振动学习教案

1、会计学1振动振动(zhndng)第一页，共38页。xxFmox为物体离开(l ki) 平衡位置的位移力与位移(wiy)成正比而反向。kxF 合力：0dd222xtxmk2令振动(zhndng)的微分方程 简谐振动方程：22dtxdmF 因kx积分常数，根据初始条件确定)cos(tAx其解为简谐振动方程 第2页/共38页第二页，共38页。tx图tv图ta 图TAA2A2AxvatttAAoooT0作图，取)2cos(tA)cos(2tAT)cos(tAx)sin(tAdtdxv)cos(2tAdtdva第3页/共38页第三页，共38页。)cos(tAx 4.1.2 描述简谐振动(zhndng)的

2、基本物理量 kmT2弹簧振子周期 周期(zhuq)21T 频率T22圆频率)(cosTtA周期和频率仅与振动系统本身的物理性质(wl xngzh)有关注意tx 图AAxT2TtomaxxA 振幅2T第4页/共38页第四页，共38页。1） 存在一一对应的关系;),(vxt202）相位在 内变化，在此区间质点无相同的 运动状态； 相位(xingwi) ：3）初相位 描述质点初始时刻的运动状态. ) 0( t) (2nn相差 为整数 质点运动状态全同.（周期性）20( 取 或 )是决定(judng)简谐振动状态的物理量 习惯上常将大于，小于2的初相表示为负值， ttx图AAx 2 ovvv t第5页

3、/共38页第五页，共38页。22020vxA00tanxv常数 和 由初始条件确定A000vv xxt初始条件cos0Ax sin0Av 对给定振动系统，周期由系统本身性质决定(judng)，振幅和初相由初始条件决定(judng).)sin(tAv)cos(tAx第6页/共38页第六页，共38页。 以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.xAoxoA0 xx )cos(tAxt0tt第7页/共38页第七页，共38页。 旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.xA)cos(tAx第8页/共38页第八页，共38页。用旋转矢量图画简谐运动的 图tx第9页/共38页第九页

4、，共38页。例1 有小球与轻弹簧相联作简谐振动，表达式用余弦函数表示，若t0时，小球状态x0A，过平衡位置向正向运动；过x0.5A向负向运动；过 处向正向运动，求初相位.2Ax 1. 旋转矢量(shling)法确定第10页/共38页第十页，共38页。AAx2AtoabxAA02.相位差：表示(biosh)两个相位之差 . 1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.)()(12tt12tttaA3 TTt6123v2AbA第11页/共38页第十一页，共38页。stsmasmvmX 65/ 02. 1/ 19. 0 104. 03(20 第12页/共38页第十二页，共38页。0

5、 xto同步 3. 对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们(t men)间步调上的差异.（解决振动合成问题）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto为其它超前落后txo反相第13页/共38页第十三页，共38页。2)2tcos(A2Y1012)(1011tCOSAY第14页/共38页第十四页，共38页。例4 如图4.5(a)所示，一轻弹簧在60 N的拉力下伸长30 cm。现把质量为4 kg的物体(wt)悬挂在该弹簧的下端并使之静止，再把物体(wt)向下拉10 cm，然后由静止释放并开始计时。求 (1) 物体(wt)的振动方程； (2) 物体(wt)在平衡位置上方5

6、 cm时弹簧对物体(wt)的拉力； (3) 物体(wt)从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到平衡位置上方5 cm处所需要的最短时间。第15页/共38页第十五页，共38页。-解(1)选平衡位置为坐标原点O，x轴向下(xin xi)为正方向 在任意(rny)位置x处 220)(dtxdmxlkmg0l平衡位置处弹簧伸长量 00 klmg22dtxdmkx mk设222d0dxxt得0l判断(pndun)是否简谐振动？ 第16页/共38页第十六页，共38页。cos()xAt确定(qudng)方程中的常数: 2003 . 060lfkNm1 07. 7mkrads1 由t = 0时，(m)，1 .

7、00 x00v,得 22002vAx， = 0.10 m 00tanvx= 0振动方程为 x = 0.10 cos(7.07t) m第17页/共38页第十七页，共38页。(2) 求物体在平衡位置上方(shn fn)5 cm时弹簧对物体的拉力 物体在平衡位置上方5 cm时， 假设物体受拉力f 向上，如图 fmgma222.5m sax 得弹簧对物体的拉力 2 .29)5 . 28 . 9(4fN f 所得值为正，说明与假设方向(fngxing)相同。第18页/共38页第十八页，共38页。(3) 求物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动(yndng)到平衡位置上方5 cm处所需要的最短时间。根据

8、(gnj)此旋转矢量图得 26/12Ttt61212Tttt0.074 s 第19页/共38页第十九页，共38页。4.1.4 复摆复摆 质量为m的任意形状的物体，挂在无摩擦的水平轴O上。将它拉开一个微小的角度后释放，物体将绕轴O自由摆动。这样(zhyng)的装置叫复摆。 摆角小于5时： sin22ddmgltJ J是复摆的转动惯量回复力矩mglM第20页/共38页第二十页，共38页。mglJ设222d0dt 22ddmgltJ 圆频率(pnl)即复摆在摆角小于5时，做简谐振动。 其振动(zhndng)方程为)cos(tm当2Jml时，即对应单摆的情况 gl2lTg第21页/共38页第二十一页，

