利用常微分方程建立数学模型

1、例例1. 列车在平直路上以sm20的速度行驶, 制动时获得加速度,sm4 . 02a求制动后列车的运动规律.解解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知4 . 0dd22ts,00ts200ddtts由前一式两次积分, 可得2122 . 0CtCts利用后两式可得0,2021CC因此所求运动规律为tts202 . 02说明说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) .机动 目录 上页 下页 返回 结束 求所满足的微分方程 .例例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 QPQxyox解解: 如图所示

2、, yYy1)(xX 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标yyxX,xyyx即02 xyy点 P(x, y) 处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分, 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 子的含量 M 成正比,0M求在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解解: 根据题意, 有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分离变量, MMd,lnlnCtM得即teCM利用初始条件, 得0MC 故所求铀的变化规律为.0teMMM0Mto然后积分:td)(已知 t = 0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4

3、.成正比,求解解: 根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此处利用初始条件, 得)(ln1gmkC代入上式后化简, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,)1 (tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. kmgv t 足够大时机动 目录 上页 下页 返回 结束 cm100例例5. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,.cm12S开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t

4、的变r解解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为tVQddhgS262. 0即thgVd262. 0d求水小孔横截面积化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在d,ttt内水面高度由 h 降到 ),0d(dhhhhhdhho机动 目录 上页 下页 返回 结束 cm100rhhdhho对应下降体积hrVdd222)100(100hr2200hhhhhVd)200(d2因此得微分方程定解问题:hhhthgd)200(d262. 021000th将方程分离变量:hhhgtd)200(262. 0d2321机动 目录 上页 下页 返回 结束 gt262. 0两端积分, 得g262. 0hhhd)200

5、(2321233400(h)5225hC利用初始条件, 得5101514262. 0gC因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系:)310107(265. 4252335hhgt1000thcm100rhhdhho机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根据几何关系列方程 2) 根据物理规律列方程3) 根据微量分析平衡关系列方程(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 解微分方程应用题的方法和步骤机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyx可得 OMA = OAM

6、= 例例6. 在制造探照灯反射镜面时,解解: 设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线 )(xfy 绕 x 轴旋转而成 .过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,由光的反射定律:入射角 = 反射角xycotxyy22yxOMTMAPy取x 轴平行于光线反射方向,从而 AO = OMOPAP 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 而 AO 于是得微分方程 : xyy22yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用曲线的对称性, 不妨设 y 0,21ddyxyxyx, vyx 则,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2积分得故

7、有1222CvyCy, xvy代入得)2(22CxCy (抛物线)221)(vvCyCyvv21故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 顶到底的距离为 h ,hdC82说明说明:)(222CxCy2,2dyhCx则将这时旋转曲面方程为hdxhdzy1642222hd若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得)0,(2CoyxA机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0例例7. 有一电路如图所示, ,sintEEm电动势为电阻 R 和电. )(tiLERK解解: 列方程 .已知经过电阻 R 的电压降为R i

8、经过 L的电压降为tiLdd因此有,0ddiRtiLE即LtEiLRtimsindd初始条件: 00ti由回路电压定律:其中电源求电流感 L 都是常量,机动 目录 上页 下页 返回 结束 LERK解方程:LtEiLRtimsindd00tiCxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(由初始条件: 00ti得222LRLECm)(ti dtLRetLEmsintLRmeCtLtRLRE)cossin(222tetLRddC利用一阶线性方程解的公式可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 tLRmeLRLEti222)()cossin(222tLtRLREmtLRmeLRLEti222)()sin(

9、222tLREm暂态电流稳态电流则令,arctanRLLERK因此所求电流函数为解的意义: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,00tx例例8. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线运动,在开始时刻,)0(0FF随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解解: 据题意有)(dd22tFtxmtFoT0FF0(1)tFT0dd0ttx)1(0TtFt = 0 时设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小,求质点的运动规律. 初速度为0, 且对方程两边积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1

10、20)2(ddCTttmFtx利用初始条件, 01C得于是)2(dd20TttmFtx两边再积分得2320)62(CTttmFx再利用00tx, 02C得故所求质点运动规律为)3(2320TttmFx0dd0ttx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 绳索仅受重力作用而下垂,解解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到sg( : 密度, s :弧长)弧段重力大小按静力平衡条件, 有,cosHTsa1tanMsgoyx)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有211yay 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的

11、受力情况: T A 点受水平张力 HM 点受切向张力T两式相除得HA机动 目录 上页 下页 返回 结束 MsgoyxHA211yya , aOA 设则得定解问题: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 则原方程化为pdxad1两端积分得)1(lnshAr2ppp,shAr1Cpax0 0 xy由, 01C得则有axysh两端积分得,ch2Cayax, 0ayx由02C得故所求绳索的形状为axaych)(2axaxeea悬悬 链链 线线a21p机动 目录 上页 下页 返回 结束 M : 地球质量m : 物体质量例例10. 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间(不计空

