数学教师的基本功(郑毓信)

1、数学教师的“三项基本功”郑毓信（2013）简介 1965年毕业于江苏师范学院（现苏州大学）数学系；曾在中学长期任教；现为南京大学哲学系教授、博士生导师。1992年起享受政府特殊津贴。 主要研究领域：数学哲学；科学哲学；数学教育与科学教育。 已出版著作28部，发表论文300多篇。近几年的演讲题目 2008：“有效的教学，开放的教学”； 2009：“走进数学思维”； 2010：“课改背景下的教师专业成长”； 2011：“数学教学研究：问题与案例”； 2012：“数学教师的三项基本功”； 2013：课程标准的另类解读。引入：方法、模式与能力？ 背景：课改十年的必要总结与反思； 聚焦教学观摩：我们如何

2、才能有更大的收获？ “回到常识”：“外行看热闹，内行看窍门。” 但是，什么又是这方面真正的“窍门”？过去10多年课改实践的重要启示或教训 第一，教学方法的改革不应被等同于用新的教学方法去完全取代旧的教学方法； 第二，与片面强调某种（些）教学方法相对照， 我们应当更加提倡教学方法的多元化，并应深入研究各种方法的优点与局限性，从而就能依据特定的教学内容、教学对象与教学环境（以及教师本身的个性特征）创造性地加以应用。 一个新的发展趋势 “外面的世界，模式潮汹涌澎湃 。” “现在，教育教学都讲究个模式。有模式，是学校改革成熟的标志，更是教师成名的旗帜。许多人对模式顶礼膜拜，期盼把别人的玫瑰移栽到自己花

3、园里。”（人民教育，2012年第9、12期）应有的思考 我们又应如何去看待这一潮流？ 认识的重要进步： “的确，没有可以操作的模式，再好的思想、理论都无法实现，但模式不能成为束缚手脚的镣铐 。” “模式！模式！是解放生命还是禁锢生命？” 具体分析 与教学方法一样，任何一种教学模式也必定有其一定的适用范围和局限性，从而，我们在此也应明确地倡导教学模式的多元化和必要的比较，从而就可根据具体情况创造地加以应用。 从根本上说，这并可被看成是由教学活动的复杂性，特别是教学对象、教学内容与教学环境的多样性和变化性直接决定的。一般性结论（1）这正是教学工作创造性质的具体表现，即教师如何能够针对具体的教学对象

4、、内容与环境恰当地去应用各种教学方法和教学模式。（2）也正因此，相对于模式和方法而言，我们就应更加重视自身教学能力的提高，因为，就只有这样，我们才能创造地去应用各种教学模式和方法。数学教师的“三项基本功”（1）善于善于举例； （2）善于善于提问；（3）善于善于比较与优化。“三项基本功”的具体定位 （1）这即可被看成数学教师专业能力的集中表现 。（2）这并集中地反映了数学与数学教学（教育）的特殊性。（3）这又不应被看成与任何一种教学方法或模式直接相抵触，恰恰相反，这恰恰为我们如何能够成功地去应用各种教学方法或模式提供了重要的保证。 有益的对照 教师的“三项基本功”：一口标准的普通话；一手漂亮的粉

5、笔字， “数学教育”=？“数学+教育学”？这方面的具体工作郑毓信，“数学教师的三项基本功”，人民教育，2008年第18、19、20期；郑毓信，数学教师的三项基本功，江苏教育出版社，2011一、一、“善于举例善于举例”与数学教学与数学教学从“什么是数学”谈起？一个基本论点：“数学：模式的科学”（mathematics：the science of patterns）数学所反映的并不是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。 进一步的分析 数学基本特性：抽象性。 学生思维的特点：具体性与直观形象性；不仅缺乏抽象的能力，而且往往也不具有作为抽象必要基础的具体事例。插入：

6、学习心理学研究的相关结论 “概念定义”与“概念意象”的必要区分。“概念意象”的多元性：它“由所有的相关实例、反例、事实和关系组成。”（维纳与赫什科威兹）具体结论 “善于举例”的两个涵义：（1）如何能为抽象的数学概念举出适当的实例？（2）如何能够帮助学生由具体实例抽象出相应的数学概念？（1）什么是“适当的例子”？ 标准之一：相对于学生的可接受性； 标准之二：典型性，即是能为相应的数学抽象提供必要的基础。 这方面的一个基本事实：举例并非一件易事。例1 “范例教学法”（R. Davis) 为了帮助学生掌握负数的概念，特别是有理数的运算（如4 - 10 = ?），教师采用了一个装有豆子的口袋，再在桌上

