有限元程序设计杆单元实用教案

1、会计学1有限元程序设计有限元程序设计(chn x sh j)杆单元杆单元第一页，共31页。7/7/2022第1页/共31页第二页，共31页。7/7/2022n再次回顾位移-应变和应力-应变关系L 杆长杆长A 截面积截面积E 弹性模量弹性模量(tn xn m lin)( )( )( )uu xxxdudxE第2页/共31页第三页，共31页。7/7/2022ijuu LLEEkLEALEAAFEAkL杆单元伸长杆单元伸长(shn chn)量量应变应变(yngbin)内力内力应力应力轴向刚度轴向刚度第3页/共31页第四页，共31页。7/7/2022轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为轴向拉压变形模式下

2、，该杆单元的行为(xngwi)与弹簧单与弹簧单元相同，因此杆单元的刚度矩阵为（直接刚度法）：元相同，因此杆单元的刚度矩阵为（直接刚度法）：(2)112(2)221111uFkuF(2)11(2)221111uFEAuLF1111iiijjjfuukkEAfuukkL比照比照(bzho)弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：第4页/共31页第五页，共31页。7/7/2022步骤步骤1) 1) ： 假设单元上近似假设单元上近似(jn s)(jn s)位移函数位移函数位移模式位移模式假设单元上的位移为简单多项式函数。有限元中用插值法通过假设单元上的位移为

3、简单多项式函数。有限元中用插值法通过节点位移（待定参数）定义单元位移函数。节点位移（待定参数）定义单元位移函数。0011( )1hTTuxxxp p x = 0, u(x=0) = u1x = le, u(x=L) = u2 1021101uuL01121011uuLL121122( )( )10( )11( )11( )hTeNxNxeuuxxuxxxuuLLLLxP NddN 该式是有限元法中最重要的关系式之一，通过该式把单元上的该式是有限元法中最重要的关系式之一，通过该式把单元上的近似位移分近似位移分布函数用节点位移来表示布函数用节点位移来表示，是单元层次上分析的基础。，是单元层次上分析

4、的基础。第5页/共31页第六页，共31页。7/7/202212( )( )( )xN xNxN12( )1( )xN xLxNxL N1N2xL011122111221( )( )( )euuu xN x uNx uuxl第6页/共31页第七页，共31页。7/7/2022步骤步骤2) 2) ： 单元单元(dnyun)(dnyun)的应力和应变的应力和应变2111221( )( )( )uuu xN x uNx uuxL21xuuuxLeexLxuBdNd 111xxLxLLLL BN第7页/共31页第八页，共31页。7/7/2022步骤步骤3) 3) ： 虚位移原理推导虚位移原理推导(tudo

5、)(tudo)单元刚度矩阵单元刚度矩阵弹性体受力平衡弹性体受力平衡(pnghng)时，若发生虚位移，则外力虚功等于弹性体内的虚应变能时，若发生虚位移，则外力虚功等于弹性体内的虚应变能弹性体的虚位移弹性体的虚位移：假想在弹性体上发生的，满足位：假想在弹性体上发生的，满足位移许可条件（内部连续，边界协调）的微小、任意位移许可条件（内部连续，边界协调）的微小、任意位移场；可以理解为某个位移场的微小扰动（变分）。移场；可以理解为某个位移场的微小扰动（变分）。jiuuddNufdTdB)( udxd节点虚位移节点虚位移单元虚位移分布单元虚位移分布则单元虚应变则单元虚应变节点力（外力）虚功节点力（外力）虚

6、功TTTTVVVdVEdVE dV Td BBddBBd第8页/共31页第九页，共31页。7/7/2022dBBdfdTdVEVTTkddBBfTdVEVVE dVTkBB回顾回顾(hug)(hug)虚位移原理虚位移原理刚度矩阵刚度矩阵(j zhn)的一般形式的一般形式第9页/共31页第十页，共31页。7/7/202201jiuu2111kkffji11122122iijjfukkfukk单元刚度矩阵的第单元刚度矩阵的第i i（i=1,2)i=1,2)列元素表示：列元素表示：当维持单元的第当维持单元的第i i个自由度位移为，其它自由度位移为个自由度位移为，其它自由度位移为0 0时，施加时，施加

7、(shji)(shji)在单元上的节点力分量。在单元上的节点力分量。第10页/共31页第十一页，共31页。7/7/2022Pl第11页/共31页第十二页，共31页。7/7/2022解析解析(ji x)解解220 xuEfx( )Pu xxEAxPA有限元解有限元解(1 truss element)1111eAElK = k1122?1111uFAEuFPl1122?1111uFAEuFPl 2PluAE120( )( )11euxxxxPu xxxPlullllEAEANd2011xePEEullABd第12页/共31页第十三页，共31页。7/7/202212111211uuEALk 2321

