有限元硕士课程讲义

1、硕士课程有限元与数值模拟上海交通大学塑性成形技术与装备研究院董湘怀 韩先洪2013年教材、参考书 n王勖成. 有限单元法. 北京:清华大学出版社，2003n曾攀. 有限元分析及应用. 北京:清华大学出版社，2004n董湘怀等. 材料加工理论与数值模拟. 北京:高等教育出版社，2005教学计划1 1、概论、弹性力学基础、概论、弹性力学基础2 2、有限元法的数学原理、有限元法的数学原理 3 3、有限元法的基本原理、有限元法的基本原理 4 4、单元插值函数、单元插值函数 5 5、等参单元、等参单元6 6、应用注意事项、应用注意事项 （以上为考试重点）（以上为考试重点）7 7、约束变分原理、约束变分原

2、理 8 8、结构单元、结构单元9 9、热传导问题的有限元法、热传导问题的有限元法 1010、动力学问题的有限元法、动力学问题的有限元法 1111、材料非线性、材料非线性1212、几何非线性、几何非线性1313、接触与碰撞、接触与碰撞授课方式n课内 讲解 讨论n课外 阅读 习题成绩：作业20%，课堂提问10%，笔试70%。 0 0 绪论绪论0.1 有限元法的要点和特性0.2 有限元法的发展、现状和未来0.3 有限元法的学习和应用0.1 0.1 有限元法的要点和特性有限元法的要点和特性0.1.1 有限元法的基本思想有限元法的基本思想n化整为零n集零为整n（位移）有限元法与上限法的比较 相似点：假设

3、位移场，求泛函极值 相异点：分片/整体，求结点位移/求参数0.2 0.2 有限元法的特性有限元法的特性（1）对于复杂几何构形的适应性（2）对于各种物理问题的可用性（3）建立于严格理论基础上的可靠性（4）适合计算机实现的高效性0.2 0.2 有限元法的发展、现状和未来有限元法的发展、现状和未来0.2.1 有限元法的早期工作有限元法的早期工作n起源于1940年代n1950年代推广到平面问题n1960年Clough提出“有限元法”的名称n1970年代应用于大塑性变形问题n1990年代金属成形模拟进入实用化0.2 0.2 有限元法的发展、现状和未来有限元法的发展、现状和未来0.2.1 有限元法的发展和

4、现状有限元法的发展和现状 （1）单元的类型和形式 （2）有限元法的理论基础和离散格式 （3）有限元方程的解法 稳态问题 特征值问题 瞬态问题 非线性问题及其处理方法 （4）有限元法的计算机软件0.2 0.2 有限元法的发展、现状和未来有限元法的发展、现状和未来n通用软件 结构分析 热分析 流体动力学分析 电磁场分析 多物理场耦合分析 举例: ANSYS ABAQUSn专用软件 冲压成形模拟及工艺优化 体积成形模拟 热处理模拟 举例: DYNAFORM DEFORM有限元法应用简介（CAE）0.2 0.2 有限元法的发展、现状和未来有限元法的发展、现状和未来n有限元法的应用状况（曾攀）：n我国机

5、械新产品开发70%用到有限元法n材料加工工程等领域论文90%以上以有限元法为分析工具n有限元法在其中80%以上的论文中起决定性作用0.2 0.2 有限元法的发展、现状和未来有限元法的发展、现状和未来0.2.1 有限元法的未来有限元法的未来 （1）新的材料本构关系和单元形式 （2）新的数值分析方案 多重非线性耦合、多场耦合、跨尺度、非确定性、分析结果的评估和自适应的分析方法。 （3）CAD/CAM/CAE集成0.3 0.3 有限元法的学习和应用有限元法的学习和应用0.3.1 数值模拟方法的优越性数值模拟方法的优越性 经济、快速、优化、并行结果详尽 应力、应变、温度 组织性能变化虚拟、灵活三种基本

6、的研究方法：实验、理论、模拟有限元分析实例（塑性成形过程模拟）破裂单元控制算法实现精冲过程的准确模拟破裂单元控制算法实现精冲过程的准确模拟冲压过程回弹预测冲压过程回弹预测锻造过程微观组织演变锻造过程微观组织演变数值模拟数值模拟金属体积成形三维有限元数值模拟系统开发金属体积成形三维有限元数值模拟系统开发金属体积成形过程数值模拟与网格质量技术研究金属体积成形过程数值模拟与网格质量技术研究冲压分析实例（油底壳拉深）动力分析实例（汽车碰撞）基于有限元模拟的优化技术连杆锻造工艺优化连杆锻造工艺优化管件类产品设计优化管件类产品设计优化船舶设计优化船舶设计优化冲压工艺稳健设计冲压工艺稳健设计05010015

7、02002500.750.800.850.900.951.00 Thickness (mm)Section lenght(mm) Optimization result Experiment resultABCDEFGHIJKL0.3 0.3 有限元法的学习和应用有限元法的学习和应用0.3.2 数值模拟方法的研究课题数值模拟方法的研究课题n离散方法 有限元法、有限体积法、无网格法、 分子动力学、混合方法n本构模型 力学模型、组织性能演化模型n求解方法 方程组求解、全量理论n应用技术 集成、优化、智能化0.3 0.3 有限元法的学习和应用有限元法的学习和应用0.3.3 本课程的目的本课程的目的n

