大学物理竞赛辅导之机械振动

1、 理 学 院 物 理 系 张 晚 云一、简谐振动的定义（判据）一、简谐振动的定义（判据） 1 1、弹性回复力、弹性回复力2 2、动力学方程、动力学方程kxF 0222 xdtxd 3 3、运动学方程、运动学方程)cos( tAx)sin( tA)2cos( tA其速度、加速度也有简谐振动的特征其速度、加速度也有简谐振动的特征)cos(2 tAa)cos( tAT2 理 学 院 物 理 系 张晚云二、简谐振动的三个特征量二、简谐振动的三个特征量 1 1、振幅、振幅 2 2、角频率、角频率 3 3、初相位、初相位m mk k 弹弹l lg g 单单I Im mg gl lc c 复复22020 x

2、 xA A00tanx x 同一振动中位相差同一振动中位相差 t t与时间差的关系：与时间差的关系：或由旋转矢量法确定或由旋转矢量法确定 理 学 院 物 理 系 张晚云注意弹簧的串、并联注意弹簧的串、并联及弹簧自身质量的影响及弹簧自身质量的影响三、简谐振动的三种表示方法三、简谐振动的三种表示方法 1 1、 解析表达法解析表达法 2 2、 振动曲线法振动曲线法 3 3、 旋转矢量法旋转矢量法)cos( t tA Ax xtx 图图AAxT2Tto 理 学 院 物 理 系 张晚云三、简谐振动的三种表示方法三、简谐振动的三种表示方法 1 1、 解析表达法解析表达法 2 2、 振动曲线法振动曲线法 3

3、 3、 旋转矢量法旋转矢量法)cos( t tA Ax xtx 图图AAxT2Tto 理 学 院 物 理 系 张晚云 理 学 院 物 理 系 张晚云注意：熟练掌握旋转矢量法！注意：熟练掌握旋转矢量法！Atx0=0 txx t0 0)cos( tAxa a、确定初相位、确定初相位b b、确定相位差或时间差、确定相位差或时间差同一振动：同一振动： t同频率不同振动：同频率不同振动：12c c、解决振动合成问题、解决振动合成问题四、简谐振动的能量四、简谐振动的能量 2222121AmkAEEEKP 221kxEP 221 mEk 理 学 院 物 理 系 张晚云1、 由能量求振幅由能量求振幅k kE

4、EA A02 2、 由能量求角频率由能量求角频率常数常数 ),(x xE E两边求导两边求导022 k kx xt tx xm mddm mk k 2 理 学 院 物 理 系 张晚云五、五、 简谐振动的合成简谐振动的合成;,)(max211221A AA AA AA Ak k 则则若若 .,)(min2112122A AA AA AA Ak k 则则若若1 1、同方向同频率两个简谐振动的合成、同方向同频率两个简谐振动的合成)cos(111 tAx)cos(222 tAx)cos(21tAxxx cos2212221AAAAA 22112211coscossinsin AAAAtg 理 学 院

5、物 理 系 张晚云2 2、同方向同频率、同方向同频率N个等振幅、初相位依次相差定值个等振幅、初相位依次相差定值 的简谐振动的合成的简谐振动的合成tAtx cos)(01 )cos()(02 tAtx)2cos()(03 tAtxNxxxx 21)cos( tA 2sin2sin0 NAA )1(cos)(0 NtAtxN 21 N 理 学 院 物 理 系 张晚云、同方向不同频率的简谐振动的合成、同方向不同频率的简谐振动的合成)cos()(22tAtx)cos()(11tAtx 2- 1 2+ 121xxx )2cos()2cos(22112 ttA随随缓变缓变形成形成“拍拍”)2cos(212

6、t tA AA A 合合合合振振动动的的振振幅幅：122 拍拍T12 拍拍 理 学 院 物 理 系 张晚云4 4、相互垂直的同频率的简谐振动的合成、相互垂直的同频率的简谐振动的合成)cos(11 tAx)cos(22 tAy 221222212sincos2 AAxyAyAx12 特别地特别地当振幅相当振幅相等时，椭等时，椭圆轨道就圆轨道就成为圆。成为圆。 理 学 院 物 理 系 张晚云六、阻尼振动六、阻尼振动 0 teAtxtcos000220TT 七、受迫振动七、受迫振动1 1、稳态解、稳态解 x=Acos( t+ )驱动力频率驱动力频率2 2、共振、共振01 1）速度共振：）速度共振：若

7、若 g的情形下：的情形下：(1) 小珠相对圆环的平衡位置小珠相对圆环的平衡位置( (以小珠与圆以小珠与圆心的连线同竖直直径之间的夹角心的连线同竖直直径之间的夹角q q0表示表示);); (2) 小珠在小珠在平衡位置附近作小振动的角频率。平衡位置附近作小振动的角频率。理 学 院 物 理 系 张晚云0q q解：解：(1)(1)在平衡位置时在平衡位置时mgNmg=Ncosq0Nsinq0=mRsinq02g=cosq0R21cosg=q0R2(2)(2)当小球偏离平衡位置时当小球偏离平衡位置时小球除了受正压力小球除了受正压力N，重力作用，重力作用mg 外，外，qNmgFI还受到一惯性力还受到一惯性力

8、:切向切向: q qq qmamgFI sincos22dtdmRq q q qq qq q sincossin2Rg 22dtdq qq q q qq q 02)sin( q qRmFI )sin()cos()sin()(000222q q q qq q q qq q q q q q Rgdtd很小很小q q q q q qq qq q q q)(cossin)sin(000 q q q qq qq q q q)(sincos)cos(000 22)(dtdq q q q q qq q cos)cos21 (0022Rg 理 学 院 物 理 系 张晚云 22)(dtdq q q q q qq

