高二数学竞赛班二试平面几何讲义第十讲几何不等式3

1、 PAGE 10高二数学竞赛班二试平面几何讲义第十讲 几何不等式班级 姓名 一、知识要点：1Ptolemy（托勒密）不等式若ABCD为四边形，则ABCD+ADBC ACBD。等号成立时A,B,C,D四点共圆 2ErdosMordell（埃尔多斯莫德尔）不等式设P是ABC内任意一点，P到ABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。则x+y+z2*(p+q+r) 证明：因为P,E,A,F四点共圆，PA为直径，则有:EF=PA*sinA。 在PEF中，据余弦定理得: EF2=q2+r2-2*q*r*cos(-A)=q2+r2-2*q*r*cos

2、(B+C) =(q*sinC+r*sinB)2+(q*cosC-r*cosB)2(q*sinC+r*sinB)2， 所以PA*sinAq*sinC+r*sinB，即PA=xq*(sinC/sinA)+r*(sinB/sinA) (1)。同理可得: PB=yr*(sinA/sinB)+p*(sinC/sinB) (2)， PC=zp*(sinB/sinC)+q*(sinA/sinC) (3)。 由(1)+(2)+(3)得:x+y+zp*(sinB/sinC+sinC/sinB)+q*(sinC/sinA+sinA/sinC)+r*(sinA/sinB+sinB/sinA)2*(p+q+r)。命题

3、成立。 3Weitzenberk（外森比克）不等式：若 SKIPIF 1 0 为三角形三边长， SKIPIF 1 0 是三角形面积, 则： SKIPIF 1 0 。等号成立当且仅当 SKIPIF 1 0 为等边三角形。 证明：只需证明 SKIPIF 1 0 ，只需证明 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，成立。4Euler（欧拉）不等式设 SKIPIF 1 0 ABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r，则R2r，当且仅当 SKIPIF 1 0 ABC为正三角形时取等号。 5等周定理（等周不等式）周长一定的所有图形中，圆的面积最大；面积一定的所有图形中，圆的周长最小。 周长一定的所有

4、n边形中，正n边形的面积最大；面积一定的所有n边形中，正n边形的周长最小。6Fermat（费马）问题 到三角形的三个顶点的距离之和最短的点叫做费尔马点。 对于一个顶角不超过 SKIPIF 1 0 的三角形，费尔马点是对各边的张角都是 SKIPIF 1 0 的点。 对于一个顶角超过 SKIPIF 1 0 的三角形，费尔马点就是最大的内角的顶点。二、例题精析：例1. 如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I，B=60,AC，A 的外角平分线交圆O于E证明：(1) IO=AE； (2) 2RIO+IA+IC eq f(2,9)三、精选习题：1如图，在ABC中，P为边BC上任意一点，PEBA，PF

5、CA，若SABC=1， 证明：SBPF、SPCE、SPEAF中至少有一个不小于 eq f(4,9) (SXYZ表示多边形XYZ的 面积)2设凸四边形ABCD的面积为1，求证：在它的边上(包括顶点)或内部可以找出 四个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于 eq f(1,4)3在圆O内，弦CD平行于弦EF，且与直径AB交成45角，若CD与EF分别 交直径AB于P和Q，且圆O的半径为1，求证：PCQE+PDQF SKIPIF 1 0 2 四、拓展提高：4设一凸四边形ABCD，它的内角中仅有D是钝角，用一些直线段将该凸四边 形分割成n个钝角三角形，但除去A、B、C、D外，在该四边形

6、的周界上， 不含分割出的钝角三角形顶点试证n应满足的充分必要条件是n45已知边长为4的正三角形ABCD、E、F分别是BC、CA、AB上的点，且 |AE|=|BF|=|CD|=1，连结AD、BE、CF，交成RQS点P在RQS内及边上 移动，点P到ABC三边的距离分别记作x、y、z(1)求证当点P在RQS的顶点位置时乘积xyz有极小值；(2)求上述乘积xyz的极小值高二数学竞赛班二试平面几何讲义第十讲 几何不等式例1. 如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I，B=60,AC,A的外角平分线交圆O于E证明:(1) IO=AE； (2) 2RIO+IA+ICOH=2R设OHI=，则030IO+I

7、A+IC=IO+IH=2R(sin+cos)=2R eq r(2)sin(+45)又+4575，故IO+IA+IC0时，点M在O外，此时，直线l与O相离； 当k=0时，点M在O上，此时，直线l与O相切； 当k0时，aBQbAP0，k=0时，aBQbAP=0，k0时，aBQbAP0时，bCRcBQ0，k=0时，bCRcBQ =0，k0时，bCRcBQ 0时，aCRcAP0，k=0时，aCRcAP =0，k0时，aCRcAP 0时，ABCR+BCAPACBQ0；当k=0时，ABCR+BCAPACBQ=0，当k0时，ABCR+BCAPACBQ eq f(2,9)证明：作ABC及PQR的高CN、RH设

8、ABC的周长为1则PQ= eq f(1,3)则 eq f(SPQR,SABC)= eq f(PQRH,ABCN)= eq f(PQ,AB) eq f(AR,AC)，但AB eq f(2,3)，APABPQ eq f(1,6)，AC eq f(1,3)，从而 eq f(SPQR,SABC) eq f(2,9)1如图，在ABC中，P为边BC上任意一点，PEBA，PFCA，若SABC=1，证明：SBPF、SPCE、SPEAF中至少有一个不小于 eq f(4,9)(SXYZ表示多边形XYZ的面积)证明：如图，三等分BC于M、N，若点P在BM上(含点M)，则由于PEAB，则CPECBACPCB eq f

