第三章期权定价

1、第三章第三章 期权定价期权定价 主要内容主要内容n3.1期权的基本概念期权的基本概念n3.2期权价格及价格区间期权价格及价格区间n3.3期权定价模型期权定价模型3.1期权的基本概念期权的基本概念n3.1.1 期权的概念期权的概念n3.1.2 期权的基本类型期权的基本类型n3.1.3 期权交易的盈亏分布期权交易的盈亏分布n3.1.4 期权组合的几项策略期权组合的几项策略n3.1.5 公司股东权益是一项看涨期权公司股东权益是一项看涨期权n3.1.6 看涨看涨看跌期权平价看跌期权平价3.1.1 期权的概念期权的概念n期权n期权费n期权价格n基础资产或标的资产n期权的到期日、或执行日、履约日 n欧式期

2、权 n美式期权 n约定价格、履约价格或执行价格 3.1.2 期权的基本类型期权的基本类型n买方期权（Call Option）和卖方期权（Put Option）买方期权也称看涨期权，是指赋予投资者在合约规定的期限或在某一特定的日期按协定价格购买规定数量基础资产的权利。卖方期权也称看跌期权，是指赋予投资者在合约规定的期限或在某一特定的日期按协定价格出售规定数量基础资产的权利。 n沽盈价（in-the-money）和沽亏价（out-of-the-money）看涨期权的沽盈价和沽亏价看涨期权的沽盈价和沽亏价 内在价值内在价值450执行价格执行价格K S 沽盈价沽盈价 沽亏价沽亏价 图3-1看涨期权的内

3、在价值与基础资产现行市价的关系 基础资产的市场价格基础资产的市场价格 0 看跌期权的沽盈价和沽亏价看跌期权的沽盈价和沽亏价 内在价值内在价值执行价格执行价格K S 沽盈价沽盈价 沽亏价沽亏价 图3-2 看跌期权的内在价值与基础资产现行市价的关系 基础资产的市场价格基础资产的市场价格45003.1.3 期权交易的盈亏分布期权交易的盈亏分布n买方期权n卖方期权3.1.4 期权组合的几项策略期权组合的几项策略n股票和债券不同头寸状况的损益股票和债券不同头寸状况的损益 n保护性看跌期权保护性看跌期权指通过购买股票，同时购买该股票的看跌期权所构成的组合。保护性看跌期权组合投资的损益图保护性看跌期权组合投

4、资的损益图 n掩护性看涨期权掩护性看涨期权 掩护性看涨期权（covered call），也称备兑期权，是指在出售股票看涨期权的同时买入该股票的组合策略。 掩护性看涨期权的损益图掩护性看涨期权的损益图n跨式期权跨式期权 称同价对敲，是指投资者同时买入具有相同执行价格与到期时间的同一种股票的看涨期权与看跌期权，就建立了一种“对敲策略”。 跨式期权组合的损益图跨式期权组合的损益图 n无风险收益组合无风险收益组合 组合组合SPC=B的损益图的损益图3.1.5 公司股东权益是一项看涨期权公司股东权益是一项看涨期权n股东权益和风险性债券 n任何风险性投资组合均可由四种最基本资产交易组成 n在到期日，股东的

5、财富S： n风险性资产的价值，即有负债公司的价值可以分解为两个部分。权益部分S，它是看涨期权，以及风险性债务头寸，其数值就等于无风险负债的现值减去欧式看跌期权的价值P。在到期日，债券持有人可以获得： CBPS), 0(DVMaxS),(DVMinPB3.1.6 看涨看涨看跌期权平价看跌期权平价n如果我们已知以某资产为标的物的欧式看涨期权的价格，则我们可以很简单地确定出以相同资产为标的物的欧式看跌期权的价格。n资产组合的初始价值是期权到期执行价格（K）的无风险贴现现值。 n如果已知欧式看涨期权的价值，根据看涨一看跌期权平价关系，可以得到对应的欧式看跌期权的价值。 frKCPS1n对其进行重新安排

