高三一轮复习精题组函数的奇偶性与周期性有详细答案

1、高考资源网（ ），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 高考资源网（ ），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 2.3函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数,关于y轴对称奇函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数,关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2

2、)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数f(x)0，x(0，)既是奇函数又是偶函数()(2)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(3)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称()(4)若函数f(x)eq f(x,x2xa)为奇函数，则a2.()(5)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()(6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x2)f(x)，则f(2 014)0

3、.()2(2013山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2eq f(1,x)，则f(1)等于()A2 B0 C1 D2答案A解析f(1)f(1)(11)2.3已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()Aeq f(1,3) B.eq f(1,3) C.eq f(1,2) Deq f(1,2)答案B解析依题意b0，且2a(a1)，aeq f(1,3)，则abeq f(1,3).4已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(2 015)等于()A2 B2 C98 D98答案A解析f(x4)f(x)，f(x)

4、是以4为周期的周期函数，f(2 015)f(50343)f(3)f(1)又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2122，即f(2 015)2.5设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0，)时，f(x)lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是_答案(1,0)(1，)解析画草图，由f(x)为奇函数知：f(x)0的x的取值范围为(1,0)(1，).题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)eq r(9x2)eq r(x29)；(2)f(x)(x1) eq r(f(1x,1x)；(3)f(x)eq f(r(4x2),|x3|3).思维启迪确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义

5、域是否关于原点对称若对称，再验证f(x)f(x)或其等价形式f(x)f(x)0是否成立解(1)由eq blcrc (avs4alco1(9x20,x290)，得x3.f(x)的定义域为3,3，关于原点对称又f(3)f(3)0，f(3)f(3)0.即f(x)f(x)f(x)既是奇函数，又是偶函数(2)由eq blcrc (avs4alco1(f(1x,1x)0,1x0)，得10,0 x0,x22x0,|x2|20)，得定义域为(1,0)(0,1)，f(x)eq f(lg1x2,x22)eq f(lg1x2,x).f(x)eq f(lg1x2,x)eq f(lg1x2,x)f(x)f(x)为奇函数

6、(2)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(0)0，也满足f(x)f(x)故该函数为奇函数题型二函数周期性的应用例2(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 015)等于()A335 B336 C1 678 D2 012(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x2)eq f(1,fx)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_.思维启迪(1)f(x)的周期性已知，可以通过一个

7、周期内函数值的变化情况求和(2)通过题意先确定函数的周期性答案(1)B(2)2.5解析(1)利用函数的周期性和函数值的求法求解f(x6)f(x)，T6.当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(6)f(7)f(8)f(12)f(2 005)f(2 006)f(2 010)1，f(1)f(2)f(2 010)1eq f(2 010,6)335.而f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)f(1)

8、f(2)f(3)f(4)f(5)121011.f(1)f(2)f(2 015)3351336.(2)由已知，可得f(x4)f(x2)2eq f(1,fx2)eq f(1,f(1,fx)f(x)故函数的周期为4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5)22.53，由题意，得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.思维升华(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值(2)求函数周期的方法(1)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)等于()A1 B1 C2 D2(2)

9、设f(x)是周期为2的奇函数，当0 x1时，f(x)2x(1x)，则feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)等于()Aeq f(1,2) Beq f(1,4) C.eq f(1,4) D.eq f(1,2)答案(1)A(2)A解析(1)由f(x)是R上周期为5的奇函数知f(3)f(2)f(2)2，f(4)f(1)f(1)1，f(3)f(4)1，故选A.(2)f(x)是周期为2的奇函数，feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)feq blc(rc)(

10、avs4alco1(f(1,2)2eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq f(1,2).题型三函数性质的综合应用例3设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0 x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(，)内函数f(x)的单调区间思维启迪可以先确定函数的周期性，求f()；然后根据函数图象的对称性、周期性画出函数图象，求图形面积、写单调区间解(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，f()f(14)f(4)f(4

11、)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得：f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0 x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB4eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)21)4.(3)函数f(x)的单调递增区间为4k1,4k1 (kZ)，单调递减区间为4k1,4k3 (kZ)思维升华关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化

12、思想(1)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)的x的取值范围是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(2,3) B.eq blcrc)(avs4alco1(f(1,3)，f(2,3)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(2,3) D.eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，f(2,3)(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11

13、)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)答案(1)A(2)D解析(1)偶函数满足f(x)f(|x|)，根据这个结论，有f(2x1)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(|2x1|)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，进而转化为不等式|2x1|eq f(1,3)，解这个不等式即得x的取值范围是eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(2,3).(2)由函数f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是增函数可以推知，f(x)在2,2上递增，又f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(25)f(

