振型向量模态向量的正交性展开定理学习教案

1、会计学1振型向量模态向量的正交性展开振型向量模态向量的正交性展开(zhn ki)定理定理第一页，共50页。 如果将振型向量正则化，则称振型向量为关于质量(zhling)矩阵和刚度矩阵的正则正交性。式中rs为克朗(k ln)尼格符号，其数学定义为 若正则化是按照(nzho)方程(5.2-15)得到的，即( )T( )( ,1,2, )srrsuMur sn(5.3-10)( )T( )2( ,1,2, )srrsruKur sn (5.3-11)(0)(1srsrrs(5.3-12)那么振型向量应满足下面的关系式( )T( )1(1,2, )rruMurn第3页/共50页第2页/共50页第二页，

2、共50页。 例5.3-1 图5.3-1所示三个弹簧(tnhung)悬挂着质量m，三个弹簧(tnhung)位于同一平面内，弹簧(tnhung)常数分别为k1，k2和k3，试写出质量m的运动微分方程。若弹簧(tnhung)刚度k1=k2=k3=k，并且1=0，2=120，3=210，求系统的固有频率和固有振型，并验证振型向量的正交性。 解：取直角坐标x-y如图所示。如果只考虑微小位移，并设弹性恢复力为R1，R2和R3，则质量m的运动(yndng)微分方程为3311cos,siniixiiyiimxRQmyRQ图 5.3-1第4页/共50页第3页/共50页第三页，共50页。式中弹性力为Ri=-ki(

3、xcosi+ysini)将Ri的值代入运动(yndng)微分方程，得321321( cossincos)( sincossin)iiiixiiiiiyimxk xyQmyk xyQ写成矩阵(j zhn)形式为23210cossincos0sincossinxiiiiiyiiiQmxxkQmyy 第5页/共50页第4页/共50页第四页，共50页。1111sin0,cos1,sincos0当1=0时，有2222sin3 2, cos1 2, sincos3 4 当2=120时，有3333sin1 2, cos3 2, sincos3 4 当3=210时，有将以上各i值和k1=k2=k3=k代入刚度

4、(n d)矩阵，得100241434343434343410001sincossincossincos2231kkkkkiiiiiiii第6页/共50页第5页/共50页第五页，共50页。代入质量m的运动(yndng)微分方程为02000 xyQmxkxQmyky 特 征 值 问 题(wnt)为212202000ukmukm 由此得固有频率( yu pn l)为122k mk m第7页/共50页第6页/共50页第六页，共50页。 由于运动微分方程(fngchng)是两个独立的方程(fngchng)，表明x，y正好是两个固有坐标，因此固有振型为(1)(2)01,10uu 为了(wi le)验证振型

5、向量的正交性，将振型向量u(1)和u(2)代入方程(5.3-6)，有(1)T(2)0101000muMum 满足(mnz)正交性条件。第8页/共50页第7页/共50页第七页，共50页。第一(dy)阶主振型第二(d r)阶主振型第9页/共50页第8页/共50页第八页，共50页。二二.具有具有(jyu)重特征值重特征值的系统的系统 具有重特征值，也就是有相同的固有频率( yu pn l)的系统，称为退化系统。 当系统存在p(2pn)个相同的固有频率( yu pn l)时，对应重特征值的特征向量与其余的n-p个特征向量是正交的，但一般说来，对应重特征值的特征向量之间并非一定正交。 当特征值问题是由实

6、对称矩阵M和K来确定时，相应于重特征值的特征向量有p个、但不超过p个相互正交的特征向量。 由于对应于重特征值的特征向量的任一线性组合也是一个特征向量，所以特征向量不是唯一的。第10页/共50页第9页/共50页第九页，共50页。 一般来说，总可以选择p个对应于重特征值的特征向量的线性组合，使它们构成相互正交的特征向量组，从而使得问题(wnt)中的特征向量唯一地确定。 假 定 系 统 的 固 有 频 率1 和2 相 等(xingdng)，其他各固有频率则与它们不同，则在特征值问题的n方程组中，只有n-2个是独立的，这正是由于1是一个特征方程的二重根。 两个固有振型u(1)和u(2)的取值具有一定的

