《信息光学》第三章 标量衍射理论

1、本章主要内容本章主要内容1、光波的数学描述2、基尔霍夫衍射理论3、衍射的角谱理论4、菲涅耳衍射5、夫朗和费衍射6、衍射的巴比涅原理7、衍射光栅8、菲涅耳衍射和分数傅里叶变换*1 1、光波的数学描述、光波的数学描述1.1 1.1 单色光波场的复振幅表示单色光波场的复振幅表示单色光波场中某点P(x,y,z)在t时刻的光振动u(x,y,z,t)可表示为, , , ,cos 2, ,u x y z ta x y ztx y z其中，v是光波的时间频率；a(x,y,z)和(x,y,z)分别是P点光振动的振幅和初相位。根据欧拉公式，可将该波函数表示为复指数函数取实部的形式：2, , , ,Re, ,jtx

2、 y zu x y z ta x y z e式中，Re 表示对括号内复函数取实部。为简单，去掉“Re”而直接用复指数函数表示简谐波的波函数，并定义一个新的物理量：, , , ,jx y zU x y za x y z e称之为单色平面波在P点的复振幅，它与时间t无关，仅是空间位置坐标的函数。光强分布则为2IUUU, ,2Re, ,jx y zjta x y z ee1 1、光波的数学描述、光波的数学描述1.2 1.2 球面波球面波单色球面波在空间任意一点P所产生的复振幅为 0jkraU Per其中， 为波数，表示单位长度上产生的相位变化； r 表示观察点P(x,y,z)离开点光源的距离； a0

3、 表示距点光源单位距离处的振幅。2k思考题：思考题：对于会聚球面光波，复振幅表达式是什么？ 0jkraU PerAnswer:1 1、光波的数学描述、光波的数学描述若点光源位于x0y0平面，则与其相距z(z0)的xy平面上的光场分布是什么？在z平面上：22220020021xxyyrzxxyyzz对上式进行二项式展开，并考虑旁轴近似，上式可进一步简化为：22002xxyyrzz1 1、光波的数学描述、光波的数学描述将简化式代入球面波复振幅表达式有： 0jkraU Per 220022002002x xy yjk zkjx xy yzjkzzaaU Peeezz22002xxyyrzz常量位相因

4、子常量位相因子二次位相因子二次位相因子思考题：思考题：（1）若点光源位于x0y0平面的坐标原点，上式简化为什么？（2）会聚球面波在旁轴近似下的复振幅表达式是什么？1 1、光波的数学描述、光波的数学描述重要概念：重要概念：波前，等相位面波前，等相位面发散球面波发散球面波会聚球面波会聚球面波 当等相位面与某一平面相交，则得到一系列的交线，这些交线就是光波在该平面上的等相位线！1 1、光波的数学描述、光波的数学描述 1.3 1.3 平面波平面波平面波也是光波最简单的一种形式。沿k方向传播的单色平面波，在光场中P(x,y,z)点产生的复振幅可以表示为：, ,expcoscoscosU x y zajk

5、 xyz其中， （1）a 是常量振幅； （2）cos、cos、cos 为传播方向的方向余弦，而且有222coscoscos11 1、光波的数学描述、光波的数学描述22, ,expcosexpcoscosexp1 coscosexpcoscosexpcoscosU x y zajkzjk xyajkzjk xyAjk xyexpcoscosjk xy对于如右图所示 的沿某一确定方向传播的平面波，在xy平面上的复振幅为： 思考题：思考题：等相位线是什么形式？等相位线是什么形式？Answer:Answer: 等位线方程为其中，称为平面波的位相因子。coscosxyC不同C值所对应的等位相线是一些平行

6、斜线，如右图所示。1 1、光波的数学描述、光波的数学描述, ,expcosU x y zAjkx1.4 1.4 平面波的空间频率平面波的空间频率 平面波的空间频率是傅里叶光学中常用的基本物理量，透彻理解这个概念的物理意义是非常重要的。 如下图，首先研究传播矢量位于x0z平面的简单情况，此时cos=0, （1）xy平面上复振幅分布为（2）等位相线方程为cosxC等位相线的分布如右图所示，是一组垂直于x轴的平行线，而且间距相等。由于等相位线上的振动相同，所以复振幅在xy平面周期分布的空间周期可以用位相相差2的两相邻等位相线的间隔X表示。1 1、光波的数学描述、光波的数学描述cos2kX2cosco

