微积分一例题整理

1、例例.1的反函数的反函数求函数求函数 xey12 yex解解五、反五、反 函函 数数),1(11 ，即原函数的值域为，即原函数的值域为xey)yln(x12),1()1ln(12 fDxy反反函函数数为为第一章21、互为反函数、互为反函数2、定义域与值域互换定义域与值域互换3、图象关于直线图象关于直线y = x对称对称. .4、直接函数与反函数有相同的增减性直接函数与反函数有相同的增减性5、一个函数存在反函数的充要条件是自变量与因变一个函数存在反函数的充要条件是自变量与因变量是一一对应的量是一一对应的. . 注：直接函数与其反函数之间的关系：注：直接函数与其反函数之间的关系：(严格单调函数必存

2、在反函数严格单调函数必存在反函数)五、反五、反 函函 数数3解：解： 的定义域为的定义域为 Df (0, )，且且 Df F F，.)(,sin1)(,lg)(2是是不不是是复复合合函函数数问问设设xgfyxxguuufy 例：例：因为因为 的值域为的值域为 1, 2，)(xgu )(ufy 所以所以 是复合函数。是复合函数。)sin1lg()(2xxgfy 第四第四节节 复合函数与初等函数复合函数与初等函数4第三节第三节 复合函数复合函数 初等函数初等函数一、基本初等函数一、基本初等函数(1) 常函数常函数 y = c （c为常数为常数）(3) 指数函数指数函数 (4) 对数函数对数函数 (

3、5) 三角函数三角函数 (6) 反三角函数反三角函数 (2) 幂函数幂函数 xycos1 xysin1 xxeyaaay ),1, 0(xyaaayxln),1, 0(log ,tan,cos,sinxyxyxy ,csc,sec,cotxyxyxy ,arctan,arccos,arcsinxyxyxy )( ,为为常常数数 xy 5 由基本初等函数经有限次四则运算和由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合且只能用一个式子表示的函数，有限次复合且只能用一个式子表示的函数，统称为初等函数统称为初等函数. .三、初等函数三、初等函数3、即有四则运算又有复合、即有四则运算又有复合. 例例：y=x

4、+sin x2定义定义：注：注： 初等函数一般有三种构成形式：初等函数一般有三种构成形式：1、只有四则运算、只有四则运算;例例：y=x+sinx2、只有复合、只有复合;例例：y=sin x26例例 下列函数中，哪些是基本初等函数？哪些下列函数中，哪些是基本初等函数？哪些是初等函数？是初等函数？ yx1，yex，ysin ax，y2x2，ysin2x，y|x|。 解： 不是初等函数，不是初等函数，1 1、分段函数分段函数一般不是初等函数一般不是初等函数, ,但是但是, ,由于分段函由于分段函数在其定义域的子区间内都是初等函数数在其定义域的子区间内都是初等函数, , 所以仍所以仍可通过初等函数来研

5、究它们可通过初等函数来研究它们. .是基本初等函数。是基本初等函数。xy1 2、幂指函数幂指函数)0()()( xfxfyxg其其中中是初等函数是初等函数.因为因为)0()()(ln)()( xfexfyxfxgxg其其中中xy 解：解：其它都是初等函数。其它都是初等函数。第三节 复合函数与初等函数类型类型需求函数需求函数供给函数供给函数线性函数线性函数幂函数幂函数指数函数指数函数常用的需求函数与供给函数模型常用的需求函数与供给函数模型 bpaQ )0,( babpaeQ )0,( babapQ )0,( babapS )0,( babpaeS )0,( babapS )0,( ba二、几种常

6、用的经济函数模型二、几种常用的经济函数模型 某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入的价格或费用总额。经济资源投入的价格或费用总额。平均成本函数：平均成本函数： 2 2、成本函数、成本函数总成本函数：总成本函数： 设设C C为总成本，为总成本，总成本由固定成本与可变成本组成。总成本由固定成本与可变成本组成。 为为可可变变成成本本，为为固固定定成成本本，21CC则则)()(21qCCqCC qqCCqqCC)()(21 为为产产量量，q二、几种常用的经济函数模型二、几种常用的经济函数模型3 3、收益函数与利润函数、收益函数与利润函数