7、摆上一些豆子。 教师先在口袋中装入4 棵豆子，同时在黑板上记下“4”这样一个数字；然后从口袋中拿出10棵豆子，这时黑板上就出现了“4 - 10”这样一个算式。 教师接着提问：（1） 现在口袋里的豆子与一开始相比是变多还是变少了？（2） 少了多少？ 相关的分析 这些实物和动作对于学生来说都是十分熟悉的。 与纯粹的“推门砖”不同，这一实例在此并可说起到了“认知基础”的作：它能“自动地”指明相关概念的基本性质或相关的运算法则。这也就是指，借助于这一实例学生即可顺利地作出相应的发现。如借助所说的实例学生显然就可顺利地实行 4 - 10、5 8等运算，而无须依赖对相应法则的机械记忆。（2）如何帮助学生由

8、实例抽象出相应的数学概念？ 关键：去情境。 这方面的一个重要手段：比较。 这事实上也可被看成数学中的“分类”的一个基本意义。例2 自然数的认识我们应当如何对这样一些图片进行分类：它们分别是是摆在一起的2个苹果、3个苹果、2个橘子、3个橘子，2个梨、3个梨，例3 “圆的认识”的教学 教师在教学中是否有必要同时提及多种不同的画圆方法，如圆规画圆、体育教师以自己为中心绕圈画圆、以及利用绳子在黑板上画圆，等等。 理论指导下的自觉实践 “变式理论”（“概念变式”）。 核心思想：（1）我们可以通过适当的变化建构出更多的实例；（2）在教学中我们并应注意举出各种不同的例子。（1）“概念变式”与 “非概念变式”

9、 这就是指，我们在教学中应当同时引入一定的“正例”（“概念变式”）和“反例”（“非概念变式”），这样，通过两者的对照比较，就可帮助学生较好地掌握相关概念的本质。（2）“标准变式”与“非标准变式” 教学中的举例又不应局限于平时经常用到的一些实例，而也应当有意识地去引入一些“非标准变式”，从而就可防止学生将相关实例的一些非本质特性误认为概念的本质特性。例4 “认识分数”与变式理论 引入：“分蛋糕”。教师并通过简短讨论引出了这样一个结论：“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2。” 问题：如何以“变式理论”（概念变式）为指导设计教学从而帮助学生较好掌握分数的本质？（1） 分割的对象显然未必一定要是

10、蛋糕，而也可以是纸片或别的什么东西；对于分割对象的外形我们也不应作任何限制：它们既可以是圆形，也可是方形或任何其它形状。（2）对分割方法也可作出一定变化。如就长方形纸片的分割而言，可以横着折，也可以竖着折，还可钭着折；另外，除去各个“正例”以外，我们也应引入一定的“反例”，如按照中位线分割的梯形等 。（3）作为进一步的抽象，我们又应由1/2逐步扩展到1/3，1/4，乃至2/3，3/4，。如果仍然集中于“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2”这一论述，这也就是指，除去分割的对象与方法以外，我们也应对“平均分成两份”中的“两份”以及所说的“每份”作出适当变化。（4）这事实上也可被看成“非标准变

11、式”的一个实例，即分配的对象也可以是2个蛋糕、3个蛋糕，而未必一定要是1个蛋糕容易看出，这一变化事实上就意味着我们已经将分析的着眼点由“（平均）分配”这一实际活动转移到了部分与整体之间的关系，后者并就意味着对于分数本质更为深入的认识。例5 “认识方程”与变式理论 教学中的常态：人们已经普遍地认识到了这样一点，即在“认识方程”的教学中我们必须同时引入一定的正例和反例，从而帮助学生很好掌握方程的概念，特别是这样两个要素：（1）含有求知数；（2）是一个等式。相关的练习 具体判断以下一些式子是否为方程： 6+x=14, x3=20, 60-48=12, 8+x, y-28=35, 5y+320应有的思

12、考 但是，我们在此是否也应有意识地去引入一些“非标准变式”？就方程的认识而言，我们又应引入哪些“非标准变式”？（1）我们不仅应当将4x+7 = 35变形为4y+7 = 35，而且也可使用一些更为复杂的符号表达式、乃至基本些特殊的符号：如将4x+7 = 35变形为4（2r+1）+7 = 35，以及4*+7=35，等等。一些相关的问题 “学生能顺利辨认方程就是认识方程了吗？” “学生能流利地说出方程的定义就是理解方程了吗？”（引自吴正宪老师的相关报告） 核心：“淡化形式，注重实质。”（陈重穆） （2）除去上面所提到的各个例子以外，我们还应有意识地引入另外一些“非概念变式”，如6=14-3x，6+x