9、 q cos)cos21 (0022Rg 理 学 院 物 理 系 张晚云g=cosq0R20)(2224222 q q q q RgRdtdR24g2R22=理 学 院 物 理 系 张晚云 例例5. 一不可伸长的细绳穿过光滑桌面的小孔，一端一不可伸长的细绳穿过光滑桌面的小孔，一端系一质量为系一质量为m的小球，另一端系一质量为的小球，另一端系一质量为M的重物。的重物。小球在桌面上以作匀速率圆周运动，此时重物静止小球在桌面上以作匀速率圆周运动，此时重物静止不动。试证明：当重物受到竖直向下或向上的微扰后，不动。试证明：当重物受到竖直向下或向上的微扰后，它将在竖直方向作简谐振动，并求其振动周期。它将在

10、竖直方向作简谐振动，并求其振动周期。0例例6.如图如图,一弹簧振子由劲度系数为一弹簧振子由劲度系数为k 的弹簧和质量为的弹簧和质量为M的物块组成，将弹簧一端与顶板相连。开始时物块静止，的物块组成，将弹簧一端与顶板相连。开始时物块静止，一颗质量为一颗质量为m、速度为速度为v01的子弹由下而上射入物块，并的子弹由下而上射入物块，并留在物块中。试求：留在物块中。试求： (1)(1)振子以后的振动振幅与周期；振子以后的振动振幅与周期； (2)(2)物块从初始位置到最高点所需的时间。物块从初始位置到最高点所需的时间。 M01 ox0 x自然自然位置位置x 解：解：建立如图所示坐标，建立如图所示坐标，在在

11、平衡平衡位置位置)()(0 xxkgMm xkMg kmgx 0(1) 由动量守恒由动量守恒得：得：001)( Mmm 010)( Mmm 理 学 院 物 理 系 张晚云M01 ox0 x自然自然位置位置x kmgx 0010)( Mmm Mmk 22020 xA2201)(1gMmkkmg 00tanx (2) 最高点的相位：最高点的相位：Mmkg 01 2t)(tan011Mmkg 2 t)(tan011MmkgkMmt 理 学 院 物 理 系 张晚云理 学 院 物 理 系 张晚云三、阻尼三、阻尼振动与受迫振动问题举例振动与受迫振动问题举例A 1. 固有频率为固有频率为的弹簧振子，在忽略阻

12、尼的情况下，的弹簧振子，在忽略阻尼的情况下，受到频率为的余弦策动力作用，作受迫振动并达到受到频率为的余弦策动力作用，作受迫振动并达到稳定状态，振幅为稳定状态，振幅为A。若振子在经过平衡位置时撤去策。若振子在经过平衡位置时撤去策动力，此后作振幅动力，此后作振幅A的的自由振动，则自由振动，则A与与A的关系为的关系为。0 02 提示：撤去策动力前、后振子在平衡位置的速率不变。提示：撤去策动力前、后振子在平衡位置的速率不变。振子受稳态受迫振动时，振子受稳态受迫振动时，在平衡位置处的速率为：在平衡位置处的速率为：A 振子自由振动时，振子自由振动时，在平衡位置处的速率为：在平衡位置处的速率为： AA2 理

13、 学 院 物 理 系 张晚云2. . 一摆在空中振动，某时刻振幅为一摆在空中振动，某时刻振幅为A0= 0.03m，经过，经过t1=10s后，振幅变为后，振幅变为 A1=0.01m，问，问: :由振幅为由振幅为A0时起时起经多长时间，其振幅减为经多长时间，其振幅减为A2=0.003m ？ =20.9(s)=0.110Ae0=At0=lnAlnAt1=ln100.030.01110=lntAA1120=lntAA2=10.11ln0.030.003解：解：理 学 院 物 理 系 张晚云五、补充练习题五、补充练习题 1. 设想沿地球直径凿一隧道，并设地球为密度设想沿地球直径凿一隧道，并设地球为密度

14、=5.5l03kg/m3的均匀球体。试证的均匀球体。试证: : (1)当无阻力时，一物体落入此隧道后将作简谐振动；当无阻力时，一物体落入此隧道后将作简谐振动； (2)物体由地球表面落至地心的时间为物体由地球表面落至地心的时间为( (提示提示: :物体在地球内部所受引力的计算，与电荷在均匀物体在地球内部所受引力的计算，与电荷在均匀带电球体内受力的计算类似带电球体内受力的计算类似) ) Gt341 式中式中G是引力常量。是引力常量。2.一质量为一质量为m，半径为半径为r 的均匀实心小球在半径为的均匀实心小球在半径为R的球形碗底作纯滚动。求微小振动的周期。的球形碗底作纯滚动。求微小振动的周期。理 学 院 物 理 系 张晚云R Rr r3.质量为质量为 可在光滑水平直导轨上滑动可在光滑水平直导轨上滑动，滑块经长为滑块经长为l的刚性轻杆与一质量为的重锤相连。重锤与滑块可的刚性轻杆与一质量为的重锤相连。重锤与滑块可绕滑块无摩擦地自由转动。在绕滑块无摩擦地自由转动。在t=0时刻，细杆与铅垂时刻，细杆与铅垂线夹角由静止释放。试求：重锤的运动轨迹及小角线夹角由静止释放。试求：重锤的运动轨迹及小角度下滑块的运动方程度下滑块的运动方程。