7、sXk1cosxfX当10yfY,exp2xU x yAjf x则有其中，为广波波长。空间周期的倒数即为空间频率，表示x方向单位长度内振幅变化的周期数，即又因为等相位线平行于y轴，则y方向的空间频率为此时，xy平面上的复振幅分布可表示为即可用空间频率表示xy平面上的复振幅分布；*上式就是一个传播方向为(cos =x、cos=0)的单色平面波的复振幅表达式。1 1、光波的数学描述、光波的数学描述1cos0 xfX(3)(3)空间频率为负数的情况空间频率为负数的情况思考题：思考题： 空间频率为负，其代表什么物理意义？空间频率为负，其代表什么物理意义？10yfY1 1、光波的数学描述、光波的数学描述

8、如右图所示，等相位线是一组斜平行线。很容易确定其沿x和y方向的空间频率为1cos1cosxyfXfY,expcoscosU x yAjk xy,exp2xyU x yAjf xf y（4）传播方向为任意情况，情况又如何？）传播方向为任意情况，情况又如何？则xy平面上的复振幅分布可表示为1 1、光波的数学描述、光波的数学描述coszf, ,exp2xyzU x y zajf xf yf z222221xyzffff 假定平面波沿空间传播，则可进一步确定光波沿z方向的空间频率为此时，而且满足如下关系（1）思考题：若用空间角频率表示平面波的复振幅分布，结果如何？ 已知22xxyyff1 1、光波的数

9、学描述、光波的数学描述sinyyfsinxxf(2) 对于如下图所示的情况，光波从P0点沿P方向传播，传播矢量在xhe y方向上与z轴的夹角分别是x 和y,，则平面波在xy平面上的复振幅分布可表示为什么？提示：1 1、光波的数学描述、光波的数学描述1.5 1.5 复振幅分布的空间频谱（角谱）复振幅分布的空间频谱（角谱）利用傅里叶变换对位于单色光场中的xy平面上的复振幅分布进行傅里叶分析，有,exp2,exp2xyxyxyxyxyU x yA ffjf xf ydf dfA ffU x yjf xf ydxdy 其中，coscosxyff因此复振幅分布也可以看作为不同方向传播的单色平面波分量的线

10、性叠加, A(x,y)则为复振幅分布U(x,y)的空间频谱。exp2xyjf xf y代表一个传播方向余弦为(cos =x、cos= y)的单色平面波。平面上的复振幅分布U(x,y)看作频率不同的复指数分量的线性组合，各频率分量的权重因子是A(x,y)，而且1 1、光波的数学描述、光波的数学描述coscoscoscos,exp2AU x yjxydxdy 此时，称A(cosA(cos / / ，coscos / / )为xy平面上复振幅分布的角谱。 A( A( x x, , y y) )也可用方向余弦表示 引入角谱的概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义：(1) 单色光波场中某一平面上的场分

11、布可看作不同方向传播的单色平面波 的叠加;(2) 在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它们的值分别取决 于角谱的模和幅角。2 2、基尔霍夫衍射理论、基尔霍夫衍射理论2.1 2.1 惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理“波前上的每一个面元都可以看作是一个次级扰动中心，它们能产生球面子波”，并且，“后一时刻的波前的位置是所有这些子波前的包络面。” 论光,惠更斯 , 1690“波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作是一个频率（或波长）与入射波相同的子波源；在其后任何地点的光振动，就是这些子波叠加的结果。” 巴黎科学院,菲涅耳, 1818 0exp jkrU PcU P Kdsr其中，U(PU(P0

