弹性动力学中的基本波

1、第二章第二章 弹性动力学中的基本波弹性动力学中的基本波弹性体的运动表现为在弹性介质中传播的弹性波。弹性体的运动表现为在弹性介质中传播的弹性波。在本章中将介绍弹性波方程以及在均匀各向同性完在本章中将介绍弹性波方程以及在均匀各向同性完全弹性介质中弹性波的基本类型和它们的特点。全弹性介质中弹性波的基本类型和它们的特点。1、弹性波的控制方程、弹性波的控制方程2、声波方程的建立、声波方程的建立3、均匀各向同性无限弹性介质中的平面波、均匀各向同性无限弹性介质中的平面波4、均匀各向同性无限弹性介质中的球面波、均匀各向同性无限弹性介质中的球面波5、均匀各向同性无限弹性介质中的柱面波、均匀各向同性无限弹性介质中

2、的柱面波6、波动方程的定解问题、波动方程的定解问题222()ugraduFt （1-98） 其中其中u为位移向量，体变为位移向量，体变 ，F 为体力向量。为体力向量。方程式（方程式（1-98）决定着弹性介质运动状态，决定着振动在）决定着弹性介质运动状态，决定着振动在弹性介质中的传播，称为弹性介质中的传播，称为拉梅方程拉梅方程。vudixxuexxyuveyxxzuwezxyyveyyzvwezyzzwez222xxxxyyyyzzzzeee xzxzyzyzxyxyeee(1-75)(1-74)下面是本章要用到的第一章中的公式下面是本章要用到的第一章中的公式21 弹性波控制方程弹性波控制方程一

3、、弹性波方程的导出一、弹性波方程的导出 弹性体的运动状态由弹性体每一点上的位移向量弹性体的运动状态由弹性体每一点上的位移向量u u所决定。所决定。作为质点位置坐标和时间的函数，位移向量作为质点位置坐标和时间的函数，位移向量u u满足弹性介质运动满足弹性介质运动平衡微分方程式。平衡微分方程式。根据亥姆霍兹根据亥姆霍兹( (HelmholtzHelmholtz) )定理，任何一个向定理，任何一个向量场可以表示为一个无源向量场及一个无旋向量场之和量场可以表示为一个无源向量场及一个无旋向量场之和，所以位，所以位移向量移向量u u可以写作：可以写作：其中其中 和和 称为位移位，称为位移位， 为标量位，为

4、标量位， 为向量位。为向量位。psuuugrc rladu（2 23 3）u up p为标量位的梯度，其旋度为零，称为无旋场；为标量位的梯度，其旋度为零，称为无旋场；u us s为向为向量位的旋度，其散度为零，称为无散场；即量位的旋度，其散度为零，称为无散场；即 和（和（2 23 3）式类似，对体力向量）式类似，对体力向量F F 使用场的分解，使用场的分解，将它分为位场部分将它分为位场部分grad grad 和旋场部分和旋场部分curlcurl，可有：，可有：()0()0curl graddiv curl（24）Fgradcurl（26）将（将（2 23 3）、（）、（2 26 6）代入拉梅方

5、程）代入拉梅方程(1-98)(1-98)，222()()()()()0grad div gradcurlgradcurlgradcurlgradcurlt 222()ugraduFt （1-98）其中除交换微分运算顺序外其中除交换微分运算顺序外, ,还考虑了还考虑了div curdiv curl =0 =0，2()graddiv 方程式（方程式（2 28 8）、（）、（2 29 9）为非齐次波动方程。）为非齐次波动方程。2222222tt （28）（29）22222(2)0g ra dtcu rlt 整理后可得：整理后可得：（27）在（在（2 27 7）式中若两个方括号中的式子为零，则方程）式

6、中若两个方括号中的式子为零，则方程得到满足。因此我们有：得到满足。因此我们有：n弹性介质运动平衡方程式弹性介质运动平衡方程式 分解为：分解为：表明，表明，在均匀各向同性完全弹性介质中存在着两种互相独在均匀各向同性完全弹性介质中存在着两种互相独立的波动类型立的波动类型。根据关系式。根据关系式其中其中 为相对体变，为相对体变， 为弹性介质旋转角位移量，前者表为弹性介质旋转角位移量，前者表示介质的胀缩应变，后者表示介质的旋转运动。示介质的胀缩应变，后者表示介质的旋转运动。2222222tt 二、纵波和横波二、纵波和横波2divucurlu这样以这样以 标量位为未知函数的波动方程式（标量位为未知函数的

7、波动方程式（2 28 8）描述）描述的是介质某一区域的体积变化的是介质某一区域的体积变化即膨胀或压缩。在这种即膨胀或压缩。在这种状态下介质质点围绕其平衡位置作前进或返回的往返运状态下介质质点围绕其平衡位置作前进或返回的往返运动，单元体不作旋转。这种类型的波动称为纵波，经常动，单元体不作旋转。这种类型的波动称为纵波，经常用用P P 表示，也称表示，也称P P波波。不难看出，不难看出，div us=div ( curl )=0。此处考虑了此处考虑了u us s为无散的旋度场为无散的旋度场2()()0psppdivudiv uudivucurlucurl grad (2-10)由方程式（由方程式（2

