藻土砖，厚级硅藻土砖，厚125mm

12、；最外层为；最外层为石棉板，厚石棉板，厚70mm。已知炉墙内、外表面温度分别为。已知炉墙内、外表面温度分别为495oC和和60oC，试求每平方米炉墙每小时的热损失及耐火粘土砖与硅藻土砖分界试求每平方米炉墙每小时的热损失及耐火粘土砖与硅藻土砖分界面上的温度。面上的温度。 解解：关键问题：关键问题? t，? 采用迭代法：采用迭代法： 假设假设 、 、 ，查表，查表 、 、1 2 3 1t2t3t 计算计算 2111ttq 3222ttq 4333ttq 求出求出?2 t?3 t 计算平均值计算平均值2211ttt 2322ttt 2433ttt ， 将新的平均值，代入第步，再次计算；将新的平均值，

13、代入第步，再次计算； 反复计算，直到两次平均值相等反复计算，直到两次平均值相等迭代法迭代法。结果：结果： KmW1211 . KmW11602 . KmW11603 . 233221141mW224 ttRtqAC470o1112 qtt2.3.2 2.3.2 通过圆筒壁的导热通过圆筒壁的导热1. 1. 单层圆筒壁单层圆筒壁内、外半径内、外半径 、 ，直径，直径 、 1r2r1d2d内、外表面温度均匀、恒定内、外表面温度均匀、恒定 、 1t2t 一维温度场、对称一维温度场、对称 rft 温度恒定，稳态温度恒定，稳态 0 t 无内热源无内热源 0 常物性常物性 常常量量 ztztrrtrrrtc

14、211导热方程：导热方程： 0dddd rtrr边界条件：边界条件： ， 1rr 1tt 2rr 2tt ，方程通解：方程通解：21lncrct 代入边界条件：代入边界条件： 112121lnlnrrtrtttt 傅里叶定律：傅里叶定律： 1221lnddrrttrrtq 1221ln)(22rrttlqrl 热阻：热阻：Rt lddnR 2l12 2. 2. 多层圆筒壁多层圆筒壁各层半径各层半径 不同，导热面积不同，导热面积 不同，不同，但通过各圆筒壁的热流量但通过各圆筒壁的热流量 相同，相同，应用串联热阻叠加原理：应用串联热阻叠加原理：rA Rt lddlddR2231122ln2ln P

15、 P5353例题例题2-52-5 为了减少热损失和保证安全工作条件，在外径为为了减少热损失和保证安全工作条件，在外径为133mm的蒸汽管道外覆盖保温层。蒸汽管道外壁面温度为的蒸汽管道外覆盖保温层。蒸汽管道外壁面温度为400oC。按电厂安全操作规定，保温材料外侧温度不得超过按电厂安全操作规定，保温材料外侧温度不得超过50oC。如果采用。如果采用水泥珍珠岩制品作保温材料，并把每米长管道的热损失水泥珍珠岩制品作保温材料，并把每米长管道的热损失/l 控制在控制在465W/m之下之下, ,问保温层厚度应为多少毫米？问保温层厚度应为多少毫米？解解： 平均温度平均温度C2252o21 ttt水泥珍珠岩水泥珍

16、珠岩t000105. 00651. 0 KmW0887. 0 P558 附录附录4 热阻热阻 lddR 2ln12 ，热流量，热流量 1221ln2ddttlRt 12212ddlnttl ，m202. 02 d，m034. 0212 dd 2.3.3 2.3.3 通过球壳的导热通过球壳的导热例如：储存燃气的球形罐。例如：储存燃气的球形罐。一维球对称导热：一维球对称导热： rft 解球坐标系导热方程，可得：解球坐标系导热方程，可得： 2122121111rrrrtttt 温度分布温度分布 2121114rrtt 热流量热流量 211141rrR 热阻热阻2.3.4 2.3.4 带第二类、第三类

17、边界条件的一维导热问题带第二类、第三类边界条件的一维导热问题例题例题 一个电熨斗一个电熨斗, ,电功率为电功率为1200W，底面竖直置于环境温度为，底面竖直置于环境温度为25oC的房间中，金属底板厚为的房间中，金属底板厚为5mm，导热系数，导热系数=15W/(mK)，面 积面 积 A = 3 0 0 c m2。 考 虑 辐 射 作 用 在 内 的 表 面 传 热 系 数。 考 虑 辐 射 作 用 在 内 的 表 面 传 热 系 数h=80W/(m2K)，今要确定稳态条件下底板两表面的温度。，今要确定稳态条件下底板两表面的温度。解解：假设左侧绝热，热量向右侧传递：假设左侧绝热，热量向右侧传递一维

18、导热问题，一维导热问题，底板左侧为给定热流密度底板左侧为给定热流密度 边界条件，边界条件，右侧为对流边界条件，右侧为对流边界条件，0q20W/m40000 APq0dd22 xt导热方程：导热方程：0 x边界条件：边界条件：，0ddqxt x，)(dd tthxt x th ,x th ,21cxct 方程的通解：方程的通解： 01qc 由左侧边界条件：由左侧边界条件： 002qhqtc 由右侧边界条件：由右侧边界条件： hxqtt10 代入通解：代入通解：C5381o00 hxqttx 左侧温度：左侧温度：C5251o0 hxqttx 右侧温度：右侧温度：2.4 2.4 通过肋片的导热通过肋