12、 0) )是波面上任意一点P0的复振幅，U(P)U(P)是光场中任一观察点P的复振幅，r r是P0到P的距离， 是P0P和过P0点的元波面法线n的夹角，K(K( ) )是与有关的倾斜因子，C C为常数。2 2、基尔霍夫衍射理论、基尔霍夫衍射理论2.2 2.2 基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式1882年，基尔霍夫建立了一个严格的数学理论，证明菲涅耳的设想基本上正确，只是菲涅耳给出的倾斜因子不对，并对其进行了修正。基尔霍夫理论，只适用于标量波的衍射，故又称标量衍射理论标量衍射理论。对于单色波，基尔霍夫从标量波动方程出发，利用格林定理这一数学工具，采用适当的边界条件，推导出无限大不透明屏上孔径后面观

13、察点P的场分布为 222210uuct exp jkrcos,-cos,exp jkrAPdSr2rn rn rUj 其中，P是照明孔径的点光源，P0是孔径上某一点，P为孔径后面某一观察点，r和r分别P和P到P0的距离（图3-3）。上式称为菲涅耳基尔霍夫衍射公式，它为惠更斯菲涅耳原理提供了更可靠的波动理论基础。2 2、基尔霍夫衍射理论、基尔霍夫衍射理论2.3 2.3 光波传播的线性性质光波传播的线性性质 0exp1jkrU PU P KdSjr令令 01,Kjkreh P Pjr 根据基尔霍夫衍射公式根据基尔霍夫衍射公式则有则有 00,U PU P h P P dS 若孔径在x0y0平面，而观

14、察平面在xy平面，上式可进一步表示为 000000, ;,U x yU xyh x y xydx dy 这正是描述线性系统输入这正是描述线性系统输入输出关系的叠加积分；因此光波的传播现象可以输出关系的叠加积分；因此光波的传播现象可以看作是一个线性系统！看作是一个线性系统！2 2、基尔霍夫衍射理论、基尔霍夫衍射理论在旁轴近似下， ，则上述线性系统的脉冲响应函数简化为 K1222000022200exp11, ;,jkrjkzxxyyeh x y xyjrjzxxyy00,h xxyy脉冲响应函数具有空间不变的函数形式，也就是说光波在衍射孔径后的传播现象脉冲响应函数具有空间不变的函数形式，也就是说

15、光波在衍射孔径后的传播现象可看作线性不变系统。这为我们用线性不变理论分析衍射现象提供了依据。可看作线性不变系统。这为我们用线性不变理论分析衍射现象提供了依据。3 3、衍射的角谱理论、衍射的角谱理论3.1 3.1 角谱的传播角谱的传播根据上面介绍的角谱理论可知，孔径平面和观察平面上的光场都可以分别看作孔径平面和观察平面上的光场都可以分别看作是许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合是许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合。而每一个平面波分量的相对振幅和位相取决于相应的角谱：00000coscoscoscoscoscos,exp2U xyAjxydd coscoscoscoscoscos,e

16、xp2U x yAjxydd 孔径平面孔径平面观察平面观察平面利用两者的关系利用两者的关系， 确定整个光场的传播特性。确定整个光场的传播特性。利用标量的波动方程，可以得到如下关系：利用标量的波动方程，可以得到如下关系：220coscoscoscos,exp1 coscosAAjkz这就是衍射的角谱理论公式，它给出了角谱传播的规律；这就是衍射的角谱理论公式，它给出了角谱传播的规律；在确定了观察光场的角谱后，就可以利用傅立叶逆变换求出其复振幅分布。3 3、衍射的角谱理论、衍射的角谱理论220coscoscoscos,exp1 coscosAAjkz0,xyxyxyA ffAffHff输出频谱输出频

17、谱输入频谱输入频谱传递函数传递函数系统在频域的效应由传递函数表征：系统在频域的效应由传递函数表征：2222201,exp1,0 xyxyxyxyxyA ffjkzffffHffAffothers可见，光波的传播现象可看作一个空间滤波器，它具有有限的空间带宽：在频率平面上半径为1/的圆形区域内，传递函数的模为1，对各频率分量的振幅没有影响，但引入了与频率有关的相移；在圆形区域之外，传递函数为零。3 3、衍射的角谱理论、衍射的角谱理论思考题：思考题：基尔霍夫衍射理论基尔霍夫衍射理论和和角谱理论角谱理论的联系和区别是什么？的联系和区别是什么？Answer:1）基尔霍夫衍射理论和角谱理论完全是统一的，

