第4章 根轨迹

1、1第第4章章 根轨迹分析法根轨迹分析法l 4.1 根轨迹的基本概念l4.2 绘制根轨迹的方法l4.3 参量根轨迹l4.4 零度根轨迹l4.5 用根轨迹分析系统性能l4.6 MATLAB用于根轨迹分析24.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹4.1.2 根轨迹方程34.1.1 根轨迹根轨迹 设系统的结构如图所示。其中，为零、极点形式下开环传递函数的放大系数，也称为根轨迹增益。系统的闭环传递函数为闭环特征方程式为特征根为rrKssKsRsC2)()(2220rssKrKs112 . 14 1）时，系统有两个不相等的实数根，呈过阻尼状态。结合关于高阶系统的分析一节，可得出以下几点：

2、结合关于高阶系统的分析一节，可得出以下几点： 2）当时，特征根为两个相等的实数根，系统呈临界阻尼状态。 3）值时，特征根为两个复数根，系统呈欠阻尼状态，即输出呈衰减振荡形式。特征根的实部为衰减系数，虚部为振荡频率。54.1.2 根轨迹方程根轨迹方程设系统的结构如图所示。系统的闭环传递函数为开环传递函数的一般表达式为 式中，为开环传递函数的零点，为开环传递函数的极点，为根轨迹增益。系统的闭环特征方程式为)()(1)()()(sHsGsGsRsCnjjmiirpszsKsHsG11)()()()(0)()(1sHsG1)()(sHsG即 6定义根轨迹方程为 因为复变量，根轨迹方程又可分解为幅值方程

3、和相角方程。相角方程为相角方程为1)()(11njjmiirpszsK幅值方程为幅值方程为 1)()(11njjmiirpszsK或 rnjjmiiKpszs1)()(1111()()(21)(0,1,2)mnijijszspkk 7 可见，幅值方程与根轨迹增益可见，幅值方程与根轨迹增益KrKr有关，而相角有关，而相角方程却方程却KrKr与无关。所以，当与无关。所以，当s s平面上的某个点满足平面上的某个点满足相角方程时，则该点必在根轨迹上。而该点的对应相角方程时，则该点必在根轨迹上。而该点的对应的的KrKr值，可以通过幅值方程求出。值，可以通过幅值方程求出。 因此，因此，相角方程是确定相角方

4、程是确定s s平面上的某个点是否平面上的某个点是否在根轨迹上在根轨迹上的必要条件，所有满足相角方程的的必要条件，所有满足相角方程的s s就就构成了闭环特征方程式根的轨迹。这样，无需对特构成了闭环特征方程式根的轨迹。这样，无需对特征方程式求解，只要寻找满足相角方程的征方程式求解，只要寻找满足相角方程的s s，便可，便可得到系统的闭环根轨迹。得到系统的闭环根轨迹。84.2 绘制根轨迹的方法绘制根轨迹的方法l4.2.1 绘制根轨迹的基本规则l4.2.2 根轨迹绘制举例91. 根轨迹的对称性和分支数根轨迹的对称性和分支数4.2.1 绘制根轨迹的基本规则 闭环特征根如果是实数根，闭环特征根如果是实数根，

5、则分布在平面的实轴上；如果则分布在平面的实轴上；如果是复数根，则成对出现，实部相是复数根，则成对出现，实部相等，虚部大小相等符号相反，如等，虚部大小相等符号相反，如图所示。因此，形成的根轨迹必图所示。因此，形成的根轨迹必定对称于实轴。定对称于实轴。 当取某一数值时，阶特征方程式有个确定的根。当取某一数值时，阶特征方程式有个确定的根。当当变化时，每一个根由始点连续地向其终点移变化时，每一个根由始点连续地向其终点移动，形成一条根轨迹，个根也就形成条根轨迹。动，形成一条根轨迹，个根也就形成条根轨迹。根轨迹对称于实轴，其分支数等于开环根轨迹对称于实轴，其分支数等于开环极点数极点数n n和开环零点数和开