8、 29 9）所描述的是另一类型的波动。）所描述的是另一类型的波动。 在这种情况下运动形式是弹性介质单元体旋转，在这种情况下运动形式是弹性介质单元体旋转，而不发生膨胀或压缩现象。这种类型的波动，其质点位而不发生膨胀或压缩现象。这种类型的波动，其质点位移方向与振动传播方向相垂直，因而得名为横波，经常移方向与振动传播方向相垂直，因而得名为横波，经常用用S S表示，也称表示，也称S S波波。此处考虑了此处考虑了u up p为无旋场，为无旋场，curl upcurl (grad )=0。2()()()0psscurlucurl uucurl curldivudiv curl(2-11)当当外力作用停止外

9、力作用停止以后或在以后或在没有外力作用的介质没有外力作用的介质部分，讨部分，讨论已经发生的弹性振动在介质中的传播情况，论已经发生的弹性振动在介质中的传播情况，使用齐次使用齐次波动方程。波动方程。在式（在式（2 28 8）和式（）和式（2 29 9）中）中令令 ，可有：，可有：0,0 222222200tt（213）（212）三、波动方程的一般形式三、波动方程的一般形式 在弹性介质中存在两种类型的波，纵波和横波。其齐在弹性介质中存在两种类型的波，纵波和横波。其齐次方程可归纳为：次方程可归纳为：其中其中f=f(x，y，z，t) 为波函数，可以代表表示纵波和横为波函数，可以代表表示纵波和横波的各种物

10、理量，如波的各种物理量，如位移位、体变位移位、体变等，等，C表示波的传播表示波的传播速度速度纵波传播速度：纵波传播速度：横波传播速度：横波传播速度：22221ffCt(2-16)2PSVV(2-17)(2-18)取纵波和横波传播速度之比取纵波和横波传播速度之比 ，用用E E 和和v v 表示表示 、 ，并代入式（，并代入式（2-192-19），可得：），可得：可见纵波速度大于横波速度。对自然界中常见的岩石可见纵波速度大于横波速度。对自然界中常见的岩石来说，来说， , ,即即 =0.25=0.25。具有这种性质的物体称为。具有这种性质的物体称为泊松体泊松体。对泊松体而言，。对泊松体而言， 1.7

11、31.73；2(2-19)2(1)11 2(2-20) 总结：总结：在均匀各向同性完全弹性介质中，纵波和在均匀各向同性完全弹性介质中，纵波和横波彼此独立存在和传播，在非均匀介质中，纵波和横横波彼此独立存在和传播，在非均匀介质中，纵波和横波彼此不能分开、独立传播，即纵波能产生横波，横波波彼此不能分开、独立传播，即纵波能产生横波，横波也能产生纵波。也能产生纵波。拉梅方程拉梅方程 对上式取散度对上式取散度 对上式取旋度对上式取旋度2222divFt222curlFt222()ugraduFt 2PVSV四、初值与边值条件四、初值与边值条件n波动方程一般有无限多的解。求解波动方程，确定波动方程一般有无

12、限多的解。求解波动方程，确定位移场唯一解，要求给出补充条件位移场唯一解，要求给出补充条件初值条件和初值条件和边值条件。边值条件。n首先，求出波动方程的通解。首先，求出波动方程的通解。n其次，根据给定的初值、边值条件确定待定系数。其次，根据给定的初值、边值条件确定待定系数。n满足条件的解为定解。满足条件的解为定解。 如果要求确定在时间间隔如果要求确定在时间间隔00，t tm m ， 内的波函数值，或称为波场值，要求给出波函数及其对内的波函数值，或称为波场值，要求给出波函数及其对时间偏导数在时间偏导数在t t0 0时在所有求解区域上的值：时在所有求解区域上的值：称为初值条件。如果在称为初值条件。如

13、果在t=0t=0时刻以前介质是静止的，其时刻以前介质是静止的，其位移等于零，则初始条件应是：位移等于零，则初始条件应是：(2-22)00( , , )( , )tfx y z tfx y z(2-21)0mtt ( , , , )0( , , , )0oofx y z tfx y z t0( , )ffx y zt0t 这种形式的初值条件意味着除了给定的以外，这种形式的初值条件意味着除了给定的以外，在介质中没有任何形式的震源。在介质中没有任何形式的震源。 边值条件边值条件包括在波函数求解包括在波函数求解区域边界上区域边界上给定待求给定待求解的函数值和在求解区域解的函数值和在求解区域内部介质分界

14、面上内部介质分界面上给定的连给定的连续条件，前者称为续条件，前者称为边界条件边界条件，后者称为，后者称为分界面连续条分界面连续条件。件。三类边界条件：三类边界条件：1 1、在函数求解区域的边界、在函数求解区域的边界S S上给定上给定t t大于等于大于等于0 0时，待时，待求解的函数值，求解的函数值，这样的边界条件称为这样的边界条件称为位移边界或狄里赫利边界条件；位移边界或狄里赫利边界条件；2 2、在函数求解区域的边界、在函数求解区域的边界S S上给定上给定t t大于等于大于等于0 0时，待时，待求解的函数对边界外法线求解的函数对边界外法线n n的导数值，的导数值，1( , , , )( , ,

15、 , ),0sf x y z tf x y z t t(2-23)1S( , , , )0ffx y z ttn(2-24) 这样的边界条件称为这样的边界条件称为应力边界条件或诺埃曼边界条件应力边界条件或诺埃曼边界条件3 3、在部分边界、在部分边界S1S1上给定上给定位移边界条件位移边界条件，在另一部分，在另一部分边界边界S2S2上给定上给定应力边界条件，应力边界条件，这样的边界条件称为这样的边界条件称为混合边界条件。混合边界条件。1211s( , , , )( , , , )0( , , , )0sf x y z tf x y z ttffx y z ttn(2-25) 使用非零的边界条件，

