新人教九年级数学切线长定理和三角形内切圆

1、24.2.2.3 切线长定理和三角形内切圆切线长定理和三角形内切圆复习复习1 1：直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系rrrdddn直线和圆相交直线和圆相交d r;n直线和圆相交直线和圆相交OO相交相交O相切相切相离相离 复习复习2： 1、切线的判定定理是什么？、切线的判定定理是什么？ 2、切线的性质定理是什么、切线的性质定理是什么 3、角平分线的性质是什么？、角平分线的性质是什么？ 4、什么叫三角形的外接圆和外心？、什么叫三角形的外接圆和外心？外心是三角形什么的交点？外心是三角形什么的交点？ 我们知道我们知道，过圆上一点可以过圆上一点可以作圆的一条切线，那么过圆外一作圆的一条切线，那么过圆外

2、一点可以作圆的几条切线呢？点可以作圆的几条切线呢？ 探究： 过圆外一点作圆的切线，这过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的点和切点之间的线段线段的的长长，叫，叫做这点到圆的做这点到圆的切线长。切线长。OPABOPAB 切线是直线，不能度量；切线是直线，不能度量； 切线长是线段的长，这条线段的两个端切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。点分别是圆外一点和切点，可以度量。探究：探究： 从从O O外的一点引两条切线外的一点引两条切线PAPA，PBPB，切点，切点分别是分别是A A、B B，连结，连结OAOA、OBOB、OPOP，你能发现什么，你能发现什么结论？并证明你所

3、发现的结论。结论？并证明你所发现的结论。APO。BPA = PBOPA=OPB证明：证明：PAPA，PBPB与与O O相切，点相切，点A A，B B是切点是切点 OAPAOAPA，OBPB OBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtRtAOPRtAOPRtBOP(HL)BOP(HL) PA = PB OPA=OPB试用文字语言试用文字语言叙述你所发现叙述你所发现的结论的结论PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PBOPA=OPB 从圆外一点引圆的两条切线，它从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两

4、条切线的夹角。条切线的夹角。 切线长定理切线长定理APO。BAPOB 若连结两切点若连结两切点A A、B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又能得你又能得出什么新的结论出什么新的结论? ?并给出证明并给出证明. .OP垂直平分垂直平分AB证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形是等腰三角形，PMPM为为顶角顶角的平分线的平分线 OP垂直平分垂直平分ABM试一试试一试APO。B 若延长若延长PO交交 O于点于点C，连结，连结CA、CB，你又你又能得出什么新的结论能得出什么新的结论?

5、?并给出证明并给出证明. .CA=CB证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB OPA=OPB PC=PCPC=PC PCA PCB AC=BCAC=BCC探究：探究：PA、PB是是 O的两条切的两条切线，线，A、B为切点，直线为切点，直线OP交于交于 O于点于点D、E，交，交AB于于C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3）写出图中所有相等的线段）写出图中所有相等的线段（2）写出图中与）写出图中与OAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPCOA=OB=OD

6、=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE 切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等，角相线段相等，角相等，弧相等，垂直关系等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。必须掌握并能灵活应用。当堂检测当堂检测 ：1、在、在ABC中，中，A=50 （1）若点）若点O是是ABC的外心，则的外心，则BOC= . （2) 若点若点O是是ABC的内心，则的内心，则BOC= .2、如图，、如图，PA，PB是是 O的切线，的切线，A，B为切点，为切点，OPB=30 （1）APB的度数是的度数是 ； （2）当）当OA=3时，时，AP= . APO。B10011560已知：如

7、图已知：如图,PA,PA、PBPB是是OO的切线，切点分别的切线，切点分别是是A A、B B，Q Q为为ABAB上一点，过上一点，过Q Q点作点作OO的切线，的切线，交交PAPA、PBPB于于E E、F F点，已知点，已知PA=12CMPA=12CM，求，求PEFPEF的周长。的周长。EAQPFBO易证易证EQ=EA, FQ=FB,EQ=EA, FQ=FB, PA=PB PA=PB PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PF+FQ=PB=PAPB=PA=12cm=12cm周长为24cm 例题例题1 变式：变式：如图所示如图所示PA、PB分别切分别切圆圆O于于A、B，并与圆，并与圆O的切线分别相

