Ch分离变量法PPT课件

1、Autumn 2013Instructor : Y. Huang Room 721, Shangxian Building School of Mathematics & Statistics, NUISTPartial Differential Equations第1页/共106页Ch4 分离变量法正交函数系与广义Fourier级数施图姆-刘维尔特征值问题齐次方程与齐次边界条件的定解问题非齐次方程与齐次边界条件的定解问题非齐次边界条件的处理第2页/共106页第3章讨论了无界或半无界问题，介绍了波动方程初值问题的求解方法。本章讨论有界问题，介绍解决有界问题的有效方法分离变量法分离变量法。sin

2、sin()Akxt分离变量法来源于物理学中如下事实：它是求解数学物理定解问题的一种最普遍最基本的方法之一，适用于解一些常见区域(如有限区间、矩形域、圆域、长方体、球面、圆柱体等)上的混合问题和边值问题。机械振动总可以分解为具有各种频率和振幅的简谐振动的叠加；而每个简谐振动常具有 的驻波形式，即可表示成只含变量 x 的函数与只含变量 t 的函数的乘积变量分离。第3页/共106页成为问题的解。因此，分离变量法又称为Fourier级数法，而在讨论波动方程时也被称为驻波法。求 和 的问题归结为求解常微分方程的边值问题(即特征值问题)，再利用初始条件确定各项中的任意常数 使 u(x,t)(比如傅里叶(F

3、ourier)级数形式) ( )nT t由此得到启发，在解线性定解问题时可尝试满足齐次方程和齐次边界条件的具有变量分离形式的解的叠加1( , )( )( ).nnnnu x tC Xx T t( )nXx,nC1sinsinnnnnnaNxtll第4页/共106页1. 正交函数系与广义Fourier级数1.1 正交函数系三角函数系1,cos ,sin ,cos2 ,sin 2 ,cos,sin,xxxxnxnx具有正交性,即其中任何两个不同函数的乘积在区间上的积分等于零., sincos0,1,2,kxnxdxk nsinsin0,kxnxdxkncoscos0,kxnxdxkncossin0

4、,1,2,nxdxnxdxn第5页/共106页Def 1. 设有一族定义在a,b上的函数若满足则称该函数系是a,b上的正交函数系正交函数系，简称正交系，常记为 或0,( )( ),0,1,0,bmnamnxx dxm nmn01( ), ( ),( ),nxxx0 ( )nnx .n例如,函数系1,cos,sin,cos,sin,xxn xn xllll为-l,l上的正交函数系。第6页/共106页一个函数 若积分 存在，则称 平方可积平方可积，记为( ),x2( )baxdx( ) x2( , ).L a b数 称为 在 中的范数范数。1222| ( )|( )baxxdx( ) x2( ,

5、)L a b一个正交函数系 若满足 ，则称 为标准正交系标准正交系。 ,n2|1, (0,1,2, )nn n例如,函数系1cossincossin,2xxnxnx为 上的标准正交系。, 第7页/共106页Def 2. 设 函数系 在a,b上满足则称该函数系在a,b上关于权函数关于权函数 正交正交。0,( )( ) ( ),0,1,0,bmnamnxxx dxm nmn( ) 0,x n( ) x一个函数 若积分 存在，则称 关于权关于权函数平方函数平方 可积。可积。( ),x2( ) ( )baxx dx( ) x( ) 0 x1.2 广义Fourier级数定理定理 1.设 f(x)是以 2

6、l 为周期的函数，如在-l,l上满足(1)连续或只有有限个第一类间断点；(2)至多有有限个极值点，第8页/共106页则在-l,l上 f(x)可以展成傅里叶级数01( )cossin,2nnnan xn xf xabll并且当 x 是 f(x)的连续(或间断)点时，级数收敛 f(x)(或 )，其中()()2fxfx1( )cos,0,1,2,1( )sin,1,2,lnllnln xaf xdxnlln xbf xdxnll第9页/共106页特别地，当 f 是偶函数时，01( )cos,2nnan xf xal其中02( )cos,0,1,2,;lnn xaf xdxnll当 f 是奇函数时，1

7、( )sin,nnn xf xbl其中02( )sin,1,2,.lnn xbf xdxnll第10页/共106页定理定理 2.设 为定义在a,b上的一个关于权函数 平方可积的正交函数系，f(x)是a,b上的给定函数且 f (x)可表示成如下一致收敛的级数形式 n( ) x1( )( ),(4.1)nnnf xCx其中2( )( ) ( ),0,1,2,(4.2)( ) ( )bnanbnaf xxx dxCnxx dx按照(4.2)确定系数的方法得到的级数(4.1)，称为 f (x) 按关于权函数 正交的函数系 展开的广义傅里叶级数；由(4.2)确定的系数 成为广义傅里叶系数。 ( ) x

