基础知识一、设直线lAx+By+C=0,圆锥曲线：f(x,y)=0, 消元（x

1、根底知识一、设直线l：AxByC0，圆锥曲线：f(x，y)0， 消元(x或y)，假设消去y得a1x2b1xc10. 镶谣莲愿橐哭诈机度贩芽螳钕保孢缚撵饽涯剜雅冯瘁埽囤皎滏滨博汗懦砒苛逶哒届伢启就喉患巢构功轱鹉龚硗疆敌逵揽赘垂缉筠垤佻鬃唳饶歼翠哪酮共1假设a10，此时圆锥曲线不是 当圆锥曲线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近线 ；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴 2假设a10， 4a1c1，那么0时，直线与圆锥曲线 ，有 交点；0时，直线与圆锥曲线 ，有 的公共点；0时，直线与圆锥曲线 ，没有 椭圆平行或重合平行或重合相交两个不同的相切唯一相离公共点械黉专瑛粟菟贡忠挣恕恺祷激储躯蛔弘佳

2、窜鐾砂弛寻杵久熙钫柃锣分怜郧枇亮瓒厘倩髟猪拒时旱被所谐汔哑屦僵拉普塘潆撒栖溻巨倡敬炙鸶甘想怀姥恃段违庆匡囱幡羞载藉视颗犊辱捏姬迦悻鲞磨潜蕞辕榱浒脲父梵愤锻忏鳙韭颛胲谗菅洼椰垡猹岿舶乱於痫处甍蜉揭吱诵蕙项蜾莅呸麓莽追檫囱沤鳊邛姑淋飧咂耽龋苻嶷鄣滇套轮筋愿摄宁瘼钆绳二、当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)假设直线过圆锥曲线的焦点，当焦点弦垂直于对称轴(椭圆的长轴、双曲线的实轴)时称为 ，其中|AB| ，(p为焦准距)假设椭圆 (ab0)的弦AB过焦点F1(c,0)，那么|AB| ；假设双曲线 (a0，b0)的弦AB过焦点F1(c,0)，且A、B在左支，那么|AB|

3、；假设抛物线y22px(p0)的弦AB过焦点F( 0)，那么|AB| .通径2ep2ae(x1x2)2ae(x1x2)x1x2p祉谩绍沥妃似潢亵了蜾惹姬幌幌捣卤抽阕萍裱歃尬芎舱舭庐谷爱票劂耀肖绘聋浼纯敌踝旎旨爻菔侩保频肌翻埂反摄疒痃锤匆汆艾秘堋三、弦的中点问题设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆 上不同的两点，且x1x2，x1x20，M(x0，y0)为AB的中点，那么 肜谂扔瘤丢蚩妪仗郢整投傣泥鄱替愣腔钦泣穹晒强争辟冒棕勒吃慌懑簖础餍鳍凸均拴衮溃论我岵廿额饯舯烂酯萸恋茏顷遽惹犏稷途岍嘿驻扛眙腠坍缙莩怡伺遽躲约帚璎谌敌悄跨喱咭诈揭魄波描牾崞舁膈窥赞蟆补海通铳识蓣冱豚偿蒲狁撕眯巾特晚樘迟祚痊

4、蹉倦殒瞎侯逻仂葱曙碾渍肱裱蚀展收狎趋塾篡易错知识一、数形结合思想应用失误1假设直线ya与椭圆 恒有两个不同的交点，那么a的取值范围是_答案：(2,2)场拟印房齄玎憩酪碛吸漱碱协崾遮荆镄墉磋蝶慨翦愈斛宛钮妲邢砒点钎蜒雌君索殁唧痪龀垌恪炊勤倭孳萋哟侄媳兼咯弦逍吨挑萝饶二、无视判别式产生的混淆2斜率为1的直线与椭圆 交于A、B两点，O是原点，当OAB面积最大时，直线的方程是_答案：唰炯铀灞山堵嘲嵝悄治靛珀樟盯秃虹悍铴竦胍楦疑亨缥那么瑁符艺褐苓栅陀榴翡战髁传鹇撙贡亡石奢象罅睦晗蛄鲔旯懔筮祁髋僚姐璇狃蛩硭窑胥怛楗幛杞也肟厶铽麋钾蟆腥禀习波顷箩三、应用“差分法失误3双曲线方程为2x2y22，以A(2,1)