6、可得到看涨一看跌期权平价公式： n当我们将执行价格K设定等于当前股票价格S时，就会产生一种特殊的情况。当SK时，我们可以得到： n看涨一看跌期权平价公式的等量连续的复利公式为： ffrKrSPC1)1 (ffrSrPC1KeSPCTrf主要内容主要内容n3.1期权的基本概念期权的基本概念n3.2期权价格及价格区间期权价格及价格区间n3.3期权定价模型期权定价模型3.2期权价格及价格区间期权价格及价格区间n3.2.1 期权价值的构成期权价值的构成n3.2.2 期权价格区间期权价格区间3.2.1 期权价值的构成期权价值的构成n期权价格是期权购买者为获得期权权利要向期权出售者所支付的期权费，是期权价

7、值的市场反映。 n所谓“内在价值”就是期权的沽盈价，反映了期权持有者现在就执行期权的可获利程度。 n显然，根据期权价格为期权内在价值与时间价值之和的定义，我们可以把期权价格表示为： CCCTVKSTVIVC), 0max(PPPTVSKTVIVP), 0max(n期权是一项递耗资产，即期权的时间价值会随着合约距离其到期日越来越近而减少。在期权合约的到期日，假如期权没有内在价值，它便一文不值。n下面我们举一例子来说明时间价值与合约到期日期限的关系。 期权价格C0 25 30 35 股票市价S 图3-10 看涨期权时间价值与期权到期日的期限之间关系 n看跌期权时间价值与期权到期日的期限之间关系：n

8、对于股票基础资产来说，期权合约的期限越长，因股价变动的可能性及范围将会越大，那么期权价格也就会越高。图3-11 看跌期权时间价值与期权到期日的期限之间关系 3.2.2 期权价格区间期权价格区间n1看涨期权价格的上下限看涨期权价格的上下限 n2看跌期权价格的上下限看跌期权价格的上下限 1看涨期权价格的上下限看涨期权价格的上下限n如果看涨期权价格高于上限或低于下限，那么套利者将能在无风险的情况下赚钱。n下限（Lower Bound）n假设有两项资产组合：资产组合：一项欧式看涨期权价格为C，另外一笔数额为 的现金；资产组合：一股股票，价格为S。)1 (, 0max(TrKSCTrK )1 (当STK

9、时资产组合 C+Ke-rTKST资产组合 SSTST为了防止无风险的套利，因此，在0时点进行期权交易时，资产组合的价值总是要高于资产组合的价值，即： n上限（Upper Bound）期权作为按预先约定价格买卖一定数量基础资产的权利，对于看涨期权而言，打算购买期权投资人不可能以超过基础资产市价的期权价格来获得购买一份股票的权利，因为如果这样的情形有的话，该投资者会直接以市价购入股票。所以期权的价格为基础资产的市价，即： TTrKSCSrKC)1 ()1 (SC 看涨期权的价格区间（两虚线之间为定价区域） 看涨期权价格（看涨期权价格（C）股票的市价股票的市价(S) K TrK )1 (上限为基础资

10、产价格上限为基础资产价格S看涨期权交易时价格下限 看涨期权到期时价格下限 图3-12 看涨期权的价格区间（两虚线之间为定价区域） 2看跌期权价格的上下限看跌期权价格的上下限n就像看涨期权一样，看跌期权的价格也有其上下限。看跌期权价格的下限是：n假设有两项资产组合：资产组合：一项欧式看跌期权价格为P，另外一股股票，价格为S；资产组合：一笔数额为 的现金。 )1 (, 0max(SrKPTTrK )1 (当STK时资产组合 P+SKST资产组合 Ke-rTKKn为了防止无风险的套利，因此，在0时点进行期权交易时，资产组合的价值总是要高于资产组合的价值，即：n投资者从买入看跌期权交易中获取的最大利润

11、相当于执行价格。而这只有当股票价格跌至零时才会发生。既然这种收益是在期权到期日才发生，而不是在购入看跌期权时发生，那么，看跌期权的价格就必须低于执行价格的贴现值。即： SrKPrKSPTT)1 ()1 (TrKP)1 ( 看跌期权的价格区间（两虚线之间为定价区域） 看跌期权价格（看跌期权价格（P）股票的市价股票的市价(S) K TrK )1 (交易时的上限为交易时的上限为看涨期权到期时价格上限为 图3-13 看跌期权的价格区间（两虚线之间为定价区域） 下限为为下限为为SrKT)1 (TrK )1 ( K K TrK )1 (主要内容主要内容n3.1期权的基本概念期权的基本概念n3.2期权价格及