8、应用有限元法求解实际工程问题（大多数） 1）理解问题、确定其力学、数学模型 2）建立有限元模型、选择计算方法 3）分析计算结果、进行改进n有限元方法研究（少数） 二次开发 新模型、新算法 软件开发1 1* * 弹性力学基础弹性力学基础 1.1* 张量的基本概念1.2* 应力分析1.3* 位移与应变1.4* 边界条件1.5* 本构方程1.6* 基本方程和原理1.11.1* * 张量的基本概念张量的基本概念1.1.1*下标符号及求和约定下标符号及求和约定 31332211iiipxaxaxaxa 1、角标符号、角标符号 2、求和约定、求和约定 哑标哑标,自由标自由标 例例1 例例2 (i=1,2,

9、3) 表示 例例3 (i, j=1,2,3) iipux 312123uuupxxxijijya x1.11.1* * 张量的基本概念张量的基本概念空间坐标系xi与xk 1.1.2* 张量的定义张量的定义 由若干个当坐标系改变时满足转换关系 的分量所组成的集合为张量。 零阶、一阶、二阶张量 一阶张量的坐标变换公式 二阶张量的判别式 1.1.3* 张量的基本性质张量的基本性质 （1）存在张量不变量 （2）张量可以叠加和分解 （3）张量可分对称张量、非对称张量、反对称张量 （4）二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 二阶张量可以用矩阵表示，张量的这些基本性质可由矩阵的性质来理解。 1.11.1* *

10、 张量的基本概念张量的基本概念1.11.1* * 张量的基本概念张量的基本概念1.1.4* 二阶张量的主值、主方向和不变量二阶张量的主值、主方向和不变量1）主值和主方向 Ta a 2）二阶张量的特征方程和不变量 (T-I)a0 0det2123TjiijjjiikkTTTTT 1+2+3=Tkk=I1 12+13+23=（Tii Tjj Tij Tji ）/2=I2 123=detT=I3 1.11.1* * 张量的基本概念张量的基本概念1.1.5* 二阶对称张量二阶对称张量T的性质的性质1）T的三个主值都是实数； 2）T对应于不同特征值的两特征向量必正交； 3）T恒有三个互相垂直的主轴方向。

11、 1.11.1* * 张量的基本概念张量的基本概念1.1.6* 二阶张量的分解二阶张量的分解1）分解为对称张量和反对称张量之和 jiijjiijijAAAAA2121 2）分解为球张量和偏张量之和 mijijijAAA mijijijiimAAAAA,31 3）极分解（detF0） F=RU， F=VR 1.11.1* * 张量的基本概念张量的基本概念1.1.7* 奥高公式奥高公式1.21.2* * 应力分析应力分析1.2.1* 柯西应力的定义柯西应力的定义应力矢量 dsdssppP0lim 1.21.2* * 应力分析应力分析1.2.2* 应力矢量与应力分量应力矢量与应力分量lklklkkl

12、ePeP)()(, 1.21.2* * 应力分析应力分析应力的矩阵表示应力分量的向量表示1.21.2* * 应力分析应力分析1.2.3* 任意斜截面上的应力任意斜截面上的应力 受力物体内一点任意方位微分面上所受的应力情况 微分面的投影:由静力平衡条件:可得 全应力:应力边界条件：任意斜切微分面上的应力 ;xyzdFldFdFmdFdFndF0zzxyyxxxxdFdFdFdFSnmlSnmlSnmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxx2222zyxSSSSjij iTl1.21.2* * 应力分析应力分析.3* * 应力平衡微分方程应力平衡微分方程 根据静力平衡条件，如 ，有

13、 同时考虑y、z方向的平衡，经整理得质点的应力平衡微分方程 简记为 单元体六个面上的应力分量 0 xP0)()()(dxdydzdxdydzdxdydzzdzdxdyydydzdxxzxyxxzxzxxyyxxx000zyxzyxzyxzyzxzzyyxyzxyxx0iijx1.21.2* * 应力分析应力分析平衡方程（考虑体积力的作用）平衡方程的矩阵形式 1.31.3* * 位移与应变位移与应变1.3.1* 位移位移向量记法向量记法或或1.31.3* * 位移与位移与应变应变1.3.2* 小变形分析小变形分析 1、小应变 单元体在Oxy坐标平面内的纯变形 1.31.3* * 位移与位移与应变

14、应变 切应变及刚体转动切应变与刚性转动 1.31.3* * 位移与位移与应变应变 单元体变形的分解1.31.3* * 位移与位移与应变应变 相对位移张量及其分解xxyxzijyxyyzzxzyzr()/ 2()/ 2()/ 2()/ 2()/ 2()/ 20()/ 2()/ 2()/ 20()/ 2()/ 2()/ 20 xxyyxxzzxyxxyyyzzyzxxzzyyzzxyyxxzzxyxxyyzzyzxxzzyyz000 xxyxzzyijyxyyzzxzxzyzyxr()/2()/2()/2ijijjijiijjiijjirrrrrrrr1.31.3* * 位移与位移与应变应变1.3

