第二章运动的守恒量和守恒定律

1、Chap2（ 1 ）2-1 质点系的内力和外力质点系的内力和外力 质心质心一一质心质心1. 质心的定义质心的定义（C点为该体系的质量中心，简称质心）点为该体系的质量中心，简称质心）i ii iim rm rmm 1 12 212i in ncnm rm rm rm rrmmm 1m2mimxyzir 2r 1r om2. 质心的计算质心的计算 ;iicm xxm ;iicm yym iicm zzm Chap2（ 2 ）2-2 动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律一一动量定理动量定理2121ttIFdtpmvmv 1）冲量是）冲量是矢量矢量；是力对时间的累积量，是；是力对时间的累积量，是

2、过程量过程量；2）动量定理是矢量方程，可分解为相应的标量方程：）动量定理是矢量方程，可分解为相应的标量方程：2212112121txxxxxttttyyyyytIF dtpmvmvIFdtpIF dtpmvmv 3）动量定理适合于分析碰撞、冲击这一类作用时间短，作用力）动量定理适合于分析碰撞、冲击这一类作用时间短，作用力 变化剧烈的问题。可引入平均冲力的概念；变化剧烈的问题。可引入平均冲力的概念；212121()ttIFdtF ttmvmv 2121mvmvFtt Chap2（ 3 ）例例2-1（P60）质量）质量M=0.3t的重锤，从高度的重锤，从高度h=1.5m处自由落到受锻压处自由落到受

3、锻压的工件上，工件发生形变。若作用的时间的工件上，工件发生形变。若作用的时间t1=0.1s，t2=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。试求锤对工件的平均冲力。hN Mg 解法一：解法一：以重锤为研究对象，以重锤为研究对象，由动量定理得：由动量定理得：0()0()NMg tMv 2Mgh 2NMgMgh/ tF 取竖直向上为正。取竖直向上为正。解法二解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过程考虑从锤自由下落到静止的整个过程重力作用时间为重力作用时间为: :2th g 平均支持力的作用时间为平均支持力的作用时间为: : t根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，即根据动量定理，整个过程合外力的冲量

4、为零，即(2)0NtMg th g 2NMg Mgh/ t 41119 10FN.N 52217 10FN.N = 工件对锤的平均支持力工件对锤的平均支持力工件工件锤锤Chap2（ 4 ）二二动量守恒定律动量守恒定律1. 质点系的动量定理质点系的动量定理iidpdFFpdtdt 2121 tiiiiitIFdtm vm v 质点系动量定理的微商形式质点系动量定理的微商形式 质点系动量定理质点系动量定理1）条件）条件:0iF （不能是（不能是 ）2. 动量守恒定律动量守恒定律0I 或外力可以忽略或外力可以忽略2）若合外力不为零，系统动量不守恒，但如在某一方向上的）若合外力不为零，系统动量不守恒，

5、但如在某一方向上的分量为零，则系统动量在此方向上守恒。分量为零，则系统动量在此方向上守恒。例：当例：当0 xixxi ixFFpmv 时，时，常量常量Chap2（ 5 ）解解: : 炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故在爆炸中在爆炸中，可认为，可认为动量守恒。设速率为动量守恒。设速率为v2的碎块与水平方向的夹角为的碎块与水平方向的夹角为； 例例2-2 （二（二/计计3） 一炮弹以速率一炮弹以速率v0 和仰角和仰角0 发射，到达弹道的最高发射，到达弹道的最高点时炸为质量相等的两块，其中一块以速率点时炸为质量相等的两块，其中一块以速率v1 垂直下落，求另

6、一块垂直下落，求另一块的速率的速率v2 及速度与水平方向的夹角（忽略空气阻力）。及速度与水平方向的夹角（忽略空气阻力）。解得解得002: coscos2mxmvv 21: sin202mmyvv 22221004cos ;vvv 1100tan2cosvv xy0 0v2v1v 对炮弹在最高点爆炸前后用动量守恒定律，可知：对炮弹在最高点爆炸前后用动量守恒定律，可知：Chap2（ 6 ）2-3 功功 动能动能 动能定理动能定理一一功功元功：元功：dAF dr babaAF dr 1. 功的概念功的概念3）功率：力在单位时间内做的功）功率：力在单位时间内做的功dAPdt F drdt F v 1）