16、或称为非齐次边界条件，求使用非零的边界条件，或称为非齐次边界条件，求解齐次波动方程式解齐次波动方程式(2-12)、(2-13)或或(2-16)，可以代，可以代替求解带震源项的非齐次波动方程式替求解带震源项的非齐次波动方程式(2-8)、(2-9)，以研究震源的作用以研究震源的作用。这时，位于波函数求解区域。这时，位于波函数求解区域V V以外以外的震源作用由的震源作用由V V区域边界面区域边界面S S上给出的边界条件所代替。上给出的边界条件所代替。2222222tt 222222200tt 至于分界面连续条件，它由波场函数在弹性介质至于分界面连续条件，它由波场函数在弹性介质性性质突变分界面质突变分

17、界面上的性质所决定。例如，分界面上的性质所决定。例如，分界面S S将所研将所研究的弹性介质分为两部分，一部分的弹性参数和密度究的弹性介质分为两部分，一部分的弹性参数和密度为为 , ,另一部分的弹性参数和密度为另一部分的弹性参数和密度为 ；在这样的分界面上自两边介质作用的应力应该相等，正在这样的分界面上自两边介质作用的应力应该相等，正如在介质内部其它截面上一样。在分界面上应力相等的如在介质内部其它截面上一样。在分界面上应力相等的条件称为应力连续条件。在条件称为应力连续条件。在x x，y y，z z直角坐标系内取直角坐标系内取z z0 0为两种弹性不同的介质分界面，为两种弹性不同的介质分界面，xo

18、yxoy面在各个点上面在各个点上与分界面相切与分界面相切( (介质分界面可以是非水平的或弯曲的介质分界面可以是非水平的或弯曲的) )。111, 222, z z0 0时的应力连续条件可以写作：时的应力连续条件可以写作：经过分界面经过分界面z z0 0由介质由介质1 1过渡到介质过渡到介质2 2时位移和它的分时位移和它的分量应是连续变化的。这样的条件称为位移连续条件。当量应是连续变化的。这样的条件称为位移连续条件。当z z0 0时，可以写作：时，可以写作：u u1 1=u=u2 2或者或者 u u1 1=u=u2 2 v v1 1=v=v2 2 w w1 1=w=w2 2 (2-28) 作为波动

19、方程的解必须满足（作为波动方程的解必须满足（2 22626）、（）、（2 22828）两类分界面连续条件。两类分界面连续条件。12()()zxzx12()()zyzy12()()zzzz(2-26)2-2 声波方程的建立声波方程的建立n固体介质中的纵波是一种胀缩应变波，有时称为固体介质中的纵波是一种胀缩应变波，有时称为疏密波，它与流体中的声波具有同样性质。如果疏密波，它与流体中的声波具有同样性质。如果不考虑固体中的不考虑固体中的转换波转换波问题，地震波的传播问题问题，地震波的传播问题可以使用声波方程来研究。可以使用声波方程来研究。n这种情况是模拟在介质中只存在纵波。因为纵波这种情况是模拟在介质

20、中只存在纵波。因为纵波的传播速度是最快的，在纵波勘探时期，这种假的传播速度是最快的，在纵波勘探时期，这种假设的正演模拟是非常有意义的。设的正演模拟是非常有意义的。一、运动方程式一、运动方程式 讨论理想流体中一个体积元讨论理想流体中一个体积元d d，使用牛顿运动第二使用牛顿运动第二定律定律，即，即F Fmama，m=m=d d，为流体密度。为流体密度。 若若v v为质点运动的速度，则有为质点运动的速度，则有 ；在一般；在一般情况下，流体密度及质点运动速度是质点位置坐标和时情况下，流体密度及质点运动速度是质点位置坐标和时间的间的函数；函数； (r，t)，v=v(r，t)，其中，其中r为质点空间为质

21、点空间坐标点向径，坐标点向径，r=xi +yj +zk。dmaddt随着体积元的运动，位置坐标也在改变，随着体积元的运动，位置坐标也在改变，r=r(t)r=r(t)，向径向径r r也是时间函数，所以有也是时间函数，所以有体积元运动的速度体积元运动的速度：加速度加速度a a为速度对时间的导数，为速度对时间的导数，考虑到式（考虑到式（2 22929）式可有：）式可有：其中其中drdxdydzvijkdtdtdtdt(2-29)dvvv dxv dyv dzadttx dty dtz dt(2-30)()dvvavvdtt(2-31)ijkxyz 另一方面讨论作用于体积元另一方面讨论作用于体积元d

22、d的力的力F F。流体中每一。流体中每一点都可定义一个压强点都可定义一个压强P P，压强是个标量，它是位置坐标，压强是个标量，它是位置坐标和时间的函数，和时间的函数，PP(r,t)。如图。如图2 21 1所示，对侧面所示，对侧面dydz，作用于左侧面的压强为作用于左侧面的压强为P(x,y,z,t)，作用于右侧面的压强，作用于右侧面的压强为为P(x+dx,y,z,t)；它们的压力方向相反，合力为两压力；它们的压力方向相反，合力为两压力之差，是作用于单元体的一个沿之差，是作用于单元体的一个沿x x方向的作用力：方向的作用力：P(x,y,z,t) P(x+dx,y,z,t)dydz同理，将得到作用于