13、=14-7x，25+x= y-28，等等。 关键：借此即可促进学生由“程序性观点”向“结构性观念”的转变，后者正是“方程方法”的核心。一个相关的事实 学生在实际求解方程的过程中何以会经常出现如下的“规律性错误”： 如在求解3x-13=5时，学生往往会写出如下的算式： 3x-13=5 =5+13 =18 =183 =6， 小结：如何帮助学生由具体实例抽象出相应的数学概念？ 关键：通过适当的变化与比较帮助学生掌握相关概念的本质。新的重要发展：由“变式理论”到“多元表征理论” 传统的研究：主要集中于如何帮助学生很好地掌握概念的本质（单一性）。 新的认识：更加强调概念内在表征（概念意象）的多元性，以及

14、各方面的必要互补与思维的灵活性一些相关的提法 布鲁纳（1964）的三种意象形式：动作的、图像的，和符号的； Lesh & Laudan（1983）的“五个维度”：实物操作，图像，日常语言，符号语言、现实情景。 相应的结论 我们既应高度重视由实例向概念严格定义的必要过渡，又应适当地“淡化形式”，高度重视认识活动的复杂性（多元性）与整合性。具体的教学建议（1）形象化描述与符号表征的必要互补： 我们在教学中不仅应当高度重视学生的实际操作与情境设置，还应重视适当的举例，语言说明（表述，比喻，感受，给出自己的定义等）与图象表示（概念的视觉化）等多个方面。一些有益的“课堂因素” “教师用手势说明自

15、己的表征；或者使用空间表征，比如代数学习中的箭头说明自己的表征；教师并有意识地促使学生建构和运用表征；教师要求学生以手臂、手指或身体移动等展现表征的肌体运动；”（普雷斯梅杰，2006）（2）日常语言与数学语言的必日常语言与数学语言的必要互补要互补 教学中不应停留于严格的数学语言，而应高度重视如何能用日常语言对相关内容作出解释，包括要求学生用自己的语言说出对数学概念的理解，甚至是感受。 关键：我们既应对学生的非正规解释持接受与理解的态度，同时又应注意维护数学的正式意义。 例 正方形的认识 教师：“什么是正方形？” 学生：“方方正正就是正方形。” 教师：“什么是方方正正？” 学生：“就是四边相等。

16、” 教师在黑板上画出菱形，问：“这个图形是否是正方形？” 学生：“不是，因为它不正。” 教师又在黑板上画一个矩形，问：“这是否正方形？” 学生：“不是！因为这个图形不方。” 教师将学生回答得正确的结论写在黑板上，回答不正确的不写，最后加以补充总结，抽象出正方形的定义。（3）操作性认识与结构性认识的必要互补 当前应当特别加强的环节：由“操作性认识”向“结构性认识”的必要过渡。 相关的论述：“对概念教学，课改以后更为强调概念的生成，这是正确的。但不能忽视对概念本身的分析，这可是基本功。”（陈永明，2008）更为一般的分析 概念教学的不同环节：（概念的）生成、分析与组织。 相关的论述：“为了理解一个

17、概念，一般说，一是正反举例；二是扣住定义的关键词语；三是注意特殊情况；四是与有关概念进行比较，找出概念的区别和联系。” （陈永明，2008）转向“问题解决”数学活动的两个基本形式：（1）概念的生成、分析与组织；（2）问题的提出与解决。举例与“问题解决” “解决问题时，必须通过提供相关案例向学习者提供他们不具备的经验通过在学习环境中展示相关案例，向学习者提供了一系列的经验和他们可能已经建构的与这些经验有关的知识，以便与当前的问题进行对比。”（乔纳森 ）相关的经验 “我提倡一题一课，一课多题一节数学课做一道题目，以一道题为例子讲解、变化、延伸、拓展，通过师生互动、探讨、尝试、修正，最后真正学到的是