6、环零点数m m中的最大数。中的最大数。 102. 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点考虑到根轨迹起始处考虑到根轨迹起始处Kr，故根轨迹幅值方程为，故根轨迹幅值方程为 而根轨迹终点处而根轨迹终点处Kr r,有有m条根轨迹终条根轨迹终止于开环传递止于开环传递函数的零点，函数的零点，n-m条终止于条终止于无穷远。无穷远。 根轨迹起始于开环传递函数的极点，根轨迹起始于开环传递函数的极点，终止于开环传递函数的零点或无穷远。终止于开环传递函数的零点或无穷远。 11()1()miinrjjszKsp 使等式成立的条件是 jps 11例例- - 已知系统的开环传递函数为 试确定系统的根轨迹图。 解 : 系统

7、的开环零、极点为 p1=0, p2=-1, p3=-2，z1= -1+ j, z2= -1- j，根轨迹如图-所示。 图中，“”表示开环传递函数的极点，“”表示开环传递函数的零点。系统的三条根轨迹起始于三个开环传递函数的极点，其中两条根轨迹终止于开环传递函数的两个零点，另一条趋于无穷远。)2)(1()22()()(2sssssKsHsGr123. 实轴上的根轨迹段实轴上的根轨迹段实轴上根轨迹段右侧的开环零、极点个数之和为奇数。设系统的开环零、极点分布如图所示。 在实轴上p1与p2之间任取一点s1，s1与开环零、极点的矢量如图-中的箭头线所示。s1对应的相角为 4121)()(jjiipszs1

8、2123412180 满足相角相角方程，即该区段是根轨迹段。13例例4-2 已知系统的开环传递函数为试画出该系统的根轨迹图。)1()1()()(TsssKsHsGr图4-7 T时的根轨迹 图4-8 T时的根轨迹144. 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线趋于无穷远的根轨迹的渐近线由下式确定：渐近线与实轴的夹角渐近线与实轴的交点例例4-3 4-3 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹图(21)0,1,2,3.kknmmnzpmiinjj11)2)(1()()(sssKsHsGr155. 根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点和会合点设系统的开环传递函数为闭环特征方程为根据重

9、根的条件，必须同时满足以下两式则整理后，得分离会合点的必要条件式为)()()()(sAsBKsHsGr0)()(sAsBKr0)()(sAsBKr( )( )0rK B sA s)()(sBsAKr)()()()(sBsAsBsA只有位于根轨迹上的重根只有位于根轨迹上的重根才是分离点或会才是分离点或会合点合点16例例4-4 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为绘制系统的根轨迹图。绘制系统的根轨迹图。解 (1) 开环零、极点为p1=-1，p2=-2，z1=-3。(2) 实轴上的根轨迹段为p1p2段和z1-段。(3) n-m=1，故有一条根轨迹趋于无穷远。渐近线与实轴的夹角为(4) 分

10、离点和会合点为s1为根轨迹的分离点，s2为根轨迹的会合点。) 2)(1() 3()()(sssKsHsGr(21)1801k )()()()(sBsAsBsA) 3)(32()23(2ssss解方程得 121.6,4.4ss 176. 根轨迹的出射角和入射角出射角:为根轨迹在复数起点处的切线与正实轴的夹角。 设系统的开环零、极点分布如图所示，有零、极点z1,p1，p2，p3，p4。411111) 12()()(jjiikpszs 设p3的出射角为3，如图所示。假设s1为根轨迹上的一点，则s1应满足相角方程由此可推得出射角的一般表达式1111()()mnmnlliljijijijj lj lpz

11、pp 18入射角的一般表达式为例4-6 已知系统的开环传递函数为入射角:为根轨迹在复数终点处的切线与正实轴的夹角。1111()()mnmnlliljijijiji li lzzzp 试绘制系统的根轨迹图。)5 . 1)(5 . 2()54)(5 . 1()()(22sssssssKsHsGr197. 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴的交点是系统稳定与不稳定的分界点，常常需要求得这一交点和相应的Kr值。例4-7 已知系统的开环传递函数为绘制系统的根轨迹图。设与虚轴相交的闭环极点为=j，代入闭环特征方程得：解方程即可求得，0)()(1jHjG)22)(3()2()()(2ssss