23、单元体的沿同理，将得到作用于单元体的沿y y和和z z方向的作用力：方向的作用力：P(x,y,z,t) P(x,y,z+dz,t)dxdyP(x,y,z,t) P(x, y+dy,z,t)dxdz作用于体积元作用于体积元d d总的作用力为：总的作用力为：考虑到考虑到d d为微小体积元，压强随空间坐标呈线性规为微小体积元，压强随空间坐标呈线性规律变化，即律变化，即则上式可以写作：则上式可以写作：(, , , )( , , , )PP xdx y z tP x y z tdxx()PPPijk dxdydzgradP dxyzF (2-32), , , , ,P x y z tP xdx y z

24、tdydzFi, , , ,P x y z tP x ydy z tjdxdz, , , ,P x y z tP x y zdz tkdxdy()vvtvgradP这样牛顿运动学第二定律这样牛顿运动学第二定律F Fmama可以写成：可以写成：称为运动方程式。称为运动方程式。这里去掉了体积元这里去掉了体积元dxdydz（233）二、连续性方程二、连续性方程依据质量守恒原理依据质量守恒原理。在一个封闭区域。在一个封闭区域，S S为该区域为该区域的表面积。积分：的表面积。积分：表示单位时间内流过表示单位时间内流过S S表面积的介质质量。单位时间内表面积的介质质量。单位时间内通过通过S S曲面传播出去

25、的质量，应该等于曲面传播出去的质量，应该等于区域内在单位区域内在单位时间内质量减少量。有：时间内质量减少量。有：根据（高斯）散度定理，有：根据（高斯）散度定理，有：称为流体介质连续性方程。称为流体介质连续性方程。sv d SsvdSdt (2-34)()0divvt(2-36)三、可压缩的流体中的声波方程三、可压缩的流体中的声波方程设流体介质密度设流体介质密度和压强和压强P P在常数背景在常数背景0和和P P0 0上有一上有一个变化量个变化量和和P P ，且这个变化量远小于背景值，即：，且这个变化量远小于背景值，即： 将（将（2 23737）代入运动方程式）代入运动方程式（233）后可得：后可

26、得：（237）00PPP00()()PP00()()(vtvvgrad PPgrad P 、P P和和0 0、P P0 0相比是一个微量相比是一个微量; ; v 是一个二阶是一个二阶微量。略去含有这些微量的项，可得：微量。略去含有这些微量的项，可得：另一方面，将另一方面，将 代入代入连续性方程式连续性方程式（2 23636）进行整理。首先对方程式（进行整理。首先对方程式（2 23636）作一些变换。计）作一些变换。计算算div v ，可得：，可得：ovgradPt （238）odiv v= div v +v?grad （239）将上式代入式（将上式代入式（2 23636），），其中考虑其中考虑

27、v是一个微量，是一个微量， 项可以略去。连续项可以略去。连续性方程式变为：性方程式变为：将将 代入可得：代入可得：divdivgrad0vvvttdiv0vt(2-40)odiv0ovt(2-41)v?grad其中其中P P是压强，是压强，V V是气体体积，是气体体积， 为常数，为常数， 和和 是初始状是初始状态的压强和体积。又：态的压强和体积。又： ，代入（，代入（2 24343）式，并考虑体积与密度成反比关系，有：）式，并考虑体积与密度成反比关系，有： 00VPPV0Pn声波传播过程，可以看成是一个绝热过程，声波传播过程，可以看成是一个绝热过程，满足泊松满足泊松绝热方程绝热方程：0V00,

28、PPP000001PPP00PP因此：因此：该式右边是个常数，用该式右边是个常数，用C C2 2表示表示 。则得到。则得到2PC(2-45)(2-43)流体的状态方程：流体的状态方程：其中其中Cp为常压下的比热容为常压下的比热容Cv为常体积下的比热容为常体积下的比热容CpCv 使用以上导出的三个方程式（使用以上导出的三个方程式（2 23838）、（）、（2 24141）、（）、（2 24545）可以导出声波方程。对）可以导出声波方程。对（238） 取散度：取散度：将将（2 24545） 代入，可有：代入，可有：由由（2 24141） 式得式得divdiv(grad)ovPt 2divdiv(g

29、rad)ovCt （246）1divovt ovgradPt div0ovt2PC代入（代入（2 24646）式，）式，其中其中 。所以有：。所以有：将（将（2 24545）式代入上式，可得以压强变化量）式代入上式，可得以压强变化量P P 为函为函数的方程式：数的方程式：21()div(grad)ooCtt 2div(grad) 2222Ct（247）2222PCPt（248）这样，在声波传播过程中介质密度和压强变化量这样，在声波传播过程中介质密度和压强变化量 和和P P将分别满足式（将分别满足式（2 21616）的波动方程。式（）的波动方程。式（2 24747）、）、（2 24848）中的）

30、中的 和和P P都为标量，所以称之为标量波都为标量，所以称之为标量波动方程。动方程。四、声波的速度位四、声波的速度位 质点运动速度质点运动速度v v 是一个向量，在声学研究中经常是一个向量，在声学研究中经常使用声波传播介质质点运动速度的位函数使用声波传播介质质点运动速度的位函数 ，称为，称为速度位。速度位。v v 可用位函数的空间偏导数来表示。流体可用位函数的空间偏导数来表示。流体介质中的声波是一个胀缩应变波或疏密波，是一个介质中的声波是一个胀缩应变波或疏密波，是一个无旋运动，无旋运动，curlcurlv =0=0。因此。因此v可表示为位函数的梯度可表示为位函数的梯度写成分量形式可有：写成分量