8、nnC第11页/共106页类似，可定义双变量正交函数系 将 f(x,y)按 展开成广义傅里叶级数( , )mnx y( , )mnx y00( , )( , ),mnmnnmf x yCx y其中2( , )( , ).( , )mnRmnmnRf x yx y dxdyCx y dxdy第12页/共106页2 施图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)问题2.1 二阶线性齐次常微分方程的求解求解特征值问题时，常遇到二阶线性齐次常微分方程的求解问题。对二阶常系数线性齐次常微分方程的求解问题。0(4.3)ypyqy可利用特征根法特征根法求解。设(4.3)对应的特征方程 的两个根为20rpr

9、 q 12, .r r根据 的不同情形，有下面的结论：12, r r第13页/共106页当 为相等实根时，12rrr12( ) () ;rxy xCCx e当 为共轭复根时，1,2ri 12( )(cossin).xy xeCx Cx对于二阶变系数欧拉(Euler)方程2120,x ya xya y若令 可将其化为关于 t 的常系数方程,tx e2122(1)0.d ydyaa ydtdt再用特征根法求解，最后用 回代，得到关于 x 的解。lntx当 为相异实根时，12, r r1212( );rxr xy xCeCe第14页/共106页2.2 二阶线性齐次偏微分方程问题的变量分离解通过变量代

10、换，二阶线性常系数齐次偏微分方程及一维情形下的线性齐次边界条件总可化为如下标准形式：()0,(4.4) (, )(, )0,xxyyxyxx aaubucudueuku yluy边界点比如处其中a,b,c,d,e,k,l都是常数，且a,b不全为零，k,l不全为零。例如,当 a=-b 时为双曲型，a=0 或 b=0 时为抛物型，a=b 时为椭圆型；当 l=0 时为Dirichlet边界，k=0 时为Neumann边界，k,l 时为Robin边界。0第15页/共106页下面求解其变量分离形式的非零解 u(x,y)=X(x)Y(y).将 u 代入泛定方程，得( ) ( )( ) ( )( ) ( )

11、( ) ( )( ) ( ) 0,aX xY ybX xY ycX xY ydX xY yeX xY y即( )( )( )( ),( )( )aX xcX xbY ydY yeX xY y上式左端仅是 x 的函数，右端仅是 y 的函数。欲对所有变量 x,y 均相等，两端必为常数，记作( )( )( )( ),( )( )aX xcX xbY ydY yeX xY y 第16页/共106页于是( )( )( ) 0( )( ) () ( ) 0aX xcX xX xbY ydY yeY y即化为了两个常微分方程。将 u 代入边界条件，有 ( )( ) ( ) 0,kX alX a Y y欲求非

12、零解 u(x,y)，应有 故需( ) 0,Y y ( )( ) 0.kX alX a因此，欲求解偏微分方程问题(),只需：先解常微分方程的边值问题( )( )( ) 0( )( )0aX xcX xX xkX xlX x边界点得到 及其对应的非零X(x);再将 代入( )( )() ( )0,bYydY yeY y结合其他定解条件求解非零Y(y)。第17页/共106页2.3 Sturm-Liouville问题(1) Sturm-Liouville方程方程在分离变量法中，常遇到下面含参数 的二阶线性齐次常微分方程21232( )( ) ( )0, (4.5)d ydya xa xa xya x

13、bdxdx 其中 乘上适当的函数后,()可化为1( ) 0.a x ( )( )( )0, (4.6)ddyk xq x yx ya x bdxdx 事实上，将()式两端同乘以函数 有( ),x21232( ) ( )( ) ( )( ) ( )0. (4.7)d ydyx a xx a xx a xydxdx第18页/共106页()式可写成22( )( )( )( )0, (4.8)d ydyk xk xq xx ydxdx 比较两式，可得12( ) ( )( ),( ) ( )( ).x a xk xx a xk x从而21211( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ),( )a

14、 xx a xx a xx a xa x即1 210( )( )11( ),( )xxa tdta txea x其中 是a,b中任一点。进而0 x第19页/共106页11221100( )( )( )( )331( )( ), ( )( ) ( ).( )xxxxa ta tdtdta ta ta tk xeq xx a xea t方程()称为施图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)方程，简记S-L方程，其中 为实函数。( ), ( ), ( )k x q xx( ), ( )q xx注1. 在分量变量法中遇到的常微分方程都是()(或()的特例。例如：当 时，()变为( ) 1, (

15、) 0, ( ) 1,0,k xq xxab l0, 0.yyx l 为保证解的存在性，假定 连续，而k(x)连续可微。 第20页/共106页20, 0,ddynxyxyx bdxdxx 即222()0, 0.x yxyxn yx b 当 时，()变为勒让德(Legendre)方程2( ) 1, ( ) 0, ( ) 1,0,1k xx q xxab 2(1)0, 01,ddyxyxdxdx 即2(1)20, 01.x yxyyx 当 时，()变为n阶贝塞尔(Bessel)方程。2( ), ( ), ( ),0nk xx q xxx ax第21页/共106页(2) 正则与正则与奇异奇异S-L方

