关于二次函数最值问题的讨论

1、关于二次函数的最值问题的讨论学生姓名：xxx 指导教师：xxx摘 要：本文讨论了一元二次函数与二元二次函数的最值问题，首先研究了一元二次函数在闭区间上的最值问题，讨论了在四种不同情况下函数的单调区间及最值的变化，其次研究了运用构造法解决二次函数最值问题，详细给出了构造两点间的距离、构造斜率、构造点到直线的距离、构造直线方程以及构造圆锥曲线的方法以及所要注意的细节关键词：二次函数 最值 构造法 在生产实践及科学中，常常遇到“最好”、“最省”、“最大”、“最小”等问题，例如如何进行资源调动，才能使成本最小，利润最大；怎样规划建筑蓝图，才能使材料使用最少，空间占用最大等等，这类问题在数学上常常归结为

2、求函数的最大值或最小值问题研究函数的最值不仅是要研究其理论意义，更重要的是用理论来服务现实，因此更要透彻的掌握理论，掌握其求解方法求函数最值的方法灵活多样且综合性强，选择正确的方法进行求解很重要，几何图形作为研究函数性质的一个重要辅助工具，能直观的反应函数本身的特性，使函数形象化，对于某些最值问题利用几何方法求解会更加简捷形象许多的数学问题都隐含着“形”方面的信息，如果能充分利用这个“形”把复杂的数学问题变为简单的几何问题，便可使问题轻松获解一、一元二次函数在闭区间上的最值问题一元二次函数的一般形式为，所表示的图形是一条抛物线，我们可以通过分析函数在区间内的单调性来分析最值是否存在，若存在在什

3、么情况下取得最大值或最小值1、轴定区间定（对称轴及定义域不变）对函数在上的最值问题有三种情况（此时抛物线开口向上）：第一种情况:若对称轴在区间内，即，则在上是减函数，在上是增函数，如图1，故的最小值为，最大值为与中较大的一个第二种情况:若对称轴在区间左侧，即，则在上是增函数，故的最小值为，最大值为第三种情况:若对称轴在区间右侧，即，则在上是减函数，故的最小值为，最大值为对函数在上的最值问题也有三种情况（此时抛物线开口向下）：第一种情况:若对称轴在区间内，即，则在上是增函数，在上是减函数，如图2，故的最大值为，最小值为与中较小的一个 图1 图2第二种情况:若对称轴在区间左侧，即，则在上是减函数，

4、故的最大值为，最小值为第三种情况:若对称轴在区间右侧，即，则在上是增函数，故的最大值为，最小值为2、 轴定区间动例1 求函数在的最大值及最小值解析：的对称轴是，当时，在定义内是减函数，故，；当时，即时，在上单增，在上单减，故，是与中较小的一个；当时，即时，；当时，即时，；故当时，当时，；当时，在定义域内是增函数，故，综上,，对称轴固定，则抛物线的位置是固定的，定义区间从左向右沿轴正方向运动，对开口向下的抛物线依次进行截取，得到增函数部分，包含顶点的部分和减函数部分，从而将问题转化为“轴定区间定”的问题来解决3、 轴动区间定例2 求函数在上的最大值及最小值解析：对称轴是，当时，在定义域内是增函数

5、，故，； 当时，在上单减，在上单增，故，为与中较大的一个，若，则，若，则；当时，在定义域内是减函数，故， 综上，,定义区间固定，对称轴从左向右沿轴正方向运动，对开口向上的抛物线依次进行截取，得到减函数部分，包含顶点的部分和增函数部分，从而见问题转化为“轴定区间定”的问题来解决4、 轴动区间动例3 在区间上的最小值为，求的值解析：抛物线开口向下，对称轴为 当时，即时，函数在定义域内是减函数，故，得满足； 当时，即时，函数在上单增，在上单减，故最小值是与中较小的一个，由于，故，则，得但不满足；当时，即，与题意不符 综上，对称轴与定义区间都在变化，解决问题的关键仍是对对称轴在区间内外的讨论二、运用构

