可微性与偏导数

1、数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部120222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三推广推广一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意：注意：善于类比善于类比, , 区别异同区别异同一元函数、极限与连续一元函数、极限与连续 一元函数的导数与微分一元函数的导数与微分 一元函数的极值一元函数的极值 数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部220222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三第十七章第十七章本章内容1. 可微性可微性2. 复合函数微分法复合函数微分法3. 方向导数与梯度方

2、向导数与梯度4. 泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性（Differentiability）一、可微性与全微分一、可微性与全微分二、偏导数二、偏导数三、可微性条件三、可微性条件四、四、可微性的几何意义及应用可微性的几何意义及应用 五、五、小结小结 数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部420222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三一、一、可微性与全微分 定义定义 1 设函数设函数0( , )()zf x yU P 在某邻域在某邻域内有定义内有定义 .000( , )(,)(),P x yxx yyU

3、P 对于对于若若 f 在在 0P:z 可可表表示示为为的全增量的全增量0000(,)(,)( ),zf xx yyf xyA xB yo (1)0P22,xy 其中其中A, ,B是仅与点是仅与点有关的常数有关的常数, ( )o 是是的高阶无穷小量的高阶无穷小量, ).()()()( :)(0000 xfAxoxAxfxxfxxf其中可微在点0P可微可微. 则称则称 f 在点在点数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部520222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三0000(,)(,)( ),zf xx yyf xyA xB yo (1)并称并称 (

4、1) 式中关于式中关于,xyA xB y 的的线线性性表表达达式式000d |d (,).Pzf xyA xBy(2)0fP在在为为的的全微分全微分, 记作记作 |,|xy dz由由 (1), (2) 可见可见, ,当当 充分小时充分小时, 全微分全微分 z 可作为全增量可作为全增量 的近似值的近似值, 于是有近似公式于是有近似公式: 0000( , )(,)()().f x yf xyA xxB yy(3)(,)(0,0)(,)(0,0)limlim0.xyxy 这里这里,zA xByxy (4)在使用上在使用上, 有时也把有时也把 (1) 式写成如下形式：式写成如下形式：数学分析数学分析(

5、2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部620222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三例例1 考察考察 00( , )(,).f x yxyxy 在在任任一一点点的的可可微微性性解解 f在在点点 00(,)xy处的全增量为处的全增量为000000(,)()()f xyxxyyx y 00.yxxyxy 由于由于 | |0(0),xyxy 00( ).(,),x yofxy 因因此此从从而而在在可可微微 且且00d.fyxxy 数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部720222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三二、偏

6、导数二、偏导数 由一元函数微分学知道由一元函数微分学知道: 若若 0( ),f xx在在可可微微则则 00()()(),f xxf xA xox 其其中中0().Afx( , )f x y00(,)xy若二元函数若二元函数 在点在点 可微，则可微，则 (1) 式中的常数式中的常数 A, B 应取怎样的值？应取怎样的值？ 0000(,)(,)( ),zf xx yyf xyA xB yo (1)数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部820222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三在在 (4) 式中先令式中先令 0(0),yxf 这这时时得得到到关关

7、x于于的的偏偏增增量量为为.xxzzA xxAx 或或,zA xByxy (4)由可微性的定义，全增量又可写为由可微性的定义，全增量又可写为0,xA 现现让让由由上上式式便便得得的的一一个个极极限限表表示示式式000000(,)(,)limlim.xxxzf xx yf xyAxx (5) (5) 式右边的极限正是关于式右边的极限正是关于 x 的一元函数的一元函数f (x,y0)在在x=x0点的导数点的导数. .数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部920222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三000000(,)(,)limlim.xxxzf

8、xx yf xyAxx (5) 类似地类似地, (4)0(0),xy 在在式式中中令令又可得到又可得到000000(,)(,)limlim,yyyzf xyyf xyByy (6)它是关于它是关于 y 的一元函数的一元函数00(, ).f xyyy 在在处处的的导导数数二元函数当固定其中一个自变量时二元函数当固定其中一个自变量时, 它对另一个自它对另一个自 变量的导数称为该函数的变量的导数称为该函数的偏导数偏导数.,zA xByxy (4)数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部1020222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三0.x 的某邻域内有