16、程()常分为正则和奇异两种类型。若在a,b上， 则称()在(a,b)上是正则的；( ) 0, ( ) 0,k xx当区间是无穷或半无穷时，或者当 k(x)或 在有限区间a,b的一个或两个端点处为零时，()称为在(a,b)上是奇异的。( ) 0 x(3) S-L特征值问题根据 k(x)在端点 a,b 处的不同取值可给予S-L方程()相应的边界条件。当 k(a),k(b)0 时，给予边界条件例如勒让德方程在（0,1）上是奇异的。第22页/共106页1212( )( ) 0,( )( ) 0,k y a y k y al y a y l y a其中 为实数,且 与 不同时为零, 与 不同时为零.12

17、12, , ,k k l l1k2k1l2l如果还有k(a)=k(b),则可给予周期性边界条件( )( ), ( )( ).y ay b y ay b当 时,对端点 a 处给予自然边界条件(有界性条件)| ( )|.y a ( ) 0, ( ) 0k bk a对于 的情况，或者k(a)=k(b)=0的情况，可类似地提边界条件。( ) 0, ( ) 0k ak b第23页/共106页S-L方程()若带上上述边界条件之一，就得到一个二阶线性常微分方程的两点边值问题，称该问题为施图姆-刘维尔问题，简称为S-L问题。 一定是它的解(平凡解)。现在要问：是否存在参数 的一些值，使得该问题有非零解？0y这

18、样的一类问题称为特征值问题(或固有值问题)，而使得S-L问题有非零解的参数 的值称为此问题的特征值(或固有值)，相应的非零解 y(x)称为是与特征值 相对应的特征函数(或固有函数)。第24页/共106页例1. 求解特征值问题( )( ) 0, 0(0). 0,(yyyyx llxx 解. 对 取值的三种情形加以讨论。(1)当 时，方程的通解是20,012( ).xxy xCeCe由边界条件得1212(0)0, ( )0,llyCCy lCeCe由此解得 120.CC从而 不符合非零解的要求。因此 不能小于零。( ) 0,y x (2)当 时，方程的通解是012( ).y xCx C第25页/共

19、106页由边界条件得112(0)0, ( )0,yCy lCl C由此解得120,CC从而 同样，它也不是所需要的解。( ) 0,y x (3)当 时，方程的通解是20,0 12( )cossin.y xCx Cx为求非零解，设 故20,C sin0.l从而,1,2, .nnln因此所求的特征值为 22,1,2, .nnnln 对应于 的特征函数为( )sin,1,2, .n xnnly xAnn其中 为任意非零常数。nA第26页/共106页注2. 本例中， 且120,n().nn例2. 求解特征值问题( )( ) 0, 0,(0)( ) 0.y xy xx lyy l解. 对 取值的三种情形

20、加以讨论。(1)当 时，方程的通解满足20,012( ).xxy xC eC e由边界条件得1212(0) ()0, ( ) ()0,llyCCy lCeCe由此解得 从而 不符合非零解的要求。120.CC( ) 0,y x 第27页/共106页(2)当 时，方程的通解满足01( ).y xC由边界条件得 从而可得非零常数解( ) 0,y x00( )0.y xA(3)当 时，方程的通解满足20,0 12( )sincos.y xCx Cx由边界条件，得212(0)0,( )sincos0.yCy lCl Cl故 且 20C 1sin0.Cl为求非零解，设 故 从而10,C sin0.l,1,

21、2, .nnln因此，综合情况(2)和(3)，所求的特征值为 22,0,1,2, .nnnln 第28页/共106页对应于 的特征函数为( )cos,0,1,2, .n xnnly xBnn其中 为任意非零常数。nB注3. 本例中， 且0120,n().nn例3. 求解特征值问题(0) 0, ( )( ) 0( )( ) 0, 0,.y xy xxyy lhyll 解. 易知,当 时,没有非零解.0当 时，方程的通解为2,0 12( )cossin.y xCx Cx第29页/共106页由边界条件得120,( cossin) 0.CCl hl为求非零解，设 故20,C cossin0.l hl记

22、 则上式为 其中, ltan,k1.hlk 此方程的根(取正根)是正切曲线 与直线 的交点的横坐标，有无穷多个，依次设为1tany2yk120,n其中1122()() ,1,2, .nnnn 对应于 的特征函数为( )sin,1,2, .nnny xCxnln其中 为任意非零常数。nC第30页/共106页例4. 求解特征值问题( )( )() 0, 02 , 02 .2 )yy xxxxxyy x 解. 易知,当 时,没有非零解.当 时，有非零常数解000( )0.y xA0当 时，方程的通解为12( )cossin.y xCx Cx2,0 由周期性边界条件，得(1,2, )n n所以特征值和