6、造法决二次函数最值问题“构造法”即构造性解题方法，是根据数学问题的条件或结论的特征，以问题中的数学元素为“元件”，数学关系为“框架”，构造出新的数学对象或数学模型，从而使问题转化并得到简便解决的方法1、构造两点间的距离解题例4 求函数的最小值解析：函数的解析式可改写为，当变化时，它表示动点到两定点与的距离之和如图3，点在轴上移动，有，当且仅当三点共线时取等号、三点共线的条件是，即故当时，取最小值，最小值为图3 我们可以得到： 形如的函数的几何意义是轴上的动点到两定点与的距离之和，其中与在轴的同侧，当、三点共线时，取最小值形如的函数的几何意义是轴上的动点到两定点与的距离之差，其中与在轴的异侧，且

7、，当、三点共线时，取最大值我们还可以将此推广到二元函数中：例5 已知，求的最小值解析：将化为，它表示以为圆心，以为半径的圆表示圆上的点到点与的距离之和如图4，点在圆外，点在圆内，线段与圆交于原点，点到、的距离之和最小因此，当时，最小为 图42、构造斜率解题例6 已知实数，求的最大值和最小值解析：如图5，方程表示以为圆心，以为半径的圆，表示该圆上的动点与原点连线的斜率过原点作圆的两条切线，切点分别为、，则斜率为所求最大值，斜率为最小值由于，、为两切点，故，点、的坐标分别为和，故的最大值为，最小值为图5 联想直角坐标平面内两点连线的斜率公式，我们可以得出：如上题所给，给定限制的条件，求的最值，即求

8、动点与定点连线的斜率的最值我们也可以将的限制条件直接加入所求函数中，像是“求函数的最值”，即是求定点 与动点连线的斜率的最值，而动点是单位圆的参数坐标3、构造点到直线的距离解题例7 设，则的最小值为多少？图6解析：由于，故可以看作是一条线段，则可以看作是该线段上一点到原点的距离的平方由图6可知，其最小值显然是原点到线段的距离的平方，故. 本题解法较多，可转化为一元二次函数再配方求最值，也可用均值不等式求最值，还可用构造法解题但较之其他方法，构造法更具一般性且计算简单例如将本题改为“设，求的最小值”，由于不具备这个条件，使得均值不等式不能使用，转化为一元二次函数再配方也显得麻烦，但用构造法仍十分

9、简单4、构造直线方程解题例8 已知实数满足，求的最值解析：可变为，这可看作是以为圆心，为半径的圆的方程，且点在该圆上可设，则，若求的最值即是求的最值，而取最大值时，直线在轴上的截距最小反之，取最小值时，最大，所以只要求直线与圆有公共点时，该直线与轴上的截距的最值即可由图7可知，当直线与圆相切时，该直线与轴的截距达到最大或最小，由，有或，所以的最小值为，最大值为图7 对于“给定二次函数，求的最值”这类问题，令，经过变形得到直线方程，然后根据与直线在轴上的截距的关系，通过二次函数对的限制求得最值5、构造圆锥曲线解题例9 ，求的最大值解析：可以把 化为，其几何意义为直角平面坐标内点到点的距离之和为，

10、于是我们可以认为点是以定点为焦点，以为长轴长的椭圆上任一点，而可以认为是该椭圆上的点到原点距离的平方，由椭圆几何性质可知的最大值为这类问题所给条件与构造两点间的距离颇为相似，我们可以得出：形如的几何意义是直角平面坐标内点到点的距离之和为，其中两定点对称且在坐标轴上，故由椭圆的定义，我们可认为是以定点为焦点，以为长轴长的椭圆上任一点，再由椭圆的性质解题形如的几何意义是直角平面坐标内点到点的距离之差为，其中两定点对称且在坐标轴上，故由双曲线的定义，我们可认为是以定点为焦点，以为实轴长的双曲线上任一点，再由双曲线的性质解题利用几何的知识对二次函数的最值问题进行求解，就是要揭示其几何意义寻找问题所具有