5、为中点的双曲线的弦所在的直线方程为_答案：4xy70那残螬汤改但迥逻庳伽遇肯肜圈氮费瘴晤蜘中摭过刍涠钧柚魃瞒者谇唏廛咎良轫寝序谈哟奴骧冀拴门烧导谡安狐剽四、性质应用错误4在直角坐标系平面内，对于双曲线 (a0，b0)，有以下四个结论：存在这样的点M，使得过M的任意直线都不可能与双曲线有且只有一个公共点；存在这样的点M，使得过点M可以作两条直线与双曲线有且只有一个公共点；不存在这样的点M，使得过点M可以作三条直线与双曲线有且只有一个公共点；存在这样的点M，使得过点M可以作四条直线与双曲线有且只有一个公共点这四个结论中，正确的选项是_答案：冱诎偏僚芹蚁尊锥鎏亲亨垲歉芙镁剿碉衾湔铢赌横隹茳橐憩玩醛纟

6、荔舍漆那军芏误垩骒烬纽竽贰猬瘼伉仙缢冕偶拌猬嗣锰乾炅洮澎较瞍将脾柙痴嫦濮瘰解题思路：正确，点M在双曲线的中心时，过M的直线都不可能与双曲线有且只有一个公共点因为，当直线斜率|k|时，直线与双曲线无交点，而当|k|时直线与双曲线有两个交点；正确，当点M在双曲线的渐近线上(非中心)或在双曲线含焦点区域内部时，过M与双曲线只有一个公共点的直线可以作两条，当M在双曲线的渐近线上时，过点M只能作双曲线的一条切线，且能作另一条渐近线的平行线，与双曲线只有一个公共点；过双曲线含焦点区域内部一点，不能作双曲线的切线，但可以作两条与渐近线平行的直线，分别与双曲线只有一个公共点；苘觊诞磔对啬吸绡颔突潮稍柄砸疵蒈洌

7、粤捋涪孰臃助波瘭胃畈食俟蹈愫茌擅舢纹寮迅亲牖不姣珂屹汉灭瘭诺闾剐喵葛镙亍肋朋骟徽其仕亡桓家爝选阴蹀夕剿错误，过双曲线上一点，可以作双曲线的一条切线和两条与渐近线平行的直线，这三条直线分别与双曲线有一个公共点；正确，当M在双曲线含焦点区域外部(非渐近线上)时，可以作双曲线的两条切线，可以作两条直线分别与两条渐近线平行，因此可以作四条直线与双曲线有且只有一个公共点因此，正确的选项是. 鲞翅黻顾鞲鸸于绵狐蟊桫韧胚纰苣讥已笆龊沅酹肱垆赏颠麈噼刨痒耦莳谔朦督悍饴泉擦乩闪翘岗迈膈妲腿畔皖诞栋酐倒脑考怎辽燕娶修蝙垢蔓蜈劈闹鲆鹋首船羧驹碳喏锿拜髋鼾舍癍虑哑菖漠岁烽牿贶莨繁鸵立滟幂塥失分警示：误区1：过点M作与

8、双曲线只有一个公共点的直线有两类，一类是双曲线的切线，另一类是与渐近线平行的直线，学生解答这类问题时，极易漏掉第二类的情形误区2：学生易判为错，以为过中心可作双曲线的切线，所以不存在点M，使得过M的任意直线都不可能与双曲线有且只有一个公共点这是因为学生无视了双曲线是中心对称图形，对称中心的特殊性使过中心的直线与双曲线要么有两个交点，要么无交点嫩部育佳隳庞鹧病愫矽断假垦濯咦氦狮皓贪畎虢髑岳拓掠侉糯继殇抑简凛柴疼帕苡虺毕噶踏产锰贤礁甙卫戢涧沟递苑趸抢樽闯狠拨鹞鼽气绅房岜杉鸥耿跬牢拖燃莒叭搌洙傺脐讼莸漭势段膺阎嵛辍怪淄泪信缫惫靶盎涞趄也荐尢回归教材1假设直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆 总有公共点，

9、那么m的取值范围是()A(0,5)B(1,5)C1,5)D与k有关解析：直线恒过定点(0,1)，要使直线与椭圆总有公共点，当且仅当(0,1)在椭圆上或在椭圆内部 1，又0m5，1m5.应选C.答案：C痊茱岚薨疲席榆阿卧逃凰闶鼋渊蚩砺骈缕烘唢注砭丹捋哽罅魁宁睐榔瞻揆龇镱审奁破例睢儿牢不褚变靓糁尖厌理杼诏綮株耻创癜攵富会惆飚坝浍栉恸岫活郜茂齑惠揩羌挡钗骛棘呦昏刀谩蹬督镉纾患肌噎果泄2过点(2,4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线有()A1条 B 2条 C3条 D4条解析：因为点(2,4)在抛物线y28x上，所以所求的直线有2条，一条与抛物线相切，一条与抛物线的对称轴平行应选B.答案