7、 任 意 性 ， 可 以 把 任 意 的 组 合(zh)C1u(1)+C2u(2)看成是对应于固有频率1=2的一个固有振型(其中C1和C2为任意常数)。 第11页/共50页第10页/共50页第十页，共50页。故C1u(1)+C2u(2)也可以看成是对应于1或2的固有振型，所以可以认为有无穷多个(du )固有振型的解，其中只能任意选取两个相互独立的解，其他的解均可由这两个解的线性组合得到。2(1)1()0KM u(5.3-13)2(2)1()0KM u(5.3-14) 将 ， 和u(1)、u(2)分别代入方程(5.2-10)，有212122因此(ync)，有2(1)(2)1122(1)2(2)1

8、1210KMC uC uCKM uCKM u(5.3-15)第12页/共50页第11页/共50页第十一页，共50页。 任意的两个独立的固有振型u(1)和u(2)一般不满足(mnz)正交性条件，即但可以作一个向量(xingling) u(2)+Cu(1) (C为待定常数)，要求这个向量(xingling)对质量矩阵M与u(1)正交，即(1)T(2)(1)T(2)0,0uMuuKu(5.3-16)(1)T(2)(1)0uM uCu(5.3-17)由此可解出待定常数(chngsh)C为(1)T(2)(1)T(2)(1)T(1)1uMuuMuCuMuM (5.3-18)由这个C值而组合的向量u(2)+

9、Cu(1)，就是与u(1)对质量矩阵M是正交的。第13页/共50页第12页/共50页第十二页，共50页。 不难进一步证明(zhngmng)它们对刚度矩阵K也是正交的，而u(1)与u(2)+Cu(1)是彼此独立的固有振型。 这种既相互独立又正交的固有(gyu)振型仍有无穷多组，其中任意一组都可以作为重特征值的特征向量。第14页/共50页第13页/共50页第十三页，共50页。 例5.3-2 在图5.3-2所示的系统中，m1=m2=m，k1=k2=2k，k3=k，k4=k5=4k，试求作微幅振动(zhndng)时，系统的固有频率和固有振型。 解 ： 由 于 系 统 作 微 幅 振 动(zhndng)

10、，可以认为弹簧k1和k2在x方向的变形不影响其他弹簧的状态，而其他弹簧在y方向的变形也不影响弹簧k1和k2的状态。系统运动微分方程为11220040000005000050mxkxmykkymykky 图 5.3-2第15页/共50页第14页/共50页第十四页，共50页。可见，此系统(xtng)存在重特征值。特 征 值 问 题(wnt)为2122234000050050kmukmkukkmu 特征方程为02410)4(22422kkmmmk解得特征值为2221234,6k mk m第16页/共50页第15页/共50页第十五页，共50页。 将 代入特征值问题方程之中，求出第三阶固有振型为23T(

11、3)01 1u将 代入特征值问题方程为2221( )1( )2( )300000110(1,2)0110rrruuru 可见 可取任意值，并有 )2 , 1()(1rur)2 , 1( )(3)(2ruurr第17页/共50页第16页/共50页第十六页，共50页。 取对应于1和2的两阶(lin ji)固有振型向量为不难验证，它们与u(3)是满足(mnz)关于M和K的正交性条件，即(3)01 1 11 1 1101Mum(3)041 141 1101Mum TT(1)(2)1 1 1,-4 1 1uu第18页/共50页第17页/共50页第十七页，共50页。T(1)(2)41 1 11201uMu

12、mm 令新的第二(d r)阶振型向量为由正交性条件(tiojin)T(2)(1)(2)411uCuuCCCT(1)(2)0041 1 10010001mCuMumCmC但它们(t men)之间不正交，即第19页/共50页第18页/共50页第十八页，共50页。解得32C于 是(ysh)T(2)10 35 35 3u 约去比例(bl)因子5/3，故取T(2)21 1u 所以(suy)对应于1，2，3的固有振型为(1)(2)(3)1201 ,1,1111uuu 第20页/共50页第19页/共50页第十九页，共50页。(1)011u (2)100u (3)011u T(1)(2)101 1 000uM