31、形式可有：gradv (2-49)XYZvvvxyz (2-50)可以说明，位函数可以说明，位函数 将满足声波方程。为此，将（将满足声波方程。为此，将（2 24949）式代入）式代入运动方程式运动方程式（2 23838），可得：），可得：在上式中交换求导顺序，在上式中交换求导顺序，因此有：因此有：(grad )gradoPt （251）grad()gradoPt oPt （252）将将状态方程状态方程（2 24545）用于）用于连续方程连续方程（2 24141），以），以P P代替代替 ，有：，有：将式（将式（2 24949）、式（）、式（2 25252）代入上式，得到：）代入上式，得到：整理

32、后可有：整理后可有：21div0oPvCt（253）21div (grad )0oovCtt222210Ct（254）五、求解声波方程时的分界面连续条件五、求解声波方程时的分界面连续条件 对两个流体介质分界面，要求满足两类边界条件：对两个流体介质分界面，要求满足两类边界条件：声压连续条件和速度连续条件。声压连续条件是分界声压连续条件和速度连续条件。声压连续条件是分界面两侧介质中的声压函数在分界面上的值应该相等；面两侧介质中的声压函数在分界面上的值应该相等；速度连续条件是分界面两侧介质质点运动速度的沿界速度连续条件是分界面两侧介质质点运动速度的沿界面法向方向分量应该相等。面法向方向分量应该相等。

33、使用速度位解题时，应使使用速度位解题时，应使用速度位用速度位 表示声压和速度，写出连续条件，即：表示声压和速度，写出连续条件，即： gradoPvt （252）(2-49)23 均匀各向同性无限弹性介质中的均匀各向同性无限弹性介质中的平面波平面波n平面波是等相位面为平面，且与波的传播方向垂平面波是等相位面为平面，且与波的传播方向垂直的波动。直的波动。n从点震源产生的球面波向四周传播在离震源足从点震源产生的球面波向四周传播在离震源足够远的地方，研究一个局部的等相位面，可以看够远的地方，研究一个局部的等相位面，可以看成是一个平面。成是一个平面。n在理论上任何类型的波可以平面波合成形式表示。在理论上

34、任何类型的波可以平面波合成形式表示。一、波动方程的平面波形式解一、波动方程的平面波形式解n选择坐标系，使选择坐标系，使X X轴与波的传播方向重合轴与波的传播方向重合。这时位移向。这时位移向量量u u和它的分量和它的分量 与坐标与坐标y,zy,z无关，有：无关，有：n对纵波而言，波函数可以取作位移分量对纵波而言，波函数可以取作位移分量u, ,则则C C为纵波传为纵波传播速度，播速度， ； 对横波而言，波函数可取作位移分量对横波而言，波函数可取作位移分量v或或w，则，则C C为横为横波速度，波速度， 。 方程式方程式(2(257)57)称为一维波动方程，描述一个平面称为一维波动方程，描述一个平面波

35、，它有两种类型，一是平面纵波，另一是平面横波。波，它有两种类型，一是平面纵波，另一是平面横波。, ,u v w222221ffxCt（257）2CC对方程（对方程（2-572-57）求傅立叶变换，）求傅立叶变换， 可以得到：可以得到：其中其中 ；方程；方程式（式（2 25959）为线性均匀常微分方程，为线性均匀常微分方程，称称为一维亥姆霍兹方程。为一维亥姆霍兹方程。这个方程的解是已知的，这个方程的解是已知的，（2-60）对对式（式（2-60）使用傅立叶变换）使用傅立叶变换可得可得时间域的解时间域的解，其形式为：，其形式为：（2-61）式（式（2-61）称为平面波达兰贝尔解）称为平面波达兰贝尔解

36、,是一维波动方程的一个通解是一维波动方程的一个通解.2220dKdxKC12( ,)( )( )xxjjCCxee 12( , )()()xxf x tf tf tCC( , )( , )j txf x t edt（2-59）n等相位面由达兰贝尔解中的波函数复合变量定义等相位面由达兰贝尔解中的波函数复合变量定义：n其中其中常数决定了等相位面的相位值常数决定了等相位面的相位值，为参变量，为参变量，表示表示同一等相位面在不同时刻同一等相位面在不同时刻t t0 0处于空间不同位处于空间不同位置。置。它是垂直它是垂直x x轴的一系列平面轴的一系列平面。所以一维波动方。所以一维波动方程的解是平面波。程的

37、解是平面波。n 是一个沿是一个沿x x方向以方向以C C为速度传播的平面为速度传播的平面波，波， 是一个沿是一个沿x x方向以方向以C C为速度传播的平为速度传播的平面波。面波。0 xtC 常数（262）2()xf tC1()xf tC 简谐波简谐波是自然界中一切波动形式中最简单的，其波是自然界中一切波动形式中最简单的，其波函数可用正弦或余弦函数或复函数表示。一维波动方函数可用正弦或余弦函数或复函数表示。一维波动方程简谐形式解，按公式（程简谐形式解，按公式（2 26161）可以写作：）可以写作：其中其中A A1 1、A A2 2为复数，为复数， 为简谐波频率。为简谐波频率。写成实数形式：写成实