12、价格区间期权价格及价格区间n3.3期权定价模型期权定价模型3.3期权定价模型期权定价模型n3.3.1 期权定价的单期二项式模型期权定价的单期二项式模型 n3.3.2 期权定价的二期二项式模型期权定价的二期二项式模型 n3.3.3 布莱尔布莱尔斯科尔斯期权定价模型斯科尔斯期权定价模型 3.3.1 期权定价的单期二项式模型期权定价的单期二项式模型n1单期二项式期权的套期保值单期二项式期权的套期保值n2单项二项式的期权定价模型单项二项式的期权定价模型 n3期权定价中的风险中立假设期权定价中的风险中立假设 1单期二项式期权的套期保值单期二项式期权的套期保值n为了便于对二项式期权定价模型的推导和分析，我

13、们对该定价模型涉及到其他一系列限制性条件做出假设，主要有包括：第一，该模型为不支付股利的欧式股票看涨期权定价模型；第二，股票市场和期权市场是完全竞争的，市场运行是非常具有效率的，如股票的卖空不受限制，套购的利润并不存在；第三，股票现货与期权合约的买卖不涉及交易成本，而且也不存在税收问题；第四，市场参与者可按已知的无风险利率无限制地借人资金或贷出资金，利率在期权有效期内保持不变，而且不存在信用风险或违约风险；第五，是一个单期的期权。 n在一个单期期权中，单期的期间可长可短，期间存在期初和期末。设目前为单期期初即0时刻，作为期权合约的基础资产（如股票）的现行市场价格为S，期权合约的执行价格为K。在

14、单期期末，即1时刻，股票价格变动只存在两种可能的结果：或者股票价格上升单期至Su，或者股票价格下降至Sd，而上升或下降的概率呈二次分布状。 在这里，下标号u和d表示变量数值上升或下降为原数值的倍数，即u1，d1。 资产组合单期期初（0）成本与价值单期期末（1）的价值Su72Sd48买入 股股票607248卖出一份看涨期权C100合 计60 C721048表3-6 资产组合目前成本与未来价值 设某项资产组合由买进 股每股60元的股票与卖出一份看涨期权合约的头寸构成。到了单期期期末，在两种可能的股票市价变动的情况下，该项资产组合的价值（VT）如表3-6所示。 n假如不存在无风险的套购利润，在期权到

15、期日，不管股票市价涨至72元，还是跌至48元，在这两种情况下，资产组合的价值都应该是一样的，即实现了套期保值的目的。于是存在： n经整理后，得：n这表明，无风险资产组合实现套期保值目的应按0.42：1的比例构成，即在买进0.42股票的同时必须卖出1份看涨期权合约。n此时，无论未来资产价格上涨还是下跌，资产组合的价值均为20.2元。 VT721048 0.42 n根据有效市场的假设，在不冒风险的情况下，人们在金融市场上只能赚得无风险利率。换言之，资产组合在当前的价值是其在到期日的价值（20.2元）按无风险利率进行贴现后的现值。假定市场上的无风险利率（年率）为10%，因为期限为3个月，转为年数为1

16、/4年，在连续复利的条件下则有：n因为，期初资产组合的成本为 60C，所以它应该与到期日价值的现值相等，于是有： 元7 .192 .2025. 01 . 00eV60C19.7C0.426019.75.5元 2单项二项式的期权定价模型单项二项式的期权定价模型n项由买进 股的股票与卖出一份看涨期权合约组成的资产组合，该资产组合的期末价值在两种可能的情况下分别为， 和 。在不存在无风险的套购利润的情况下，这两者的价值是相等的，所以化简后得： n式中：为套期保值率（Hedge Rate），它代表无风险资产组合所要求的股票持有量。 uuCS ddCS SduCCSSCCdududu)(n 解出以后，资