13、um T( )(3)0011110010 1,2ruMumr第21页/共50页第20页/共50页第二十页，共50页。三三.模态矩阵模态矩阵(j zhn) 振型向量(xingling)可以排列成为n阶方阵，称为模态矩阵(或振型矩阵)，即u的每一列(y li)是一个振型向量u(r)(r=1,2,n)。引入振型矩阵u之后，由方程(5.2-14)所表示的特征值问题的所有n个解可以写成简洁的矩阵方程，即式中 2是固有频率平方的对角矩阵。 (1)(2)( )nuuuu(5.3-19)2KuMu(5.3-20)第22页/共50页第21页/共50页第二十一页，共50页。 应用振型矩阵u，可以把式(5.3-6)

14、和式(5.3-8)合并成一个(y )式子，即类似(li s)地，可将式(5.3-7)和式(5.3-9)合并为12TrnMMu MuMM(5.3-21)(5.3-22)12TrnKKu KuKK称Mr为模态质量矩阵(j zhn)，Kr为模态刚度矩阵(j zhn)。第23页/共50页第22页/共50页第二十二页，共50页。 由于固有(gyu)振型具有正交性，振型矩阵u可以用来作为使系统的运动微分方程不耦合的变换矩阵。 若振型向量按照方程(fngchng)(5.2-15)进行正则化，然后排列成正则振型矩阵u，则模态质量矩阵为单位矩阵，模态刚度矩阵为固有频率平方的对角矩阵，即(5.3-23)T111r

15、Mu MuI第24页/共50页第23页/共50页第二十三页，共50页。 由于振型向量只表示系统作固有振动时各坐标间幅值的相对大小(dxio)，所以模态质量和模态刚度的值依赖于正则化方法，只有进行正则化后，才能确定振型向量各元素的具体数值，也才能使Mr和Kr具有确定的值。212T22rnKu Ku (5.3-24)第25页/共50页第24页/共50页第二十四页，共50页。四四.展开展开(zhn ki)定理定理 特 征 向 量 u ( r ) ( r = 1 , 2 , , n ) 形 成(xngchng)一个线性独立组，即有 由于固有(gyu)振型的线性独立性，于是系统的任何一个位形的n维向量w

16、可以由n个固有(gyu)振型的线性组合构成，即(5.3-25)(1)(2)( )120nncuc uc u式中c1, c2 , cn是不同时为零的常数。 (5.3-26)(1)(2)( )( )121nnrnrrwC uC uC uC u式中w称为 的线性组合，系数C1, C2 , Cn表示每一个振型的参与程度。 ,)()2()1(nuuu第26页/共50页第25页/共50页第二十五页，共50页。 改变系数C1,C2 ,Cn而得到的所有线性组合组成向量空间w,这个(zh ge)空间是由u(1), u(2), , u(n) 生成的。 向量组u(r)(r=1,2,n)称为w的生成(shn chn)

17、系统，因为这个向量组是独立的，所以生成(shn chn)系统称为w的基。 属于空间(kngjin)w的任何向量都可以表示成线性组合(5.3-26)的形式，即 系统的任何可能的运动都可以被描写为振型向量的线性组合，也就意味着由任意激励产生的系统的运动可以看作固有振型用适当的常数相乘后的叠加。 (1)(2)( )( )121nnrnrrwC uC uC uC u第27页/共50页第26页/共50页第二十六页，共50页。 如果用正则振型来表示系统的运动，就是把一组联立的运动微分方程变换(binhun)成一组独立的方程，这里的变换(binhun)矩阵就是振型矩阵u。 把联立的运动方程变换(binhun