38、数形式：A A1 1,A,A2 2为振幅；为振幅； 为初相位为初相位; ;上式定义的波动称为上式定义的波动称为驻波驻波. .00()()12( , )xxjtjtCCf x tAeA e+(2-63)0101202( , )cos()cos()xxf x tAtAtCC(2-66)12, )()(cos)(),(111CxtAtxf)()(cos)(),(222CxtAtxf二、沿任意方向传播的空间平面波二、沿任意方向传播的空间平面波n设设R R方向方向与与x,y,zx,y,z坐标轴所成角度分别为坐标轴所成角度分别为 ，其方向其方向余弦用余弦用l,m,nl,m,n表示，即表示，即 并且并且波函

39、数可写作：波函数可写作：或者或者对式（对式（2 26363）形式的简谐波，这时可有：）形式的简谐波，这时可有：、 、2221lmn(2-68)(2-69) 12( , , , )()()lxmynzlxmynzf x y z tf tf tCC(2-70)( , , , )exp()exp()f x y z tAjlxmynzj tC(2-71)cos,cos,coslmn12( , )()()RRCCf R tf tf t是二维波动方程是二维波动方程 的通解。的通解。n三维波动方程：三维波动方程： 的通解是：的通解是：考虑到考虑到 ，则令，则令 分别为分别为K K在在x x，y y，z z坐

40、标轴方向上的投影，则式（坐标轴方向上的投影，则式（2 27171）可改写为：）可改写为：K K为波数，为波数，K Kx x，K Ky y，K Kz z为视波数。为视波数。/CK,xyzKKl KKm KKn( , , , )exp()exp()xyzf x y z tAj K xK yK zj t(2-72) (2-80)( , , , )()lxmynzf x y z tf tC22221ffCt22222221fffxzCt( , , )()xzf x z tf txzCC( , , )()xzxzCCf x z tf t视速度视速度三、不均匀平面波三、不均匀平面波 平面波传播方向的平面波

41、传播方向的方向余弦方向余弦 不是实数不是实数，而而是一复数是一复数。这样的平面波称为不均匀平面波。这样的平面波称为不均匀平面波。与它相与它相区别，前面已经介绍的沿空间区别，前面已经介绍的沿空间R R方向传播，其方向余弦方向传播，其方向余弦为实数的平面波，称为均匀平面波。为实数的平面波，称为均匀平面波。设设 = ， 若它们满足若它们满足条件式（条件式（2 26868），即），即 , , 有有 ,l m n,ljl mmjm nnjn2221lmn( , , , )exp()exp()exp()f x y z tAK l xm yn zjK l xm yn zj t（282）l平面波平面波f(xf

42、(x，y y，z z，t)t)的等相位面决定于方程式：的等相位面决定于方程式：为一个其法线的方向余弦为为一个其法线的方向余弦为 的平面。波的的平面。波的振幅在空间是变化的。其等振幅面决定于方程式：振幅在空间是变化的。其等振幅面决定于方程式：为一个其法线方向余弦为为一个其法线方向余弦为 的平面。的平面。将为复数的方向余弦将为复数的方向余弦 代入式（代入式（2 26868），），l xm yn z常数（283）lmn、l xm yn z常数（284）lmn、m nl、 、并使等式两端虚数部分相等可以得到：并使等式两端虚数部分相等可以得到：可见所讨论的不均匀平面波其可见所讨论的不均匀平面波其等相位面

43、与振幅互相垂等相位面与振幅互相垂直直，式（，式（2 28585）为两平面正交条件。）为两平面正交条件。 在研究弹性波在不同弹性性质介质分界面上的反在研究弹性波在不同弹性性质介质分界面上的反射和折射现象时，会遇到不均匀平面波问题。当第二射和折射现象时，会遇到不均匀平面波问题。当第二介质中波速大于第一介质中的波速时，波由第一介质介质中波速大于第一介质中的波速时，波由第一介质入射到第二介质时存在一个临界角。入射到第二介质时存在一个临界角。0l lm mn n （285） 当入射波以大于临界角的入射角入射时，在第当入射波以大于临界角的入射角入射时，在第二介质中将产生一个不均匀平面波，它将沿分界面二介质

44、中将产生一个不均匀平面波，它将沿分界面方向传播，而振幅在与界面垂直方向上呈指数规律方向传播，而振幅在与界面垂直方向上呈指数规律衰减。衰减。 当所讨论的波是不均匀波时，当所讨论的波是不均匀波时，角也将是一个复角也将是一个复数。数。当当角为复数时，它的正弦和余弦可由如下形式的角为复数时，它的正弦和余弦可由如下形式的公式所表示：公式所表示：讨论讨论/2/2的情况，可得到的情况，可得到( , , )exp( sincos)exp()f x z tAjK xzjtjsinsincosscoscossinschjhchjhsincoschjshexp()( , , )exp()exp()KshzKcf x

45、 z tAjxj th已知已知证明证明c ( ); ( )22xxxxeeeeh xsh xsinsincosscoscossinschjhchjhj24 均匀各向同性无限弹性介质中的均匀各向同性无限弹性介质中的球面波球面波n在点震源作用下，介质中发生的弹性振动在点震源作用下，介质中发生的弹性振动从中心向四周传播。在均匀各向同性介质从中心向四周传播。在均匀各向同性介质中这种波动过程具有中心对称性质，波前中这种波动过程具有中心对称性质，波前面为球面，因此称为球面波。面为球面，因此称为球面波。22221ffCt22221Ct一、中心对称条件下波动方程及其通解一、中心对称条件下波动方程及其通解 球坐