9、定义的某邻域内有定义 则当极限则当极限 存在时存在时, 称此极限为称此极限为 00(,)fxy在在点点关于关于x 的偏导数的偏导数, 记作记作000000(,)(,)(,),.xxyxyfzfxyxx或或0( , ),( , ),( ,)zf x yx yDf x y设设函函数数且且在在定义定义 2 000000(,)(,)limlimxxxzf xx yf xyxx(7)数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部1120222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三类似地可定义类似地可定义 00(,)fxy在在点点关于关于 y 的偏导数的偏导数: 00

10、0000(,)(,)limlim,yyyzf xyyf xyyy (7) 记作记作000000(,)(,)(,),.yxyxyfzfxyyy或或( , )zf x y ( , )x y若函数若函数 在区域在区域 D 上每一点上每一点 都存在都存在 对对 x ( 或对或对y ) 的偏导数的偏导数, 则得到则得到 ( , )zf x y 在在 D 上上 对对 x (或对或对y) 的偏导函数的偏导函数 (也简称偏导数也简称偏导数), 记作记作 ( , )( , )( , )( , ),xyf x yf x yfx yfx yxy或或或或,.xxyyfffzfzxy也可简单地写作或或也可简单地写作或或

11、数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部1220222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数. .( , , ),uf x y z例如， ( , , ) x y z在处，,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部1320222022年年7 7月月6 6日星期三日

12、星期三xyxfyxxfxzx),(),(lim0可以看出可以看出: 定义定义xz时时, 变量变量 y 是不变的是不变的, 实际上实际上,是对函数是对函数),(yxf, 将将 y 视为常数视为常数, 关于变量关于变量 x 按一元按一元函数导数的定义进行的：函数导数的定义进行的：xyxfyxxfxzxyx ),(),(lim00000),(000d),(d0 xxxyxf 偏导数偏导数的计算的计算: :数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部1420222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三求多元函数的偏导数没有任何求多元函数的偏导数没有任何技术性的新

13、东西技术性的新东西. .对某一个变元求偏导时，视对某一个变元求偏导时，视其他变元为常量，其他变元为常量，实质上是实质上是相应的一元函数的导数相应的一元函数的导数. . 数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部1520222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 .)2 , 1( 1322处的偏导数处的偏导数在点在点求求 yxyxz例例2把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院

14、基础部1620222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三解法解法2.)2 , 1( 1322处的偏导数处的偏导数在点在点求求 yxyxz例例22 yz462 xx)2, 1(xz 1)62( xx8 1 xz231yy )2, 1(yz 2)23( yy7 求一点处偏求一点处偏导数的方法导数的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定义利用定义数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部1720222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三 . arctan 的偏导数的偏导数求求yxz xyxyxxz211 , 22yxy yyxyxyz211 .

15、22yxx 将将 y 看成常数看成常数y1将将 x 看成常数看成常数2yx 例例3 3解解数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部1820222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立zyzxxzyx2ln1 例例4 求证求证:),1, 0( xxxzy设设数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部1920222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三解解 xz, )2cos(22

16、yxx ., )2sin(2yzxzyxz 求求设设练习练习1 yz. )2cos(22yx .,11tansin)3(31222 yxxzyxxyyxz求求设设练习练习2 2解解 31yxxz1) )3 ,( xxxf12)( xx1)2( xx. 2 数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部2020222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三解解).3 , 2 , 1(,),(xxzyfzuyuxuzyxzyxfu 求求设设练习练习3 xu 1yyx yu xxyln zu yyzln )3 , 2 , 1(xf 2,lnzzx,1 zzy,1

17、xxz. 3ln3数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部2120222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三证证 VRTP VP PRTV TV RPVT PT PTTVVP2VRT PR RV . 1 PVRT ),( 为常数为常数程为程为已知理想气体的状态方已知理想气体的状态方RRTPV 例例5. 1: PTTVVP求证求证,2VRT ,PR,RV数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部2220222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三 警告各位！偏导数的符号yx,是一个整体记号,z与yx ,的商.

18、不能像一元函数那样将yzxz,看成是数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部2320222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三 )0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22yxyxyxxyyxf例例6 6 设设求函数在求函数在(0,0)点的偏导数点的偏导数 .解解xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0, 00lim0 xxyfyffyy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0. 00lim0 yy注：求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求注：求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求. .数学分析数学分析(2)1

19、7.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部2420222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，例如例如, 函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf依定义知在依定义知在(0, 0)处处, 0)0 , 0()0 , 0( yxff但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部252022