18、)成一组互不相关的方程来得出系统响应的过程称为振型分析或模态分析。 考虑(kol)固有振型的正交性条件，用u(s)TM左乘方程(5.3-26)的两端，得( )T( )T( )1nssrrruMwC uMu(5.3-27)( )T1(1,2, )rrrCuMwrnM只有当r=s时，内才有值，其余情况均为零，得第28页/共50页第27页/共50页第二十七页，共50页。 若u(r)为正则(zhn z)振型向量，则式(5.3-27)中的Mr=1，即系数(xsh)Cr表示第r阶固有振型u(r)对w所起作用的一种度量。 方程(fngchng)(5.3-26)和方程( f n g c h n g ) ( 5

19、 . 3 - 2 7 ) 与 方 程(fngchng)(5.3-28)在振动分析中称为展开定理。 ( )T(1,2, )rrCuMwrn(5.3-28)( )1nrrrwC u展开定理： ( )T1rrrCuMwM( )TrrCuMw或 第29页/共50页第28页/共50页第二十八页，共50页。 考察一个保守(boshu)系统，系统的动能和势能为q1,q2,qnT为广义坐标向量， 为广义速度向量，M为系统的质量矩阵，K为系统的刚度矩阵。 T12,nqq qqT111122nnrsrsrsTm q qq Mq (5.4-1)T111122nnrsrsrsUk q qq Kq(5.4-2)第30页

20、/共50页第29页/共50页第二十九页，共50页。 动能和势能(shnng)分别是广义速度和广义坐标的二次型。 质量矩阵M和刚度(n d)矩阵K都是实对称矩阵。 按定义动能(dngnng)永远是正的，且只有当速度全为零时才为零，所以质量矩阵M是正定的。 势能如取最小值为零，则它是非负的，它可以在坐标不全为零时等于零，可见刚度矩阵K既可能是正定的，也可能是半正定的，K为负定的情况这里不加以讨论。第31页/共50页第30页/共50页第三十页，共50页。 如果振动系统的质量矩阵(j zhn)M和刚度矩阵(j zhn)K都是正定的，就称为正定系统。 如果质量矩阵M是正定的，而刚度(n d)矩阵K是半正

21、定的，就称为半正定系统。 由于产生半正定系统的物理条件是系统具有不完全的约束，所以(suy)整个系统可能象刚体一样运动。 可见半正定系统一定会出现零值的固有频率，相应的固有振型称为刚体振型或零振型。 在一般情况下，对于一个半正定系统，系统的运动是刚体运动和弹性运动的复合。 第32页/共50页第31页/共50页第三十一页，共50页。 例5.4-1 如图5.4-1所示系统，两质量m1=2m，m2=m，两质量之间的弹簧刚度为2k，求系统的固有频率( yu pn l)和固有振型。 解 ： 系 统 的 运 动(yndng)微分方程为1 11222122 ()2 ()m xk xxm xk xx 写 成

22、矩 阵 ( j zhn)形式1122202200220 xxmkkxxmkk 图 5.4-1第33页/共50页第32页/共50页第三十二页，共50页。假定(jidng)运动是同步的，有 式中Xi(i=1，2)为常数，f(t)是简谐函数(hnsh)，于是有特征值问题112222220220XXkkmXXkkm特征方程为0)62(22222det2222kmmmkkkmk)()(tfXtxii求得特征值为22120,3k m第34页/共50页第33页/共50页第三十三页，共50页。 代入特征值问题(wnt)方程，求出特征向量为(1)(2)11,12XX 此例题中的两个质量组成的系统是不完全(wnq

23、un)约束系统，存在着刚体运动(1=0，X(1)=1 1T)，作为整体的x方向移动。 因为由零固有频率和刚体振型做所定义(dngy)的刚体运动是特征值问题的一个解，可见任何其他的特征向量必定与之正交，即应满足条件T1(1)2000mXXm第35页/共50页第34页/共50页第三十四页，共50页。 由于(yuy)X(1)是一个元素为同一常数的向量，上式的结果为根据同步(tngb)运动解上式也可以写成02211xmxm这一式子的物理(wl)意义是：T1(1)11222000mXXm Xm Xm 半正定系统在这样的自由振动时，其总动量守恒且恒为零值。所以刚体振型的正交性相当于动量守恒。第36页/共5