7、 平均收益函数平均收益函数: :总收益是出售一定数量的产品所得到的全部收入。总收益是出售一定数量的产品所得到的全部收入。总利润是生产一定数量的产品的总收益与总成本之差。总利润是生产一定数量的产品的总收益与总成本之差。总收益函数：总收益函数：总利润函数：总利润函数：)()(qPqqRR qqLL)( 平均利润函数平均利润函数: :qqLL)( 设设p为商品价格为商品价格 ， R为总收益，为总收益，C(Q)为总成本，为总成本，则有则有为为产产量量，q)()(qqPqRR )()()(qCqRqLL 二、几种常用的经济函数模型二、几种常用的经济函数模型 例例 某工厂生产某产品，年产量为某工厂生产某产

8、品，年产量为q台，每台售价为台，每台售价为250250元，当年产量在元，当年产量在600600台以内时，可以全部售出经台以内时，可以全部售出经广告宣传后又可再多售出广告宣传后又可再多售出200200台，每台平均广告费台，每台平均广告费2020元，若再生产，本年就销不出去了试建立本年的销元，若再生产，本年就销不出去了试建立本年的销售总收入售总收入R与年产量与年产量q 之间的函数关系之间的函数关系当当 时时 6000 qqqR250)( 当当 时时 800600 q)600)(20250(600250)( qqR当当 时时 800 q)(qR解解600250 200230 196000 12002

9、30 q二、几种常用的经济函数模型二、几种常用的经济函数模型所以，销售总收入所以，销售总收入R与年产量与年产量q 之间的函数关系为之间的函数关系为 800196000800600120002306000250)(qqqqqqR二、几种常用的经济函数模型二、几种常用的经济函数模型4 4、无盈亏分析、无盈亏分析产产量量的的单单调调增增加加总总是是生生产产产产品品的的总总成成本本qqCC)( 函数，函数，但是，由于产品的需求量受到产品的价格及社会但是，由于产品的需求量受到产品的价格及社会诸多因素的影响，诸多因素的影响，使得产品的总收益使得产品的总收益 有时增长有时增长)(qRR 显著，显著， 有时增

10、长缓慢，有时增长缓慢，也可能达到某个定点，也可能达到某个定点，继续销售，继续销售，收入反而下降，收入反而下降，因此，因此， 利润利润 会出现三种情况：会出现三种情况：)(qLL , 0)()()()1( qCqRqL有盈余生产，有盈余生产， 即生产处于即生产处于有利润状态；有利润状态；, 0)()()()2( qCqRqL亏损生产，亏损生产， 即生产处于即生产处于亏损状态，利润为负；亏损状态，利润为负；, 0)()()()3( qCqRqL无盈余生产，无盈余生产， 无盈余生产无盈余生产.0称为无盈亏点称为无盈亏点时的产量时的产量q 无盈亏分析常应用于企业的经营管理和经济分析中无盈亏分析常应用于

11、企业的经营管理和经济分析中产品定价和生产决策中。产品定价和生产决策中。设生产某种产品设生产某种产品 件时的总成本为件时的总成本为q例例).(2100)(2万元万元qqqC （1 1）若每售出一件该商品的收入是）若每售出一件该商品的收入是5050万元，求生产万元，求生产3030件时的总利润和平均利润；件时的总利润和平均利润； （2 2）若每年至少销售）若每年至少销售2020件产品，为了不亏本，单价应件产品，为了不亏本，单价应定为多少？定为多少？解：解： （1 1）由于该商品的单价）由于该商品的单价P=50P=50（万元），（万元），故售出故售出q件该商品时的总收益函数为件该商品时的总收益函数为P

12、qqR )(.50q 二、几种常用的经济函数模型二、几种常用的经济函数模型因此，总利润函数为因此，总利润函数为)()()(qCqRqL )2100(502qqq .481002qq ,30时时当当 q总利润和平均利润分别为总利润和平均利润分别为302)48100()30( qqqL),(440 万元万元 )30(L30)30(L （2 2）设单价定为）设单价定为P P（万元），（万元）， 销售销售2020件产品的收入为件产品的收入为R=20PR=20P（万元），（万元）， 这时的成本为这时的成本为202)2100()20( qqqC利润为利润为)20()20()20(CRL 为了使生产经营不亏