18、很多题的知识。”（李成良，2010）更为一般的主张 “双基教学”的必要发展：基本技能，不应求全，而应求变；基础知识，不应求全，而应求联。例6 “植树问题”的教学 如何看待“植树问题”的教学？特别是，这一问题所发挥的究竟是案例的作用，还是其本身就具有特别的重要性？ 我们在教学中应当更加关注如何能以“植树问题”为背景抽象出普遍的数学模式：“分隔问题”。 进一步的思考 我们在教学中是否又应特别重视“两端都种”、“只种一端”与“两端都不种”这样三种情况的区分，并要求学生牢牢地记住相应的计算法则（“加一”、“不加不减”、“减一”），从而在面对新的类似问题时就能不假思索地直接应用？有益的思考 就“植树问题

19、”而言，在现实中是否真的只有“两端都种”、“只种一端”、“两端都不种”这样三种情况？ 对于其它的可能情况我们是否也应要求学生总结出相关类型，并牢牢记住相应的“规律”（“加二”、“减二”、“乘二”、“除二”）？ 不同的结论 所谓的“加一”、“减一”等法则都是针对具体情况作出的变化从而，在此所需要的就不是“规律的应用”；而是思维的灵活性，也即如何能够通过基本模式的适当变化适应变化了的情况。 回顾：“基本法则的学习，不应求全，而应求变！” 插入：一个“反例” 教学中的“病态现象”（施银燕，小学教学，2011年第4期）：“小明踢球，从3时踢到5时，他踢了几小时？”我的孩子有得3小时的，通过数数就能检验

20、出是错误的，他们却深信不疑：我们学过植树问题，5-3+1=3。”小结 “善于举例”有利于实现“理解学习”。 相关研究不应局限于如何能够针对具体内容选择出适当的“例子”，也应十分重视如何很好地去处理数学的形式方面与非形式方面之间的关系。 基本技能的学习，不应求全，而应求变。二、“善于提问善于提问”与数学教学与数学教学1 . “问题”对于数学和数学教学的特殊重要性。（1）“问题”可以被看成数学研究活动的实际出发点。 数学发展的基本模式：问题问题解决新的研究问题 每个数学分支并都具有自己特殊的基本问题，相应的理论正是围绕这些问题得到建立的。 结论：对于问题的很好掌握事实上即应被看成数学学习的一项重要

21、内涵。 “问题”的正确理解：这不应被等同于“现实问题”，而且，即使就后者而言，也应对此作出必要的抽象，从而使之成为“数学问题”。 （2）从教学的角度看 这也正是教学活动能否实现”双中心”的关键。 中国数学教学的一项优秀传统：“教师试图获得一种平衡，教学也就变得既以学生为中心又以教师为中心。”（ 马飞龙， “什么是好的教学？”，人民教育，2009年第8期） 国际上的相关研究 “那些自诩为绝对真理的建议，无论认为教学应当完全以学生为中心，还是认为教学应当完全由教师主导，都得不到研究的支持，因此不应当遵循。采取何种教学方法应当根据具体情况来决定。”（美国数学咨询委员会最终报告）进一步的思考 教学中如

22、何才能真正做到既尊重学生在学习活动中的主体作用，同时又能充分发挥教师的主导作用？例7 “河南省濮阳市第四中学教学改革纪实” 现状与“对策”：“只强调学生的主体性，课堂太活；只强调教师的主导性，又太死。”“我们就搞一个半死不活的。”（人民教育，2009年第6期） 实践与总结 可能的教学模式：“生生互动师生互动反馈检测”。 实践与总结（1）：“小组内的学生不知道怎样互动，不是谈天说地，就是乱哄哄地讲，不仅没有调动学生自主学习的积极性，还分散了学生的注意力，降低了学习效率。” “是啊，一上课就动，就讨论，没有内容！没有载体！互动什么呢？” 新的实践与总结 “有必要在生生互动前加上一个学生自学环节。一

23、上课，先让学生自己看几分钟课本。看完了，让他们提问题，老师围绕这些问题展开教学。” 实践与总结（2）“可是，这样的课听下来，离教学重点往往还有十万八千里。要照学生的问题走，根本完不成教学任务。” 一位教师的体会 “听课以后，我发现，让学生开放，问题是提出来了，但内容没讲完，因为学生发现的问题太多了，有些东西是以前讲过的，有一些是新的，放得太开，就好比早上让孩子去超市了，到晚上还没回来，究其原因，买的东西太多了。我一看，这样不行，得告诉学生买什么东西。啥时候回来。这要体现老师的教学组织应变能力。” “后来，又强调合作和互动，出现什么情况呢？一个小的问题来回讨论，很耽误时间。本来一个小孩去买牙膏就