23、对应的特征函数为2,( )cossin,0,1,2, .nnnnn y xAnx Bnx n第31页/共106页例5. 求解特征值问题2220, 1,(1)( ) 0.d ydyxxyx edxdxyy e 解. 这是欧拉方程，可通过变换 来求解。tx e220.d yydt易知,当 时,没有非零解.0当 时，方程的通解为12( )cos( ln )sin( ln ).y xCxCx2,0 原方程可化为: 由 y(1)=0，得 由 y(e)=0，得10.C 2sin0.C所以特征值和对应的特征函数为2() ,( )sin(ln ),1,2, .nnnny xAnxx n第32页/共106页关于

24、特征值和特征函数，有一些基本结论，是分离变量法能够进行的关键所在。定理2. 设S-L问题中对应于不同特征值 和 的特征函数 和 在a,b上连续可微，则 和 在a,b上关于权函数 正交。mn( )my x( )ny x( )my x( )ny x( ) x推论1. 区间a,b上的周期S-L问题，属于不同特征值的特征函数在a,b上关于权函数 正交。( ) x定理3. 若 则S-L问题的所有特征值都是实的，且相应的特征函数也可以取成实的。( ) 0,( , ),xxab定理4. 正则但非周期的S-L问题的所有特征值都是单重的，即在允许相差一个常数因子的定义下是唯一的。第33页/共106页定理5. 若

25、 则S-L问题存在可列无穷多个实的特征值，按大小排列为其中 且 对应的特征函数在区间(a,b)内恰好有n个零点。特征函数的全体 构成一个完备正交系。( ) 0,( , ),xxab012,n(),nn(0,1,2, )nn( )ny x ( )ny x进一步地，若函数 f (x) 在a,b上满足狄利克雷条件和S-L问题的边界条件，则 f (x) 可按特征函数系 展开为广义傅里叶级数，即 ( )ny x0( )( ), (4.9)n nnf xC y x第34页/共106页其中2( ) ( ) ( ), 0,1,2, . (4.10)( ) ( )bnanbnaf x y xxdxCny xxd

26、x且等式在积分平均 2lim ( )( )( )0bnanf xS xxdx0( )( ),0,1,2, .nnkkkS xC y x n如果 f (x) 在a,b上有一阶连续导数和分段连续的二阶导数，则级数(4.9)a,b上绝对且一致收敛于 f (x)。的意义下成立，其中 第35页/共106页3 齐次方程和齐次边界条件的定解问题3.1 波动方程的初边值问题(1) 两端固定的有界弦的自由振动例1. 考虑长为 l 的两端固定的弦，由初始位移问题 和初始速度 引起的振动问题2, 0,0,( ,0)( ), ( ,0)( ),0, (1)(0, )(, ) 0,0.ttxxtuaux l tu xx

27、 u xxx lutu l tt ( ) x( ) x分析：此定解问题中泛定方程和边界条件都是线性和齐次的，可利用叠加原理。第36页/共106页思路：分离变量法求解：通过初值问题找出奇次方程的无穷多个变量分离形式的特解，并做这些特解的叠加(线性组合)，再利用初始条件确定叠加系数，得到原问题的解。解：Step 1. 分离变量设定解问题有非零的变量分离形式的解 u(x,t)=X(x)T(t)，将其代入泛定方程得2( ) ( )( ) ( )X xT ta X xT t或2( )( ).( )( )T tX xaT tX x上式左端仅是 t 的函数，右端仅是 x 的函数，要使等号对所有0 x0成立，

28、两端必为常数，记作2( )( ).( )( )T tX xaT tX x第37页/共106页于是2( )( ) 0,0,T taT tt( )( ) 0,0.X xX xx l 因T(t)不恒为零，利用边界条件(0, )(0) ( ) 0, (, )( ) ( ) 0,utXT tu l tX l T t可得(0)( ) 0.XX lStep 2. 解特征值问题求解特征值问题( )( ) 0, 0(0). 0,(XXXXx llxx 由前节可知，该问题的特征值和对应的特征函数为20,( )sin,1,2, .nnnnn xX xCnll第38页/共106页Step 3. 求解其它常微分方程，得

29、特解( , )nu x t对于每一个 代入与 T 相关的另一个常微分方程中：,n 2( )( ) 0,1,2,nT taT tn其通解为( )cossinnnnnnT tAat Batcossin,1,2,nnn atn atABnll其中 都是任意常数。,nnA B于是得到满足定解问题中的泛定方程和边界条件的变量分离特解( , )( ) ( )nnnu x tX xT tsincossinnnnn xn atn atCABlllcossinsin,1,2,nnn atn atn xabnlll第39页/共106页其中 为任意常数。,nnnnnnaAC bBC这表明特解有无穷多个，但一般来说，

