第四章刚体运动习题

1、例1.一根长为L、质量为m的均匀细直棒, 其一端 有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平 面内转动。 最初棒静止在水平位置， 求它由此下摆角时的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程， 外力矩为重力对O 的力矩。 ddMxg m XOgdmdmxCmgxM dg x mmmcxmgCdMxg m合力矩棒上取质元dm,当棒处在下摆角时,重力矩为：20重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。1cos2cxL 1cos2MmgL MJ 21cos213mgLmL 3 cos2gL XOgdmdmxmgCCMmgx 21d dt ddddt dd dd3 cos2gL dd003

2、 cos2gL 231sin22gL 3 singL 又即mgCXOxc3 cos2gL 22例2.质量为m、长为L的匀质细杆水平放置,一端 为铰链，另一端用绳悬挂。求剪断绳子瞬时,杆的角加速度以及铰链的支撑力。.解：gmF剪断时细杆绕O点的力矩为o12MmgL 根据定轴转动定律MJ 213JmL 32gL 质心平动cmaFmg12caL )(cagmF14mg 问：若杆从上方转下来到水平位置时0此时?F car 23.Fogm0水平位置时力矩仍为12MmgL MJ 213JmL 32gL 此时质心的加速度为ncaaa a r12L g43 narr2)( rv2 2012L F此时?F ma

3、mgmg41 nFnma2012mL 1122 2042()()FmgmL 合合nFtgF 2012gL 24Ro解：因摩擦力产生的力矩是恒定的，故角速度均匀减小。0t 212MJmR ddS 20(2)(1)tmR /M ?M frdd0Mrg m 考虑面元dS对轴的摩擦力矩dM ：2mR d0rgS 00tdt dr 00t例3. 一质量均匀分布的薄圆盘,半径为R,盘面与粗糙 的水平桌面紧密接触,圆盘与桌面间摩擦系数为 0 。圆盘绕通过其中心的竖直轴线转动,开始时 角速度为0,经过多少时间后圆盘静止不动?26r此力矩与面元在环上的位置无关,故环的力矩:ddd0MMrgS 0rg S 力矩的

4、方向与环的位置无关, 故圆盘受到的摩擦力矩为:d02rgr r d202grrdMMd2002Rgrr 023mgR 代入(1)式得0034gRt dd0MrgS 20/(2) (1)tmRM 27RoddSfr2mR dr r例4.一飞轮其轴成水平方向,轴之半径r =2.00cm， 其上绕有一根细长的绳。在其自由端先系以一质 量m=20.0g的轻物，此物恰能匀速下降,然后改系 以一质量M5.00kg的重物,则此物从静止开始, 经过t10.0s时间,共下降了h40.0cm。 忽略绳的质量和空气阻力,并设重力加 速度g9.8ms2。求:(1)飞轮主轴与 轴承之间的摩擦力矩的大小；(2)飞轮 转动

5、惯量的大小；(3)绳上张力的大小。解：(1)挂轻物时，物匀速下降，即fTTrmgr Tmg 力矩J 28解:(1)挂轻物时, 物匀速下降, 即fTTrmgr (2) (3) 挂重物M 时:22 /tMg T Ma M h ()fJTr 221122hatr t 22rth Tmg2(2 / )TM gh tfTrJ 其中r =2.00cm,m=20gM=5kgh=40cmt =10s2()(2 )fTrrth 29xOmgC例5.一根长为L,质量为m的均匀细直棒,一端有一 固定的光滑水平轴,因而可以在竖直平面内转 动。 最初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。解：（用机械能

6、守恒定律重解例1.)在棒摆动过程中系统的机械能守恒。0212 CmgyJ 213Jml sin2Cly 设棒在水平位置时重力势能为零，由机械能守恒知:3 singL dd3 cos2gtL 与前面解得的结果一致! 340r解： 外力矩为零, 系统对轴的角动量守恒,则00JJ dd20mJJt rt 角速度减到 0 /2时dd20000()/2mJJt rt dd20/()mtJrt )10101(105235./ 5(s)例6.转台绕中心铅直轴原来以0角速度匀速转动， 转台对该轴的转动惯量为J0=510-5kgm2。今 有沙粒以1g/s速度落入转台, 沙粒粘附在转台 面上并形成一圆形,且沙粒距

7、轴的半径r=0.1m， 当沙粒落到转台时, 转台的角速度要变慢。 试求当角速度减到0 /2时所需的时间。39oouvmm碰前碰后例12.匀质细棒质量为m,长为2L,可在铅直平面内 绕通过其中心的水平轴O自由转动. 开始时 棒静止于水平位置,一质量为m的小球,以速 度u垂直落到棒的端点,且与棒作弹性碰撞. 求:碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度.解: 以棒和小球为系统. 在碰撞过程中, 对轴O的 外力矩只有小球的重力矩mgL .因碰撞时间 极短, 此重力矩对时间的累积可忽略不计.ddM tL 于是,系统对转轴o的角动量守恒:0tLL 40以顺时针转动时的角动量方向为正, 则因作弹性碰撞,故在碰撞

8、过程中机械能守恒222111( 2 )222mumvJ ( 1 )muLJmvL 33mmv u m m 于是,系统对转轴o的角动量守恒 6( 3)m u m m L 0tLL 由(1) (2)解得41oouvmm碰前碰后例7.如图所示,一质量为m的子弹以水平速度v0 射入一静止悬于顶端的长棒的下端,穿出后 速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。 (已知棒长为L,质量为M。)v0vmM解:碰撞过程中系统对转轴的总角动量守恒, J mvLLmv0 L所以 J40/LmvLmv0 231MLJ 094mvML 42m (黏土块) yxhPOM光滑轴匀质圆盘（水平）R例8. 如图示，已知：h ，R ，M=2m ， =60 .求: 碰撞的瞬间盘的？ 0 P 转到x 轴时,盘的 ?,? 解：m由静止下落221vmmgh 2vgh (1) mPhv 对(m +盘)系统, 碰撞中重力对O轴力矩可忽略,系统角动量守恒：0cosmvRJ (2) 43222221mRmRMRJ (3)对（m + M +地球）系统mmgOMR , 令P、x 重合时 EP = 0，则2201