24、可以了，结果派了俩小孩去了。这也是一种很浪费的步骤。”新的实践 “学校想了个办法：让教师写教学内容问题化教案。” “教学内容问题化教案是让老师知道自己该教什么，让学生知道自己想学什么。这是三段式教学法的主线。老师和学生都应以问题为中心进行双向的互动，实现双主体的双互动。” 思考与启示 究竟什么是真正实现“双主体的双互动”的关键所在？ 可能的结论：问题引领！（3）问题：数学思维的具体体现相关的论述（波利亚）： “可能任何类型的思维守则都在于掌握和恰当地运用一系列合适的提问。” 一些“定型的”问题和建议更可被看成“数学启发法”（解题策略）的核心几本应当认真学习的经典著作怎样解题，科学出版社，198

25、2；数学的发现，内蒙古人民出版社，1980；数学与猜想，科学出版社，1984。（4）我们并应高度重视提出问题能力的培养 提出问题的能力正是创造能力的一个重要表现：“解决问题也许是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的理论，从新的角度去看旧的问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”（英费尔德、爱因斯坦）问题的严重性与紧迫性 这正是我国数学教育特别薄弱的一个环节，即学生提出问题的能力较差。 插入：“新课标”中的相应提法：由“双能”到“四能”。 这方面的基本认识 与“解决问题能力”的培养一样，学生“提出问题能力”的提高主要地也依赖于后天的学习，教师更应在这一方面发展重要的

26、示范作用，后者即是指，如果我们的教师本身不善于提出问题，显然就很难期望学生能在这方面有较大的提高。相关的论述 “教师的工作是通过向学生问他们应当自己问自己的问题来对学习和问题解决进行指导。这是参与性的，不是指示性的；其基础不是要寻找正确答案，而是针对专业的问题解决者当时会向自己提出的那些问题。”（巴拉布与达菲） 有益的对照 “学生所提出的任何问题都是有用的”； 教学思想的发展可以被归结为由“教师问、学生答”，经由“学生问、教师答”最终演变成为“学生问、教师帮、学生答”； 在现实中更有不少教师往往就以“这堂课你们想学什么”作为教学的直接开端。 小结 “善于提问”确应被看成数学教师又一项重要的基本

27、功。2.现状与对策 现实中的问题：重视课堂提问是中国数学教学的一个重要特色；但在现实中却又普遍存在“问题”多而不精的弊病。 问题：我们又应如何去加以改进？一项相关的研究（黄爱华） “即使在倡导以学生为主体的以学定教、先教后学理念引领下的课堂，问题繁、杂、小、碎的现象仍然没有改变，中小学课堂，必须改变目前课堂教学满堂灌、满堂问的教学模式。”（“以大问题为导向的小学数学课堂教学实践与探索”，小学数学教师，2013年第1-2期 ） 更为深入的思考 我们究竟应当如何去判别问题的“好”与“坏”？（1）“好的问题”应当具有明显的“引领作用”，这也就是指，我们在教学中不应面面俱到，而应始终突出其中的重要问题

28、和基本问题 具体分析（1） 所谓“重要问题”，在此主要是就教学内容进行分析的。 相关的论述：“找准了大问题，就意味着教者抓住了课堂的课眼，纲举目必张。”（黄爱华等，同前） 例8 “异分母分数加减法”的教学（吴正宪） 教师出示了这样3道题：1/4 + 7/12=？ 1/4 + 5/6=？ 1/4 1/7=？请同学们试做。 学生做完订正后，老师又提了这样几个问题：问题1：这3道题同学们都把异分母转化为同分母分数，转化时要注意什么？问题2：转化的目的是什么？问题3：通过计算，你认为异分母分数加减法的计算方法是什么？问题4：在计算时要注意什么问题？例9 “百分数的意义”的教学（黄爱华） 教学中教师首先

29、要求学生自由地提出各种与百分数直接相关的问题；但与“放任自流”不同，教师通过对学生提出的问题进行梳理归纳出了以下几个问题：问题1：什么是百分数的意义？问题2：百分数有什么好处？问题3：在什么情况下用百分数？问题4：百分数与分数比较有什么不同？例10 “数字与信息”的教学 问题：什么是这一教学活动所应解决的主要问题？是努力帮助学生学会如何掌握身份证或其它一些编码所提供的信息，还是应当集中于这样一些问题：人们为什么要采用编码这样一种方式来传递信息？应当如何去进行编码？我们又应如何由各种编码去提取相关的信息？ 进一步的建议 我们并应跳出每一节课具体内容的束缚，从更大的范围去进行思考。 回顾：每个数学