30、其中的任意一个并不一定能满足定解问题中的初始条件。因为当t =0时，0( ,0)sin,sinnnnntun xn an xu xabltll当固定函数，而初值 和 是任意函数。因此这些特解中的任意一个，一般还不是问题的解。( ) x( ) xStep 4. 特解 的叠加( , )nu x t由于泛定方程和边界条件都是线性齐次的，可利用叠加原理将诸 叠加起来，得到的函数项级数( , )nu x t第40页/共106页11( , )( , )cossinsin(2)nnnnnn atn atn xu x tu x tablll亦满足泛定方程和边界条件，只要该级数收敛且对 x,t 均二次逐项可微。

31、Step 5. 系数 的确定,nna b由初始条件得11( )( ,0)sin( )( ,0)sinnntnnn xxu xaln an xxu xbll这表明 分别是函数 在0,l上关于特征函数系 展开的系数(本例恰好是Fourier正弦级数的系数)。,nnn aa bl( ), ( )xxsinn xl第41页/共106页用 分别乘以上两式，再对x在0,l上积分，并利用 在0,l上的正交性sinn xlsinn xl020,sinsin,lln kn xk xdxn kll可得002( )sin,1,2, . (3)2( )sin,lnlnn xaxdxllnn xbxdxn al这样，该

32、定解问题的解形式上由级数(2)给出，其系数 由上式(3)所确定。,nna b第42页/共106页Step 6. 解的存在唯一性以上由分离变量法和叠加原理得到的定解问题(1)的级数解(2)仅是一个形式解，因用(2)中级数表示的u(x,t)要有意义，必须(2)中的级数收敛且关于 x,t 均二次可微。如果对初值函数 和 加上适当的光滑性条件，可以证明这个形式的解的确是一个古典解：( ) x( ) x定理2.(古典解存在定理)若函数且满足相容性条件： 则定解问题(1)存在古典解，且可由级数(2)给出，其中系数由(3)确定。32( )0, , ( )0, xClxCl(0)( )(0)( )(0)( )

33、 0,lll第43页/共106页定理3.(唯一性定理)若u(x,t)是问题(1)的古典解，则它是唯一的。注1. 下面用分离变量法求解各种定解问题时，除非特别说明，一般是求形式解，不再列出古典解存在的有关条件。例2. 求定解问题2, 0,0,( ,0) sin, ( ,0) 0,0,(0, )(, ) 0,0.ttxxtua ux l txu xu xx llutu l tt 解：这个问题的级数解形式已由(2)给出1( , )cossinsin,nnnn atn atn xu x tablll第44页/共106页01,1,2sinsin0.0,1,lnnnxn xadxbnlll所以 与上一章行

34、波法得到的结果一致。( , ) cossin,atxu xtll(2) 两端自由的有界杆的自由纵振动例3. 考虑长为l 的两端自由的均匀细杆，由初始位移 和初始速度 引起的自由纵振动问题2, 0,0,( ,0)( ), ( ,0)( ),0,(0, )(, ) 0,0.ttxxtxxuaux l tu xx u xxx lutu l tt 解：与例1不同的是，这里的边界条件是第二类的。( ) x( ) x第45页/共106页令u(x,t)=X(x)T(t)，代入泛定方程得2( )( ).( )( )T tX xaT tX x上式左端仅是t的函数，右端仅是 x 的函数，要使等号对所有0 x0成立

35、，两端必为常数，记作2( )( ).( )( )T tX xaT tX x于是2( )( ) 0,0,T taT tt( )( ) 0,0.X xX xx l 结合边界条件,得特征值问题( )( ) 0, 0,(0)( ) 0.X xX xx lXX l第46页/共106页其特征值和对应的特征函数为20,( )cos,0,1,2, .nnnnn xX xAnll对于每一个 求解,n 2( )( ) 0,1,2,nT taT tn其通解为00, 0,( )cossin,1,2,nnnCDtnT tn atn atCDnll( ):nT T t其中 都是任意常数。,(0,1,2, )nnC D n

36、因此得到满足定解问题中的泛定方程和边界条件的变量分离形式的特解第47页/共106页( , )( ) ( )nnnu x tX xT t000() , 0,cossincos,1,2,nnnCDt Ann atn atn xCDAnlll利用叠加原理，设所求的形式解为001( , )cossincosnnnn atn atn xu x tabtablll其中系数由初始条件确定，即0101( )( ,0)cos( )( ,0)cosnntnnn xxu xaaln an xxu xbbll第48页/共106页从而得00000012( ) ,( )cos,1,2, .12( ) ,( )cos,ll