9、共38页。 简谐运动的判断（满足其中(qzhng)一条即可）2）简谐运动(jin xi yn dn)的动力学描述1）物体受线性回复(huf)力作用3）简谐运动的运动学描述kxF0dd222xtx)cos(tAx（或物体受线性回复力矩作用 ）kM第22页/共38页第二十二页，共38页。4.1.5 简谐振动(zhndng)的能量cos()xAt)sin(tAv 以弹簧(tnhung)振子为例，物体质量m，劲度系数为k系统(xtng)的动能为222211sin ()22kEmvmAt系统的势能为22211cos ()22PEkxkAt系统的总能量为PkEEE222221sin ()21cos ()2

10、mAtkAtmk2212kA第23页/共38页第二十三页，共38页。 结论： 弹簧振子做简谐振动时，其总能量与振幅(zhnf)的平方成正比。 该结论对作简谐振动(zhndng)的其它系统也是成立的。能量随时间(shjin)的变化关系能量随位置的变化关系第24页/共38页第二十四页，共38页。4.2 简谐振动(zhndng)的合成4.2.1 同方向同频率的简谐振动(zhndng)的合成111cos()xAt222cos()xAt合振动(zhndng)的位移21xxx第25页/共38页第二十五页，共38页。3. 合振幅(zhnf) AAAAA)cos(2102021222111221122sins

11、intancoscosAAAAcos()xAt2. 初位相1. 合振动(zhndng)仍是同方向同频率的简谐振动(zhndng) 第26页/共38页第二十六页，共38页。振幅(zhnf)最大 Amax=A1+A24.相位差对合振幅(zhnf)的影响（1）同相振动(zhndng)21()2(0,1,2,)kk这时21cos()1第27页/共38页第二十七页，共38页。振幅(zhnf)最小 Amin= |A1 A2|（2）反相振动(zhndng)（3）若位相差(xin ch) 1020为其它任意值时振幅A AminA Amax 21()(21)(0,1,2,)kk这时1)cos(12*4.2.2

12、同方向不同频率的简谐振动的合成12 下面仅讨论两个简谐振动的频率和大，而两频率之差却很小的情况。都比较第28页/共38页第二十八页，共38页。11cos2xAt22cos2xAt合振动(zhndng)位移为21xxx21212cos2cos222xAtt第29页/共38页第二十九页，共38页。合振动(zhndng)的振幅为 212cos22At 合振幅每变化一个周期称为一拍，单位时间拍出现的次数(csh)称为拍频（指合振幅变化的频率）。21拍频： 对于两个频率相接近的振动，若其中一个频率为已知，则通过拍频的测量就可以知道另一个待测振动的频率。这种方法常用于声学、速度测量、无线电技术(jsh)和

13、卫星跟踪等领域。声振动、电磁振荡和波动中是经常遇到的。应用：第30页/共38页第三十页，共38页。*4.2.3 两个(lin )互相垂直的简谐振动的合成110cos()xAt220cos()yAt设222201020102212122cos()sin ()xyxyAAA A 这说明：振动方向互相垂直的同频谐振的轨迹是一椭圆曲线，但曲线的形状(xngzhun)则与两分振动的位相差有很大关系。第31页/共38页第三十一页，共38页。 = 0 = /4 = /2 = 3/4 = PQ利萨如图形(txng) 谐振子的概念在近代物理，如量子力学、热力学，凝聚态物理等各学科中都有重要(zhngyo)的应用

14、。合成(hchng)1.exe合成2.exe第32页/共38页第三十二页，共38页。*4.3 阻尼振动 受迫振动(shu p zhn dn) 共振*4.3.1 阻尼振动(z n zhn dn)在物体运动速度不太大的情况下，粘滞(zhn zh)阻力为 dtdxvfr以弹簧振子为例，其运动微分方程为kxdtdxdtxdm22令02kmm2第33页/共38页第三十三页，共38页。d xdtdxdtx220220式中阻尼(zn)系数 0系统固有角频率。欠阻尼 )1(0220令)cos(00teAxt即 ：阻尼振动振幅按指数(zhsh)规律衰减。第34页/共38页第三十四页，共38页。临界阻尼 )(220其用途之一, 用于灵敏仪器(yq)的回零装置。其不是(b shi)往复运动，须无限长的时间才能回零。过阻尼 )(202第35页/共38页第三十五页，共38页。*4.3.2 受迫振动(shu p zhn dn) 共振维持(wich)等幅振动，需在0cosFFt的策动力(dngl)作用下以弹簧振子为例202cosd xdxmkxFptdtdt 其运动方程为经过不太长的时间，阻尼振动的振幅0tA e衰减为零。即cos()xAt策动力