15、.3* 小应变几何方程小应变几何方程 无限接近两点的位移分量之间的关系变形体内无限接近两点的位移分量及其位移增量 iiijiijuuudxuux uuuudxdydzxyzvvvvdxdydzxyzwwwwdxdydzxyz1.31.3* * 位移与位移与应变应变 位移分量与应变分量的关系 ()ccxdxuuudxuudxdxx()bbydyvvvdyvvdydyy 1 21 2tan11byxbuudyuuubbyyvabdyvvvvdyyy tanyxyxuytanxyxyvxxyyxxyyxuvyx111222xyyxxyyxuvyx1.31.3* * 位移与位移与应变应变 应变分量与位

16、移分量之间关系的公式用角标符号表示为称为小应变几何方程。 1;21;21;2xyzzyyzxxzzxyyxuvwxzyvwuyxzwuvzyx12jiijjiuuxx1.31.3* * 位移与应变位移与应变应变分量的向量表示1.41.4* * 边界条件边界条件问题的域和边界1.51.5* * 理想弹性体的本构方程理想弹性体的本构方程 ekleijklijC ekldeijklijCd klijjlikeijklvvGC212 )1 (2vEG 有限变形问题：ekleijklijDC 1.51.5* * 理想弹性体的本构方程理想弹性体的本构方程矩阵形式其中1.61.6* * 基本方程和原理基本方

17、程和原理1.6.1* 弹性力学边值问题弹性力学边值问题 1.61.6* * 基本方程和原理基本方程和原理虚功原理虚功原理求理论(解析)解的基本方法n微分方程化简、离散 n积分方程变分法n图解法：莫尔圆、滑移线法 假设试函数：利用边界条件、守恒条件等确定系数塑性力学问题的经典求解方法n主应力法（解微分方程）2rddrh 塑性力学问题的经典求解方法n滑移线法（图解法）2mambabK （）塑性力学问题的经典求解方法n上限法（解积分方程） *ijDTiijtDiiVSSP udVK V dSTu dS 塑性力学问题的经典求解方法n问题：只适用于简单问题，或必须对问题进行简化n解析方法与数值方法的比较

18、弹塑性力学参考书n弹性力学，徐芝纶，高等教育出版社，1982n金属塑性成形原理董湘怀主编，机械工业出版社，2011 习题1.1*1 有限元法的理论基础有限元法的理论基础 1.1 引言1.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法1.3 变分法1.4 弹性力学的基本方程和变分原理1.1 引言引言n微分方程的边值问题 域 V 和边界 S（S=Su+Sp） 1.1 引言引言n两类求解方法：n直接针对原始方程求解 主应力法、有限差分法n间接针对原始方程求解 上限法、有限元法1.1 引言引言n有限差分法：直接求解基本方程和相应的定解条件的近似解n有限元法：从等效积分形式出发，分片假设近似函数1.1 引言引言

19、n有限差分离散（空间）1.1 引言引言n有限元离散（物质）1.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式和加权余量法1.2.1 微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式 未知场函数u应满足微分方程组: 边界条件:1.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式和加权余量法 由于微分方程组在域中每一点都必须为零，故对任意的函数向量v 1.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式和加权余量法1.2 微分方程的等效积分形式和加权余量微分方程的等效积分形式和加权余量法法1.2.1 等效积分的弱形式等效积分的弱形式 对等效积分形式进行分部积分可得

20、 其中C，D，E，F是微分算子，其阶数较A为低。以提高v的连续性要求为代价，降低了对u的连续性要求。 1.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式和加权余量法例例 二维稳态热传导问题 微分方程 边界条件 等效积分形式1.2 微分方程的等效积分形式和加权余量微分方程的等效积分形式和加权余量法法强制边界条件:对第一个积分的前二项进行分部积分，得 于是01.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式和加权余量法法向导数令则有即为等效积分的弱形式, 其中 1.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式和加权余量法1.2.3 加权余量法加权余量法

21、(Weighted Residual Method) 近似解的一般形式其中ai是待定参数；Ni是试探函数，取自完全的函数序列。 完全的函数系列是指任一函数都可以用此序列表示。 近似解代入微分方程和边界条件将产生残差(即余量):有 (),()aaA NR B NR1.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式和加权余量法 常用的权函数的选择： 1配点法 2子域法 3最小二乘法 使 最小，取 4力矩法 5伽辽金(Galerkin)法 1.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式和加权余量法例例1.3 二阶常微分方程边界条件近似解一阶近似解二阶近似解(参见教材2

22、2-25页)1.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式和加权余量法例例1.4 一维热传导问题，微分方程其中近似解 作业：求解本题（练习题1.1）。1.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式和加权余量法1.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式和加权余量法n加权余量法的问题:n解的收敛性没有严格的理论证明；n近似解也不具有明确的上、下界性质。1.3 变分原理和里兹方法变分原理和里兹方法1.3.1 变分法的概念变分法的概念 （参见曾攀书77-79页） 变分法与微分方程边值问题是等价的。 （参见曾攀书65-67页例题） 作业第1章 练

23、习题1.11.3 变分原理和里兹方法变分原理和里兹方法1.3.2 线性、自伴随微分方程变分原理的建立线性、自伴随微分方程变分原理的建立 1线性、自伴随微分算子 1.3 变分原理和里兹方法变分原理和里兹方法例1.3 变分原理和里兹方法变分原理和里兹方法 2泛函的构造1.3 变分原理和里兹方法变分原理和里兹方法1.3 变分原理和里兹方法变分原理和里兹方法3. 泛函的极值性1.3 变分原理和里兹方法变分原理和里兹方法1.3.3 里兹方法里兹方法1.3 变分原理和里兹方法变分原理和里兹方法1.3 变分原理和里兹方法变分原理和里兹方法1.3 变分原理和里兹方法变分原理和里兹方法 例例: 用里兹法求解微分