37、nllnn xaxdxaxdxlllnn xbxdxbxdxln al(3) 边界固定的矩形膜的自由振动*例4. 考虑长为a,宽为b的边界固定的的矩形膜，由初始位移 和初始速度 引起的自由纵振动问题2(), 0,0,0,( , ,0)( , ), ( , ,0)( , ),0,0,(0, , )( , , ) 0, 0,0,( ,0, )( , , ) 0, 0,0.ttxxyytuc uux ay btu x yx y u x yx yx ay buy tu a y ty btu xtu x btx at ( , )x y( , )x y第49页/共106页解：使用两次分离变量法。令u(x,

38、y,t)=U(x,y)T(t),代入泛定方程，得2( ),( )( , )T tUcT tU x y其中 为分离常数， 于是,xxyyU UU 2( )( ) 0,0, (4)T tcT tt( , ) 0,0,0. (5)UU x yx ay b 在设U(x,y)=X(x)Y(y),代入(5),得(0, , )(0) ( ) ( ) 0, ( , , )( ) ( ) ( ) 0,uy tXY yT tu a y tX aY yT t结合边界条件,( )( ).( )( )X xY yX xY y 第50页/共106页( )( ) 0, 0(0). 0,(XXXXx aaxx 得特征值问题其

39、特征值和对应的特征函数为20,( )sin,1,2, .mmmmm xX xAmaa类似地，得特征值问题( )( ) 0, 0(0). 0,(YYYYy bbyy 其特征值和对应的特征函数为20,( )sin,1,2, .nnnnn yY yBnbb第51页/共106页从而，得到满足(5)及齐次边界条件的解( , )( ) ( )sinsin.mnmnmnm xn yUx yX xY yA Bab以 代入(4)(记 )，求解,mn mnmn( ):mnT Tt222222( )( ) 0, ,1,2,mnmnmnT tcT tmnab其通解为22222222( )cossin,mnmnmnmn

40、mnTtCctDctabab其中 都是任意常数。,( ,0,1,2, )mnmnCD mn因此( , , )( ) ( )( )mnmnmnux y tX xY yT t第52页/共106页22222222sinsincossinmnmnmnm xn ymnmnA BCctDctababab满足初值问题的泛定方程和边界条件。利用叠加原理，设所求的形式解为2222222211( , , )cossinsinsin,mnmnnmmnmnm xn yu x y tactbctababab其中系数由初始条件确定，即11222211( , )( , ,0)sinsin,( , )( , ,0)sinsi

41、n,mnnmtmnnmm xn yx yu x yaabmnm xn yx yu x ybcabab第53页/共106页从而得002200224( , )sinsin,4( , )sinsin,abmnabmnm xn yax ydxdyababm xn ybx ydxdyabmnabcab (4) 边界固定的立方体中波的传播问题*例5. 考虑三维波动问题2(), 0,0,0,0,( , , ,0)( , , ), ( , , ,0)( , , ),0,0,0,(0, , , )( , , , ) 0, 0,0,0,( ,0, , )( , , , ) 0, 0,0,0,( , ,0, )(

42、, , ,ttxxyyzztuc uuux ay bz d tu x y zx y z u x y zx y zx ay bz duy z tu a y z ty bz d tu xz tu x b z tx az d tu x ytu x y d ) 0, 0,0,0.tx ay bt 第54页/共106页解. 类似地，可求得形式解111( , , , )cossinsinsinsin,lmnlmnlmnl xm yn zu x y z tact bctabd其中 系数0000008( , , )sinsinsin,8( , , )sinsinsin.abdlmnabdlmnl xm yn

43、zax y zdxdydzabdabdl xm yn zbx y zdxdydzabdabd 2222222,lmnabd第55页/共106页3.2 热传导方程的初边值问题(1) 一维情形例6. 考虑长为l 的均匀细杆的热传导问题2, 0,0,( ,0)( ),0,(6)(0, ) 0, (, )(, ) 0,0.txxxuaux l tu xxx lutu l thu l tt 解. 这是一个热传导方程的第三初边值问题。设u(x,t)=X(x)T(t),代入泛定方程，得2( )( ).( )( )T tX xaT tX x第56页/共106页于是2( )( ) 0,0, (7)T taT t

44、t( )( ) 0,0.X xX xx l 结合边界条件,得特征值问题(0)( )( )( ) 00, 0,.XX lhX lX xX xx l其特征值和对应的特征函数为20,( )sin,1,2, .nnnnnX xBx nll其中 是方程 的第n个正根。ntanhl由定理可知，特征函数系 是正交的。sinnxl对于每一个 求解,n 2( )( ) 0,1,2,nT taT tn( ):nT T t第57页/共106页其通解为2( ),1,2,na tnnT tAen因此 满足(6)中的泛定方程和边界条件。2( , )( ) ( )sin,1,2,na tnnnnnnu x tX xT tA