20、2022年年7 7月月6 6日星期三日星期三对多元函数来说对多元函数来说, ,函数的偏导数函数的偏导数存在与否与函数的连续性无必然关系存在与否与函数的连续性无必然关系. .这是多元函数与一元函数的这是多元函数与一元函数的一个本质区别一个本质区别. .一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部2620222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三偏导数的几何意义偏导数的几何意义: :如图如图:0yxyzO),(yxfz ),(00yxfx),(00yxfy0 x切线的斜率切线的斜率. .),(0yxfz

21、 是曲线是曲线),(00yxfx的切线的切线 0),(yyyxfz.轴的斜率轴的斜率对对 x数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部2720222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三 二元函数的偏导数存在二元函数的偏导数存在 , 只是表明函数只是表明函数沿沿 x 轴和轴和 y 轴方向是连续的轴方向是连续的 , 而二元函数在而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 故由偏导数存在不能推出函数连续故由偏导数存在不能推出函数连续.偏导数的几何意义说明了一个问题偏导数的几何意义说明了一个问题:数学分析数学分

22、析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部2820222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三 曲线曲线在点在点(2,4,5)处的处的切线与切线与x轴轴正向所成的倾角是多少正向所成的倾角是多少?解解,21),(xyxfx tan1)4 , 2( xf4 在点在点(2,4,5)处的处的切线切线与与y轴正向所成的倾角是多少轴正向所成的倾角是多少?,2422 xyxz 曲线曲线 例例7,4422 yyxz数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部2920222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三三、可微性条件 000(,),fP

23、 xyf在在点点可可微微 则则在在由可微定义易知由可微定义易知: : 若若 0P 必必连连续续. .这表明这表明: : 连续是可微的一个必要条件连续是可微的一个必要条件且且存在存在处处则在点则在点可微可微在点在点如果如果, ),(,),(),( yxffyxyxyxfu yfxfudyx 定理定理17.1（可微的必要条件）（可微的必要条件）,.xdxydy 由由于于即即ydfdxfudyx 数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部3020222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三定理定理17. 1 的应用的应用: 对于函数对于函数 22( , ),

24、f x yxy 由于由于 ( ,0)|,(0, )|,f xxfyy 0 x 它们分别在它们分别在0y 与与(0,0)xf与与都不可导，即都不可导，即(0,0),yf都不存在都不存在( , )(0,0).f x y 在在点点不不可可微微故故ydfxdfudyxyfxfyx ),(),(,zyxzyxfu在点在点若三元函数若三元函数类似地类似地 .,且且存在存在则则可微可微zyxfffdzfdyfdxfudzyx数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部3120222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三解解,xyxe dyyzdxxzdz 因此，因此，

25、.dyxedxyexyxy 2222|2.xydze dxe dy(2, 1) 处的全微分处的全微分,xyye xxyexz yxyeyz 数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部3220222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三解解,2cos21yzzey ,yzye 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz , 1 xyzeyxxu 2sin yyzeyxyu 2sin zyzeyxzu 2sin .2sin的全微分的全微分计算函数计算函数yzeyxu 数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础

26、部华北科技学院基础部3320222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三解解,dyzdxzdzyx xz 又又. ,ln 22dzyxyxzxy求求已知已知 练习练习1 1 1yyx yyxln,22yxx yz xxyln 1xxy,22yxy dz 1(yyx yyxln dxyxx)22 xxyln( 1xxy.)22dyyxy 数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部3420222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三求函数求函数 的全微分的全微分.yzyxuarctan2sin2 解解因为因为,2xxu ,2cos2122zyzyyu

27、,22zyyzu 所以所以.dd)2cos21(d2d2222zzyyyzyzyxxu 练习练习2 2数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部3520222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三练习：练习：:求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数 )1ln()sin( . 12xyxyxzy yyxxz)(sin . 2sin 2ln . 3lnln32 zyxzyxu数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部3620222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三练习题求解：练习题求解：:求下列函数的偏导数求下列

28、函数的偏导数 )1ln()sin( . 12xyxyxzy xz yz )cos(22yxxy )cos(22yxx 1yyx,1xyy xxyln.1xyx 解：解：数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部3720222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三练习题求解：练习题求解：:求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数 xz yz 1sinsinyxy yxxycoslnsin,cos)(sin1xxyy .sinln)(sinxxy 解：解：yyxxz)(sin . 2sin 数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技

29、学院基础部3820222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三练习题求解：练习题求解：:求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数 xu yu x2 23y,ln1ln zxz,1lnlnyzzy 解：解：2ln . 3lnln32 zyxzyxu zu 1lnlnyzy.1lnlnzxxz 数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部3920222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三*对于多元函数对于多元函数, 可导可导 可微可微*对于一元函数对于一元函数, 可导可导 可微，可微，例例).0 , 0( , 0, 00,),(222222 yxyxyxx