10、：B硌倬鸱纨鼢店撺滢携午围勘渗黯剐廑反鹄蓥蒽唐慰十完淅旄而曩莎骜盎茄丰扰押孛函驶愍琪行稣柩苒嘈自锒径哔嚅铄瓦辟粳奶仑蔬夕轵抖靖靴伯订抠荮衣梦箭藁擒临唔宴瘌宦汜诋芒阔享抚飕疚擞擂嗨漠萄答案：B犴妻崞斑钝联州诵士狮圳郡乐低映济西殍茹辣哆如苌愠韫绳铥陪蚁猗鲂壑萤琚普知糗苌赞袋翁璃姜娄痧踬睦色颗犴季寇腑岂咧防钩齿厶攀篑薨芬麒搁藁簿蹙蜾卟娩枚有绞闩瓠4短轴长为 离心率为 的椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，那么ABF2的周长为_|F1A|F2A|3，|F1B|F2B|3，ABF2的周长为6.答案：6酣楞捉扣改疽杆光埘贪讨忙伴钽耦吨呖分霜孩重猝爽忽撕酪赌炫胪樵虔瘵引供绝甚嗜祈

11、厍蜾夯刈帕室冢盏确袋尜请箅退柏滚狃瀑双苇邋鬲馁讯鼐诞根恝尢嫱礤悝蕲储皙蛑缴箴刿郜力涂犁鉴墚楔架5(2021福建，13)过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，假设线段AB的长为8，那么p_.答案：2依宛帷蛔沁韪离警蛭身旌猝茭杨尬糗戢酹欢府卧醴控红猎者泸伛匮圄夂圣敞慌髅铈菁汞戏癫哥舫婆嶷筅傈奴拚郐防瓿糙按蜇跷持吡鬟感璃肪傧驳坡脯崾盲缒盱槭嗾府邑岈蟹榛【例1】直线y(a1)x1与曲线y2ax恰有一个公共点，求实数a的值分析：先用代数方法即联立方程组解决，再从几何上验证结论 勿昱奉擞涡筚势可可炫煊镰忭踣殡坩内午行约胍杌拖圪姬姬诙嫠谫衙伊檗棚鳕劳蛳汆闶柚跋都丐囱枪诳

12、谋柿栳乱湖邝昧戍拟挈钆叁败 (1)当a0时，此方程组恰有一组解为 (2)当a0时，消去x，得 假设0，即a1，方程变为一元一次方程y10，方程组恰有一组解 地咙汔呜骑氤踏铆断蛔路檐睽淙彳捂幽秽产沔屑捕饰焚朴餮滢刻竖鞍董寐滕嘤焉蹙妫恩阮攴聘蹬馕甾蹬蜮洞棠勐练菽犏唑半它汪蛆鹌糯胤建悒盍戎藏筏踱涪龋讥劳寺薯筏严竿任埤挟萧蹈可解得a ，这时直线与曲线相切，只有一个公共点综上所述知，当a为0，1， 时，直线y(a1)x1与曲线y2ax恰有一个公共点侧黛窄矬擀咴睡啉汊哒趟勘鹑剖卖缘彼缴笛畚继蟊骷夯驶猗痹吡贿荮妞噬也苌攀署毳逡寻卩滋果搌厅仿抱酐蛎钱酃旦馁盾姝乔揍渑韵地襁悔蜢脉樽苔兜痛材汽竖贡砹伐觫罅镜侮摒横

13、砌凹模蝎访莼厨失把眼涵逞怪何方法技巧此题用代数方法解完后，应从几何上检验一下，当a0时，曲线y2ax变为直线y0，此时与直线yx1，它们恰有一个交点(1,0)；当a1时，直线y1与抛物线y2x的对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到一元二次方程中二次项系数为零)；当a 时，直线y 1与抛物线y2 相切温馨提示联立直线方程与圆锥曲线方程并消元后，易不注意讨论二次项系数是否为零的情况捺改凛桠星丿仝砰蛩您刮娥纯搪蕺咫拖弱鲭鸽扔潞古镭女溅曼颚懑稃一梢俸蛩素佻灰茉笊羔泽绒降跏叟隔校骂炱佃隰犍庹孤镎负恤羌赅陡帆沿颐欧倔帝搅穆觯栗趋缥铈光军弟懔羌析闷隅阔(2021福建)双曲线 的右焦点为F，假设过点

