第七章等参元

1、为什么会有等参元来源一：来源一： 在有限元的网格划分中常用的一些单元，像三角形、矩形、在有限元的网格划分中常用的一些单元，像三角形、矩形、六面体单元等，都是形状很规则的单元。对于形状规则的连续六面体单元等，都是形状很规则的单元。对于形状规则的连续体，用这些单元来离散可以获得比较好的结果。体，用这些单元来离散可以获得比较好的结果。 但是，对于一些几何形状比较复杂的连续体，再用这些单但是，对于一些几何形状比较复杂的连续体，再用这些单元离散就比较困难了。于是出现了坐标变换的方法来解决这个元离散就比较困难了。于是出现了坐标变换的方法来解决这个问题。通过一一对应的坐标变换，把规则的单元转变成形状不问题。

2、通过一一对应的坐标变换，把规则的单元转变成形状不规则的单元，就可以用它们来离散几何形状复杂的连续体。规则的单元，就可以用它们来离散几何形状复杂的连续体。为什么会有等参元来源二：来源二： 有些求解问题的域的几何形状比较规则，那么采用原来的有些求解问题的域的几何形状比较规则，那么采用原来的坐标进行积分运算就不是很复杂，但是有些几何形状比较畸形，坐标进行积分运算就不是很复杂，但是有些几何形状比较畸形，会使运算处理很麻烦，于是就有这样的想法，能不能去把这个会使运算处理很麻烦，于是就有这样的想法，能不能去把这个畸形的形状转换到一个比较规则，比较普遍的通用的形体上，畸形的形状转换到一个比较规则，比较普遍的

3、通用的形体上，在这个形体上去研究它的性质，却不改变原来的问题。在这个形体上去研究它的性质，却不改变原来的问题。 等参元基本概念例如：例如： 将原来的将原来的任意四边形单元（子单元）任意四边形单元（子单元）变换为变换为一个正方形单一个正方形单元（母单元）。元（母单元）。子单元来自结构，它代表了真实结构的几何特子单元来自结构，它代表了真实结构的几何特征，然后通过坐标变换转换到母单元上去，进行一系列有限元征，然后通过坐标变换转换到母单元上去，进行一系列有限元运算。运算。 等参元基本概念在有限元分析中，恰当的选择位移函数是整个方法中最重要的在有限元分析中，恰当的选择位移函数是整个方法中最重要的部分。位

4、移函数的描述通常可用两种方式，其中一种是采用含部分。位移函数的描述通常可用两种方式，其中一种是采用含有若干待定系数有若干待定系数 i（也称为广义坐标）的简单多项式，其二是（也称为广义坐标）的简单多项式，其二是可以采用形函数（插值函数）直接描述，形函数通常是用插值可以采用形函数（插值函数）直接描述，形函数通常是用插值多项式表示，多项式表示，对于二维位移场来说，可以写成：对于二维位移场来说，可以写成：式中式中Ni（x,y）由具体单元和节点确定。由具体单元和节点确定。等参元基本概念对于高阶插值单元来说，所选择的位移函数除了应满足完备和对于高阶插值单元来说，所选择的位移函数除了应满足完备和协调条件外，

5、协调条件外，除待定系数的数目还应和单元的节点自由度都一除待定系数的数目还应和单元的节点自由度都一致外（以便由节点位移值唯一的确定全部系数），在此多项式致外（以便由节点位移值唯一的确定全部系数），在此多项式中还应满足几何各向同性条件，中还应满足几何各向同性条件，即位移函数对于坐标的任何线即位移函数对于坐标的任何线性变换都能保持不变。性变换都能保持不变。 采用高阶单元能够得到较高的精度，得阶数过高会导致计算采用高阶单元能够得到较高的精度，得阶数过高会导致计算复杂、计算量大为增加，故一般选用不高于三次的多项式函数。复杂、计算量大为增加，故一般选用不高于三次的多项式函数。 多项式是位移函数的一种普遍形