13、本，为了使生产经营不亏本， 必须使必须使, 054020 PL),(27 万万元元故故得得 P即销售单价不低于即销售单价不低于2727万元时才能不亏本。万元时才能不亏本。30440 ).(67.14万元万元 ),(540 万元万元 .54020 P5 5、库存函数、库存函数 设某企业在计划期设某企业在计划期 T 内，对某种物品总需求内，对某种物品总需求量为量为 Q ，.2q第五节第五节 经济学中的常用函数经济学中的常用函数则平均库存为则平均库存为以匀速消耗贮存物品，以匀速消耗贮存物品，每次进货量相同，进货间隔时间不变，每次进货量相同，进货间隔时间不变，,2C费用为费用为 1C每件物品的贮存单位

14、时间费用为每件物品的贮存单位时间费用为 ，每次进货，每次进货，假定假定nQq .nTt 每次进货批量为每次进货批量为 ，进货周期为，进货周期为 一次进货是不划算的，考虑均匀的分一次进货是不划算的，考虑均匀的分 n 次进货，次进货， 由于库存费用及资金占用等因素，显然由于库存费用及资金占用等因素，显然在时间在时间 T 内的总费用内的总费用 E 为为qQCTqCE2121 .2121为进货费用为进货费用为贮存费，为贮存费，其中其中qQCTqC第五节第五节 经济学中的常用函数经济学中的常用函数解解,吨吨设设进进货货批批量量为为 x).(xp和和为为进进货货费费用用与与库库存存费费用用之之,xaa，故

15、故每每年年进进货货批批数数为为因因年年进进货货量量为为,xab 则则进进货货费费用用为为第四节第四节 函数关系的建立函数关系的建立例例匀匀的的，即即因因为为使使用用这这种种原原料料是是均均,2x平平均均库库存存为为.2xc 故故每每年年的的库库存存费费为为,2)(xcxabxp .,0(a定定义义域域为为第四节第四节 函数关系的建立函数关系的建立步骤：步骤：)(| )1(naxn 放大并化简放大并化简,| , 0)2( axn要使要使,)( n只要只要),( Nn 解得解得 .1)( , 1)( ,)( NNNNNN或或或或取取(3)得出结论得出结论. 三三. .用定义验证数列极限用定义验证数

16、列极限第二章20例例 证明证明 . 2112lim nnn因为因为 2 nu对于任意给定对于任意给定 , 0 要使要使 ,2un ,11 n即即即可即可. .11 n对于任意给定对于任意给定 , 0 时时，当当Nn nnnun 1121122所以所以 . 2112lim nnn分析分析只要只要证明证明,11 N取取)(定定义义N 2112 nn.11 n三三. .用定义验证数列极限用定义验证数列极限32361lim . 4 nnexn证明证明Proof. nnn2310)3(2361 ,5n , 0 ,)3(2361 nn要使要使,5 n只要只要.5 n即即,5 N取取, )3(2361 ,成

17、立成立有有时时当当 nnNn32361limnnn三三. .用定义验证数列极限用定义验证数列极限ex5. 0lim , 0lim , nnnnnnyxyx证明证明有界有界设设Proof., 有界有界nx . , , 0MxxMnn 都有都有对于对于 , 0lim nny又又. , , 0, 0MyNnNn 有有时时当当.0 MMyxyxnnnn. 0lim nnnyx三三. .用定义验证数列极限用定义验证数列极限步骤：步骤：(1)通过计算或估计得通过计算或估计得 )()(0 xxgAxf 0的简单函数式的简单函数式是是xx ) (10 xx制不等式制不等式有时要事先给出某个限有时要事先给出某个

18、限,)( , 0)2( Axf要使要使,)(g 0 xx只要只要),( 0 xx解得解得 .),(min )( 1 或或取取.)(,0 0 Axfxx有有时时当当(3)得出结论得出结论.4.用定义验证函数极限用定义验证函数极限ex1. 证明证明 . 5)12(lim2 xxProof.,22512)( xxAxf, 0 ,)( Axf要使要使,22 x只要只要,22 x即即 ,2 取取.512 ,20 xx有有当当. 5)12(lim2 xx第二节 函数的极限 证明极限不存在的方法证明极限不存在的方法.)0()0()(lim)1(000AxfxfAxfxx 利用利用Solution.)(lim