19、片的导热三种传热方式：三种传热方式： 导热导热 xtAdd 对流对流 t Ah 热辐射热辐射 )(4241TTA 由此，换热面积由此，换热面积 越大，热流量越大越大，热流量越大, A引入肋片，强化换热引入肋片，强化换热 。 肋片肋片（翅片翅片）：依附于）：依附于基础基础表面上的扩展表面。表面上的扩展表面。 换热特点换热特点 ：肋片表面有对流传热和辐射传热：肋片表面有对流传热和辐射传热 ，肋片中热流量、温度不断变化。肋片中热流量、温度不断变化。 针肋针肋 直肋直肋 环肋环肋 2.4.1 2.4.1 通过等截面直肋的导热通过等截面直肋的导热肋根肋根 、肋顶、肋顶 恒定，恒定， 0tHt周围流体周围

20、流体 恒定，恒定， t tt0对流、辐射合并，复合换热对流、辐射合并，复合换热 h1. 1. 物理模型物理模型 肋片材料：肋片材料： 、 、 恒定；恒定； 肋片长度肋片长度 较大，忽略侧面散热，较大，忽略侧面散热，在肋片长度方向上等温；在肋片长度方向上等温； 肋片导热性能好，厚度较薄，肋片导热性能好，厚度较薄，在肋片厚度方向上等温；在肋片厚度方向上等温； 肋顶肋顶绝热绝热： hcAl0dd xtcA2. 2. 数学描述数学描述一维稳态导热：一维稳态导热： xft 因热流量变化，存在源项因热流量变化，存在源项 导热方程：导热方程： 0dd22 xt源项：肋片上下表面散热，使导热量源项：肋片上下表

21、面散热，使导热量 变化。变化。 单位时间、单位体积损失的热量。单位时间、单位体积损失的热量。 cA取体积元：取体积元： xAVcdd 两侧对流：两侧对流： )(d)(d2 ttxhPttxhltAhs 单位体积：单位体积： csAttPhV)(d 式中，式中， 对流周长，对流周长， 导热面积导热面积 PcAcAtthPxt )(dd22 0,0ttx 0dd, xtHx引入：引入： 过余温度过余温度 3. 3. 分析求解分析求解 tt 常量常量 cAhPm 222ddmx ,0 x0dd, xHx 通解：通解： mxmxecec 21 特解：（代入边界条件）特解：（代入边界条件） mHHxmc

22、hch0 00 tt mHHxmchch0 肋片温度分布：肋片温度分布： 双曲函数：双曲函数： 讨论讨论1：肋顶处：肋顶处 ， ； Hx 10ch 肋顶温度肋顶温度 mHHch0 讨论讨论2：肋根处：肋根处 ，0 x肋片散热量肋片散热量000dddd xcxcxxAxtA mHmhPxth00 2shxxeex 2chxxeex xxxchshth 总散热量总散热量4. 4. 解的应用解的应用P P6161例题例题2-62-6 压气机设备的储气筒里的空气温度计用一支插入装油的压气机设备的储气筒里的空气温度计用一支插入装油的铁套管中的玻璃水银温度计来测量，如图所示。已知温度计的读数铁套管中的玻璃

23、水银温度计来测量，如图所示。已知温度计的读数为为100oC，储气筒与温度计套管连接处的温度为，储气筒与温度计套管连接处的温度为t0=50oC，套管高，套管高H=140mm、壁厚、壁厚=1mm、管材导热系数、管材导热系数=58.2W/(mK)，套管外表，套管外表面的表面传热系数面的表面传热系数h=29.1W/(m2K)。试分析。试分析（1）温度计的读数能否）温度计的读数能否准确地代表被测地点处的空气温度？（准确地代表被测地点处的空气温度？（2）如果不能分析其误差有多）如果不能分析其误差有多大？大？解解：热量传递有三种方式：热量传递有三种方式： 套管顶部向根部导热套管顶部向根部导热散热；散热； 套

24、管外表面与储气筒的辐射传热套管外表面与储气筒的辐射传热散热；散热； 套管外表面与压缩空气的对流传热套管外表面与压缩空气的对流传热吸热；吸热；稳态时：温度恒定，散热稳态时：温度恒定，散热= =吸热。吸热。测量误差：套管与压缩空气存在传热，两者有温差。测量误差：套管与压缩空气存在传热，两者有温差。 t套管因导热缘故，温度在套管高度方向上有变化，套管因导热缘故，温度在套管高度方向上有变化，因对称性，在套管截面上，可以认为温度相同，因对称性，在套管截面上，可以认为温度相同，所以，套管可看成等截面直肋：所以，套管可看成等截面直肋：肋高肋高 ，H导热截面导热截面 ， dAc对流换热周长对流换热周长dP t肋顶温度肋顶温度 mHHch0 过余温度过余温度fttHH f00tt ， mHttttHchf0f 1chch0f mHtmHttH13. 3 HhHAhPmHc 5 .1113. 3chch mH C7 .104113. 3ch13. 3cho0f tttHC7 . 4of ttH t讨论：如何减少测温误差？讨论：如何减少测温误差？ftHt0t t1R2R3R措施：减小措施：减小 ，增大，增大 、