6、式，其原因是建立单元方程多项式是位移函数的一种普遍形式，其原因是建立单元方程及进行数学处理较为容易，此外，任意多项式可以近似的表示真及进行数学处理较为容易，此外，任意多项式可以近似的表示真实解，无限次的多项式可以与正确解相对应。实解，无限次的多项式可以与正确解相对应。等参元基本概念拉格朗日插值函数拉格朗日插值函数对于规则区域，可以利用某些位置的插值函数，直接写出其对于规则区域，可以利用某些位置的插值函数，直接写出其形函数。形函数。在一维情况下，拉格朗日插值函数的一般形式为：在一维情况下，拉格朗日插值函数的一般形式为：只要只要 （x）在在x0，x1，xn处的值处的值 0 ， 1 n 已知，就能已

7、知，就能用下列用下列n次多项式近似的表示次多项式近似的表示 （x）与形函数的定义是一致与形函数的定义是一致等参元基本概念拉格朗日插值函数拉格朗日插值函数将拉格朗日插值函数使用于二维或三维情况。二维问题的位将拉格朗日插值函数使用于二维或三维情况。二维问题的位移函数可写成：移函数可写成：n、m分别为在分别为在x和和y方向的分段数。方向的分段数。二维拉格朗日单元见下图：二维拉格朗日单元见下图：这种插值方法的优点是直接采用这种插值方法的优点是直接采用了一维拉格朗日插值函数的结果。了一维拉格朗日插值函数的结果。其缺点是出现了内点，增加了计其缺点是出现了内点，增加了计算工作量，同时节点数目不一定算工作量，

8、同时节点数目不一定和完备多项式的数目一致。和完备多项式的数目一致。二维情况母单元的插值函数以四边形单元为例以四边形单元为例 只讨论具有边界节点而无内部节点的单元，在推导各类单只讨论具有边界节点而无内部节点的单元，在推导各类单元的形函数时，采用的是局部坐标系或自然坐标系，它在单元元的形函数时，采用的是局部坐标系或自然坐标系，它在单元内部的变化范围是从内部的变化范围是从-1-1到到+1+1。 这对有限元中推导形函数及进行数值积分都是方便的。这对有限元中推导形函数及进行数值积分都是方便的。无量纲的拉格朗日多项式无量纲的拉格朗日多项式插值函数计算插值函数计算2个节点个节点二维情况母单元的插值函数无量纲

9、的拉格朗日多项式无量纲的拉格朗日多项式插值函数计算插值函数计算3个节点个节点插值函数计算插值函数计算4个节点个节点二维情况母单元的插值函数四边形四节点四边形四节点如果用总体坐标（如果用总体坐标（x x，y y）表示位移函数时）表示位移函数时二维情况母单元的插值函数四边形四节点四边形四节点如果用局部坐标，如果用局部坐标，可以用可以用线性拉格朗日插值多项式的乘积线性拉格朗日插值多项式的乘积构造这种单元的形函数构造这种单元的形函数节点节点i二维情况母单元的插值函数四边形四节点四边形四节点节点节点j同理：对节点同理：对节点k，l有：有：二维情况母单元的插值函数四边形四节点四边形四节点则可以用公式统一表

10、达为：则可以用公式统一表达为：二维情况母单元的插值函数四边形八节点四边形八节点局部坐标系下原习惯的位移函数形式为：局部坐标系下原习惯的位移函数形式为：这种单元共有这种单元共有8 8个节点，个节点，沿每条边有沿每条边有3 3个节点。个节点。位移函数在每条边上位移函数在每条边上呈二次曲线变化。呈二次曲线变化。考虑根据拉格朗日插值函数可求出其形函数考虑根据拉格朗日插值函数可求出其形函数二维情况母单元的插值函数四边形八节点四边形八节点节点节点2因此对边中点（节点因此对边中点（节点2，6）有）有同理对边中点（节点同理对边中点（节点4，8）有）有二维情况母单元的插值函数四边形八节点四边形八节点对于角节点，