8、1211uuEALk 321321110132022FFFuuuLEA组装组装(z zhun)，对号入座，对号入座1320,uuFP31200110132022FPFuLEA23PLuEA0103321EAPLuuuAPEAPLLELuuELEE30312111APEAPLLELuuELEE33023222第13页/共31页第十四页，共31页。7/7/2022局部总体每节点一个自由度X，Y每节点2个自由度,iiu viivu , x y第14页/共31页第十五页，共31页。7/7/2022iidTdcossinsincosiiiiiiiiiiuuuvlmvuvuvmlv iiiiulmuvml

9、vcos ,sinlm第15页/共31页第十六页，共31页。7/7/2022lmmlTTTT1iiiijjiilmuumlvvlmuumlvvii dTdT00TT FTF第16页/共31页第十七页，共31页。7/7/20221111iijjuFAEuFLyjxjyixijjiiffffvuvuLEA0000010100000101 kdF写成矩阵符号写成矩阵符号(fho)形式形式利用前面的向量坐标变换式利用前面的向量坐标变换式K TdTFTdd FTFTT kTdFkTd TFkdF考虑到考虑到变换矩阵的正交性变换矩阵的正交性，得：，得：总体坐标系中的单元刚度矩阵总体坐标系中的单元刚度矩阵T

10、kTkT第17页/共31页第十八页，共31页。TkTkT 22222222mlmllmlmllmlmlmmlmlmllmlLAEk第18页/共31页第十九页，共31页。21 ,23 ,30oml30ox yxLA=2 in2E=30 x 106 psiL=60 insymmetric 4143414343434343414341434343434360)1030)(2(6k 22222222mlmllmlmllmlmlmmlmlmllmlLAEk第19页/共31页第二十页，共31页。xyE = 30 106 psi ElementNode Node (ft) A (in )11210.0029

11、00101021314.142450.70710.70710.50.50.531410.002010100ijLlmlmlm222第20页/共31页第二十一页，共31页。ElementNode Node (ft) A (in )11210.002900101021314.142450.70710.70710.50.50.531410.002010100ijLlmlmlm222 22222222mlmllmlmllmlmlmmlmlmllmlLAEk1010000010100000)12()10()2()1030(6)1(k0000010100000101)12()10()2()1030(6)3

12、(k5 . 05 . 05 . 05 . 05 . 05 . 05 . 05 . 05 . 05 . 05 . 05 . 05 . 05 . 05 . 05 . 012210)2()1030(6)2(k第21页/共31页第二十二页，共31页。000000000000000000000000000000000000000000000000)1(44)1(43)1(42)1(41)1(34)1(33)1(32)1(31)1(24)1(23)1(22)1(21)1(14)1(13)1(12)1(11kkkkkkkkkkkkkkkkKyd2xd2yd1xd1yd4xd4yd3xd3第22页/共31页第

13、二十三页，共31页。000000000000000000000000000000000000000000000000)2(44)2(43)2(42)2(41)2(34)2(33)2(32)2(31)2(24)2(23)2(22)2(21)2(14)2(13)2(12)2(11kkkkkkkkkkkkkkkkyd2xd2yd1xd1yd4xd4yd3xd3第23页/共31页第二十四页，共31页。)3(44)3(43)3(42)3(41)3(34)3(33)3(32)3(31)3(24)3(23)3(22)3(21)3(14)3(13)3(12)3(110000000000000000000000

14、00000000000000000000000000kkkkkkkkkkkkkkkkyd2xd2yd1xd1yd4xd4yd3xd3第24页/共31页第二十五页，共31页。 000000000100000100354. 0354. 000354. 0354. 000354. 0354. 000354. 0354. 0000010100000000000354. 0354. 010354. 1354. 001354. 0354. 000354. 0354. 1)500000(Kyd2xd2yd1xd1yd4xd4yd3xd3第25页/共31页第二十六页，共31页。 000000000100000

15、100354. 0354. 000354. 0354. 000354. 0354. 000354. 0354. 0000010100000000000354. 0354. 010354. 1354. 001354. 0354. 000354. 0354. 1)500000(Kyxyxyxdddddd443322位移边界条件位移边界条件 yxdd11354. 1354. 0354. 0354. 1)500000(100000in1059.1 in,10414.02121yxdd第26页/共31页第二十七页，共31页。in1059. 1in10414. 02211yxdd001059.110414

16、.001011201030001059.110414.0222222221201030001059.110414.010101201030226)3(226)2(226)1(单元应力单元应力 dmlmlLEpsi1035psi1471psi3965)3()2() 1 (第27页/共31页第二十八页，共31页。7/7/2022 D3i - 1 D3i - 2 D3i D3j - 1 D3j - 2 D3j le x u1 u2 u(x) fs1 fx global node j local node 2 global node i local node 1 fs2 X Y Z o 0 第28页/共31页第二十九页，共31页。7/7/2022eijijijijijijnmlnml000000T DTDcos( ,)cos( , )cos( ,)jiijejiijejiijeXXlx XlYYmx YlZZnx Zl方向方向(fngxing)(fngxing)余弦余弦Direction cosinesDirection cosinesjjjiiieDDDDDD3132331323D第29页/共31页第