8、交于的切线分别相交于C、D，已知，已知PA=7cm，(1)求求PCD的周长的周长(2) 如果如果P=46,求求COD的度数的度数C OPBDAE例例1 1、已知：、已知：P P为为O O外一点，外一点，PAPA、PBPB为为O O的的切线，切线，A A、B B为切点，为切点，BCBC是直径。是直径。 求证：求证：ACOPACOPPACBDO 例题讲解例题讲解。PBAO（3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点）连结两切点（1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。想一想想一想思考思考 如图如图, ,一张三角形的铁皮一

9、张三角形的铁皮, ,如何在它上面截下如何在它上面截下一块圆形的用料一块圆形的用料, ,并且使圆的面积尽可能大呢并且使圆的面积尽可能大呢? ?ID三角形的内切圆：三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内心：三角形的内心：三角形的内切圆的圆心叫三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心做三角形的内心三角形的内心是三角形三三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。三角形三边的距离相等。数学探究数学探究COBADEFo外接圆圆心：外接圆圆心：三角形三边三角形三边垂直平分线的交点垂直平分线的交点。外

10、接圆的半径：外接圆的半径：交点到三交点到三角形任意一个顶点的距离。角形任意一个顶点的距离。三角形外接圆三角形外接圆三角形内切圆三角形内切圆o内切圆圆心：内切圆圆心：三角形三个三角形三个内角平分线的交点。内角平分线的交点。内切圆的半径：内切圆的半径：交点到三交点到三角形任意一边的垂直距离。角形任意一边的垂直距离。AABBCCo三角形外接圆三角形外接圆三角形内切圆三角形内切圆oAABBCC 一个三角形有一个三角形有 个内切圆，一个圆有个内切圆，一个圆有 个个外切三角形。外切三角形。 一个三角形有一个三角形有 个外接圆，一个圆有个外接圆，一个圆有 个个内接三角形。内接三角形。一个一个一个一个无数无数

11、无数无数例例2. 如图，四边形如图，四边形ABCD的边的边 AB、BC、CD、DA和和 O分别相切于分别相切于L、M、N、P。（1）图中有几对相等的线段？）图中有几对相等的线段？ADLMNPOCB（2 2）由此你能发现什么结论）由此你能发现什么结论？ 为什么？为什么？解：解： AB，BC，CD，DA都与都与 O相切，相切，L，M，N，P是切点，是切点，AL=AP，LB=MB， DN=DP，NC=MCAL+ LB+ DN+ NC = AP+ MB+DP+MC即即 AB+ CD = AD+BC圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等（可做定理用）（可做定理用）例例3 ABC

12、的内切圆的内切圆 O与与BC、CA、AB分别相切于分别相切于 点点D、E、F，且，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求求AF、BD、CE的长的长.解解:设设AF=x(cm), BD=y(cm),CEz(cm) AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm). O与与ABC的三边都相切的三边都相切AFAE,BDBF,CECD则有则有xy9yz14xz13解得解得x4y5z9 例题例题3BDEFOCA如图，如图，ABC的内切圆的半径为的内切圆的半径为r, ABC的周长为的周长为l,求求ABC的面积的面积S.解：解：设设ABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、

13、F，连结连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则则ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF21212121 lr设设ABC的三边为的三边为a、b、c，面积为，面积为S，则则ABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r2Sabc三角形的内切圆的有关计算三角形的内切圆的有关计算 思考思考ABCEDFO 如图，如图，RtABC中，中，C90,BCa,ACb, ABc, O为为RtABC的内切圆的内切圆. 求：求：RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r.设设AD= x , BE= y ,CE r O与与RtABC的三边都相切的三边都相切ADAF,BEBF,CECD则有则有xrbyraxyc解：解：设设RtABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。解得解得 rabc2设设RtABC的直角边为的直角边为a、b，斜边为，斜边为c，则，则RtABC的的内切圆的半径内切圆的半径 r 或或rabc2ababc 变式变式1、切线长的定义、切线长的定义2、切线长定理、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。这一点的连线平