11、的几何意义是非常重要的，因为它直接影响到我们能否构造出合适的几何模型,从而将一个函数的最值问题通过这个模型转化为一个可解的几何问题,使求解问题的方法更为简洁而有效构造法是构建数学模型的重要方法，不仅能够解决二次函数的最值问题，对于其他函数，例如次数大于二的多次函数，无理函数，三角函数，不等式等的最值问题，也可以通过构造法得以解决三、生活中的最优化问题 在生产生活中，要在尽力节省人力，物力，财力和时间的前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，这类问题称为最优化问题在某些情况下，最优化问题也就是最值问题，以下示例给出了我们在生产生活中所常见的最值问题1、例11 小区门前有片空地，空地外有面长为十米

12、的围墙，为美化生活环境，要修建一矩形花圃，已买回了米的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间在围出一条宽为一米的通道以及在左右花圃各放一个一米宽的门，花圃如何设计才能使面积最大解析：设花圃宽为米，面积为平方米 有，由于，故，又由于且抛物线开口向下，故定义区间在对称轴左侧且在其上单减，故面积最大值为2、例12 欲做一个容量一定的长方形箱子，应选择怎样的尺寸，才能使此箱子的材料最省解析：设箱子的长宽高分别为，容量为，则，箱子的表面积，要是使用的材料最少，应求的最小值由于，所以，这是一个关于的二元函数令，得唯一驻点根据问题的实际意义可知一定存在最小值，故可以断定即为的最小

13、值点，即当时，函数取得最小值此时，所以长方体实际上是正方体，这表明在体积固定的长方体中，以正方体的表面积最小，最小值求函数最值的方法多种多样，诸如配方法，判别式法，导数法，线性规划法，向量法都是求函数最值的方法，本文所运用的单调性法，构造法只是其中的两种，所能解决的函数问题也只是一小部分，但其中蕴含的转化思想很值得我们学习和借鉴，对提高我们的思维能力很有帮助参考文献1 2温镇辉. 谈“数形结合”法的运用J. 中学数学研究, 2003(3): 31-32.3马富强.巧用几何直观解题.中学生数学，2002（12）:14.4倪玲, 雷冰. 构造解几模型求函数最值J. 池州师专学报. 2003(6):

14、 10-12.5李康海.一个最值问题的求解方法 J.上海中学数学,2004,(06).6张凤莲. 高中数学中的向量研究J华中师范大学学报, 2007(6): 14-157李宇秭.函数最值问题的处理方法J.雁北师范学院学报,2004,(02).8罗奇.向量在代数解题中的运用J.桂林师范高等专科学校学报, 2008(2): 174-177. 9孙兰敏.函数最大值及最小值的求法J.衡水学院报，2009，（01）.doi2009.01.003.10李兴军. 数形结合思想在解题中的应用J. 运城高等专科学校学报. 2002(2): 46-47.11温月才. 平面向量在中学数学解题中的应用J. 广西教育学

15、院学报, 2004(7): 237.12梁国祥. 数形结合在最值问题中的应用J. 黔东南民族师专学报, 2001,19(3):77-78. 13欧云华. 数形结合在最值（或极值）中的应用J. 益阳师专学报, 1992(12): 117-119.14 Xiao Zhisheng.Multiple solutions for a class of function problemsJ. Guangdong Education15Tong Jinyou. Discussing methods of the maximum and the minimum of function roughlyJ. I

16、nformation Of Science and TDiscussion about the problem of the most value of quadratic functions Student: Hu Huiyun Tutor: He BinAbstract: This article focuses on the problem of the most value of unitary quadratic function and binary quadratic functions. Firstly, we studied the problem of the most value of quadratic function on a closed interval, discusses changes of a monotonous interval and the most value of function in four different situations. Secondly, we studied the use of construction to solve the problem of the most value of quadratic function, Given det