18、它们都证明了光的传播现象可看作线性不变系统；2）基尔霍夫理论是在空间域讨论光的传播，是把孔径平面光场看作点源的集合，观察平面上的场分布则等于它们所发出的带有不同权重因子的球面子波的相干叠加，而球面子波在观察平面上的复振幅分布就是系统的脉冲响应。3）角谱理论是在频率域讨论光的传播，是把孔径平面场分布看作很多不同方向传播的平面波分量的线性组合，观察平面上场分布仍然等于这些平面波分量相干叠加，但每个平面波分量引入相移。相移的大小决定于系统的传递函数，它是系统脉冲响应的傅立叶变换。3 3、衍射的角谱理论、衍射的角谱理论3.2 3.2 孔径对角谱的影响孔径对角谱的影响平面屏幕孔径的复振幅透过率为t(x0

19、,y0)，入射到孔径平面上的光场复振幅为Ui(x0,y0)，则紧靠屏幕后的平面上透射光场的复振幅分布可以表示为 ,tiUx yUx y t x y假定入射光场的角谱和透射光场的角谱分别为 coscos,iAcoscos,tA由傅里叶变换的卷积定理可确定两者的关系为 coscoscoscoscoscos,tiAAT其中，T( )是孔径透过率函数的傅里叶变换。 和3 3、衍射的角谱理论、衍射的角谱理论如果采用单位振幅平面波垂直照明孔径，入射光场为 ,1iUx y 入射光场的角谱为coscoscoscos,iiAUx yF则有coscoscoscoscoscos,tATcoscos,T透射光场等于孔

20、径透过率的傅里叶变换。光波由于衍射孔径的限制，在频率域展宽了入射光场的角谱。 4 4、菲涅耳衍射、菲涅耳衍射4.1 实际的衍射现象可分为两种类型：菲涅耳衍射和夫琅和费衍射。 什么是什么是菲涅耳衍射菲涅耳衍射和和夫琅和费衍射夫琅和费衍射？菲涅耳衍射菲涅耳衍射：观察屏距衍射屏有限远时的衍射。 夫琅和费衍射夫琅和费衍射：光源和观察屏距离衍射屏都相当于无限远情况的衍射。4 4、菲涅耳衍射、菲涅耳衍射4.2 4.2 菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射公式 000000,U x yU xyh xxyydx dy 222000022200exp11,jkrjkzxxyyeh xxyyjrjzxxyy其中：其中：4 4

21、、菲涅耳衍射、菲涅耳衍射若若z z远大于孔径远大于孔径以及观察区域的最大线度，即以及观察区域的最大线度，即22222000011122xxyyrzxxyyzzz称之为菲涅耳近似菲涅耳近似。此时脉冲响应简化为2200001,expexp2kh xxyyjkzjxxyyj zz其物理意义是用二次曲面近似表示球面子波。把上述简化的脉冲响应函数代入叠加积分式，则得到卷积形式表达的菲涅耳衍射方程：220000001,exp,exp2kU x yjkzU xyjxxyydx dyj zz 上式就是上式就是菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射公式。222300max4zxxyy对r作二项式展开时可略去次高阶项，即4 4

22、、菲涅耳衍射、菲涅耳衍射将指数中的二次项展开，可得到用傅里叶变换形式表示的菲涅耳衍射方程， 22exp,exp2jkzkU x yjxyj zz22000000002,expexp2kU xyjxyjxxyydx dyzz 22220000,expexp,exp22xyxyffzzjkzkkjxyU xyjxyj zzzF菲涅耳衍射的传递函数是 22,expexpxyxyHffjkzjz ff它表示菲涅耳衍射在频率域的效应；上式仅仅是对普遍的传递函数的一种近似。 4 4、菲涅耳衍射、菲涅耳衍射4.3 4.3 菲涅耳衍射的例子菲涅耳衍射的例子泰伯效应泰伯效应 什么是泰伯效应？用单色平面波垂直照射