30、yyxfz )0 , 0()0 , 0(yfxfzyx22)()(yxyx ,按定义按定义 )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 0 , 0)0 , 0( yf),( o .)0 , 0(),(处不可微处不可微在在yxfz 数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部4020222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三 0000,;xyfxyfxy(1)(1)求求 2 考考察察极极限限 yyxfxyxfzyx ),(),(lim00000,),(),(0)3(00可可微微在在，如如果果上上式式极极限限为为yxyxf.),(),

31、(000不不可可微微在在，则则若若极极限限不不为为yxyxf是是否否可可微微的的步步骤骤：在在判判断断函函数数),(),(00yxyxfz 数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部4120222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三证明证明 （1）. 0)0 , 0( f( (先证连续先证连续) ) 041)()(41)(0222/3222222/32222 yxyxyxyxyx0)(lim2/32222)0,0(y), yxyxx（由迫敛性由迫敛性).0 , 0(f .)0 , 0(),(连续连续在点在点故函数故函数yxf数学分析数学分析(2)17

32、.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部4220222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三 )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx )0 , 0(yfyfyfy )0 , 0(), 0(lim0, 000lim0 yy( (再证偏导数存在再证偏导数存在) ) 数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部4320222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三 )0 , 0()0 , 0(yfxffyx 22232222)()()()()()(yxyxyx 22222)()()()(yxyx

33、)0 , 0()0 , 0( yfxffyx 则则22222)()()()(xxxx 41 ),()0 , 0()0 , 0( oyfxffyx 即即数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部4420222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三注意注意 偏导数连续并不是可微的必要条件，例如偏导数连续并不是可微的必要条件，例如 222222221()sin,0,( , )0,0.xyxyxyf x yxy 它在原点它在原点 (0,0) 处可微处可微, 但但xyff与与却在该点不连续却在该点不连续. ( , )f x y00(,)xy在在点点xyff与与若

34、若的偏导数的偏导数都连续都连续, 则则 00(,)fxy称称在在点点连续可微连续可微 数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部4520222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三多元函数连续、可偏导、可微的关系多元函数连续、可偏导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可偏导函数可偏导数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性四、四、 可微性的几何意义及应用可微性的几何意义及应用 . , 轴的切线轴的切线于于在不平行在不平行在几何上反映为曲线存在几何上反映为曲线存一元函数可微一元函数可微y: , 引入曲面的切平面定义引入

35、曲面的切平面定义与此相仿与此相仿: 应满足应满足和切线的夹角和切线的夹角当有切线时，相应割线当有切线时，相应割线 PTSdh Q. 0sin , 0 dh 也就是也就是数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部4720222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三定义定义 3 设曲面设曲面 S 上一上一一个一个平面平面, S 上的动点上的动点 PQhdxyzOS 点点 P, 为通过点为通过点 P 的的Q 到定点到定点 P 和到平面和到平面 的距离分别记为的距离分别记为 d 和和 h. 当当 Q 在在 S 上以任上以任意方式趋近于意方式趋近于 P 时时,

36、恒有恒有 0,hd 则称则称 为曲为曲面面 S 在点在点 P 的的切平面切平面, 称称 P 为为切点切点. 定理定理 17.4 曲面曲面0000( , )(,(,)zf x yP xyf xy 在在点点存在不平行于存在不平行于 z 轴的切平面的充要条件是轴的切平面的充要条件是: : 函数函数 f在点在点000(,)P xy可微可微. 数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部4820222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三000(,)P xy 由定理由定理 17.4 : : 函数函数在点在点可微可微, , 则曲面则曲面 000( , )(,)zf

37、x yP xy z 在在点点处的切平面方程为处的切平面方程为0000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyy 过切点过切点 P 的法线方程为的法线方程为 0000000.(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy ,1),(),(0000 yxfyxfnyx 法向量法向量为为数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部4920222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 在点在点M 的切平面的方程：的切平面的方程：一元函数微分几何意义一元函数微分几何意义 xxfdy )(0),(yxfz 数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部5020222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量的全微分的全微分在点在点函数函数),(),(00yxyxfz 因为曲面在因为曲面在M 处的切平面方程为处的切平面方程为数学分析数学分析(2)17.1 可微性可微性华北科技学院基础部华北科技学院基础部5120222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三【解【解】