24、0页第35页/共50页第三十五页，共50页。 例5.4-2 图5.4-2所示系统，三圆盘的转动惯量分别I1，I2和I3，其间(qjin)两段轴的抗扭刚度分别为k1和k2，求系统的第一阶固有频率及固有振型，并加以讨论。 解：系统解：系统(xtng)(xtng)的动能为的动能为2221 12233T1()212TIIII式中转动惯量矩阵(j zhn)为123000000IIII图 5.4-2第37页/共50页第36页/共50页第三十六页，共50页。系统(xtng)的势能为22T12123211 ()() 22UkkK式中刚度(n d)矩阵为1111222200kkKkkkkkk 代入拉格朗日方程(

25、fngchng)可得自由振动的方程(fngchng)为0211111kkI 0)(322211122kkkkI 0322233kkI 第38页/共50页第37页/共50页第三十七页，共50页。 写成矩阵(j zhn)形式为0IK式中f(t)为简谐函数(hnsh)，将此式代入运动微分方程得特征值问题为 系统(xtng)的特征方程为242121223123121 2 311110kkIIIIIIIk kI I I设同步运动解为 ( )f t2IK 第39页/共50页第38页/共50页第三十八页，共50页。固有(gyu)振型的相对幅值为 322223112112,IkkkIk显然可见(kjin)，系

26、统的第一阶固有频率和相应的固有振型由上面两式可得可见系统按此振型振动时，各圆盘的扭角都相同，各圆盘之间不产生(chnshng)相对扭角，整个系统以相同的角位移转动，也就是刚体运动。 一个不完全约束系统的一般运动是在刚体运动上叠加弹性振型的组合运动。 T(1)10,1 1 1第40页/共50页第39页/共50页第三十九页，共50页。 需要(xyo)再次指出的是，对于一个半正定系统，至少有一个零特征值，相应的固有振型为刚体振型。 不能依据固有振型各元素相等(xingdng)来定义零固有频率，实际上，有些正定系统的固有振型的各元素同样相等(xingdng)，但并不存在零固有频率。 因为零固有频率和相

27、应的刚体振型是特征值问题(wnt)的一个解，可见任何其他的特征向量必与其正交，即应满足条件(1)T0I所以上式的结果为0332211III第41页/共50页第40页/共50页第四十页，共50页。根据(gnj)同步运动的解，并求导可得0332211III 与弹性运动相关的系统的动量矩等于零。于是(ysh)得出，刚体振型的正交性相当于动量矩守恒。 另一方面的问题(wnt)是半正定系统的刚度矩阵是奇异矩阵，也就是说其不存在逆矩阵，这一点由刚度矩阵的系数行列式detK等于零显然可见。 上式的物理意义是： 为了克服系统刚度矩阵的奇异性，必须限制刚体运动，消除刚体振型。 希望能够将一个不完全约束系统的特征

28、值问题变换成为一个仅仅寻求弹性振型的问题。 第42页/共50页第41页/共50页第四十一页，共50页。 利用(lyng)刚体振型与其他阶固有振型(弹性振型)的正交性条件所建立起来的守恒方程(动量或动量矩守恒)加以约束处理。 0332211III 如以三圆盘(yun pn)系统为例，有2321313IIII得这样，受约束向量(xingling)r与响应向量(xingling)之间的关系表示如下式1112223312331001rIIII 第43页/共50页第42页/共50页第四十二页，共50页。对于角速度 也存在类似的结果，所以) 3 , 2 , 1( ii,rrrr(5.4-3)12331001rIIII 这里 起一个(y )约束矩阵的作用。 注意到，虽然受约束向量r和 有三个元素，但方程(5.4-3)中的响应向量只有两个元素1和2 。 r第44页/共50页第43页/共50页第四十三页，共50页。 线性变换(5.4-3)可以用来简化动能(dngnng)和势能，使其只含有1和2，依据动能(dngnng)和势能的公式，有TTTT111222rrTIr IrI(5.4-4)TTTT111222rrUKr KrK(5.4-5)式中2T1 311 2231 22 321I III IIr IrII II IIT2221 32 11 32 123