14、1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(80)f(0)，故f(25)f(80)f(11)忽视定义域致误典例：(10分)(1)若函数f(x)eq f(k2x,1k2x)在定义域上为奇函数，则实数k_.(2)已知函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x21，x0，,1，xf(2x)的x的取值范围是_易错分析(1)解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)0得k1.(2)本题易出现以下错误由f(1x2)f(2x)得1x22x，忽视了1x20导致解答失误解析(1)f(x)eq f(k2x,1k2x)eq f(k2x1,2xk)，f(x)f(x)eq f(k2x2xkk2

15、x11k2x,1k2x2xk)eq f(k2122x1,1k2x2xk).由f(x)f(x)0可得k21，k1.(2) 画出f(x)eq blcrc (avs4alco1(x21，x0，,1，xf(2x)，则eq blcrc (avs4alco1(1x20，,1x22x，)即eq blcrc (avs4alco1(1x1，,1r(2)x1r(2)，)得x(1，eq r(2)1)答案(1)1(2)(1，eq r(2)1)温馨提醒(1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：抓住对变量所在区间的讨论保证各段上同增(减)时，要注意左、右段

16、端点值间的大小关系弄清最终结果取并还是交方法与技巧1正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式2奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性3若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(xa)f(x)或f(xa)eq f(1,fx)或f(xa)eq f(1,fx)(a是常数且a0)，则f(x)是一个周期为2a的周期函数失误与防范1判断函数的奇偶性，首先应该

17、判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(x)f(x)，而不能说存在x0使f(x0)f(x0)对于偶函数的判断以此类推3分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.A组专项基础训练一、选择题1(2013广东)定义域为R的四个函数yx3，y2x，yx21，y2sin x中，奇函数的个数是()A4 B3 C2 D1答案C解析由奇函数的定义可知yx3，y2sin x为奇函数2设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)

18、2x2x，则f(1)等于()A3 B1 C1 D3答案A解析f(x)是奇函数，当x0时，f(x)2x2x，f(1)f(1)2(1)2(1)3.3定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x20，)(x1x2)，有eq f(fx2fx1,x2x1)0，则()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)21，f(3)f(2)f(1)，即f(3)f(2)0，且a1)若g(2)a，则f(2)等于()A2 B.eq f(15,4) C.eq f(17,4) Da2答案B解析f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(2)f(2)，g(2)g(2)a，f(

19、2)g(2)a2a22，f(2)g(2)g(2)f(2)a2a22，由、联立，g(2)a2，f(2)a2a2eq f(15,4).二、填空题6函数f(x)在R上为奇函数，且x0时，f(x)eq r(x)1，则当x0时，f(x)eq r(x)1，当x0，f(x)f(x)(eq r(x)1)，即x0时，f(x)(eq r(x)1)eq r(x)1.7若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.答案0解析函数f(x)x2|xa|为偶函数，f(x)f(x)，即(x)2|xa|x2|xa|，|xa|xa|，a0.8已知函数f(x)满足：f(1)eq f(1,4)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy

20、)(x，yR)，则f(2 015)_.答案eq f(1,4)解析方法一令x1，y0时，4f(1)f(0)f(1)f(1)，解得f(0)eq f(1,2)，令x1，y1时，4f(1)f(1)f(2)f(0)，解得f(2)eq f(1,4)，令x2，y1时，4f(2)f(1)f(3)f(1)，解得f(3)eq f(1,2)，依次求得f(4)eq f(1,4)，f(5)eq f(1,4)，f(6)eq f(1,2)，f(7)eq f(1,4)，f(8)eq f(1,4)，f(9)eq f(1,2)，可知f(x)是以6为周期的函数，f(2 015)f(33565)f(5)eq f(1,4).方法二f(

21、1)eq f(1,4)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)，构造符合题意的函数f(x)eq f(1,2)cos eq f(,3)x，f(2 015)eq f(1,2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)2 015)eq f(1,4).三、解答题9已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x1对称(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)eq r(x) (00，,0，x0，,x2mx，x0)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(

22、x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x1，,a21，)所以1a3，故实数a的取值范围是(1,3B组专项能力提升1已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)f(x1)，则f(2 013)f(2 015)的值为()A1 B1 C0 D无法计算答案C解析由题意，得g(x)f(x1)，又f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期为4，f(2 013)f(1)，f(2 015)f(3)f(1)，又f(1)f(1)g(0)0，f(2 013)

23、f(2 015)0.2设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T3，若f(1)1，f(2)eq f(2a3,a1)，则a的取值范围是()Aa1或aeq f(2,3) Ba1C1aeq f(2,3) Daeq f(2,3)答案C解析函数f(x)为奇函数，则f(1)f(1)由f(1)f(1)1，得f(1)1；函数的最小正周期T3，则f(1)f(2)，由eq f(2a3,a1)1，解得1aeq f(2,3).3设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)2x，则有2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是_答案解析在f(x1)f(x1)中，令x1t，则有f(t2)f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故正确；当x0,1时，f(x)2x是增函数，则f(x)在1,0上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故