46、标系坐标为：球坐标系坐标为： ，与直角坐标，与直角坐标x x，y y，z z的的关系是关系是 ： 如图如图2 25 5所示，所示，为余为余纬度，纬度， 为经度。为经度。显然，显然，所讨论的波场与所讨论的波场与 和和 角无关。角无关。标量波动方程标量波动方程可以写作：可以写作： r， ，sincossinsincosxryrzr(2-91)(2-91)与一维波动方程平面波解式类似，方程与一维波动方程平面波解式类似，方程(2(293)93)的解是：的解是： 第一项表示由中心向四周第一项表示由中心向四周扩展的波扩展的波，而第二项表示由无，而第二项表示由无限远处向中心限远处向中心汇集的波汇集的波。当。

47、当r,tr,t固定，则复合变量固定，则复合变量 为常数，波函数也为一定值。这样，在为常数，波函数也为一定值。这样，在t t瞬间在以瞬间在以r r为半为半径的球面上波场值相同，该球面为等相位面，如同平面径的球面上波场值相同，该球面为等相位面，如同平面波一样波一样对起始相位的等相位面称为波前面。对起始相位的等相位面称为波前面。(2-93)(2-94)()rtC22222()1()0rrrCt1211( , )()()rrCCr tf tftrrn波函数前的系数波函数前的系数 1 1r r 表示波远离震源向外传播，表示波远离震源向外传播，其振幅不断衰减，且与到震源的距离成反比。其振幅不断衰减，且与到

48、震源的距离成反比。n1 1r r称为波前面发散因子。称为波前面发散因子。n波前面是尚未振动的介质部分与已起始并处于振动波前面是尚未振动的介质部分与已起始并处于振动状态下的介质部分分界；而将已经停止振动处于静状态下的介质部分分界；而将已经停止振动处于静止状态的介质部分与尚处于振动状态下的介质分开止状态的介质部分与尚处于振动状态下的介质分开的曲面称为波尾。波前和波尾在介质中以的曲面称为波尾。波前和波尾在介质中以C C为速度传为速度传播。与波前正交的线称为射线，表示波动过程传播播。与波前正交的线称为射线，表示波动过程传播方向。在球面波情况下，它们是一组由中心向四周方向。在球面波情况下，它们是一组由中

49、心向四周放射的直线。放射的直线。n胀缩点震源产生一个无旋场，其中位移向量为标量位胀缩点震源产生一个无旋场，其中位移向量为标量位 的梯度。在中心对称条件下，标量位满足波动方程：的梯度。在中心对称条件下，标量位满足波动方程：n 从通解中取由从通解中取由中心向四周扩展的球面波中心向四周扩展的球面波：它的位移场是：它的位移场是：对对 按按r r求导，得求导，得二、胀缩点震源引起的球面波二、胀缩点震源引起的球面波（纵波）（纵波）1( , )()rr tf trC(2-98)（299）211()()prruftf trCCrC (2-100)prugradr r22222()1()0rrrCtPPSSud

50、Su dS 2211444RRRftftRCCRCRRRftftCCC 首先讨论函数首先讨论函数f(t)f(t)的物理意义。以的物理意义。以O O点为圆心，点为圆心，R R为半为半径作一个圆球面径作一个圆球面S S，计算位移向量通过圆球面的通量：，计算位移向量通过圆球面的通量：n将式将式（2 2100100）代入得（代入得（u uP P为常量）为常量）位移向量位移向量u up p的通量是的通量是以以R R为半径的圆球体在介质为半径的圆球体在介质质点发生径向位移时发生质点发生径向位移时发生体积变化体积变化膨胀或压缩膨胀或压缩。使用使用 性质，可略去带性质，可略去带 1/r1/r项，项， 为高阶微

51、为高阶微量，量，所以有：所以有：i204( )idf t (2-106)2222014( )idf tCt (2-107)10( )r22t 00limlimPPiiRStudSdivu d 为在为在 附近的微小体积。在附近的微小体积。在 以外以外无震源作用，所以无震源作用，所以根据空间单位脉冲根据空间单位脉冲 的性质，式（的性质，式（2 2107107）、式（）、式（2 2108108）可以联合写成：）可以联合写成：ii222210idCt (2-108)iiiir xyz= i+ j+ k xyz 222214( )iiif txxyyzzCt (2-109)其中其中 表示点震源位置坐标。

52、表示点震源位置坐标。这样，胀缩点震源产生的波场可用非齐次标量波动方程这样，胀缩点震源产生的波场可用非齐次标量波动方程描述：描述： 由以上讨论可见，由以上讨论可见， 表示在震源点上一个半表示在震源点上一个半径为无限小的圆球体体积随时间膨胀或压缩的变化径为无限小的圆球体体积随时间膨胀或压缩的变化规律。规律。 反映了震源强度变换，称之为震反映了震源强度变换，称之为震源强度函数。式（源强度函数。式（2 2109109）、式（）、式（2 2110110）方程式）方程式中的非齐次项中的非齐次项 222214( )iiiiif txxyyzzCt （2110）,iiix y z t 4tf t 正好表明了正

53、好表明了f(t)f(t)是作为震源函数而在震源点位置是作为震源函数而在震源点位置上存在的体力项。上存在的体力项。 其次，从球面波位移场公式（其次，从球面波位移场公式（2 2100100）可以看到，）可以看到，位移场可以分为两部分。当位移场可以分为两部分。当r r很小是，很小是， 部分部分起主要作用起主要作用 随着传播距离随着传播距离r r加大，该项作用迅速衰减，另一项加大，该项作用迅速衰减，另一项 贡献逐渐增大；远离震源时，贡献逐渐增大；远离震源时，r r很大，前很大，前一项接近于零，后一项成为主要项。一项接近于零，后一项成为主要项。 21()rf trC1()rftrCC211()()prr

