有界线性泛函和对偶空间

1、3.3 有界线性泛函和对偶空间有界线性泛函和对偶空间3.3.1 有界线性泛函有界线性泛函 定义定义3.3.1（线性泛函）（线性泛函） 设设 X 为线性为线性空间，空间，f 为为 D ( f )（含于（含于X）到数域）到数域 K 的的线性算子，则称线性算子，则称 f 为线性泛函，为线性泛函，D ( f ) 为为 f 的定义域，而的定义域，而 R ( f ) = f ( x ) x D ( f ) 为为 f 的值域。简单说：的值域。简单说：值域为数域的算子值域为数域的算子称为泛函。称为泛函。定义定义3.3.2（有界线性泛函）（有界线性泛函） 设设X是数域是数域K上的赋范空间，上的赋范空间，f： D

2、 ( f ) K是线性泛函，如果存在常数是线性泛函，如果存在常数 C 0，使，使得对所有得对所有 x D ( f ) 有有 f ( x ) C x则称则称 f 为有界线性泛函，其范数与以前定义为有界线性泛函，其范数与以前定义的算子的范数一致。的算子的范数一致。举例：举例：1、点积、点积2、定积分、定积分3、范数、范数3.3.2 对偶空间对偶空间定义定义3.3.3（对偶空间）（对偶空间） 当赋范空间当赋范空间 X 上定义的线性算子空间上定义的线性算子空间B ( x , y ) 中的元素为有界线性泛函，并按中的元素为有界线性泛函，并按范数定义构成赋范空间时，便称之为范数定义构成赋范空间时，便称之为

3、 X 的对偶（共轭）空间，并用的对偶（共轭）空间，并用 X * 表示。表示。举例：举例：1、Rn中由点积定义的泛函中由点积定义的泛函2、Lpa,b空间空间3.3.3 希尔伯特空间上泛函的一般形式希尔伯特空间上泛函的一般形式定理定理3.3.4（黎斯表现定理）（黎斯表现定理） 希尔伯特空间希尔伯特空间H上任一有界线性泛函可由内积表示，即上任一有界线性泛函可由内积表示，即 f ( x ) = （对任意（对任意 x H ）其中其中 z H 依赖于依赖于 f 并由并由 f 唯一地确定，其唯一地确定，其范数为范数为 z= f 引理引理3.3.5（相等性）（相等性） 若若v，v1，v2 X，X为内积空间，对

4、为内积空间，对所有所有 X，均有，均有 = ,则则v1 = v2 ；若；若 = 0 , 则有则有v = 。3.3.4 双线性泛函和二次泛函双线性泛函和二次泛函定义定义3.3.6（双线性泛函）设（双线性泛函）设 X、Y 是同一是同一数域上的线性空间，如果映射数域上的线性空间，如果映射 h：X Y K对所有对所有x，x1，x2 X 及所有及所有y，y1，y2 Y， K 均有均有（1）h ( x1 + x2 , y ) = h ( x1 , y) + h ( x2 , y )（2）h ( x , y1 + y2 ) = h ( x , y1) + h ( x , y2 )（3）h ( x , y )

5、 = h ( x , y) （4）h ( x , y ) = h ( x , y)则称则称 h 是是 X Y 上的复双线性泛函，若上的复双线性泛函，若K = R，X，Y都是实线性空间，都是实线性空间，h 就称为就称为实双线性泛函，简称双线性泛函。实双线性泛函，简称双线性泛函。举例举例12有界及范数的定义有界及范数的定义定义定义3.3.7（二次泛函）在双线性泛函中，（二次泛函）在双线性泛函中，如果令如果令 x = y，则称为，则称为 X X 到到 R 上的泛上的泛函，称作二次泛函。函，称作二次泛函。举例：二次型，信号的能量举例：二次型，信号的能量定理定理3.3.8（双线性泛函的黎斯表示）（双线性泛函的黎斯表示） 设设 H1、H2为希尔伯特空间，为希尔伯特空间，h： H1 H2 K 为有界复双线性泛函，则为有界复双线性泛函，则 h 可以可以表示为表示为