7、功是过程量、代数量。）功是过程量、代数量。 2）合外力的功）合外力的功=外力的功之和：外力的功之和：bbiiiaaAF drF drA 讨讨 论论Chap2（ 7 ）1）恒力在曲线运动中的功）恒力在曲线运动中的功r bbabaaAF drFdr 2）变力在直线运动中的功）变力在直线运动中的功bbabxaaAF dxiF dx 只有在直线方向上的分力做功只有在直线方向上的分力做功（假设在（假设在 x 方向）方向）3）变力在曲线运动中的功）变力在曲线运动中的功bbabxyzaaAF drF dxF dyF dz 若已知轨道若已知轨道bbabttaaAF dSeF dS 切向分力的做功切向分力的做功

8、F abFr Chap2（ 8 ） 能量能量是反映各种运动形式共性的物理量，各种运动形式的是反映各种运动形式共性的物理量，各种运动形式的相互转化用能量来量度。各种运动形式的相互转化遵循能量的相互转化用能量来量度。各种运动形式的相互转化遵循能量的转换和守恒定律。转换和守恒定律。二二能量能量三三动能定理动能定理221122abbakbkakAmvmvEEE 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量合外力对质点所做的功等于质点动能的增量b.力为合外力力为合外力a.相关量要相对同一惯性系相关量要相对同一惯性系适用条件适用条件Chap2（ 9 ）例例2-3 （二（二/计计2）一根特殊弹簧，在伸长一根特殊弹

9、簧，在伸长x米时，其弹力为米时，其弹力为(4x+6x2)牛顿。将牛顿。将弹簧的一端固定，弹簧的一端固定， （1）把弹簧从）把弹簧从x=0.50米拉长到米拉长到x=1.00米，试求外力克服米，试求外力克服弹簧力所作的功；（弹簧力所作的功；（2）在弹簧另一端拴一质量为）在弹簧另一端拴一质量为2千克的静止物体，物体千克的静止物体，物体置于水平光滑桌面上，试求弹簧从置于水平光滑桌面上，试求弹簧从x=1.00米回到米回到x=0.50米时物米时物体的速率。体的速率。 解：解：(1) baAFdx 120.5(46)3.25( )xxdxJ (2) 在此过程中弹力作的功为在此过程中弹力作的功为3.25J，根

10、据动能定理，根据动能定理 2102Amv 223.251.80(/ )2Avm sm Chap2（ 10 ）2-4 保守力保守力 势能势能一一几种力的功几种力的功重力做功重力做功弹性力做功弹性力做功 abbaAmghmgh 221122abbaAkxkx摩擦力的功摩擦力的功bbabaaAf drfdS Chap2（ 11 ）二二保守力与非保守力保守力与非保守力FabLL 若某种力具有若某种力具有“做功的路径无关性做功的路径无关性”，即：，即：( )()bba La LF drF dr 则称这种力为则称这种力为保守力保守力。重力、弹性力皆为保守力。重力、弹性力皆为保守力。( )()()bbaa

11、La Lb LF drF drF dr 故对保守力，有：故对保守力，有： 摩擦力这一类型的力不具备做功的路径无关性，摩擦力这一类型的力不具备做功的路径无关性，不满足上述特征方程，则为不满足上述特征方程，则为非保守力非保守力。0F dr Chap2（ 12 ）()babpapbpaF drEEAE 三三势能势能 （Ep）1）只有对保守力，才能引入相应的势能。只有对保守力，才能引入相应的势能。3）Ep 的值是相对的，只有的值是相对的，只有Ep 是绝对的是绝对的。 必须先取势能零点必须先取势能零点。重力势能：重力势能：pEmgh 弹性势能：弹性势能：212pEkx 令令 h=0 时时 Ep=0 ，则