12、sKsHsGr208. 开环极点与闭环极点的关系开环极点与闭环极点的关系 在一定条件下，开环极点与闭环极点间有着固定的关系，可利用这种关系来判别闭环特征根在平面上的走向，并为确定闭环极点带来方便。根据代数方程的根与系数间的关系，次高项系数 设阶系统闭环特征方程可表示为miirnjjzsKps11)()(nnnnnasasasas12211)()(121nnssssssssnjjsa11如果满足条件n-m2 ，则 njnjjjps11214.2.2 根轨迹绘制举例例例4-84-8 已知系统的开环传递函数为 绘制系统的根轨迹图。 )208()()(2sssKsHsGr解解 （1）开环极点为p1=0

13、,p2=-4+j2,p3=-4-j2,n=3,m = 0 （2）实轴上的根轨迹段 p1 - （3）根轨迹的渐近线 (21)60 ,1803k 67. 2344（4）根轨迹的出射角 2112mnijijj 153.49063.4 4 .63322（5）根轨迹与虚轴的交点 系统闭环特征方程为 020823rKsss将js 带入上式得 328200rjjK160rK47. 43 . 2 （6）根轨迹的分离点和会合点 )()()()(sBsAsBsA解得 由 得 12,s 33. 32s 系统的根轨迹图如图. j3p1p2pj2-j4-2-4-j20201632ss解得 234.3 参量根轨迹参量根轨

14、迹设系统根轨迹方程为1)()(sHsG( )10( )K P sQ s1)()(sQsPK( )( )( )( )K P sG s H sQ s 或 为等效开环传递函数。经整理可变换为称 根据前述绘制根轨迹的规则，由等效开环传递函数的极点和零点的分布情况就可绘制参量K=0的参量根轨迹图。 参量根轨迹以非（如开环零点、极点、时间常数等）为参变量绘制的根轨迹。24例例4-104-10 设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为试绘制系统变化时的根轨迹图。整理得：) 14)(1(1)()(ssKssHsG解解 系统的特征方程式为 01) 14)(1(ssKs22(41)1041K ssss 等效开

15、环传递函数为2222(41)(0.25)( )( )410.250.25K ssK ssG s H sssss 25（）开环零、极点为（）实轴上的根轨迹段为z3-段。（）根轨迹的出射角和入射角（）根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为由根轨迹绘制规则作该系统的根轨迹图： 48.142114.484,3K 433. 03,.2 264.4 零度根轨迹零度根轨迹正反馈系统的闭环特征方程为 1- G(s) H(s) = 0 根轨迹方程为 G(s) H(s) = 1 其幅值方程与负反馈系统相同，而相角方程则为11()()2(0,1,2.)mnijijszspkk 因为相角条件常规根轨迹的不同为 ，故称之

16、为零度根轨迹。k2027）实轴上根轨迹区段右侧的开环零、极点数目之和为偶数。）根轨迹的渐近线与实轴的夹角为）根轨迹的出射角和入射角的计算公式为 在绘制根零度根轨迹的规则中，不同于负反馈系统的有以下几点：2(0,1,2,.)kknm)()(11nljjjlmiillppzp)()(11njjlmliiillpzzz28例4-11 已知单位负反馈系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹图。解 将开环传递函数改写成零、极点形式，式中 除具有正反馈结构的系统之外，有些非最小相位系统虽是负反馈结构，但其开环传递函数的分子或分母多项式中， 的最高次幂的系数为负，因而系统具有正反馈性质。因而要用绘制零度根轨迹