24、方程问题（参见教材33-34页）1.3 变分原理和里兹方法变分原理和里兹方法n关于里兹法的几点讨论 收敛性 应用中的困难 （1）完备性：试探函数 Ni（i=1n）应取自完全函数系列。 （2）协调性： Ni（i=1n）应满足 Cm-1连续性要求。 （1）在求解域比较复杂时，难以选取满足边界条件的试探函数。 （2）为了提高近似解的精度，需要增加待定参数和试探函数的项数。 1.4 弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理1.4.1 平衡方程和几何方程的等效积分平衡方程和几何方程的等效积分“弱弱”形式形式虚功原理虚功原理 1虚位移原理 平衡方程： 力的边界条件： 等效积分形式： 分部积分： 将上式代回等效

25、积分式，就得到它经分部积分后的“弱”形式： 1.4 弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理n虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。n还应指出，在导出虚位移原理的过程中，未涉及物理力程(应力-应变关系)，所以虚位移原理不仅可以用于线弹性问题，而且可以用于非线性弹性及弹塑性等非线性问题。 1.4 弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理1虚应力原理 几何方程： 位移边界条件： 等效积分形式： 分部积分可得： 化简得： 1.4 弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理n虚应力原理表述了位移协调的必要而充分的条件。n和虚位移原理相同，在导出虚应力原理过程中，同样末涉及物理方程。因此，虚应力原理同样可以应用

26、于线弹性以及非线性弹性和弹塑性等不同的力学问题。n应指出，无论是虚位移原理和虚应力原理，它们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于小变形理论的，所以它们不能直接应用于基于大变形理论的力学问题。 1.4 弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理1.4.2 线弹性力学的变分原理线弹性力学的变分原理 1最小位能原理 由虚位移原理： 代入物理方程得： 利用对称性和单位体积应变能的定义，得： 假定体力和面力的大小和方向都是不变的，可从位势函数导出 于是有1.4 弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理 在所有区域内满足几何关系，在边界上满足给定位移条件的可能位移中，真实位移使系统的总位能取驻值，实际上是取最小值，上

27、式称为最小位能原理。 1.4 弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理 证明最小位能原理证明最小位能原理：设 总位能： 其中 因此1.4 弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理 2最小余能原理 由虚应力原理： 代入物理方程得： 利用对称性和单位体积余能的定义，得： 于是有 其中 1.4 弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理 在所有在弹性体内满足平衡方程，在边界上满足力的边界条件的可能应力中，真实的应力使系统的总余能取驻值，实际上是取最小值，上式称为最小余能原理。 1.4 弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理 3. 弹性力学变分原理的能量上、下界 由于应变能应等于外力功，总位能与总余能之和为零。假定在

28、Su上给定位移为零，可以推得： 上式后两项积分(不包括负号)此时是外力功的二倍，因此总位能数值上等于弹性体系的总应变能，取负号，即 1.4 弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理 由最小位能原理 则有 由最小余能原理 则有 可见，利用最小位能原理求得位移近似解的弹性变形能是真解变形能的下界，即近似的位移场在总体上偏小，也就是说结构的计算模型显得偏于刚硬；而利用最小余能原理得到的应力近似解的弹性余能是真实解余能的上界，即近似的应力解在总体上偏大，结构的计算模型偏于柔软。当分别利用这两个极值原理求解同一问题时，我们将获得这个问题的上界和下界，可以较准确地估计所得近似解的误差。 作业第1章 练习题1.

29、52 弹性力学问题有限单元法的 一 般原理和表达格式 2.1 引 言 2.2 平面问题3结点三角形单元的有限元格 式 2.3 广义坐标有限单元法的一般格式2.4 有限元解的性质和收敛性 2.5 轴对称问题的有限元格式 2.1 引引 言言n位移元n原理和步骤n有限元解的收敛性2.2 平面问题平面问题3结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式2.2.1 单元位移模式及插值函数单元位移模式及插值函数2.2 平面问题平面问题3结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式 1单元的位移模式及插值函数yxvyxu654321 mmmjjjiiiyxuyxuyxu321321321 )(

30、21)(21)(21321mmjjiimmjjiimmjjiiucucucAubububAuauauaA 2.2 平面问题平面问题3结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式 2. 位移插值函数2.2 平面问题平面问题3结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式 插值函数的性质:（1）在节点上： ),(01),(mjiijijyxNijjji当当 （2）在单元中任一点有：1mjiNNN （3）相邻单元公共边上位移的连续性。 2.2 平面问题平面问题3结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式 3应变矩阵和应力矩阵 应变矩阵2.2 平面问题平面问题3结点三角形单元的

31、有限元格式结点三角形单元的有限元格式 应力矩阵2.2 平面问题平面问题3结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式2.2.2 利用最小位能原理建立有限元方程利用最小位能原理建立有限元方程2.2 平面问题平面问题3结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式2.2 平面问题平面问题3结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式2.2.3 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 1. 单元刚度矩阵的形成 2. 单元刚度矩阵的力学意义和性质2.2 平面问题平面问题3结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式 单元刚度矩阵的特性2.2 平面问题平面问题3结点三角形单元的有限元格式