45、Bex nl利用叠加原理，设所求的形式解为211( , )( , )sin,na tnnnnnu x tu x tCexl其中系数由初始条件确定，即1( )( ,0)sin,nnnxu xCxl用 乘以上式两端并利用正交性，得sinnxl020( )sin.sinlnnlnxxdxlCxdxl第58页/共106页(2) 二维情形例7.考虑长为a,宽为b,边界恒为零度的矩形板中的热传导问题2(), 0,0,0,( , ,0)( , ),0,0,(0, , ) 0, ( , , ) 0, 0,0( ,0, ) 0, ( , , ) 0, 0,0.txxyyuc uux ay btu x yx yx

46、 ay buy tu a y ty btu xtu x btx at 解. 设u(x,y,t)=U(x,y)T(t),代入泛定方程，得2( ).( )( , )T tUcT tU x y于是2( )( )0,0, (8)T tc T tt( , ) 0,0,0. (9)UU x yx ay b 第59页/共106页同例4的求解，得到满足(9)及齐次边界条件的解( , )( ) ( )sinsin, ,1,2,mnmnm nm xn yUx yX xY yA Bmnab及其所对应的22222,1,2, .mnmnmnab以 代入(8),得其通解为2( ),1,2, .mnc tmnmnTtC e

47、mn因此2( , , )( ) ( )( )sinsinmnc tmnmnmnmnmnm xn yux y tX xY yT tA BC eabmn满足泛定方程和边界条件(m,n=1,2,).第60页/共106页利用叠加原理，设所求的形式解为11( , , )( , , )mnnmu x y tux y t其中系数由初始条件确定，即11( , )( , ,0)sinsin,mnnmm xn yx yu x yaab22222211sinsin,mnc tabmnmnm xn ya eab从而得004( , )sinsin.abmnm xn yax ydxdyabab 第61页/共106页例8.

48、考虑定解问题2(), 0,0,0,( , ,0)( , ),0,0,(0, , ) 0, ( , , ) 0, 0,0( ,0, ) 0, ( , , ) 0, 0,0.txxyyxxuc uux ay btu x yx yx ay buy tu a y ty btu xtu x btx at 解. 类似于例3和例7的求解，可得形式解其中22222201( , , )cossin,mnc tabmnmnm xn yu x y ta eab00002( , )sin,0,1,2,4( , )cossin, ,1,2,abmnabn yx ydxdymnabbam xn yx ydxdy mnab

49、ab 第62页/共106页例9. 考虑定解问题2(), 0,0,0,0,( , , ,0)( , , ), ( , , ,0)( , , ),0,0,0,(0, , , )( , , , ) 0, 0,0,0,( ,0, , )( , , , ) 0, 0,0,0,( , ,0, )( , , ,txxyyzztuc uuux ay bz d tu x y zx y z u x y zx y zx ay bz duy z tu a y z ty bz d tu xz tu x b z tx az d tu x ytu x y d t ) 0, 0,0,0.x ay bt (3) 三维情形*解.

50、 类似于例5和例7的求解，可得形式解2222222111( , , , )sinsinsin,lmnctabdlmnlmnl xm yn zu x y z ta eabd0008( , , )sinsinsin.abdlmnl xm yn zax y zdxdydzabdabd 其中第63页/共106页3.3 Laplace方程边值问题(1) 矩形域的Dirichlet问题*例1. 考虑长为a,宽为b的矩形平板上的温度分布的平衡状态问题0, 0,0,( ,0)( ), ( , )( ),0,(0, )( , ) 0, 0,xxyyu uux ay bu xf x u x bg xx auyu

51、a yy b 解. 设u(x,y)=X(x)Y(y),代入泛定方程，得( )( ).( )( )X xY xX xY x其中f(x)是已知的连续函数且满足相容性条件f(0)=f(a)=0.第64页/共106页于是( )( ) 0,0,X xX xx a ( )( ) 0,0.Y yY yy b 结合边界条件u(0,y)=X(0)Y(y)=0及u(a,y)=X(a)Y(y)=0,得特征值问题( )( ) 0, 0(0). 0,(XXXXx aaxx 其特征值和对应的特征函数为2,( )sin,1,2, .nnnnn xX xCnaa方程 的通解为( )( ) 0nY yY y( ),1,2,n

52、yn yaannnY yAeBen第65页/共106页因此( , )( ) ( )sin,1,2,n yn yaannnnnnn xu x yX xY yAeBeCna满足泛定方程和边界条件.利用叠加原理，设所求的形式解为其中系数由初始条件确定，即11( )( ,0)()sin,( )( , )()sin,nnnn bn baannnn xf xu xaban xg xu x baebea1( , )sin,n yn yaannnn xu x yaebea第66页/共106页所以,.n bn baannnnnnn bn bn bn baaaagf ef egabeeee002( )sin:,2

