自动控制理论课件：第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合2

1、 在现代控制理论中，系统的动态特性是用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。它不仅反映系统的全部独立变量（状态）的信息，而且还可以方便地处理其初始条件。适用于非线性系统、时变系统、多输入、多输出系统以及随机过程等。 线性系统理论是现代控制理论中最基本的内容，其他分支均以线性理论为基础。第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合9.1 线性系统的状态空间表达式9.2 控制系统状态空间表达式的解9.3 控制系统的能控性与能观性1. 基本概念2. 状态空间表达式的建立3. 状态空间的线性变换4. 传递函数矩阵9.1 线性系统的状态空间表达式1. 基本概念一个例

2、子状态变量状态向量状态空间状态方程输出方程状态空间表达式 用一个 电路，说明什么是状态变量，如何用状态变量描述一个系统。 由电路原理可知，回路中的电流 和电容上的电压 的变化规律:( 和 表征了电路的运动状态)一个例子 定义：足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量称为状态变量。 n 阶微分方程有n个状态变量。状态变量的数目选多了，状态变量之间就会线性相关；选少了，就不能完全描述系统。状态变量的选取不是惟一的。 对于一般的物理系统，状态变量的个数应等于储能元件的个数。状态变量定义：把描述系统的 n 个状态变量 看作向量 的分量，则 称为 n 维状态向量，记作状态向量定义：以状态变量 为坐标

3、轴所张成的 维空间，称为状态空间。系统在任意时刻的状态，在状态空间中是一个点，随时间推移，状态在变化，在状态空间中绘出一条轨迹，称为状态轨线。状态空间定义：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。RLC电路的方程：将状态变量用一般符号 表示，即令 ，并写成向量矩阵的形式，则状态方程变为状态方程或式中 对图9-1所示系统，在以 作输入时，从式 中消去中间变量 ，得二阶微分方程为相应的传递函数为状态方程 若改选 和 为状态变量，即令 ，则得一阶微分方程组为写成矩阵形式 在同一系统中，状态变量选取的不同，状态方程也不同。状态方程定义：输出变量与状态变量、输入变量间的函数关系式，称为

4、系统的输出方程。在图9-1中， 为输出，用 表示，则有用矩阵表示为其中输出方程定义：状态方程与输出方程组合起来，称为状态空间表达式。它构成对一个系统的完整描述。 一般情况下，设单输入单输出线性定常连续系统的状态变量为 ，则一般形式的状态方程为状态空间表达式 输出方程除了是状态变量的函数外，有时还有输入变量的直接传递，其一般形式为用向量矩阵表示的状态空间表达式为式中状态空间表达式 对于一个 维输入、 维输出的多输入、多输出系统其状态空间表达式为式中状态空间表达式 系统的状态空间表达式，可以用图9-2的方框图表示图9-2 状态空间表达式的结构图状态空间表达式 状态空间模型一方面可根据系统的运行机理

5、直接建立另一方面也可由经典控制理论已建立起来的数学模型，即结构图、传递函数和微分方程来导出。2. 状态空间表达式的建立1) 从系统的机理出发建立状态空间表达式2) 从系统方块图出发建立状态空间表达式3) 由微分方程(或传递函数)求状态空间表达式4) 多输入、多输出系统状态空间表达式的建立2. 状态空间表达式的建立例9-1 建立如图所示机械系统的状态空间表达式，并画出系统的状态图。根据牛顿第二定理有或表示成选择位移 和速度 为状态变量，令 则1) 从系统的机理出发建立状态空间表达式用向量矩阵表示的状态空间表达式为 为了更直观地反映各状态变量之间的信息传递关系，状态空间表达式常用状态图表示。绘制方

6、法如下：（1）有多少了状态变量，画多少个积分器；（2）根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器，最后用箭头连接起来。1) 从系统的机理出发建立状态空间表达式 该机械系统的状态如图所示。1) 从系统的机理出发建立状态空间表达式例9-2 在下图所示系统中，若选取 作为状态变量，试列写其状态空间表达式，并写成矩阵形式。2) 从系统方块图出发建立状态空间表达式由结构图得整理可得系统状态空间表达式为写成向量矩阵形式 2) 从系统方块图出发建立状态空间表达式 微分方程中不含有输入的导数项（或传递函数中没有零点） 微分方程中含有输入信号的导数项（或传递函数中有零点）3) 由微分方程(或传递函数

7、)求状态空间表达式若系统微分方程为对应的传递函数为 微分方程中不含有输入的导数项 （或传递函数中没有零点） 如果选取 为一组状态向量，即 ，则有记成向量-矩阵形式为 微分方程中不含有输入的导数项 （或传递函数中没有零点）其状态结构如图所示 微分方程中不含有输入的导数项 （或传递函数中没有零点） 一般情况下，由 阶微分方程描述的系统为相应的传递函数为若选 为状态变量，那么 微分方程中不含有输入的导数项 （或传递函数中没有零点）系统的状态空间表达式 如上述这样选择的一组状态变量称为相变量，得出的表达式 称为能控标准型。系统矩阵 称为友矩阵 微分方程中不含有输入的导数项 （或传递函数中没有零点）三阶

8、系统微分方程:对应的传递函数为 只有当传递函数分子多项式的次数小于或等于分母多项的次数时，系统的状态空间表达式才存在。 输入方程中含有输入信号的导数项 （或传递函数中有零点）化G(s)为严格有理分式：式中据此可导出能控和对角线标准型状态空间表达式 输入方程中含有输入信号的导数项 （或传递函数中有零点）. 串联分解：将 分解为两部分相串联 为中间变量， ， 则应满足 选状态变量 ，则状态方程为 输入方程中含有输入信号的导数项 （或传递函数中有零点）输出方程为考虑系统整体，则：可表示为 输入方程中含有输入信号的导数项 （或传递函数中有零点）据此可得系统的结构 输入方程中含有输入信号的导数项 （或传