30、分支都有自己特殊的基本问题，相应的理论正是围绕这些问题得到建立的。 结论：只有视角大，才能真正找准“大问题”。具体分析（2） 相对于教学内容的把握而言，这里所说的“基本问题”则更为直接地涉及到了数学教育的长期目标，这也就是指，为了实现相应的目标，我们在教学中究竟又应始终突出哪些问题？ 例11 对于波利亚的“超越” “问题解决”的现代研究：除去“解题策略”（与必要的知识和技能）以外，人们解决问题的能力还涉及到了另外一些要素，特别是，元认知的发展水平，以及正确观（信）念的养成。 “元认知”：主体对于自身所从事的认识活动的自我意识、自我评估与及时调整。相关的比较研究 不成功的解题者往往采取“盲目干”

31、的作法，即是不加思考地采取某一方法或解题途径，或总是在各种可能的“解题途径”之间徘徊，而对自己在干什么、特别是为什么要这样干始终缺乏明确的认识；另外，在沿着某一解题途径走下去时，又往往不能对自己目前的处境作出清醒的评估并由此而作出必要的调整，却只是“一股劲地往前走”，直至最终陷入了僵局而一无所措。 “好的解题者”在采用某一方法或解题途径前能对各种可能性进行仔细的考虑；在整个解题过程中也能始终作到“心中有数”，即清楚地知道自己在干什么和为什么要这样干；他们并能对目前的处境作出清醒的自我评估，从而就能够及时作出必要的调整；在成功地解决了问题以后，他们又能自觉地对所已进行的工作作出回顾，特别是深入地

32、思考是否还存在更为有效的解题途径 从教学的角度看 相应的基本问题：（1）什么？（2）为什么？（3）如何？例12 数学思维的又一重要表现：“求取解答，继续前进” 这正是“问题解决”这一数学改革运动的一个重要启示或教训，即是我们不应满足于了解答的获得，而应十分重视如何能够以此为基础去求得新的发展。从教学的角度看 相应的基本问题：（1）如何能对所得出的结论进行证明，包括作出必要的推广？（2）我们能否使用不同的方法去解决问题？所使用的方法又是否具有改进的余地？（3）这一结论与其它已得出的结论有什么联系，我们又能否对此进行合并？判断问题“好坏”的标准之二（2）“好的问题”并应具有较大的“启发性”。这也就

33、是指，尽管应当具有一定的引导作用，但这又不应成为学生必须遵守的硬性规范，另外，给学生一定的启示也不应成为包办代替，而应促使学生积极地去进行思考和探究，也即应当具有较大的开放性和自由度。例13 韦达定理的教学 两种不同的提问方式和教学设计：（1）先列表让学生填充，然后问：你认为根与系数有什么关系？ 方程 X1X2X1 +X2X1 X2X2X -12 = 0X2 6X +5 = 0X2 2X -35 = 0另一种提问方式（2）什么是一元二次方程的主要成分？在一元二次方程的根与系数可能存在什么样的关系？如何去作出发现？又应如何去证明？例14 “提问与“从众”（祝家林） 相关信息：故事书每套12元，连

34、环画每套15元，科学书每套18元。 原题：买5套故事书和2套连环画，一共要付多少钱？ 解答：125+152=60+30=90（元）提问与“模仿” 教师：谁还能再提一个问题？（1）买3套故事书和5套连环画，一共要付多少钱？ （2）买4套故事书和3套连环画，一共要付多少钱？（3）买2套故事书和6套连环画，一共要付多少钱？判断问题“好坏”的标准之三（3）教学中的问题设计并应十分重视对于学生的恰当性，这也就是指，“好的问题”对于学生而言应当是可接受的。 更为具体的提法：问题的“自然性”。 相关的论述 “大问题的一个核心追求是让学生不教而自会学、不提而自会问。要做到这一点，一个很关键的因素就是教师必须让

35、学生感到问题的提出是自然的，而不是神秘的，是有迹可循的，而不是无章可依的。”（黄爱华等）例15 “求圆柱的表面积”（黄爱华等） “求圆柱的表面积关键是要算出圆柱的侧面积，而圆柱的侧面积的一个核心知识点是学生必须知晓圆柱的侧面展开是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高。” 常用的教学手段：让学生具体制作圆柱，并在课堂上汇报、交流。 一个值得注意的现象 学生在制作的过程中常常会遇到这样的麻烦：大多数学生所采取的都是“先做圆筒后做底面”的方法，由于圆筒是空心的，稍一用力就会变形，这样就给绕着圆筒“描”圆增添了很大麻烦，而且，沿着“描”出来的曲线剪“圆”也很麻烦！一不小心就