32、结点三角形单元的有限元格式2.2.4 单元等效结点载荷列阵单元等效结点载荷列阵 例例1 均匀等厚单元的自重2.2 平面问题平面问题3结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式例例2 均布侧压例例3 x方向三角分布载荷2.2 平面问题平面问题3结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式2.2.5 结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵的集成结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵的集成eeTTeeTTp)()(21PGuuGKGu PuKuuTTp21 由最小位能原理，令0p，有 0up PKu 2.2 平面问题平面问题3结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式 1. 单元刚度矩阵

33、的转换贡献矩阵：mmmjmijmjjijimijiinmjinmjiKKKKKKKKK11 2.2 平面问题平面问题3结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式 2. 单元等效结点载荷列阵的转换2.2 平面问题平面问题3结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式 3. 结构刚度矩阵和结构载荷列阵的集成 4. 结构刚度矩阵的性质和特点 特点： 对称性 奇异性 稀疏性 非零元素呈带状分布 2.2 平面问题平面问题3结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式2.2.6 引入位移边界条件引入位移边界条件 1. 直接代入法2.2 平面问题平面问题3结点三角形单元的有限元格式

34、结点三角形单元的有限元格式 2. 对角元素改1法2.2 平面问题平面问题3结点三角形单元的有限元格式结点三角形单元的有限元格式 3. 对角元素乘大数法2.3 广义坐标有限法的一般格式广义坐标有限法的一般格式2.3.1 选择单元位移函数的一般原则选择单元位移函数的一般原则 1. 广义坐标的个数应与结点自由度数相等。 2. 选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备。 3. 多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元的精度。 2.3 广义坐标有限法的一般格式广义坐标有限法的一般格式2.3.2 弹性有限元分析的步骤弹性有限元分析的步骤1、用假想的线或面将物体分成若干有限单元。 2、假设

35、单元在且仅在节点互相连接，将节点位移作为基本未知量。 3、选择适当的插值函数。 4、利用位移函数的偏导数确定单元中的应变、应力分布。 5、根据最小位能原理建立单元刚度方程。 6、将单元外载荷按作用力等效的原则形成等效节点力。 7、按节点整体编号及自由度的顺序，将单元的刚度方程组装成整体刚度方程。 8、根据边界节点必须满足的位移条件，修改整体刚度方程。 9、求解整体刚度方程，得到节点位移。 10、根据求得的节点位移计算各单元的应变和应力。 有限元分析的操作步骤 n 建模n 分网n 加载n 求解n 后处理有限元分析示例n受单向拉伸的带圆孔的板条 y x o 有限元分析示例n通过布尔运算生成几何模型

36、 A1 A2 L10 4 3 2 6 5 L2 L3 L5 L9 有限元分析示例 a） b） 网格自动划分的结果 a）全三角形网格划分 b）智能化的全四边形网格划分 有限元分析示例 a） b） 施加边界条件 a）位移边界条件 b）力边界条件 有限元分析示例 a） b） 等效应力分布 a）线弹性模型的计算结果 b）双线性弹塑性模型的计算结果 2.4 有限元解的性质和收敛有限元解的性质和收敛准则准则2.4.1 有限元解的收敛准则有限元解的收敛准则 在什么条件下，当单元尺寸趋于零时，有限元解趋于真正解?2.4 有限元解的性质和收敛有限元解的性质和收敛准则准则2.4.2 收敛准则的物理意义收敛准则的物

37、理意义 位移及其一阶导数为常数的项是代表与单元的刚体位移和常应变状态相应的位移模式。所以完备性的要求由插值函数所构成的有限元解必须能反映单元的刚体位移和常应变状态。 如果在单元交界面上位移不连续，将在交界面上引起无限大的应变，有限元解就不可能收敛于真正解。2.4 有限元解的性质和收敛有限元解的性质和收敛准则准则2.4.3 位移元解的下限性质位移元解的下限性质2.5 轴对称问题的有限元格式轴对称问题的有限元格式2.5.1 3结点三角形环状单元的插值函数及应力应变矩阵结点三角形环状单元的插值函数及应力应变矩阵 1. 位移模式和插值函数 三角形环状单元 3 节点三角形环状单元的 rz 截面 mmjj

38、iimmjjiiwNwNwNwuNuNuNu， )(21zcrbaANiiii 2.5 轴对称问题的有限元格式轴对称问题的有限元格式 2. 应变矩阵2.5 轴对称问题的有限元格式轴对称问题的有限元格式 3. 应力矩阵和单元积分2.5 轴对称问题的有限元格式轴对称问题的有限元格式2.5.2 3结点环状单元的单元刚度矩阵结点环状单元的单元刚度矩阵2.5 轴对称问题的有限元格式轴对称问题的有限元格式2.5.3 3结点环状单元的等效结点载荷结点环状单元的等效结点载荷作业作业第2章 2.3，2.4(不求主应力) 3.1 引言3.2 一维单元 3.3 二维单元3.4 三维单元 3.1 引言引言n在个给定问