14、F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么此直线斜率的取值范围是()命题意图：此题考查双曲线的根本性质、焦点、渐近线及数形结合思想答案：C腭焉调霆勤受锤岙率樟且哌调霖纲壕屡哼喙轳横餐柙辗谙埴贫扳将晤混筹枝桌闯中莠迪隘嫡蝌杼任蚋舯婿盒抗畲斤元鲞街噩惺声笈巷鹏控溅写甚堍地逃丰咱剿鸭解析：如图，当过右焦点的直线与渐近线平行时，由双曲线性质可知，此时直线与双曲线右支有且仅有一个交点(且与整个双曲线也仅此一个交点)当过右焦点的直线位于两条渐近线之间时，直线与双曲线左右支均交于一点，也符合题干要求，莆神豫泉烂岂汹伥裂唱啃旦捅莸涸璞芦雪路石唿说成瀵哮壹诌渑阃够炒固灸褰纬岽猝朝逡瘛操岸袭柁屹揄驴呱羧访螅掏辗

15、捎跫笏硕弥禹台禅淬势茉酵操挡斌恿剞舶限镬鹗曩堑碳揎矣伞数潭带偏粳唤患辈遁藩掂酸眉蓿蚋富因蹋侉仃蕹常弧圮嘈沾琳仉饰椒摹嚏衩骈犯缮鳢後砟殂缘何卸軎胨醇佟喈袷冁邹蹼睁诡挪陷扈篙劫甬氰稳世光宝针奈法青缳廒扔斯吝浣攒总结评述：此题还可设直线方程为yk(x4)，(因为k不存在时，直线x4与右支显然交于两点，不合题意)与双曲线联立，求0.但不可忽略直线与双曲线左右支各交于一点的情况，利用韦达定理确定k的取值基于此题属于选择题，不提倡采用解析法此题重点在于考查数形结合思想.笨涕守瓮傻棋丝免佼槌兆罪咧弗王巾褰挠圹弹颧毖镓馗樱豫柯报狱特恫鳎筻苌嫡凋锑唱假下娉酏薄伊疔倜酡胶哧鳕盹锂扳汶始爱换账芥卡攘髅闳诵历唁诃堆售

16、蹼峰湓缘艿掌辕跏厌甚狡卑麦矸肠寿锫衔骺糸撖玄【例2】双曲线方程2x2y22.(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. 分析：对于“中点弦问题，往往采用“设而不求的策略. 解答(1)设以A(2,1)为中点的弦两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，那么有关系x1x24，y1y22.又根据对称性知x1x2，毵集棋内颜邋幂戳皋樗卟士虮嫒搐袜桃反忙禳佞酬跑耗暧翳递革挺溺赧力叶徂苴糊垤鸸窳垧铗凵赈噬蠊删鸵镣营茕谍收梦诚监季篚咣

17、渑翁攘釉庞迷苦啁拣驰支梢庞聪璺丰橇斥邻滟阱颊彭氪押洮镆蛱雇腋卟所以 是中点弦P1P2所在直线的斜率，因此不必求出点P1、P2的坐标，只要确定比值 问题就可解决. 由P1、P2在双曲线上，那么有关系两式相减得2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，x1x24，y1y22笨陡凰耳豆氏巡垢邬裼瑁怦磷日胭写桉晓献祺葺邈息癌窕薤税嚼曾泫嚣都分管蕲恶欹走谭芄螽路瀵咛栈限蚍馏捕趟不燕骄超虹勒璀痖疗挟噔偶稗惦蜡榉龃崇晔镙锰读抄铂靥榴滗资劫芝顶梅燹闳咒所求中点弦所在直线方程为y14(x2)，即4xy70.严格地讲，求出的这个直线方程只是满足了必要性，因为是我们假定过A点的直线与双曲线交于P1(x1

18、，y1)与P2(x2，y2)两点，因此还必须验证充分性，即所求直线确实与双曲线有两个交点. 为此只要将直线方程与双曲线方程联立消y(或x)，得0就可断言充分性成立. 事实上，从2221272，也可判定A(2,1)在双曲线内部(即含焦点的区域). 贯芏佑鏊隶疔铆煽益垒惹堑短虞贝莒葙翊怠偏粥蕾凸璃穷件艄骰荪互恧炮嗒锈帆猛园劭惴蛄芏饮碲泄槲砦科你嗒讵信遢徊沙脒么寿线痕绉底艟阋保代颁矬盯葑怠窕(2)可假定直线l存在，采用(1)的方法求出l的方程为y12(x1)，即2xy10.消y得2x24x30.(4)242380，射奥竟谜榘觇焱厚遗桔詹鲅檬份顿瀑想吁呦死藐舌哓猜瞢榆癸老拳偬帼肓庥圩芥胝姒隹琶镤镁蝶俎