19、)00( 0 xffx )(lim)00( 0 xffx . )(lim 0不不存存在在xfx).(lim,0 , 120 , 00 , 12)( . 60 xfxxxxxxfexx 求求设设, 1)12(lim0 xx, 1)12(lim0 xx(2)利用极限存在的唯一性利用极限存在的唯一性或或 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在且相等极限都存在且相等. .ex7. sinlim 不存在不存在证明证明xx Proof.,2 nxn 取取., nxn时时当当,22 nyn取取., nyn时时当当, 0)2sin()( nxfn但但. sinl

20、im不不存存在在xx . 1)22sin()( nyfn272.2.极限与无穷小量的关系极限与无穷小量的关系)(lim0 xxx,)( 0时时为为无无穷穷小小在在即即xxx,)(lim 0Axfxx 设设证证 )(lim0的的充充分分必必要要条条件件是是Axfxx 定理定理,)(0时为无穷小时为无穷小在在其中其中xxx.0)(lim 0 xxx即即 )(充充分分性性)(lim0 xfxx无穷小量是有极限的变量中最简单的一类无穷小量是有极限的变量中最简单的一类, 任何任何极限存在的函数都可以由无穷小量表示极限存在的函数都可以由无穷小量表示.),()( xAxf (必要性必要性),)()(Axfx

21、 取取则则 )(lim0Axfxx . 0 AA).()( xAxf 且且)()( xAxf 设设，且且0)(lim0 xxx则则 )(lim0 xAxx .0AA 第三节 无穷小与无穷大例例3 求求221lim2xxx 解解222lim(1)0lim(2)0 xxxx结论3 0A 若分母为无穷小量，分子极限若分母为无穷小量，分子极限不为不为0，我们称之为，我们称之为 型。型。0A对于对于 可以同样考虑。可以同样考虑。型型和和AA 先求倒数的极限，再间接的得到其极限。先求倒数的极限，再间接的得到其极限。, 012lim22 xxx由于由于.21lim22 xxx第四节 极限的运算法则例例4 求

22、下列函数的极限求下列函数的极限2221(1)lim31xxxx 2451(2)lim31xxxx 32221(3)lim51xxxxx分析分析: (1)(2)(3)分子分母都是多项式，且都是分子分母都是多项式，且都是无穷大量，属于无穷大量，属于 型未定式。型未定式。 型型未未定定式式可用未知量中的最高次幂同除分子分母。可用未知量中的最高次幂同除分子分母。第四节 极限的运算法则第四节 极限的运算法则解解32221lim51xxxxx 1312lim)1(22 xxxx2213121limxxxx .31 1315lim)2(42 xxxx434211315limxxxxx . 0 1215lim

23、)3(232 xxxxx32112115limxxxxxx . 0 无无穷穷小小因因子子分分出出法法nnnnmmmmxbxbxbxbaxaxaxa 11101110lim 其中其中 iajb;,2, 1ni .,2 , 1mj 00 a00 b和和为常数，为常数，且且结论结论4 nmnmbanm000第四节 极限的运算法则无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除以分母中自变量的最高次幂除分子、分母分子、分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.练习练习., 2)12(lim2babaxxxx、求求设设 解解1112lim2xxbxaxxx左边121lim2xbx

24、baxax商的极限存在，必须商的极限存在，必须01 a2ba，解得解得1a3b，.第四节第四节 极限运算法则极限运算法则.b, a ,xxbaxxlim .exx求求设设2 22 22 22 22 2 Solution., 024 , ba依题意依题意.24 ab 即即224lim2lim222222 xxaaxxxxbaxxxx则则)1)(2()2()2)(2(lim2 xxxaxxx12lim2 xaxx34a 2 , 2 a. 8 b第四节 极限的运算法则例例5 求求解解因式分解，消去零因式因式分解，消去零因式 思考题思考题：已知：已知232lim4,3xxxkx 求求 k 的值的值结论