9、递函数中有零点）.并联分解： 只含单实极点（或微分方程含有互不相等的特征根） 含有重极点（或微分方程含有重特征根） 输入方程中含有输入信号的导数项 （或传递函数中有零点）设 可分解为则传递函数可展开成部分分式之和，即 式中 为极点 的留数，且有 只含单实极点 只含单实极点若令状态变量 则展开得 只含单实极点若令状态变量 则 其向量-矩阵形式为 只含单实极点当传递函数不仅含有单实极点，还含有重实极点，其A 矩阵可化为约当标准型。设 可分解为式中 为三重极点， 为单实极点，则： 含有重极点 含有重极点若状态变量 含有重极点取拉氏反变换:表示为 含有重极点 对于多输入、多输出系统，当已知微分方程或传

10、递函数时要求其状态空间表达式，可先画出每个方程的状态图，然后把互相牵连的信号线加上，选每个积分器的输出为状态变量，根据状态图，就可直接写出状态空间表达式。4)多输入多输出系统状态空间表达式的建立 以双输入、双输出的三阶系统为例，设系统微分方程为把最高阶导数项留在左边，其余移项到右边后得4) 多输入多输出系统状态空间表达式的建立对每一个方程积分故得状态结构如图9-11所示4) 多输入多输出系统状态空间表达式的建立取每个积分器输出为一个状态变量，则式 的一种实现为或表示为4) 多输入多输出系统状态空间表达式的建立1) 等价系统方程2) 线性变换的基本特性及系统的不变量3) 化系统矩阵A为标准型3.

11、 状态向量的线性变换设给定系统为令 ，则 ， 为非奇异线性变换矩阵；它将变换为 ，变换后的状态方程为两方程表示同一系统的状态空间表达式，称为等价系统方程1) 等价系统方程线性变换不改变系统特征值：系统特征值就是系统矩阵A的特征值，也即特征方程 的根 系统的不变量：把系统的特征方程写成多项式形式由于特征值不变，那么特征多项式的系数 也不变，称特征多项式的系数为系统的不变量。2) 线性变换的基本特性及系统的不变量 A的标准型是指A阵为对角型、约当型和模态型。一般形式的A阵可以由线性变换化为标准型，其关键在于确定变换矩阵。将A阵化为对角型、约当型和模态型的变换矩阵用A的特征值对应的特征向量来构成。

12、设 是 型矩阵A的特征值，若存在一个n维非零向量 ，使 或 成立，则称为A的对应特征值 特征向量3) 化系统矩阵A为标准型 A为任意形式 A为友矩阵3) 化系统矩阵A为标准型.化A为对角阵.化A为约当阵.化A为模式矩阵 A为任意形式当 阵为任意形式的方阵且有 个互异实数特征根 ，每一个特征根对应一个特征向量，根据特征向量的定义，有令那么.化A为对角阵两边左乘 ，得由此可知，变换矩阵 由 阵的实数特征向量 组成， 表示对角矩阵。若 阵具有 重特征根，其余为 个互异实特征根，但 重特征根只有一个独立的实特征向量 ，这时只能把 化为约当阵 。 .化A为约当阵变换矩阵 ，式中 互异特征根对应的实特征向

13、量。 是广义特征向量，满足即当矩阵 有复数特征根时，可以用上述方法把 化成标准型。简单起见，设 只有一对复数特征根， 在此情况下， 的模态形为设 为对应 的特征向量，根据特征向量的定义有 ，令 .化A为模式矩阵则由此可见，变换矩阵 是以 的特征向量 的实部和虚部为列所构成的矩阵。.A的特征根无重根时.A的特征根有重根，重根只有一个独立的特征向量.A的特征根有五重根，有两个独立的特征向量.A有共轭复根 A阵为友矩阵已知 A阵为友矩阵其变换矩阵是一个范德蒙德（Vandermonde）矩阵，为.A的特征根无重根时.A的特征根有重根，重根只有一个独立的特征向量 设 阵具有五重特征值 ，但有二个独立实特

14、征向量 和 ，其余为 个互异实特征根，这时， 阵一定存在两个约当块。. A的特征根有五重根，有两个独立的特征向量 有共轭复根时，以四阶系统中有一对共轭复根为例即 ，而此时.A有共轭复根1)传递函数阵2)组合系统的传递函数阵 4. 传递函数矩阵 已知系统的状态空间表达式为式中， 为 维状态向量， 为 维输入向量， 为 维输出向量， 为满足矩阵运算的矩阵。1) 传递函数阵对式 进行拉氏变换，并设初始条件为零，则有式中 为状态向量对输入向量的传递函数矩阵，是一个 型矩阵1) 传递函数阵 为输出向量对输入向量的传递函数矩阵，简称传递函数矩阵，是一个 型矩阵式中各元素 都是标量函数，表征第 个输入对第 个输出的传递关系。当 时，意味着不同标号输入与输出有相互关联，称为有耦合关系，这正是多变量系统的特点。 同一系统，状态空间表达式不惟一，但传递函数矩阵是不变的1) 传递函数阵复杂的控制系统，可能由多个子系统串联、并联或反馈连接而成。讨论两个子系统 和 构成的组合系统。 设系统 为传递函数矩阵为 设系统 为传递函数矩阵为2) 组合系统的传递函数阵并联连接串连连接反馈连接2) 组合系统的传递函数阵并联连接：如图9-12(a)所示，两个子系统并联连接时，并联连接系统的状态空间表达式为系统的