9、(2,3)于是SPCE eq f(4,9)同理，若P在NC上(含点N)，则SBPF eq f(4,9)若点P在线段MN上连EF，设 eq f(BP,BC)=r( eq f(1,3)r eq f(2,3)，则 eq f(CP,BC)=1rSBPF=r2，SPCE=(1r)2 SBPF+SPCE=r2+(1r)2=2r22r+1=2(r eq f(1,2)2+ eq f(1,2) eq f(1,4)，则A、B、C、D即为所求 若SABD eq f(3,4)，取BCD的重心G，则以B、C、D、G这4点中的任意3点为顶点的三角形面积 eq f(1,4) 若SABD= eq f(1,4)，其余三个三角形

10、面积均 SABD= eq f(1,4)由于SABC+SACD=1，而SACD eq f(1,4)，故SABCSABD，从而SABESABD= eq f(1,4)SACE=SABE eq f(1,4)，SBCE=SABC eq f(1,4)即A、B、C、E四点即为所求 若SABD= eq f(1,4)，其余三个三角形中还有一个的面积= eq f(1,4)，这个三角形不可能是BCD，(否则ABCD的面积= eq f(1,2)，不妨设SADC= SABD= eq f(1,4)则ADBC，四边形ABCD为梯形由于SABD= eq f(1,4)，SABC= eq f(3,4)，故若AD=a，则BC=3a

11、，设梯形的高=h，则2ah=1设对角线交于O，过O作EFBC分别交AB、CD于E、F AEEB=AOOC=ADBC=13 EF= eq f(a3+3a1,1+3)= eq f(3,2) SKIPIF 1 eq f(1,4)SEBC=SFBC= eq f(1,2)3a eq f(3,4)h= eq f(9,8)ah= eq f(9,16) eq f(1,2)于是B、C、F、E四点为所求综上可知所证成立又证：当ABCD为平行四边形时，A、B、C、D四点即为所求当ABCD不是平行四边形，则至少有一组对边的延长线必相交，设延长AD、BC交于E，且设D与AB的距离 eq f(3,4)SABCD= eq

12、f(3,4)即 eq f(1,2)(a+2a)h eq f(3,4)，ah eq f(1,2) SAPQ=SBPQ= eq f(1,2)ah eq f(1,4)SPAB=SQAB=ah eq f(1,2) eq f(1,4)即A、B、Q、P为所求 若ED eq f(1,2)AE，取AE中点P，则P在线段DE上，作PRBC交CD于R，ANBC，交CD于N，由于EAB+EBASABCD=1问题化为上一种情况3在圆O内，弦CD平行于弦EF，且与直径AB交成45角，若CD与EF分别交直径AB于P和Q，且圆O的半径为1，求证：PCQE+PDQF2 证明：作OMCD，垂足为M，交EF于N，设ON=n，OM

13、=m则CM=DM= eq r(1m2)，EN=FN= eq r(1n2)，本题即证( eq r(1m2)m)( eq r(1n2) SKIPIF 1 0 n)+( eq r(1m2)m)( eq r(1n2) SKIPIF 1 0 n)2展开得， eq r(1m2) eq r(1n2)mn1移项，平方得，1m2n2m2n22mn 取“+”号时，M、N在点O同侧，此时mn，总之，命题成立(当E、F交换位置时，且CD、EF在点O异侧时，可能有m=n)又证：PC2+PD2=(CM+OM)2+(CMOM)2=2(CM2+OM2)=2，同理QE2+QF2=2 4=PC2+PD2+QE2+QF2=(PC2

14、+QE2)+(PD2+QF2)2 (PCQE+PDQF)等号当且仅当PC=QE，PD=QF时成立但由已知，此二式不成立故证4设一凸四边形ABCD，它的内角中仅有D是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成n个钝角三角形，但除去A、B、C、D外，在该四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶点试证n应满足的充分必要条件是n4证明 充分性当n=4时，如图，只要连AC，并在ABC内取一点F，使AFB、BFC、CFA都为钝角(例如，可以取ABC的Fermat点，由于ABC是锐角三角形，故其Fermat点在其形内)于是，ADC、AFB、BFC、AFC都是钝角三角形当n=5时，可用上法把凸四边形分成四个钝角三角

15、形再在AF上任取一点E，连EB，则AEB也是钝角三角形，这样就得到了5个钝角三角形一般的，由得到了4个钝角三角形后，只要在AF上再取n4个点E1、E2、En4，把这些点与B连起来，即可得到均是钝角三角形的n个三角形必要性n=2时，连1条对角线把四边形分成了2个三角形，但其中最多只能有1个钝角三角形n=3时，无法从同一顶点出发连线段把四边形分成3个三角形，现连了1条对角线AC后，再连B与AC上某点得到线段，此时无法使得到的两个三角形都是钝角三角形当n=2，3时无法得到满足题目要求的解只有当n4时才有解5已知边长为4的正三角形ABCD、E、F分别是BC、CA、AB上的点，且|AE|=|BF|=|CD|=1，连结AD、BE、CF，交成RQS点P在RQS内及边上移动，点P到ABC三边的距离分别记作x、y、z 求证当点P在RQS的顶点位置时乘积xyz有极小值； 求上述乘积xyz的极小值解： 利用面积，易证： 当点P在ABC内部及边上移动时，x+y+z为定值h=2 eq r(3)；过P作BC的平行线l，交ABC的两边于G、H当点P在线段GH上移动时，y+z为定值，从而x为定值设y，m为定值则函数u=y(my)在点y=或y=时取得极小值于是可知，过R作AB、AC的平行线，过Q作AB、BC的平行线，过S作BC、AC的平行线，这6条平行线