11、其形函数要进行修正对于角节点，其形函数要进行修正如果仍然采用如果仍然采用则节点则节点1处处节点节点8在节点在节点1处的形函数值为处的形函数值为0.5。修正的方法修正的方法所有角节点处形函数的计算：所有角节点处形函数的计算：二维情况母单元的插值函数对于高次单元（三次）及立体单元，其形函数的构成与平面对于高次单元（三次）及立体单元，其形函数的构成与平面二次的相同。只是稍微复杂一些。其做法包含：二次的相同。只是稍微复杂一些。其做法包含：（1）采用拉格朗日多项式来进行组合构造）采用拉格朗日多项式来进行组合构造（2）构造好的形函数要对其进行验证保证有：）构造好的形函数要对其进行验证保证有：（3）不满足的

12、节点要进行修正。）不满足的节点要进行修正。二维情况子单元 在二维问题中，我们详细的介绍了三角形常应变单元，在二维问题中，我们详细的介绍了三角形常应变单元，其精度是受到限制的，其精度是受到限制的，为了提高精度可以采用高阶插值函数，为了提高精度可以采用高阶插值函数，可以采用矩形高阶的插值的单元。可以采用矩形高阶的插值的单元。 在一些具有曲线边界的问题中，如果采用直线边界的单在一些具有曲线边界的问题中，如果采用直线边界的单元。就会产生用折线代替曲线所带来的误差。因此元。就会产生用折线代替曲线所带来的误差。因此希望构造希望构造出一些曲边的高精度单元，以便在给定的精度下，用数目较出一些曲边的高精度单元，

13、以便在给定的精度下，用数目较少的单元，解决工程实际的具体问题少的单元，解决工程实际的具体问题。二维情况子单元首先来看图示矩形单元：首先来看图示矩形单元：总体坐标系下的位移函数可写为：总体坐标系下的位移函数可写为：如果把坐标原点移到单元的中心，形函数可写成统一的形式：如果把坐标原点移到单元的中心，形函数可写成统一的形式：这是一个双线性的插值函数，在矩形的每一个边上（这是一个双线性的插值函数，在矩形的每一个边上（x= 1或或y= 1上）上）函数函数函数函数u和和v分别是分别是x,y的线性函数，它们完全可以由该边上的两个节点的线性函数，它们完全可以由该边上的两个节点的函数值唯一确定。因此这样构造的位

14、移函数在相邻两个矩形单元的公的函数值唯一确定。因此这样构造的位移函数在相邻两个矩形单元的公共边上均能保证连续性的要求。即满足相容性条件。共边上均能保证连续性的要求。即满足相容性条件。二维情况子单元这种双线性插值用来描述几何位置的坐标这种双线性插值用来描述几何位置的坐标变量也必然成立，即：变量也必然成立，即：这种单元的位移函数（即其节点位移值的插值公式）和几何这种单元的位移函数（即其节点位移值的插值公式）和几何位置的坐标变量（其节点坐标值的插值公式）具有完全相同位置的坐标变量（其节点坐标值的插值公式）具有完全相同的形式，它们都用同样数目的相应的节点值做为参数，并且的形式，它们都用同样数目的相应的

15、节点值做为参数，并且具有完全相同的形状函数作为节点值前面的系数，具有这种具有完全相同的形状函数作为节点值前面的系数，具有这种性质的单元就叫等参单元，简称等参元。性质的单元就叫等参单元，简称等参元。二维情况子单元设在设在4边形四个顶点布置节点，分边形四个顶点布置节点，分别为别为1，2，3，4。如果形函数仍如果形函数仍然取上述矩形单元的双线性函数，然取上述矩形单元的双线性函数，则在单元的边界上，一般不能满则在单元的边界上，一般不能满足相容性条件。足相容性条件。如果四边形不是矩形呢？如果四边形不是矩形呢？因为在不平行于因为在不平行于x（或（或y）轴的任一边上（如）轴的任一边上（如43边）这条边的直边