25、结论5分析：分析：型未定式型未定式 00可因式分解，消去零因式可因式分解，消去零因式3 k, 03232 k5634lim221 xxxxx)5)(1()3)(1(lim1 xxxxx)5()3(lim1 xxx.21 .5634lim221 xxxxx第四节 极限的运算法则(消去零因子法消去零因子法)例例6 求下列函数的极限求下列函数的极限312(1)lim3xxx 它们都不能直接用运算法则，它们都不能直接用运算法则，(1)，(2)含有根式，含有根式，且分子分母的极限都为且分子分母的极限都为0，显然不能用商的极限的运，显然不能用商的极限的运算法则。算法则。分析分析:3(12)(12)1=li

26、m(3)(12)xxxxx ( )原式33lim(3)(12)xxxx 312lim412xx解：解： 型未定式型未定式含根式的含根式的00采取有理化的方法采取有理化的方法.22312lim)2(4 xxx第四节 极限的运算法则总结：总结：带根式的带根式的00型，分子、分母有理化型，分子、分母有理化)312)(4(22)(82(lim4 xxxxx.322 22312lim)2(4 xxx)312)(22)(22()22)(312)(312(lim4 xxxxxxx.xxlim x1 11 14 43 31 1 计算计算Solution.1211lim431txxxx 11lim341 ttt

27、1)1)(1(lim221 ttttt.34 例例72231(1) lim (11)31(2)lim()11xxxxxx 例例8 求下列函数的极限求下列函数的极限)( (型未定式型未定式 第四节 极限的运算法则222222(11)(11)(1)= lim11xxxxxxx原式222lim011xxxSolution.变形求极限变形求极限 ：1. 分子，分母有理分子，分母有理化，化，2 通分消去零因子通分消去零因子3，换元，换元 结论结论632112limxxxx )1)(1()2)(1(lim21xxxxxx )1()2(lim21xxxx . 1 )1113(lim)2(31xxx 第四节

28、极限的运算法则Solution.例例 求极限求极限.)1(21lnlim21 xxx解一解一:,)1(212 xxu令令,1时时则当则当x)1(212 xxu,1故故原式原式uulnlim1 . 0 解二解二: )1(21lnlim21xxx )1(21limln21xxx 21limln1xx. 01ln 第四节 极限的运算法则Aufxfuuxx )(lim)(lim00 )()(lim)(lim000ufxfxfxxxx .xxxxlim x 计计算算Solution. .limxxxxx xxxxxxx lim.21 .nnnnlim xxxxn 计算计算Solution.11limli

29、m22 xxnxxxxnnnnnnn 0 , 1 x0 , 1 x0 , 0 x例例8 例例9第四节 极限的运算法则sin (1 cos )tansincosxxxxx 0u 解：解：0arcsin(3)limxxx解解 30sintanlim)2(xxxx 30sintanlimxxxx 20cos1cossinlimxxxxxx 200cos1limcossinlimxxxxxxx .21 ,arcsinux 令令,sinux 则则xxxarcsinlim0uuusinlim0 . 1 ,0时时当当 x第五节 极限存在准则 两个重要极限.sincossin1lim. 30 xxxxxexx

30、 计算计算Solution. xxxxxxsincossin1lim0 )cossin11sinsinsin(lim20 xxxxxxxxx )xxsin(limx 1 12 21 10 0)cossin1(sincossin1lim20 xxxxxxxxx 型型00第五节 极限存在准则 两个重要极限. 1 1 例例1 1 求极限求极限xxxk 1lim解解kkxxxk 1lim)(1limRkexkkxx 结论：结论：.ke kkxxxk 1limxxxk 1lim).( 为为非非零零常常数数k（公式）（公式）第五节 极限存在准则 两个重要极限xxxxx 1111limxxxx 1111li

31、m解：解：xxxx 11lim)3(xxxx 11lim1 ee.2e 第五节 极限存在准则 两个重要极限例例).0(11)1(lim0 xxx证证明明证明证明:, 1)1( xu令令),1ln()1ln(ux 则则,0时时当当x, 0u有有于是有于是有xxx 1)1 (lim0 xxxxx)1ln(.)1ln(1)1(lim0 xxxxxx)1ln(lim)1ln(1)1(lim00 )1ln(1)1(lim0 xxx )uln(ulimu 1 10 0. 1 xx 1)1 ( 第五节 极限存在准则 两个重要极限46.ba 1 11 1 所以所以 解得解得 .ba,baxxxlimx和和求求