17、产组合的结构的期末价值为两种可能结果中的任何一项的价值，它们为：n上式的连续复利现值与资产组合的现时成本相等，所以有： duuCdCduCSeduuCdCrTdu)(drTurTrTCduueCdudeeC)1 (durTCqCqeC3期权定价中的风险中立假设期权定价中的风险中立假设n根据未来股票价格将上升、或下降的结果及对应的概率，我们可以求出在此条件下股票（T）时的期望价值E（ST）：n因为 ，所以，上式可化简为 dduduTSSSqSqSqSE)()1 ()()(duSSSdudTSduSqSE)()(rTdrTTeSSdSSeSE)(3.3.2 期权定价的二期二项式模型期权定价的二期二

18、项式模型 n下面我们从单期二项式模型扩展到二期二项式模型。初始股票价格为S，每一期间期末的股票价格可以上升到其期初价格的u倍、或者下降到其期初价格的d倍，如图3-16所示。在第一期期末，股票的价格为上升状态的Su（uS），或为下降状态的Sd（dS）。在第二期的期末，股票的价格则分为两个单期二叉树：n一个是第一期间上升状况的Su，其第二期末的价格如为上升状态的，则价格为Su2 （= u2 S），或为下降状况的Sud（udS）；n另一个是第一期间为下降状态的Sd，其第二期末的价格如为上升状态的，则价格为Sdu（udS），或为下降状况的Sd2 （= d2 S）。每一期间的长度为T年，市场无风险利率为

19、r，期权的执行价格为K。 当前当前(0) 第一期（第一期（1） 第二期（第二期（2） udSud = udS图3-16 二期二叉树欧式期权模型数值图SCduSuuSSu2 = u2 Su2Cuu=Max（Su2-K，0）Cuudd2Cdd = Max（Sd2-K，0）Sd2 = d2SCud = Max（udS -K，0）SddSCdn根据单期欧式期权的二项式定价模型，我们可以分别计算第一期间期末上升状态下的期权价值Cu，和下降状态下的期权价值Cd，计算公式如下：n将Cu、Cd代入式（3-24）中，经过简化运算，则有初始状态下的期权价值C )1 (uduurTuCqCqeC)1 (ddudrT

20、dCqCqeC)1 (durTCqCqeC)1 ()1 (2222dduduurTCqCqqCqen例3-3 在资本市场上有A股票，其市价为60元，3个月为一个选择期间，执行价格为62元的欧式看跌期权，在每个单期期间，股票价格未来的变化存在两种状态，一是按照1.2比率上升，一是按照0.8的比率下降。市场无风险利率为10%。则该股票此时的二期的欧式看跌期权价值为多少？n如图3-17所示。同时，根据计算的第二期间期末的各节点的股票价格水平，我们可以进一步计算各节点看跌期权的内在价值。第二期末的上点，股票的期末价格为86.4元，看跌期权执行价格为62元，此时的看跌期权无内在价值，即Puu=0，期权此

21、时不会被执行。第二期末的中点，股票的期末价格为57.6元，低于执行价格62元，此时期权的内在价值为Pud =4.4元（62-57.6），期权被执行。第二期末的下点，股票的期末价格为38.4元，低于执行价格62元，此时期权的内在价值为Pdd =23.6元（62-38.4），期权被执行 n根据以上数据资料，S60，r10%，T0.25，u1.2，d0.8，可以计算股票虚拟上涨概率q为：n q=0.56，以及Puu=0、Pud =4.4元、Pdd =23.6元，第一期期末的Pu，Pd分别为： n将计算的Pu，Pd结果代入式（3-15）中，即可计算期权的价值P为： 56. 08 . 02 . 18 .