54、uftf trCCrC （2 2100100） 在地震震源附近记录的信号是近震源场与远震源在地震震源附近记录的信号是近震源场与远震源场的混合，场的混合，对于这样的记录使用下面的滤波器可以得对于这样的记录使用下面的滤波器可以得到远震源场分量。到远震源场分量。如果得到近场的分量呢？如果得到近场的分量呢？ 其应用条件是均匀各项同性介质中的点震源场。其应用条件是均匀各项同性介质中的点震源场。作为作业，请同学们证明一下！作为作业，请同学们证明一下！ /11/j r cFj rjKrjcKr研究点震源在求解实际问题时很重要。一个有限尺寸的研究点震源在求解实际问题时很重要。一个有限尺寸的震源可以表示为点震源

55、的组合。若点震源的解式震源可以表示为点震源的组合。若点震源的解式取傅立叶变换后得：取傅立叶变换后得：( ,)( )jkrerSr(2-112)其中其中 为震源强度函数为震源强度函数f(t)f(t)的傅立叶变换，则点震的傅立叶变换，则点震源组合的波场的傅立叶变换为：源组合的波场的傅立叶变换为：( )S( , , ,)( )( , ,)jkreP rSGr (2-113) 其中其中 既是频率的函数，又与方位角既是频率的函数，又与方位角 有关，称为方向频率特性。有关，称为方向频率特性。( (偶极子震源举例略偶极子震源举例略) )( , ,)G , 1( , )()rr tf trC三、旋转点震源引起

56、的球面波三、旋转点震源引起的球面波设在均匀各向同性介质中有一个以设在均匀各向同性介质中有一个以 为半径的圆球形为半径的圆球形空腔。在球面各点作用一个与水平面平行的切向力，它空腔。在球面各点作用一个与水平面平行的切向力，它将引起球面整体相对将引起球面整体相对Z Z轴旋转，从而激发在介质中传播的轴旋转，从而激发在介质中传播的横波。根据旋度场性质，在介质中任意一点横波。根据旋度场性质，在介质中任意一点R R，且，且 ，质点位移为质点位移为 ， 为向量位，考虑到点为向量位，考虑到点震源中心对称性质，震源中心对称性质， 将满足方程式（将满足方程式（2 29393），），curl( , )suR t( ,

57、 )R t2222210sRRRvtRllcurlsxyzijkuxyz（2 2116116）考虑到考虑到位移的位移的z z分量为分量为0 0要求向量位要求向量位 只有一个分量只有一个分量 。事实上，。事实上，位移位移u us s各个分量为：各个分量为：z()()()0yzzsxxzzsyyxszuyzyuzxxuxy （2-1172-117）(u(us s) )z z为零要求为零要求 各自为零。转换为中心对称的各自为零。转换为中心对称的球坐标表示可有：球坐标表示可有：水平位移水平位移us的模为：的模为：向量位向量位z z分量分量 满足方程式（满足方程式（2 29393），取通解中自），取通解

58、中自中心点向外传播的球面波解：中心点向外传播的球面波解：,xy zzsxzzsyRyuRyRRRxuRxRR (2-118)22sinzzzsxyruRRRRR(2-119)z代入（代入（2 2119119）式可得横波位移表达式：）式可得横波位移表达式：与胀缩点震源相似，通过围绕中心点的圆球面的位移与胀缩点震源相似，通过围绕中心点的圆球面的位移向量向量 的模的通量为：的模的通量为：1zsRftRv(2-120)211sinssssRRuftftRvRvv(2-121)2(, )|1()()sinsssSSRRRvvvSR tudSf tftdSRsu面积元面积元 , , 分别为经纬度、余纬分别

59、为经纬度、余纬度，考虑到度，考虑到f f与它们无关，积分后得到：与它们无关，积分后得到：2sindSRd d f(t)为旋转点震源强度，是在中心点上一个半径为无限小的圆为旋转点震源强度，是在中心点上一个半径为无限小的圆球面作旋转运动的位移总和。在震源附近，位移随时间变化规球面作旋转运动的位移总和。在震源附近，位移随时间变化规律重复震源强度的变化。在远离震源时，位移接近于震源强度律重复震源强度的变化。在远离震源时，位移接近于震源强度函数的导数。函数的导数。2,sssRRRR tftftvvv(2-124) 20limSRStu dSf t(2-125)(2-126), 2/f tt211sins

60、sssRRuf tftRvRvv()0( , )Rvsjtf R tA e25 均匀各向同性无限弹性介质中的均匀各向同性无限弹性介质中的柱面波柱面波出于实际考虑，地震波场经常是沿测线观测，被出于实际考虑，地震波场经常是沿测线观测，被看作是二维的，满足波动方程：看作是二维的，满足波动方程：以及在以及在xozxoz平面上给出的边界条件。但是在二维区域中平面上给出的边界条件。但是在二维区域中是不存在点震源的。必须使用是不存在点震源的。必须使用线震源线震源来代替在三维空来代替在三维空间使用的点震源。间使用的点震源。线震源波场可以由点震源波场合成。线震源波场可以由点震源波场合成。22222221fffx