32、常常数数设设0 01 11 12 2 解解: baxxxlimx1 11 12 21 11 11 12 2 xbx)ba(x)a(limx 0 00 01 1baa第六节 无穷小的比较47, )(0的的某某邻邻域域内内有有定定义义在在点点设设函函数数xxfy 等价定义等价定义)()(lim00 xfxfxx . )(,)(00的的连连续续点点为为并并称称处处连连续续在在点点则则称称函函数数xfxxxf若函数连续性的判别函数连续性的判别:)(0两两个个条条件件点点连连续续应应同同时时满满足足下下列列在在xxf;)()1(0的的某某邻邻域域有有定定义义在在点点 xxf.0lim)2(0 yx方法方

33、法 一一第七节 函数的连续性48:)(0三三个个条条件件点点连连续续应应同同时时满满足足下下列列在在xxf).()(lim(3) 00 xfxfxx ;)(lim)2(0存存在在极极限限xfxx)(xfy 0 x方法方法 二二;)()1(0的的某某邻邻域域内内有有定定义义在在点点 xxf第七节 函数的连续性49间断点分类间断点分类第第一一类类间间断断点点第第二二类类间间断断点点存存在在但但为为间间断断点点)(lim 00 xfxxxx )(lim )(lim00 xfxfxxxx或或.)( ,)(lim00无无定定义义但但存存在在xfxfxx)(lim)(lim00 xfxfxxxx )()(

34、lim00 xfxfxx 或或 . )(lim )(lim00震震荡荡型型不不存存在在或或xfxfxxxx 少少有有一一个个不不存存在在至至但但为为间间断断点点 )(lim 00 xfxxxx 补充或改变补充或改变可去间断跳跃间断无穷间断震荡间断（特征）（特征）.0,sgn)(处处的的连连续续性性讨讨论论设设 xxxfSolution. ,0 , 00 , 1)( xxxf, 0)0( f, 1)(lim0 xfx),0()(lim0fxfx 但但的的为为处处不不连连续续在在)(0,0)(xfxxxf ,0)(, 1)0(处的定义处的定义在在改变改变若令若令 xxff.0)(处处连连续续了了在

35、在则则 xxf例例可去间断点可去间断点.第七节 函数的连续性试试证证在在且且上上连连续续在在若若,)(,)(,)(. 8bbfaafbaxf .)(,),( fba使使内内至至少少存存在在一一点点,)()(xxfxg 令令,)(上上连连续续在在因因为为baxf.,)(上上也也连连续续在在所所以以baxg,)(,)(bbfaaf 又又, 0)()( aafag, 0)()( bbfbg),(ba , 0)( g.证：，由根的存在定理（零点定理）得，使得命题得证.有至少存在一点.)(f 即即231)1(822 xxxy解解,2 , 1)(处处无无定定义义在在 xxf.)(21的间断点的间断点为函数

36、为函数和和xfxx 即即，得得所以所以, 0232 xx由由, 0)2)(1( xx, 2 , 1 x又又 )(lim1xfx231lim221 xxxx)2)(1()1)(1(lim1 xxxxx. 2 )(lim2xfx231lim222 xxxx. 1 x因此因此为的第一类间断点，为的第一类间断点，为的第二类间断点，为的第二类间断点，补充定义补充定义, 2)1( f2 x.1)(连连续续在在则则 xxf且为可去间断点，且为可去间断点，且为无穷间断点且为无穷间断点.例例3 3.0,0, 00,1sin)(处处的的连连续续性性与与可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解,1sin

37、是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处有处有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx第一节第一节 导数概念导数概念第三章例例4 4 讨论函数讨论函数 223xxxf11 xx在点在点1 x处的连续性和可导性处的连续性和可导性解解处的连续性处的连续性 .1处处连连续续在在即即函函数数 xxf(2)(2)讨论函数在讨论函数在1 x处的可导性处的可导性 123limlim11 xxfxx 1limlim