36、把辛辛苦苦“描”出来的圆剪坏了，一切就要重来一个十分自然的提问 “在做的过程中有什么麻烦的地方？”“有没有改进的方法？” 教学实录：有学生提出：“可以先做底面，然后做圆筒。” 这样，就在不知不觉之中使同学们感受到了这样一点：原来圆柱体的表面积一课要研究的问题就是自己制作过程中遇到的问题，自己一再苦恼的问题。 结论 数学教学中“好的问题”应当满足这样几点要求：重要性和基本性（引领性）、启发性、以及对于学生的适当性。 插入：谷超豪先生诗一首（1991） 人言数无味，我道味无穷。 良师多启发，珍本富精蕴。 解题岂一法，寻思求百通。 幸得桑梓教，终生为动容。 3. 关于“问题引领”的几点建议 （1）尽

37、管“问题引领”这一做法在现今的数学教材编写中已经得到了广泛应用，但我们又应更加重视如何能够依据具体的教学内容、对象与环境去进行“再创造”，从而真正做到“用教材去教”，而不是“机械地去教教材”。 教学工作创造性的一个重要表现：教学内容的“问题化”；（2）这方面教学工作的重点与难点就在于：我们如何能够使得教师所预设的问题真正成为学生自己的问题，包括很好地去处理“预设性”与“生成性”的关系，也即如何能够针对学生的真实情况与现实的教学情境对所预设的问题作出必要的调整。例16 关于“圆的认识”教学的一点思考 我们在此是否真有必要花费很多的时间、精力刻意地去创设一个现实情境以引入“圆的认识”这样一个主题？

38、如“马路上的下水道盖子为什么要做成圆的？”“什么形状的盖子可以拧开”，等等。 现实中的问题 尽管有不少教学在此都设计了“这里究竟有什么秘密？”这样一个问题，但却似乎未能在学生中引起强烈的好奇心与探究欲；也正因此，当教师最终依据“圆的性质”去揭示所说的“秘密”时，学生也完全没有表现出任何发现的喜悦与“恍然大悟”的感觉。（3）更高的追求 这时，学生所关注的已不只是原来的问题，他们所寻求的也不再是单纯意义上的解答。”（M. Lampert）这显然也就意味着学生已经真正成为了学习的主人，提出问题的能力也已有了很大的提高，并已在学会数学地思维这方面取得了切实进展。小结 “善于提问”的一个基本意义即是有利

39、于学生学会数学地思维。 这并直接关系到了教学中如何能够很好地调动学生的学习积极性，真正实现教学活动的“双中心”。 三、“善于优化善于优化”与数学教学与数学教学 1. “优化”对于数学学习的特殊重要性。例17 算术方法到代数方法的比较 “四则难题制造了许许多多的奇招怪招。但是你跑不远、走不远，更不能腾飞可是你要一引进代数方法，这些东西就都变成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了，而且每个人都可以做， 用不着天才人物想出许多招来才能做，而且他可以腾飞。（吴文俊）例18语言的必要优化 现代的符号语言： w2/5 - z3/3 + x2y4/27 中国的传统方法： 五 三 二七 元二 人三 天二地四

40、例19 （自然数）加法的几个不同水平 第一 ，从头数起（count all）； 第二， “简化的计数程序”：（从第一个加数）“继续往后数”（count on）； 第三，已知事实的应用。例如，9+7=（9+1）+6=10+6=16 从数学思维的角度看 数学家们总是不满足于某些具体结果或结论的获得，而是希望能够获得更为深入的理解，后者不仅导致了对于严格的逻辑证明的寻求，也促使数学家积极地去从事进一步的研究，如在这些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍的理论？这些事实能否被纳入某个统一的数学结构等等；数学家们也总是希望能达到更大的简单性和精致性，如是否存在更为简单的证明？能否对相应的表述方式（