12、，则令令 x=0 时时 Ep=0 ，则，则4）势能是属于相互间有保守力作用的物体系统的。）势能是属于相互间有保守力作用的物体系统的。2）与与Ek 一样，一样， Ep 也是状态量，是位置状态的单值函数。也是状态量，是位置状态的单值函数。Chap2（ 13 ）2-5 质点系的功能原理质点系的功能原理机械能守恒定律机械能守恒定律一一质点系的动能定理质点系的动能定理eikAAE 二二质点系的功能原理质点系的功能原理eidkpAAEEE 当取质点系作为研究对象时，由于应用了系统这个概念，关当取质点系作为研究对象时，由于应用了系统这个概念，关于保守内力所做的功，已为系统势能的变化所代替，因此在演算于保守内

13、力所做的功，已为系统势能的变化所代替，因此在演算问题时，如果计算了保守内力所做的功，就不必再去考虑势能的问题时，如果计算了保守内力所做的功，就不必再去考虑势能的变化；反之，考虑了势能的变化，就不必再计算保守内力的功。变化；反之，考虑了势能的变化，就不必再计算保守内力的功。Chap2（ 14 ）例例2-4（P85） 一个质量一个质量m =2kg的物体从静止开始，沿四分之一的圆的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从周从A滑到滑到B。已知圆的半径。已知圆的半径 R =4m，设物体在，设物体在B处的速度处的速度v =6m/s，求在下滑过程中摩擦力所作的功。求在下滑过程中摩擦力所作的功。AMRmBOv分析

14、：把物体和地球（圆周）看作系统，分析：把物体和地球（圆周）看作系统，该系统无外力的功，物体在下滑过程中正该系统无外力的功，物体在下滑过程中正压力不做功；摩擦力是变力，属非保守内压力不做功；摩擦力是变力，属非保守内力；而重力属保守内力。力；而重力属保守内力。解：把物体和地球作为系统，取解：把物体和地球作为系统，取B点点处重力势能为处重力势能为0，由功能原理：，由功能原理：2142 42fBAKBPAAEEEEmvmgR. J （负号表示摩擦力对物体作负功）（负号表示摩擦力对物体作负功）GfN或由质点的动能定理：或由质点的动能定理：fGKBKAAAEE 2102fAmgRmv 即：即：2142 4

15、2fAmvmgR. J Chap2（ 15 ）三三机械能守恒定律机械能守恒定律 如果一个系统内只有保守内力做功（如果一个系统内只有保守内力做功（ Ae =0，Aid =0），则系，则系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能的总值保持不统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能的总值保持不变（变（E=常量）。这一结论称为常量）。这一结论称为机械能守恒定律机械能守恒定律。eidkpAAEEE 质点系的功能原理：质点系的功能原理：注意：注意：Ae =0 表示系统内外无能量交换。表示系统内外无能量交换。Aid =0 表示系统内没有机械能与非机械能的转换。表示系统内没有机械能与非机械能的转换。A

16、ic 0 是可以的，仅是系统内动能与势能的转换。是可以的，仅是系统内动能与势能的转换。Chap2（ 16 ）2-6 碰碰 撞撞（对心碰撞）（对心碰撞）10v20v1v2v碰撞定律：碰撞定律： 恢复系数恢复系数e =0 , , 碰撞后两球以同一速度运动，不分开，称为碰撞后两球以同一速度运动，不分开，称为完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞。e =1 , , 分离速度等于接近速度，称为分离速度等于接近速度，称为完全弹性碰撞完全弹性碰撞。 , , 机械能有损失的碰撞叫做机械能有损失的碰撞叫做非弹性碰撞非弹性碰撞。01e 211020vvevv Chap2（ 17 ）例例2-5( (二二/计计5 ) )如图所示，一轻质弹簧劲度系数为如图所示，一轻质弹簧劲度系数为k，两端各固定一质量均为，两端各固定一质量均为M的物块的物块A和和B，放在水平光滑桌面上静止。今有一质量为，放在水平光滑桌面上静止。今有一质量为m的子弹沿弹簧的子弹沿弹簧的轴线方向以速度的轴线方向以速度v0射入一物块而不复出，求此后弹簧的最大压缩长度。射入一物块而不复出，求此后弹簧的最大压缩长度。解：解：第一阶段，子弹与第一阶段，子弹与A发生完全非弹性碰撞发生完全非弹性碰撞 第二阶段，弹簧开始