16、）这条边的直线方程为：线方程为： y=ax+b（a 0）把它代入到位移函数式中，则位移为把它代入到位移函数式中，则位移为x x的二次函数即的二次函数即u=Ax2+Bx+C二维情况子单元这样表明在这条边上这样表明在这条边上u u不再是线性不再是线性变化的（变化的（v v亦如此），因此这条边亦如此），因此这条边上的位移就不能由两个节点值的上的位移就不能由两个节点值的插值函数所唯一确定，从而在相插值函数所唯一确定，从而在相邻两个单元的公共边上将不能保邻两个单元的公共边上将不能保证证 位移是连续的。即相容性条件位移是连续的。即相容性条件不满足。不满足。如果四边形不是矩形呢？如果四边形不是矩形呢？4 4

17、节点斜四边形单元不能象矩形单元那样，直接采用原直角坐节点斜四边形单元不能象矩形单元那样，直接采用原直角坐标（标（x,yx,y）表示的双线性函数为形函数。为此，引入一个局部）表示的双线性函数为形函数。为此，引入一个局部坐标系，使得斜四边形单元能够变换到相应的矩形单元上去。坐标系，使得斜四边形单元能够变换到相应的矩形单元上去。子单元向母单元的变换我们通过总体坐标我们通过总体坐标（x , y）与局部坐标与局部坐标（ ， ）之间的变换之间的变换（或称为几何映射），使在总体坐标下的斜四边形单元变换为（或称为几何映射），使在总体坐标下的斜四边形单元变换为在局部坐标下，边长为在局部坐标下，边长为2，坐标原点

18、位于单元中心的正方形单元。，坐标原点位于单元中心的正方形单元。（x,y）下下1，2，3，4 （ ， ）下下1，2，3，4 各边长的等分点各边长的等分点各边的等分点各边的等分点这种变换是否存在？这种变换是否存在？子单元向母单元的变换假设变换存在：则在局部坐标假设变换存在：则在局部坐标（ ， ）下，单元是一个正下，单元是一个正方形，不难看出其位移函数为：方形，不难看出其位移函数为：而且肯定有：而且肯定有：局部坐标下的位移函数能满足常应变准则条件。局部坐标下的位移函数能满足常应变准则条件。子单元向母单元的变换位移函数为局部坐标位移函数为局部坐标（ ， ）的表达式，在有限元分析时，需要的表达式，在有限

19、元分析时，需要计算位移计算位移u，v对总体坐标的偏导数，因此，采用上述做法时就必对总体坐标的偏导数，因此，采用上述做法时就必须找出总体坐标须找出总体坐标（x, y）对局部坐标对局部坐标（ ， ）之间的变换式。之间的变换式。总体坐标变量当做函数：总体坐标变量当做函数：采用这种形式变换对采用这种形式变换对不对，直边是不是仍不对，直边是不是仍然是直边？然是直边？我们可以看到位移函数式和坐标我们可以看到位移函数式和坐标变换式具有完全相同的构造。它变换式具有完全相同的构造。它们用同样数目的相应的节点值作们用同样数目的相应的节点值作为参数，并具有完全相同的形函为参数，并具有完全相同的形函数数NiNi（ ，

20、 ）这样构造的单元称这样构造的单元称坐等参数单元，简称等参元。坐等参数单元，简称等参元。子单元向母单元的变换4 4节点斜四边形单元，称作节点斜四边形单元，称作4 4节点四边形的单元。节点四边形的单元。这种单元是能满足有限元解的收敛的这种单元是能满足有限元解的收敛的“常应变准则常应变准则”的。的。从刚才的变换可以看出：从刚才的变换可以看出： 两个相邻的斜四边形单元在公共边上坐标变换是连续的。两个相邻的斜四边形单元在公共边上坐标变换是连续的。 两单元公共边上的公共点在坐标变换后仍保持为公共点，两单元公共边上的公共点在坐标变换后仍保持为公共点，他们即不脱离也不重叠，由此，位移函数在总体坐标下也满足他