22、 025. 01 . 0edudeqrT89. 1)4 . 4)56. 01 (056. 0(25. 01 . 0ePu53.12)6 .23)56. 01 (4 . 456. 0(25. 01 . 0ePd41. 6)53.12)56. 01 (89. 156. 0(25. 01 . 0eP当前当前(0) 第一期（第一期（1） 第二期（第二期（2） ud=0.96Sud = udS=57.6图3-16 二期二叉树欧式期权模型数值图S=60P=6.41d=0.8u=1.2SuuS=72Su2 = u2 S=86.4u2=1.44Puu=Max（K-Su2，0）=0Pu=1.89ud=0.96d

23、2=0.64Pdd = Max（K-Sd2，0）=23.6Sd2 = d2S=38.4Pud = Max（K-udS ，0）=4.4SddSPd=12.53n如果上例的期权有欧式看跌期权改为是美式看跌期权，则在确定看跌期权价值时，需要从后期期末一直往前推。n根据计算的结果，在第一期期末的上升状态时点，股票的价格为72元，看跌期权的执行价格为62元，如果立即执行期权，则损失-10（=62-72）元，但如果不是立即执行，延期至第二期期末的期权价值为1.89元，所以，对美式期权，应该等待延期执行的1.89元。n而在第一期期末的下降状态时点，股票的价格为48元，看跌期权的执行价格为62元，如果此时立即

24、执行期权，则可获得14（=62-48）元的收益，但如果不是立即执行，而是延期至第二期期末执行的期权价值为12.53元，所以立即执行可获得的14元。 n此时看跌期权的价值为： 04. 7)14)56. 01 (89. 156. 0(25. 01 . 0eP当前当前(0) 第一期（第一期（1） 第二期（第二期（2） ud=0.96Sud = udS=57.6图3-16 二期二叉树欧式期权模型数值图S=60P=7.04d=0.8u=1.2SuuS=72Su2 = u2 S=86.4u2=1.44Puu=Max（K-Su2，0）=0Pu=1.89ud=0.96d2=0.64Pdd = Max（K-Sd

25、2，0）=23.6Sd2 = d2S=38.4Pud = Max（K-udS ，0）=4.4SddSPd=143.3.3 布莱尔布莱尔斯科尔斯期权定价模型斯科尔斯期权定价模型n这些假设条件主要包括：、只考虑欧式期权，即只有到期才可以履约的期权。、没有交易成本。期权和股票可以无限分割，信息无需任何成本即可为公众获得。、在卖空期权或股票时不存在任何市场缺陷。、在期权合约的存续期内短期利率是已知的，并保持不变。市场参与者既可以按此利率借入资金，亦可按此利率贷出资金。、股票不发放股利。、股票价格的变化是随机的、连续的。、股票报酬率瞬间变动的概率分布是正态分布。、股票报酬率的方差在期权合约有效期内是连续

26、的，且为市场参与者所知。n基于上述假设，布莱克和斯科尔斯提出的欧式看涨期权的定价公式如下： 标准正态分布的累计概率密度函数（即某一服从正态分布的变量小于d的概率； 无风险利率（按连续复利计算），一般可以采用于期权同期到期的国库券利率； 在连续复利条件下标的资产（如股票）年收益率的标准差。 )()(21dNKedNSCrTTTrKSd)2()ln(21Tdd12)(dNrn例3-4 甲公司股票的现行市价为25元，以该股票为基础资产的欧式看涨期权的执行价格为23元，期权合约为6个月。已知该股票年收益率的方差为0.25，市场无风险利率为6%。n一般分三步来进行计算 第一步，计算 、 ：第二步，计算和

27、 、 ： 第三步，计算买方期权价格， 1d2d50. 05 . 025. 021)225. 006. 0()2325ln()2()ln(21TTrKSdTdd120.500.350.15 )(1dN)(2dN6915. 05 . 01915. 0)50. 0()(1 NdN5596. 05 . 00596. 0)15. 0()(1 NdN元03. 45596. 0236915. 025)()(5 . 006. 021edNKedNSCrTn欧式看涨期权的定价公式的含义：看似非常复杂，实际上它有一个非常简单的解释。等式中， 代表套期保值率 ，或者说是为保持完全套期保值所必需的股票对期权的套期保值率。与前面的讨论保持一致，可以认为期权持有者是一个杠杆投资者。该投资者以利率r借入等于执行价格的款项。这样，公式（3-31）右边的第二项就代表贷款，即执行价格的现值乘以一个调整因素 。因此，公式