39、题的分析中、决定性的步骤之一是选择适当的单元和插值函数。3.1 引言引言n结点参数可以包含场函数及其导数的结点值，具体取决于单元交界面上的连续性要求，而后者又由泛函中场函数导数的最高阶次所决定。n有限单元法中单元插值函数几乎都采用不同阶次幂函数的多项式。这是因为它们具有便于运算和易于满足收敛性要求的优点。3.2 一维单元一维单元3.2.1 拉格朗日单元拉格朗日单元 1. 总体坐标内的插值函数 插值函数的性质： 拉格朗日插值多项式 n=2时3.2 一维单元一维单元 2. 自然坐标内的插值函数 引入无量纲坐标 则拉格朗日插值多项式可表示为 3.2 一维单元一维单元 如果无量纲坐标采用另一种形式 3

40、. 拉格朗日插值函数的广义表达式 3.2 一维单元一维单元3.2.2 Hermite单元单元 如果希望在单元间的公共结点上保持场函数导数的连续性，则结点参数中还应包含场函数导数的结点值。这时可以方便地采用Hermite多项式作为单元的插值函数。 对于只有两个端结点的一维单元 或 其中3.2 一维单元一维单元3.2 一维单元一维单元3.3 二维单元二维单元3.3.1 三角形单元三角形单元 1. 三角形域的自然坐标面积坐标 （1）面积坐标的定义 面积坐标的特点： （i）与结点i的对边jm平行的直线上的诸点有相同的Li坐标。 （ii）三个面积坐标并不相互独立 它是三角形的一种自然坐标。3.3 二维单

41、元二维单元 （2）面积坐标与直角坐标的转换关系),(/mjiAALii mmjjiyxyxyxA11121)(21ycxbaiii iiiiiiNycxbaAAAL)(21 1mjiLLL 3.3 二维单元二维单元 于是3.3 二维单元二维单元 （3）面积坐标的微积分运算 采用复合函数求导法则3.3 二维单元二维单元 3. 用面积坐标给出的三角形单元的插值函数 （1）线性单元 （2）二次单元（画线法） 3.3 二维单元二维单元3.3.2 拉格朗日矩形单元和拉格朗日矩形单元和Hermite矩形单元矩形单元 1. 拉格朗日矩形单元 利用二个坐标方向适当方次拉格朗日多项式的乘积。 3.3 二维单元二

42、维单元n缺点：增加内结点和自由度数。3.3 二维单元二维单元 2. Hermite矩形单元 对于双1阶（3次）Hermite多项式3.3 二维单元二维单元3.3.3 Serendipity单元（单元（“珍奇珍奇”单元）单元） 二次Serendipity单元的构造 角结点的插值函数： 双一次拉格朗日多项式 增加边内结点时按划线法构造插值函数，如： 修正N1：3.3 二维单元二维单元3.3 二维单元二维单元n在构造单元插值函数的意义上，三角形单元和四边形单元，拉格朗日单元和Serendipity单元的差别消失了。而且这种构造单元插值函数方法可以方便地推广用于三维情况。 3.4 三维单元三维单元3.

43、4.1 四面体单元四面体单元 体积坐标：3.4 三维单元三维单元 二次单元：画线法“截面法”3.4 三维单元三维单元3.4.2 Serendipity单元单元 1. 线性单元(8结点) 2. 二次单元(20结点) 角结点： 棱内结点：作业作业第3章 3.7 （注意题中的坐标的变化区间与书中不同）4 4 等参单元和数值积分等参单元和数值积分4.1 引言4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换4.3 等参变换的条件和等参单元的收敛性4.4 等参元用于分析弹性力学问题的一般格式4.5 数值积分方法4.6 等参元计算中数值积分阶次的选择4.1 引言引言n需要将规则形状的单元转化为其边界为曲线或曲面的相应

44、单元。n等参变换：单元几何形状的变换和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行变换。n采用等参变换的单元称之为等参单元。n采用等参变换可使各矩阵的积分在规则的单元域内进行，可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。 4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换等参变换的概念和单元矩阵的变换4.2.1 等参变换等参变换 坐标变换：将局部(自然)坐标中几何形状规则的单元转换成总体(笛卡尔)坐标中几何形状扭曲的单元。 miiimiiimiiizNzyNyxNx111, 若,iiNNnm称为等参变换； 若nm ，称为超参变换； 若nm ，称为次（亚）参变换。 4.2 等参变换的概念和单元矩阵的

45、变换等参变换的概念和单元矩阵的变换4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换等参变换的概念和单元矩阵的变换4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换等参变换的概念和单元矩阵的变换4.2.2 单元矩阵的变换单元矩阵的变换 1导数之间的变换zzNyyNxxNNiiii zNyNxNzNyNxNzyxzyxzyxNNNiiiiiiiiiJ， iiiiiiNNNzNyNxN1J 4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换等参变换的概念和单元矩阵的变换4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换等参变换的概念和单元矩阵的变换 于是4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换等参变换的概念和单元矩阵的变换 2体积微元、面积微元的

46、变换)(ddddV kjikjikjirdzdydxddzdydxddzdydxdd ddddddzyxzyxzyxdVJ 4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换等参变换的概念和单元矩阵的变换cdddA ddyxyxxzxzzyzy21222 dAd， （,） 4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换等参变换的概念和单元矩阵的变换 单元积分的变换 111111*),(),(dddGdxdydzzyxGeV ddcgdSzyxgeS),(),(1111* 其中 J),(),(),(),(*zyxGG Aczcycxgcg),(),(),(),(* 4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换等参变换的概