21、们即不脱离也不重叠，由此，位移函数在总体坐标下也满足相容性条件。相容性条件。 根据以上分析，对于一些单元进行分析时，在局部坐标根据以上分析，对于一些单元进行分析时，在局部坐标（ ， ）中进行，这时单元形状是正方形，位移函数简单，计中进行，这时单元形状是正方形，位移函数简单，计算较为方便。算较为方便。 形函数形函数Ni（ ， ）可以是二次或更高次的，这时单元在局可以是二次或更高次的，这时单元在局部坐标部坐标（ ， ）平面上的直边变换到总体总体坐标时为曲边形平面上的直边变换到总体总体坐标时为曲边形状，正好适应曲边单元的要求。状，正好适应曲边单元的要求。子单元向母单元的变换为什么叫等参元为什么叫等参

22、元单元位移采用形函数单元位移采用形函数节点节点位移方式，位移插值函数取位移方式，位移插值函数取决于节点数目决于节点数目事实上，两种变换并不一定需要采用相同的节点数和相同的形事实上，两种变换并不一定需要采用相同的节点数和相同的形函数，若描述单元位移的节点数目函数，若描述单元位移的节点数目n1少于描述坐标变换的节点少于描述坐标变换的节点数目数目n2(相应的单元位移形函数相应的单元位移形函数Ni的阶次也比坐标变换形函数阶的阶次也比坐标变换形函数阶次低次低)，这种单元称为，这种单元称为“超参元超参元”。反之称为。反之称为“亚参元亚参元”或或“次次参元参元”。坐标变换采用形函数坐标变换采用形函数节点节点

23、坐标方式，坐标变换函数取坐标方式，坐标变换函数取决于节点数目决于节点数目子单元向母单元的变换超参元超参元描述单元位移的节点数目描述单元位移的节点数目n1少于描述坐标变换的节点数目少于描述坐标变换的节点数目n2除了一些特殊情况外，一般是不适用的除了一些特殊情况外，一般是不适用的 单元可能是曲线边界，而单元的位移函数是线性的，其位移单元可能是曲线边界，而单元的位移函数是线性的，其位移显然不能适应边界的变化情况，单元会出现不连续位移。显然不能适应边界的变化情况，单元会出现不连续位移。次参元次参元描述单元位移的节点数目描述单元位移的节点数目n1多于描述坐标变换的节点数目多于描述坐标变换的节点数目n2可

24、以用，但位移需要进行降阶处理可以用，但位移需要进行降阶处理 单元的边界可能为直线，而位移均为曲线，但在边界上可能只单元的边界可能为直线，而位移均为曲线，但在边界上可能只有两个节点，故位移要降阶为线性，能够保证位移的连续性有两个节点，故位移要降阶为线性，能够保证位移的连续性 适用于形状复杂而应力变化较小的离散情形适用于形状复杂而应力变化较小的离散情形 适用于形状规则而应力变化剧烈的离散情形适用于形状规则而应力变化剧烈的离散情形 子单元向母单元的变换在平面应力问题的分析中，要求出在平面应力问题的分析中，要求出 ， 及及Ke ，它们都依赖于，它们都依赖于u, v对对x, y的导数。而位移函数式只给出

25、了的导数。而位移函数式只给出了u, v关于局部坐标的函数，关于局部坐标的函数，因此需要对坐标变换式进行复合求导。因此需要对坐标变换式进行复合求导。上式可写为：上式可写为：J称为坐标变换矩阵或雅可比矩阵称为坐标变换矩阵或雅可比矩阵子单元向母单元的变换上式求逆：上式求逆：回代后得：回代后得：利用上式可以把形函数利用上式可以把形函数Ni（ ， ）对对x, y求导问题化为对求导问题化为对 ， 求导的问题。求导的问题。子单元向母单元的变换为了计算单元刚度矩阵及等效节点载荷，还要把总体坐标下的微为了计算单元刚度矩阵及等效节点载荷，还要把总体坐标下的微元面积元面积 dA 换为局部坐标上去。换为局部坐标上去。