23、一个周期性物体（例如透射光栅）时，在物体后面周期性的距离上出现物体的像。 它不是一种透镜成像，而是衍射成像。图中zT为泰伯距离，具体分析过程请参考教材91-92页。5 5、夫琅和费衍射、夫琅和费衍射5.1 5.1 夫朗和费衍射公式夫朗和费衍射公式若要使若要使z z进一步增大，使其不仅满足菲涅耳近似条件，而且满足进一步增大，使其不仅满足菲涅耳近似条件，而且满足2200max2kzxy这时观察平面所在的区域称为这时观察平面所在的区域称为夫朗和费区，夫朗和费区，这一近似称为这一近似称为夫琅和费近似夫琅和费近似。此时有。此时有2222222000000111222xxyyxxyyxyrzxxyyzzz

24、zzz5 5、夫琅和费衍射、夫琅和费衍射把上式代入脉冲响应公式，有 000000,U x yU xyh xxyydx dy 220000112,expexpexp2jkrekh xxyyjkzjxyjxxyyjrj zzz把该脉冲响应代入衍射公式，有221expexp2kjkzjxyj zz0000002,expU xyjxxyydx dyz 221expexp2kjkzjxyj zz00,xyxyffzzU xyF观察平面上的场分布正比于孔径平面上透射光场分布的傅立叶变换。观察平面上的场分布正比于孔径平面上透射光场分布的傅立叶变换。强度分布为：强度分布为：2222000,11,xyxyffz

25、zxyI x yU xyAzzzzF5 5、夫琅和费衍射、夫琅和费衍射5.2 5.2 一些简单孔径的夫琅和费衍射一些简单孔径的夫琅和费衍射 利用上面的夫琅和费衍射方程可以确定一些典型孔径的夫琅和费衍射图样，例如圆孔、矩形孔、单缝以及多缝结构（如光栅）等。 孔径的类型孔径的类型：振幅调制型振幅调制型和相位调制型相位调制型假设一均匀单色平面波垂直照明孔径，平面波的振幅为假设一均匀单色平面波垂直照明孔径，平面波的振幅为A A，则孔径的透射，则孔径的透射光场分布为：光场分布为：0000,U xyAt xy其中，t(x0,y0)是孔径的复振幅透过率。由夫朗和费衍射公式，观察平面场分布为由夫朗和费衍射公式

26、，观察平面场分布为2200,expexp,2xyxyffzzAkU x yjkzjxyt xyj zzF22expexp,2AkxyjkzjxyTj zzzz则观察平面上的衍射图样的复振幅分布正比于物体的频谱。则观察平面上的衍射图样的复振幅分布正比于物体的频谱。对应的衍射图样的强度分布为222,AxyI x yU x yTzzz夫琅和费衍射是实现傅里叶变换运算的物理手段，是我们对物体作频谱分析的基础。5 5、夫琅和费衍射、夫琅和费衍射1 1） 圆孔衍射圆孔衍射000,rt xycira圆孔的复振幅透过率可以表示为其中，a为圆孔半径，r0为孔径平面的径向坐标，如下图所示。5 5、夫琅和费衍射、夫

27、琅和费衍射采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，在观察面上得到的夫琅和费衍射场的复振幅分布为（利用傅里叶-贝塞尔变换）： 2212expexp22karJkakrzU rjkzjkarj zzz 2120karJzI rIkarz0.61zra 强度分布为（如下图） 通常称之为爱里图样。中央亮斑（爱里斑）的半径为： 5 5、夫琅和费衍射、夫琅和费衍射2 2） 矩孔衍射矩孔衍射0000,xyt xyrectrectab距孔的复振幅透过率可表示为：距孔的复振幅透过率可表示为：其中，a、b分别是孔径在x0和y0方向上的宽度。其对应频谱为00,sinsinxyt xyabc afc bfF5 5、夫琅

28、和费衍射、夫琅和费衍射采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，在观察面上得到的夫琅和费衍射场的复振幅分布为：2200,221,expexp,2expexpsinsin2xyxyffzzkU x yjkzjxyt xyj zzabkaxbyjkzjxyccj zzzzF强度分布为 222,sinsinabaxbyI x ycczzz光能主要集中在中央亮斑，其宽度为： 2zxa 2zyb 5 5、夫琅和费衍射、夫琅和费衍射 单缝衍射单缝衍射对于上面的距孔，假如ba，矩孔就变成了平行于y0轴的狭缝，衍射图样将集中在x轴上。采用单位振幅的单色平面波垂直照明狭缝，距离为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的复振