38、211 xxfxx又又 11 f xfxffx11lim10 xfxffx11lim10 所以函数在此点不可导所以函数在此点不可导.1 x(1)(1)讨论函数在讨论函数在 xxx1213lim0 . 3 xxx11lim20 . 2 xxycos)5( .)cosln(sincosxxxxxx :解解xxycos )(lncos xxeyxxelncos xxelncos )ln(cos xx第二节 求导法则.,33633dxdyxxyxx求求）设设（ Solution. ,33 ln33exxxxy )ln(03ln33ln2 xxxdxdyexxx xxxxexxx1ln3ln33ln2)

39、.1(ln3ln33ln2 xxexxx第二节 求导法则.)sin(;)2(sin;)(cos22xxxx计计算算xxx)cos(cos)(cos2 解解)sin(coscossinxxxx xx)cos1(21)2(sin2 )(cos)1(21x 2sincosxxxx 例例2)(sin)(sin)sin(xxxxxxx xxxx)(coscoscos)(cos xxcossin2 .sin21x .2sin x 第二节 求导法则一、隐函数的求导法则一、隐函数的求导法则 例例4 4 求由方程求由方程 所确定的隐函数的所确定的隐函数的二阶导数二阶导数 . . y 将方程两边对将方程两边对x

40、求导，得求导，得)1( 0cos211 yyy（1）式两边再对）式两边再对x 求导，得求导，得yycos22 解得解得2cossin)( 2 yyyy解解得得将式将式 代入得代入得yycos22 .)2(cossin4 3 yyy解解)( yy或或)cos22( y2)cos2(sin2yyy y 代代入入.)2(cossin43 yy2)(sin21yy 0cos21 yy0sin21 yyxy 等式两边取绝对值，再取对数，得等式两边取绝对值，再取对数，得.)2()13()1(32yxxxy ，求求设设例例|ln y方程两边对方程两边对x求导，得求导，得yy 132)2()13()1( xx

41、xy63113211 xxx所以所以注注：解题时为了方便起见，取绝对值可以略去解解|2|ln31|13|ln32|1|ln xxx11 x213113332 xx yyy 1ln对数求导法对数求导法 例例 求函数求函数 的导数的导数 对函数对函数 取对数，得取对数，得) 0(sin xxyxxxylnsinln 方程两边对方程两边对x求导，得求导，得xxxxyylncossin1 xxxxxyxlncossinsin所以所以解解)(lnsin xxey xxxxexxsinlncoslnsin.sinlncossin xxxxxx或或)0(sin xxyx对数求导法对数求导法例例4 4证证.)

42、1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则上上单单调调增增加加；在在), 0 , 0)0( f时，时，当当0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即3利用单调性证明不等式(0,)( )0,fx 可可( )0,)f x在在上上连续，且在连续，且在 导，导，一、函数的单调性一、函数的单调性(monotonicity)（一）利润最大化问题（一）利润最大化问题),()(qCCqRR 及及总总成成本本函函数数已已知知总总收收益益函函数数如何求最大利润？如何求最大利润？求利润函数求利润函数:的的最最值值的的步步骤骤（1）确定利润函数）确定利润函

43、数及及定定义义区区间间；)()()(qCqRqL （2）的的一一阶阶导导数数及及驻驻点点，求求)(qL, 0)()()( qCqRqL即即（经济意义经济意义为：为： 要使总利润最大，要使总利润最大， 必须使边际收益等于必须使边际收益等于边际成本。）边际成本。）（3）根据极值存在的充分条件判别，）根据极值存在的充分条件判别，, 0)()()( qCqRqL当当由第二判别法知，由第二判别法知，,)()(时时也也即即qCqR 总利润最大。总利润最大。当边际成本与边际收益相等，并且边际收益的变化率当边际成本与边际收益相等，并且边际收益的变化率小于边际成本的变化率时，总利润最大。小于边际成本的变化率时，

44、总利润最大。（最大利润原则）（最大利润原则）三、经济应用问题举例解：解：则则设利润为设利润为),(XL20001. 05)()()(2 XXXCXRXLXXL02. 05)( ，由于，由于台台，解得，解得令令)(2500)( XXL002. 0)( XL.)(425)250(值值为为极极大大值值，也也就就是是最最大大万万元元所所以以 L例例1：（一）利润最大化问题（一）利润最大化问题第四节第四节 函数的最值及经济应用函数的最值及经济应用解解)5025000()2)(8012000(QPPL 64900016160802 PP16160160)( PPL且是唯一极值点，且是唯一极值点，得得令令1