17、的规则来作根轨迹图。) 1()5 . 01 ()()(1sssKsHsG10.5(2)(2)( )( )(1)(1)rK sKsG s H ss ss s15 . 0 KKr 满足零度根轨迹绘制条件。 29图4-19 例4-11根轨迹 304.5 用根轨迹法分析系统性能用根轨迹法分析系统性能l4.5.1 已知根轨迹增益确定闭环极点l4.5.2 已知系统的性能指标，确定闭环极 点和l4.5.3 增加开环零、极点对系统性能的影响314.5.1 已知根轨迹增益已知根轨迹增益Kr确定闭环极点确定闭环极点 闭环系统的性能由闭环传递函数的零、极点来决定，系闭环系统的性能由闭环传递函数的零、极点来决定，系统

18、的闭环极点可通过根轨迹图来确定，而闭环零点为前向通统的闭环极点可通过根轨迹图来确定，而闭环零点为前向通道传递函数道传递函数G(S)的零点和反馈通道传递函数的零点和反馈通道传递函数H(s)的极点组成。的极点组成。 由控制系统的根轨迹图可以确定根轨迹增益与控制系统由控制系统的根轨迹图可以确定根轨迹增益与控制系统的性能的关系。的性能的关系。（1 1） 稳定性及稳定条件稳定性及稳定条件 由根轨迹图可以确定根轨迹都由根轨迹图可以确定根轨迹都位于位于s s左平面时增益左平面时增益Kr的取值范围。的取值范围。（2 2）运动形式运动形式 由根轨迹图可以确定系统响应为单调变由根轨迹图可以确定系统响应为单调变化或

19、衰减振荡形式时的化或衰减振荡形式时的Kr数值范围。数值范围。（3 3）暂态性能指标暂态性能指标 可由根轨迹确定的主导极点来估算。可由根轨迹确定的主导极点来估算。 32例-12 已知系统的开环传递函数为( )( )(1)(2)rKG s H ss ss试采用根轨迹法分析： （1）系统稳定性时Kr的取值范围。（2）系统响应为衰减振荡形式时Kr的取值范围。（3）试估算时系统的超调量和调整时间。 解解 绘制系统根轨迹如图，由图知： （1）系统稳定性时：0 Kr 6（2）系统响应为衰减振荡形式时: （3）试估算时系统的超调量和调整时间。 0.3586rK33 （3）因Kr=1处于0.358Kr6范围，所

20、以系统的闭环极点为一个实数极点和一对复数极点。根据幅值方程求出负实轴试验点对应Kr的值，最终可找到Kr=1时系统的闭环极点: 然后，根据闭环特征方程和长除法，可求得另两个极点是一对主导极点。所以系统的闭环传递函数为 2210.43( )(2.325)(0.6750.43)0.6750.43ssssss则 0.656,n0.514 所以系统的超调量和调整时间为 15.2%,8.911.9psts325. 23s1,20.3380.56sj 344.5.2 已知系统的性能指标，确定闭环极点和已知系统的性能指标，确定闭环极点和 采用根轨迹法分析系统的性能，有时也需要根据对系统采用根轨迹法分析系统的性

21、能，有时也需要根据对系统的性能指标要求，确定闭环极点的位置和对应的的性能指标要求，确定闭环极点的位置和对应的Kr值，使得值，使得系统的性能满足要求。系统的性能满足要求。例例4-134-13 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 根据性能指标要求，根据性能指标要求，=0.5=0.5，试确定满足条件的闭环极，试确定满足条件的闭环极点和对应的点和对应的Kr。( )( )(1)(2)rKG s H ss ss解解 系统的根轨迹图如图所示。系统的根轨迹图如图所示。 1cos60 在根轨迹图上作在根轨迹图上作60600 0的射线。从图的射线。从图上可确定该线和根轨迹的交点坐标：上可确定该线和根轨迹的交点坐标：58. 033. 02.,1js353312130.33 22.34jjspss 333122.34 1.34 0.341.066rKsss2258. 0)33. 0()34. 2(066. 1)(sss则有 故系统的闭环传递函数为 364.5.3 增加开环零、极点对系统性能的影响.增加开环零点) 1()()(ssKsHsGr) 1()2()()(sssKsHsGr37 增加开环零点后，使根轨迹向左弯曲，最后趋于开环零点和负无穷远，系统的相对稳定性提高。选择合适的Kr值，既可使闭环极点离虚轴有一