29、幅分布为 2expexpsin2akaxU xjkzjxcj zzz强度分布为 222sin0 sinaaxaxI xcIczzz5 5、夫琅和费衍射、夫琅和费衍射3) 3) 双缝衍射双缝衍射00000022*22ddxxxddt xrectrectrectxxaaa 如图，衍射孔径由双缝组成，狭缝宽度为a，中心相距为d，其复振幅透过率可表示为：其对应的频谱为000022sinexpexp2 sincosxxxxxxddt xrectxxaac afj dfj dfac afdfFFF5 5、夫琅和费衍射、夫琅和费衍射当采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径时，观察平面上夫琅和费衍射的复振幅分布

30、为 2021expexp22expexpsincos2xxfzkU xjkzjxt xj zzakaxdxjkzjxcj zzzzF强度分布为（如右图） 2222sincosaaxdxI xczzz可见，双缝夫琅和费衍射图样的强度分布是单缝衍射图样单缝衍射图样与双光束干涉图样双光束干涉图样相互调制的结果。 6 6、衍射的巴比涅原理、衍射的巴比涅原理如上图所示，两个衍射屏1和2是一对互补屏；设U1(P)和U2(P)分别表示由1和2在观察平面上P点产生的衍射光场，则如下结论成立：1）两个互补屏在观察点产生的衍射场，其复振幅之和等于光波自由传播时在该点的复振幅，即U1(P)+U2(P)=U(P)2）

31、若采用单色平面波垂直照明，经透镜聚焦在其后焦面，自由光场的夫琅和费衍射正比于(P)，对于轴外点有U(P)=0。此时在每一轴外点互补屏产生的光场复振幅分布位相相差；互补屏产生的夫琅和费衍射分布，除轴上点以外，强度分布完全相同。U1(P)=-U2(P) 以及 I1(P)=I2(P)7 7、衍射光栅、衍射光栅* *1）回顾一下，什么是光栅？衍射光栅具有周期性重复排列的结构，可对入射光波的振幅或位相（或者两者同时）施加周期性的空间调制，2）光栅是光学仪器中或者光学信息处理系统中常用的重要光学元件。下面将尝试使用傅里叶分析的方法分析几种典型光栅的衍射图样以及它们对光谱的分辨本领。这几类典型的光栅包括：线

32、光栅余弦型振幅光栅正弦型位相光栅矩形位相光栅7 7、衍射光栅、衍射光栅00001*nxxxt xrectxndrectcombaadd001sinxxxxxTfrectcombac afcomb dfaddFF00001*xxxxyTfrectcombrectrectaddLLFFF线光栅线光栅假设线光栅狭缝宽度为a，相邻狭缝的中心距为d，则光栅的透过率可表示为若考虑光栅的大小限制，假设其为边长为L的正方形，则其透过率为：000001*xxxyt xrectcombrectrectaddLL其对应的频谱为其对应的频谱为2sinsinsinxynaLnnc ac Lfc Lfddd7 7、衍射光

33、栅、衍射光栅若采用单位振幅的单色平面波垂直照明光栅，其夫朗和费衍射图样的复振幅分布为：2200,1,expexp,2xyxyffzzkU x yjkzjxyt xyj zzF221expexp2kjkzjxyj zz2sinsinsinxynaLanncc Lfc Lfddd则强度分布为则强度分布为222222,sinsinsinxynaLannI x yU x yccLfcLfzddd7 7、衍射光栅、衍射光栅AmN分辨本领是指分辨两个波长很靠近的谱线（和）的能力。根据锐利判据，一条谱线的强度极大值与另一条谱线的第一个极小值重合时，两条谱线刚好能够分辨，如下图所示。则光栅的分辨本领为（m为光栅级次，N为光栅缝数）：mzm zzddL7 7、衍射光栅、衍射光栅余弦型振幅光栅余弦型振幅光栅余弦型振幅光栅的透过率可以是0到