45、010)( PPL元时，元时，故当故当又因又因101, 0160)101( PL)(167080)101()(元元有有最最大大值值，且且最最大大值值为为 LPL例例2：2. 最大收益问题最大收益问题解：解：PPQPPR)75()(2 2375)(PPR )(5, 0)(唯一驻点唯一驻点得得令令 PPR.5, 030)(5时时收收益益最最大大故故 PPRP第四节第四节 函数的最值及经济应用函数的最值及经济应用例例2：解：解：4020025000)()(xxxxCxC 40125000)(2 xxC第四节第四节 函数的最值及经济应用函数的最值及经济应用.1000.)(1001050)1000()(

46、1000,1000, 0)(3521件产品件产品小，应生产小，应生产因此，要使平均成本最因此，要使平均成本最取最小值取最小值时，时，故当故当，因因，舍舍得得由由xCxCxxxC )()()(xCxRxL )()4020025000(5002xLxxx 20200500 x 6000, 0)( xxL得得令令件产品时利润最大件产品时利润最大故生产故生产6000, 0201)( xL第四节第四节 函数的最值及经济应用函数的最值及经济应用xarcxxcot)11ln(lim).7(1 解解:)00(型型xarcxxcot)11ln(lim xarcxxcot1lim 22111limxxx 221l

47、imxxx . 1 2220sincos1lim).8(1xxxx )00(型型解解:2220sincos1limxxxx .21 224021limxxxx .)11 (lim)6(2xxx 解解:xxx)11 (lim2 )11ln(2limxxxe )11ln(lim2xxxe 21limxxxe 0e . 1 或或:xxx)11 (lim2 xxxx122)11 (lim xxxxx1lim22)11 (lim 0e . 1 )1(型型 .)sin1(lim)7(tan0 xxx 解解:)(0型型 xxxtan0)sin1(lim xxxesinlntan0lim xxxesinlnl

48、im0 xxxe1sinlnlim0 xxxxesincoslim20 xxxxecoslim20 0e . 1 ,b,a2x)bxax()x1ln(lim220 x 220 xx)bxax()x1ln(lim , 1a x2)bx21(x11lim0 x 又又.25b 即即4.4.确定常数确定常数使极限使极限成立成立. .，由洛必达法则可得，由洛必达法则可得，极限要存在必须使极限要存在必须使，可得可得解：解：x2)bx2a(x11lim0 x 22b2)x1(1lim20 x ,4b21 Example 1. 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处），且其上任一点处的切线斜率等

49、于这点横坐标的两倍，求此曲线方程的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.Solution. 设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的一个原函数的一个原函数.,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）, 1 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy3 3、不定积分的几何意义、不定积分的几何意义第五章.d)3(xxeexx 例例4 4 求不定积分求不定积分 xxexd)13(解解xxeexxd)3( xxxexd1d3.23Cxex 例例5：求：求.)1)(1( dxxxx先将被积分函数化成代数和的形式

50、，再分项积分先将被积分函数化成代数和的形式，再分项积分. dxxxxx)11(= dxxdxxdxdxx2123解解 dxxxx)1)(1(=.22152225Cxxxx 直接积分法直接积分法.arctanCxx 例例6 6 求不定积分求不定积分.d122 xxx xxd)11(1 2解解xxxd11d2 例例7 7 求不定积分求不定积分 xxxxxd)1(122 xxxxxd) 1(122解解.arctanlnCxx xxxd122 xxxd11122 xxxxxd) 1()1 (22 xxxd)111(2分项积分分项积分加项减项加项减项直接积分法直接积分法：注意注意: : (1) 初等函数在其定义区间上都有原函数初等函数在其定义区间上都有原函数.(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数初等函数的原函数不一定是初等函数.(3) 原函数不唯一原函数不唯一.)cos(sin2cos41,cos21,sin2122的原函数的原函数都是都是如如xxxxx (4) 如果如果f(x)在在I上存在原函数上存在原函数,