12、气阻力). 解解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:22ddtym2yMmk,0lyt00ty,ddtyv 设tvtydddd22则tyyvddddyvvdd代入方程得,dd2yyMkvv积分得122CyMkv一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 yoRl机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,1122lyMkv,ddtyv yyllMkv2即tdyylyMkld2两端积分得Mklt2,0lyt利用, 02C得因此有)arccos(22lylyylMkltlylyylarccos22C, 0000lyyvttt利用lMkC21得注意注意“”号号机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于

13、y = R 时,gy 由原方程可得MRgk2因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为)arccos(212lRlRRlglRtRylRlRgvRy)(222ddtym,2yMmkyyllMkv2)arccos(22lylyylMkltyoRl机动 目录 上页 下页 返回 结束 为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面例例11.)0()(xxy设函数二阶可导, 且, 0)( xy)(xyy 过曲线上任一点 P(x, y) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,1S区间 0, x 上以,2S记为)(xy, 1221 SS且)(xyy 求解解:, 0)(, 1)0(xyy因为.

14、 0)(xy所以于是cot2121yS yy222S)(xyy 设曲线在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程 ., 1)0(y积记为ttySxd)(02Pxy1S1oyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 再利用 y (0) = 1 得利用,1221 SS得xttyyy021d)(两边对 x 求导, 得2)( yyy 定解条件为)0(, 1)0(yy),(ypy 令方程化为,ddyppy 则yyppdd,1yCp 解得利用定解条件得,11C, yy 再解得,2xeCy , 12C故所求曲线方程为xey 2ddpyppy12SPxy1S1oyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 oy

15、x) 1 , 0(A速度大小为 2v, 方向指向A , )0 , 1(),(yxBtv解解: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有 ytsvdd2xysxd112xytxd1dd12txydd12去分母后两边对 x 求导, 得xtvxyxdddd22又由于ytv 1x设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v 例例12的速度沿 y 轴正向运动, 物体 B 从 (1, 0 ) 出发, 试建立物体 B 的运动轨迹应满足的微分方程及初始条件.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)dd(121ddxyvxt0121dd222yxyx代入 式得所求微分方程:其初始

16、条件为, 01xy11xyoyxA)0 , 1(),(yxBtv机动 目录 上页 下页 返回 结束 求电容器两极板间电压 0ddiRCqtiLE例例13. 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,sintEEm所满足的微分方程 .cu解解: 设电路中电流为 i(t),LERKCqqi上的电量为 q(t) , 自感电动势为,LE由电学知,ddtqi ,CquCtiLELdd根据回路电压定律:设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串极板机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0LCLR1,20令tLCEututumCCCsindd2dd2

17、022串联电路的振荡方程:如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得0dd2dd2022CCCututuLERKCqqi22ddtuCLCtuCRCddCutEmsin机动 目录 上页 下页 返回 结束 化为关于cu的方程:,ddtuCiC注意故有 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例例14. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,xxo解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图. 设时刻 t 物体位移为 x(t).(1) 自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:

18、(虎克定律)xcf成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 据牛顿第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2mn令则得有阻尼自由振动方程:0dd2dd222xktxntx阻力txRdd(2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力作用，t pHFsin，令mhH则得强迫振动方程:t phxktxntxsindd2dd222机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程:22ddtx02xk特征方程:, 022 krkir2,1特征根:tkCtkCxsincos21利用初始条件得:,01xC 故所求特解:tkkvtkxxsincos00A)sin(

19、tkA0 xkv0方程通解:1) 无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )kvC020022020tan,vxkkvxA机动 目录 上页 下页 返回 结束 解的特征解的特征:)sin(tkAx0 xAAxto简谐振动 A: 振幅, : 初相,周期: kT2:mck 固有频率 T0dd00vtxt, 000 xxt下图中假设机动 目录 上页 下页 返回 结束 (仅由系统特性确定)方程:特征方程:0222krnr222,1knnr特征根:小阻尼: n k临界阻尼: n = k 22ddtx02xktxndd2)sincos(21tCtCextn)(22nk trtreCeCx2121tnetCCx)(21解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( n k ) 大阻尼解的特征大阻尼解的特征: 1) 无振荡现象; trtreCeCx2121222,1knnr其中22knn0.0)(limtxttxo0 x此图参数: 1, 5 . 1kn5 . 10 x073. 50v2) 对任何初始条件即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.机动