47、念和单元矩阵的变换二维情况的蜕化4.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换等参变换的概念和单元矩阵的变换 3面积(或体积)坐标与笛卡儿坐标之间的变换 (1)面积或体积坐标都不是完全独立的 (2) 积分限应作必要的改变 4.3 等参变换的条件和等参单元的收敛性等参变换的条件和等参单元的收敛性4.3.1 等参变换的条件等参变换的条件由： ),sin(JdddddddddA 得： dddddd),sin(J 应满足：0J 正常与异常的单元 4.3 等参变换的条件和等参单元的收敛性等参变换的条件和等参单元的收敛性4.3.2 等参单元的收敛性等参单元的收敛性 协调性要求:相邻单元在公共边(或面)上应有完全相

48、同的结点，同时每一单元沿这些边(或面)的坐标和未知函数应采用相同的插值函数加以确定。 4.3 等参变换的条件和等参单元的收敛性等参变换的条件和等参单元的收敛性 完备性要求: 对于等参单元：设 于是 代入插值函数,得 在母单元内只要满足 ，则子单元可以满足更严格的完备性要求。 对于超参单元，即MM，单元完备性要求通常是不满足的。 对于次参单元，即Mn，只要满足 ，则子单元满足完备性要求。 4.4 等参元用于分析弹性力学问题的一般格式等参元用于分析弹性力学问题的一般格式 计算单元矩阵只需作两方面的修改：积分变量(取自然坐标)及积分限。 以三维单元为例 1立方体单元系列 4.4 等参元用于分析弹性力

49、学问题的一般格式等参元用于分析弹性力学问题的一般格式 2四面体单元系列 对于二维问题只要将以上二组公式退化即可以得到母单元为正方形系列以及三角形系列的二维等参元的相应公式。4.4 等参元用于分析弹性力学问题的一般格式等参元用于分析弹性力学问题的一般格式n只有对于少数规则形状的单元，积分可以解析地积出。n面(体)积坐标的幂函数的常用积分公式： 在某一棱边(例如ij边)上的积分公式 在某一三角形(例如ijk)全面积上的积分公式 在四面体(ijkm)全体积上的积分公式 n 通常情况下J及J都比较复杂，一般都不能进行显式积分而需求助于数值积分。 4.5 数值积分方法数值积分方法4.5.1 一维数值积分

50、一维数值积分 一维问题的数值积分的基本思想：构造一个多项式，用近似函数的积分来近似原被积函数的积分。积分点的数目和位置决定了数值积分的精度。 1NewtonCotes积分 在这种积分方案中，包括积分域端点在内的积分点按等间距分布。 4.5 数值积分方法数值积分方法 令 引入 ，将积分限规格化为0，1 则4.5 数值积分方法数值积分方法4.5 数值积分方法数值积分方法 2高斯积分 在此积分方案中，积分点不是等间距分布。 定义多项式 由下列条件确定n个积分点的位置4.5 数值积分方法数值积分方法 高斯积分和Newton-Cotes积分的区别： (1)在高斯积分中是2n-1次多项式。 (2)积分点不

51、是等间距分布的。 n个积分点的高斯积分可达2n-1阶的精度。 将积分限规格化为-1，1，则对于原积分域(a,b)，积分点的坐标和积分的权系数分别为： 例例1 4.5 数值积分方法数值积分方法4.5 数值积分方法数值积分方法 例例：比较积分 对于n个积分点，Newton-Cotes积分可以达到的精度是n-1阶多项式，误差为O(hn)阶；高斯积分可以达到2n-1阶多项式的精度，误差是O(h2n)阶。 4.5 数值积分方法数值积分方法4.5.2 二维和三维高斯积分二维和三维高斯积分 二维积分 三维积分4.5 数值积分方法数值积分方法4.5.3 Irons积分积分4.5.4 二维三角形单元和三维四面锥

52、单元的二维三角形单元和三维四面锥单元的Hammer积分积分4.6 等参元计算中数值积分阶次的选择等参元计算中数值积分阶次的选择 选择积分阶次的原则如下 1. 保证积分的精度 完全积分: 对一维问题，如果插值函数中的多项式阶数为p，微分算子中导数的阶次是m，则有限元得到的被积函数是2(p-m)次多项式(对于等参元假设J是常数时)。为保证原积分的精度，应选择高斯积分的阶次np-m+l，这时可以精确积分至2(p-m)+1次多项式，可以达到精确积分刚度矩阵的要求。 对于二维4结点双线性单元，在假设单元的J是常数的情况下，由于被积函数在各个方向的最高方次为2，所以要达到精确积分，应采用22阶高斯积分。如

53、果单元的J不是常数，则需要选取更多的积分点。 4.6 等参元计算中数值积分阶次的选择等参元计算中数值积分阶次的选择 减缩积分： 实际选取的高斯积分点数低于精确积分的要求。例如按单元插值函数中完全多项式的阶数来选取。 实际计算表明：采用减缩积分往往可以取得较完全精确积分更好的精度。这是由于： (1)决定有限元精度的是完全多项式的方次。 (2)位移有限元的计算模型具有较实际结构偏大的整体刚度。选取减缩积分方案将使有限元计算模型的刚度有所降低。 另外，这种减缩积分方案对于泛函中包含罚函数的情况也常常是必须的。 4.6 等参元计算中数值积分阶次的选择等参元计算中数值积分阶次的选择 2保证结构总刚度矩阵

54、要是非奇异的4.6 等参元计算中数值积分阶次的选择等参元计算中数值积分阶次的选择4.6 等参元计算中数值积分阶次的选择等参元计算中数值积分阶次的选择 零能模式：由于采用减缩积分导致的使应变能为零、而自身有别于刚体运动的位移模式。 例：4.6 等参元计算中数值积分阶次的选择等参元计算中数值积分阶次的选择例例 系统刚度矩阵奇异性检查4.6 等参元计算中数值积分阶次的选择等参元计算中数值积分阶次的选择作业习题4.105 有限单元法应用中的若干实际考虑有限单元法应用中的若干实际考虑 5.1 引言5.2 有限元模型的建立5.3 应力计算结果的性质和处理5.4 子结构法5.5 结构对称性和周期性的利用5.