26、子单元向母单元的变换对雅克比矩阵进行展开观察对雅克比矩阵进行展开观察由此可看出，只要由此可看出，只要（xi, yi）i=1,2,3,4给出，给出，J就确定，且仅是就确定，且仅是 ， 的线性函数的线性函数子单元向母单元的变换为简化，令为简化，令于是于是为了求得雅可比变换列阵的逆矩阵为了求得雅可比变换列阵的逆矩阵J-1及单元刚度矩阵积分及单元刚度矩阵积分式中的微元面积式中的微元面积dA,要求变换行列式在整个单元上不等于零要求变换行列式在整个单元上不等于零,而且不能为负值。而且不能为负值。子单元向母单元的变换具体到单元网格上：具体到单元网格上：上述限制虽然是由四节点斜四边形单元分析得出来上述限制虽然

27、是由四节点斜四边形单元分析得出来, ,但其结但其结论可推广到一般等参元论可推广到一般等参元. .为了能确保进行等参变换为了能确保进行等参变换, ,在总体坐标下所划分的斜四边形在总体坐标下所划分的斜四边形单元必须是凸四边形单元必须是凸四边形, ,而不能有一内角大于或等于而不能有一内角大于或等于180180度的度的四边形四边形. .如下图如下图: :积分运算的转化当将一个子单元转换为母单元后，原来对子单元的积分就变当将一个子单元转换为母单元后，原来对子单元的积分就变成在母单元上进行：成在母单元上进行：由此可见被积函数的表达式必将非常复杂，进行积分运算需由此可见被积函数的表达式必将非常复杂，进行积分

28、运算需要较大的工作量要较大的工作量. .由多元微积分的变量替换规则可知由多元微积分的变量替换规则可知 积分运算的转化采用高斯积分（采用高斯积分（Gauss积分）可以解决这一问题积分）可以解决这一问题 ：高斯积分的精度？高斯积分的精度？在单元内选某些点做为积分点，把这些点的坐标值代入，在单元内选某些点做为积分点，把这些点的坐标值代入，算出其被积函数值，在乘以加权系数，然后求其总和就得算出其被积函数值，在乘以加权系数，然后求其总和就得到近似的积分值。到近似的积分值。基本步骤基本步骤由此必然会带来一定的误差。一般来讲，数值积分的精确度由此必然会带来一定的误差。一般来讲，数值积分的精确度与所采用的求积

29、分公式及所取的积分点数有关，对同一种积与所采用的求积分公式及所取的积分点数有关，对同一种积分方法，积分点数越多则产生的误差越小，但所需的计算工分方法，积分点数越多则产生的误差越小，但所需的计算工作量也就越大。两者（精度与计算时间）需做统一安排。作量也就越大。两者（精度与计算时间）需做统一安排。积分运算的转化高斯积分的精度可以保证高斯积分的精度可以保证数值积分的精确度与选取积分点的数目和位置以及数值积分的精确度与选取积分点的数目和位置以及HK中的插中的插值表达式密切相关，若对积分值表达式密切相关，若对积分 K及及HK中的插值表达式相关，中的插值表达式相关，求积公式为求积公式为积分点坐标积分点数加权系数在选择适当的在选择适当的 K 和和HK之后，之后，对任何次数不超过对任何次数不超过2n-1次的多次的多项式函数项式函数f（ ）均能精确成立，均能精确成立，这就是高斯积分公式，这就是高斯积分公式， K 称称为为Gauss点点 。高斯积分公式的积分点及加权系高斯积分公式的积分点及加权系数可以根据勒让德多项式的数可以根据勒让德多项式的n n个个不同的实根求得，通常应用时，不同的实根求得，通常应用时，根据积分点数的根据积分点数的n n可查表求得。可查表求得。积分运算的转化一维高斯积分