41、包括符号等）作出改进？等等。 结论 应当明确肯定“优化”对于数学学习的特殊重要性，反对放任自流。 “优化”的具体涵义：（1）显性层面：方法的改进；结论的推广；更好的表述方法的引入；（2）隐性层面，观念的更新，新的品格的养成；相关的思考 什么是学生数学思维发展过程的主要形式，是“同化”还是“顺应”？ 应有的认识：数学思维的发展同时包括了“水平方向”上的发展与“垂直方向”上的发展。数学教学所应特别关注的一个问题 “数学的学习不是一个连续过程，它必须重新组织、重新认识，有时甚至要与以前的知识和思考模式真正决裂。” （M. Artique，2004）例20 学生的“规律性错误” 有理数乘除法教学中经常

42、可以看到的一个现象：尽管两个问题具有完全相同的数学结构，学生却采用了不同的运算去进行求解：（1）某种奶酪的售价为每公斤28元，5公斤这样的奶酪售价是多少？（2）某种奶酪的售价为每公斤27.5元，0.92公斤这样的奶酪售价是多少？ 分析 大多数学生正是通过先前的学习逐渐形成了关于乘除运算的一些观念，特别是，由于学生在开始学习乘除法时所接触到的都是自然数，因此就很容易形成以下的观念：“乘法总是使数变大，除法则总是使数变小。” 回顾 这正是数学教学中所说的“优化”的一个重要涵义：我们应当帮助学生及时纠正各种不恰当或错误的观念，包括对知识与认知结构等作出必要的调整与发展。 相关的历史事实 从发现负数到

43、把负数当作数来使用，其间差不多经过了500年； 从发现虚数到它得到一般承认，中间实际经历了250年； 插入：两个相关的问题 “学生主动探究”作为一种教学方法是否有其一定的局限性或适用范围？ 我们又应如何看待“先学后教”这样一种教学模式的普遍意义？结论 数学学习主要是一个文化继承的过程，我们更应清楚地看到数学思维与相应的“情感、态度与价值”的后天获得性，教师并应在这一过程中发挥重要的作用。 应当更为全面和深入地认识数学中“优化”的具体内涵。2. 教学中如何实现“优化”？ 关键：如何能够使得“优化”真正成为学生的自觉行为，而不是外部的强制规范。例21 “问题解决”的教学（解题策略：画图）问题：动物

44、车展，第一天卖了65辆车，第二天销量增加了1/5，问：第二天卖了多少？教学重点：画图策略教学中的常态 首先要求各个学生相对独立地通过画图去求解问题 其次，为了实现学生间的积极互动，教师通常又会要求一些学生向全班展示自己的画图方法。 问题：我们在课堂上是否应当让尽可能多的学生向其它学生展示自己的画法，如直接画65个小圈，画5个圈去代表65辆车，等等？教学中的常态 上来展示的学生越多，效果似乎就越差：大多数学生对于其它学生所采取的方法往往视而不见，根本不予关心，更不用说与自己的方法进行比较。 例22 用2-6的乘法口诀求商 教师出示问题：12个桃子，每只小猴分3个，可以分给几只小猴？ 几种不同的解

45、决方法：（1）实物操作；（2）用乘法口诀求商；（3）采用“连减”的方法；（4）采用“连加”的方法。教学实录（片段四） 师：请小朋友看黑黑板，现在有这么多种方法来算123，你最喜欢哪种方法？生：我喜欢减法，因为它最特殊。师：不觉得它很麻烦吗？生：不麻烦！师：谁再来说说，你最喜欢哪种方法？生：我最喜欢加法。师：为什么？生：因为我喜欢做加法，不喜欢做乘法。 师：（无奈地指着用乘法口诀求商的方法）有没有喜欢用这种方法的？ 有少部分学生响应。 师：其实，用乘法口诀求商是最简便的方法。以后我们做除法时，就用这种方法来做。回顾：教学中如何实现“优化”？ 关键与难点：如何能够使得“优化”真正成为学生的自觉行为

46、，而不是外部的强制规范。 一些特别重要的环节：（1）多元化；（2）比较；（3）反思。 分析 多元化应当被看成优化、特别是比较的必要前提。从而，我们在教学中就不应为了“多元化”而多元化，更不是越多越好！ 比较的主要功能：诱发反思与总结，从而就能自觉地实现优化。 教学中的关键 第一，加强比较； 第二，努力促进学生的反思与总结，从而使得优化真正成为学生的自觉行为。例23 “估算教学实录”（吴正宪） 引入（1）：“青青和妈妈一起到超市购物，一共买了五种商品，妈妈带了200元钱，不知够不够？”。 引入（2）：“曹冲称象：六次称石头所得出的重量分别为328、346、307、377、398和352斤。大象大