55、1 引言 有限元分析的要点： 1. 合理的有限元模型； 2. 恰当的分析方案和计算方法； 3. 计算结果的处理和正确解释。 5.2 有限元模型的建立有限元模型的建立 根据求解目的进行模型化5.2.1 单元类型和形式的选择单元类型和形式的选择 1. 单元类型：取决于问题的类型和简化 2. 单元形式 例例5.1 5.2 有限元模型的建立有限元模型的建立n网格质量 各种单元的形态比 单元畸变a）歪斜单元 b）翘曲单元5.2 有限元模型的建立有限元模型的建立5.2.2 网格的划分网格的划分 1. 网格疏密的合理布置 （1）局部加密网格 （2）自适应分析 单元细分格式 a）四边形单元 b）三角形单元 网

56、格自动生成和加密5.2 有限元模型的建立有限元模型的建立 2. 疏密网格的过渡简单的过渡 较复杂的过渡 图5.35.3 应力计算结果的性质和处理应力计算结果的性质和处理 由结点位移求单元内的应力：通过导数运算得到的应变和应力的精度低于位移精度。 应力解的误差表现在： (1) 单元内部不满足平衡方程； (2) 单元与单元的交界面上应力一般不连续； (3) 在力的边界上般也不满足力的边界条件。 除非实际应力变化的阶次等于或低于所采用单元的应力的阶次，得到的只能是近似解答。5.3 应力计算结果的性质和处理应力计算结果的性质和处理5.3.1 应力近似解的性质应力近似解的性质 设5.3 应力计算结果的性

57、质和处理应力计算结果的性质和处理 求最小位能归结为求如下泛函的极小值问题：对于线弹性问题，上式还可以表示为 应变和应力近似解是真实应变和真实应力在加权最小二乘意义上的近似解。它必然在真正解上下振荡。在某些点近似解正好等于真实解，也即在单元内存在最佳应力点。 5.3 应力计算结果的性质和处理应力计算结果的性质和处理5.3.2 等参元的最佳应力点等参元的最佳应力点5.3 应力计算结果的性质和处理应力计算结果的性质和处理 5.3 应力计算结果的性质和处理应力计算结果的性质和处理5.3.3 单元平均或结点平均单元平均或结点平均 应变和应力解在单元间是不连续的，另一方面通常实际工程问题中我们感兴趣的是单

58、元边缘和结点上的应力，因此需对计算得到的应力进行处理和改善。 1. 取相邻单元应力的平均值或 2. 取围绕结点各单元应力的平均值 5.3 应力计算结果的性质和处理应力计算结果的性质和处理5.3.7 自适应分析自适应分析 1. 单元的能量积分 2. h型改进 2. p型改进5.4 子结构法子结构法例例 框架结构及其子结构分解5.4 子结构法子结构法 可以采用子结构方法的几种情况： （1）结构中可以划分出多块相同的部分，取相同部分的结构作为子结构。 （2）某些结构方案的变化只是在局部，而其余部分不变。 （3）将大型复杂结构划分为若干子结构，提高计算效率。 子结构计算中需要讨论两方面问题： （1）内

59、部自由度的凝聚； （2）坐标转换。 5.4 子结构法子结构法5.4.1 内部自由度的凝聚内部自由度的凝聚凝聚后的方程：消元运算 5.4 子结构法子结构法5.4.2 坐标转换坐标转换局部坐标和总体坐标之间的关系 5.4 子结构法子结构法5.5 结构对称性和周期性的利用结构对称性和周期性的利用5.5.1 具有对称面的结构具有对称面的结构 对称面上的边界条件按以下规则确定： 1在不同的对称面上，将位移分量区分为对称分量和反对称分量。 2将载荷也区分为对称分量和反对称分量。 3如载荷是对称的，则位移的反对称分量为0；如载荷是反对称的，则位移的对称分量为0。 例例 5.5 结构对称性和周期性的利用结构对

60、称性和周期性的利用5.5 结构对称性和周期性的利用结构对称性和周期性的利用5.5 结构对称性和周期性的利用结构对称性和周期性的利用5.5.3 旋转周期结构旋转周期结构 1沿周向周期性变化的载荷情况5.4 结构对称性和周期性的利用结构对称性和周期性的利用作业习题5.18.1 引言8.2 约束变分原理8.3 弹性力学广义变分原理8.5 不可压缩弹性力学问题的有限元法8.1 引言引言n自然变分原理：场变量已事先满足附加条件。n 约束变分原理、即广义变分原理：利用适当的方法将场函数应事先满足的附加条件引入泛函，使有附加条件的变分原理变成无附加条件的变分原理。n例如：板壳问题要满足交界面上挠度法向导数的