53、( )sin:,annnn bn baaannnn xabf xdxfaan xaebeg xdxgaa解得从而()()1( , )sin,n b yny bn yn yaaaannn bn bnaaeefeegn xu x yaee第67页/共106页001()2( )sin( )sinsin.ssaann b yn yshshn xn xn xaaf xdxg xdxn bn baaaahhaa注1. 对于矩形域的一般Dirichlet问题0, 0,0,( ,0)( ), ( , )( ),0,(0, )( ), ( , )( ),0,xxyyu uux ay bu xf x u x bg

54、 xx auyh x u a yk xy b 可利用叠加原理，将其分解为两个类似于例1的定解问题(即每个定解问题仅有一个非齐次边界条件)分别用类似于例1的方法再将两个解叠加起来即可得原定解问题的解。第68页/共106页(2) 矩形域的Neumann问题例2. 考虑长为a,宽为b的矩形平板的Neumenn问题0, 0,0,( ,0)( ),( , )( ),0,(0, )( , ) 0, 0,xxyyyyxxu uux ay bu xf x u x bg xx auyu a yy b 解. 设u(x,y)=X(x)Y(y),代入泛定方程，得其中f(x),g(x)是已知的连续函数且满足相容性条件0

55、 ( )( )0.af xg x dx( )( ) 0,0,X xX xx a ( )( ) 0,0.Y yY yy b 第69页/共106页结合边界条件得特征值问题( )( ) 0, 0(0). 0,(XXXXx aaxx 其特征值和对应的特征函数为2,( )cos,0,1,2, .nnnnn xX xCnaa方程 的通解为( )( ) 0nY yY y00, 0,( ),1,2, .n yn ynaannAB ynY yAeBen因此000(), 0,( , )( ) ( )cos,1,2,n yn ynnnaannnC AB ynu x yX xY yn xAeBeCna 满足泛定方程和

56、边界条件。第70页/共106页利用叠加原理，设所求的形式解为其中系数由初始条件确定，即0101( )( ,0)()cos,( )( , )()cos,ynnnn bn baaynnnnn xf xu xbabaann xg xu x bbaebeaa001( , )cos,n yn yaannnn xu x yab yaebea所以00001( ) ,1( ) ,aabf x dxabg x dxa002()( )cos,2( )cos,annn bn baaannnn xabf xdxaaann xaebeg xdxaaa第71页/共106页解得由此可得 即Neumann问题的解存在的必要条

57、件(相容性条件)成立。0 ( )( )0,af xg x dx002( )cos:,2( )cos:,annnn bn baaannnn xabf xdxfnan xaebeg xdxgna由,.n bn baannnnnnn bn bn bn baaaagf ef egabeeee从而第72页/共106页00001( )()2( )cos( )coscos,ssaaanyaf x dxan yn b ychchn xn xn xaag xdxf xdxn bn baaan hn haa0011( , )( ) cos,an yn bn yn baaaannnnn bn bnaau x yaf

58、 x dx yaegf eegf en xaee其中 为任意常数(即定解问题的解相差一个常数)。0a第73页/共106页注2. 一般地，Laplace方程的Neumann内问题0,.uinuf onn 有解的必要条件是0.f ds事实上，由Gauss公式，有0.uudxdsf dsn注3. 类似地，可求解问题0, 0,0,( ,0) 0,( , ) 0,0,(0, )( ), ( , )( ),0,xxyyyyxxu uux ay bu xu x bx auyh x u a yk xy b 其中h(x),k(x)是已知的连续函数且满足相容性条件0 ( )( )0.ah xk x dx第74页/

59、共106页(3) 矩形域的Dirichlet-Neumann混合问题例3. 求解Dirichlet-Neumenn混合边值问题0, 0,0,( ,0)( ), ( , )( ),0,(0, )( , ) 0, 0,xxyyxxu uux ay bu xf x u x bg xx auyu a yy b 解. 求解过程的前面部分同例2，可设形式解为其中f(x),g(x)是已知的连续函数。001( , )cos,n yn yaannnn xu x yab yaebea其中系数由初始条件确定，即第75页/共106页01001( )( ,0)()cos,( )( , )()cos.nnnn bn ba

60、annnn xf xu xaaban xg xu x babbaebea所以00000001( ) ,1( ) ,2( )cos:,2( )cos:.aaannnn bn baaannnaf xdxaabbg xdxan xabf xdxfaan xaebeg xdxgaa第76页/共106页解得 000011( ) , ( )( ) ,.aan bn baannnnnnn bn bn bn baaaaaf xdxbg xf x dxaabgf ef egabeeee从而0011( , )( ) ( )( ) cosaan yn bn yn baaaannnnn bn bnaayu x yf