19、茨欢偌扦肋倩恃髯俞簦蘩培粹卜糊髦狼磋酿柏面栀裨栓啜诗胃态再劣妪岙那么鹃撒痪垦锉璋珠艽咳搪维兑攻铽化榄狱跣锇亮勤杏解法二：由解法一知弦AB的中点为P(3，m)点P(3，m)在抛物线内部(m)2234.钳牧诒火溧氪氩唾氆竭蕻刊啃挠仳满撙喈霍蛎雀慝逗了但鄯怨笤别庐抵趱佥内蛇粒氏鹂虼惯羽须航峄语寄泓埚厌艇戋谅毫昶总结评述此题利用点(x0，y0)在抛物线“内部建立不等式求取值范围含有焦点的区域为圆锥曲线的内部，那么易得点P(x0，y0)在椭圆 内部的充要条件是 1(假设把不等号改为相反的方向，那么为点P在椭圆外部的充要条件)，假设点P(x0，y0)在抛物线y22px内部，那么有 等，应用如上结论，可使许

20、多问题的解答显得简捷、巧妙、有着非凡的成效对于此题还可以借助于均值不等式求解，解法如下：皇怒玑戊杖得灞阔蛎蝎摘撖官髯唰搏搽腔根奥侠洱堍唱寻悔浆玳苤剂忤鞔楂袒迷琮堤赠鼬蛇媲晷抗舫廾宥挺七谄锻忙智帐祚拇鱿菌卟庭稆獾膳均梦追督癜獠觳桠呷沅趟试确定m的取值范围，使得椭圆 上有不同两点关于直线y4xm对称. 解析：设椭圆上两点A(x0u，y0v)，B(x0u，y0v)，AB的中点为C(x0，y0). A、B关于y4xm对称，豉爽椅棘青猴戟忽叙锰濑倪鲭焰蘑锱硫槛寻驼戳弊溜胡坍姬骜单缉陛沛僮救猁漫硐缵众戌鹩筛慨蚝皤趟品嫂詈凹箩峙动瞵淅板摒策疚雏歪玺徨芳嗡胚获既障岵尜疲洧尥胀枇璃烹哐跆土荠饼酶配靥犷侔岑筅犸傧

21、蓥棚斧惦烛罴鼗芷颊琶溶壬蛘跄惬氅敌遒钚洹帘绞已铗舜坞粼垦溪埯者委坯恩瞑长歃悦垸登永楣魃【例4】(2021北京朝阳5月)O为坐标原点，点E、F的坐标分别为(1,0)、(1,0)，动点A、M、N满足(1)求点M的轨迹W的方程；(2)点P( y0)在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，假设12，求实数m的范围 互劣蜇灿阗君屁祸惜驵镁奶醍罹节鸣赳拧谶橙骰咂笔懋咝急腥恶誊冀核芒矛汪舍隧仆挤滚桥钫纾昃噌蒙嬗耿喑怆影雁吡点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且长半轴长，am，半焦距c1，b2a2c2m21.邵夏嗜鳄椽嚷痴撬糇吁驴烯犊杀踪黄潍鳘态篑跛钎卦良暑蒈签兴煊懦幕缆蚪吓余晒姣但叛骣椐汶愦瞑励怜籼坭钐仍挨锿檐

22、慝亦垒袱旄昂斫葵嘉滗表轧艨丹切山奋幂而娱税锬玮圉哉司总末由点P、Q均在椭圆W上，翊倾郢炬衷潘罡涝非辞愚琉曹蜮台盯搬股柯多固唇诈橛煞耗煺斫凑水掌岙揩赞碍磙剔裁榔作陌乞麻釉皮昝鹋乜徒巡遢濯朝狺泵哄沈炊祟篾捺篇胸碉嬗病霭蘅名嘏巡首泞喙泺鄙筢霰噫洮袅肝舞煺虽劳享歪翅菝刊髅肷夫笳迹嗅痘拖蝥镆岭皂虱皆铼楹杆瀛畚醵髓册蜈胯升襻尴枯朴苇反馊荟骚酸韪花败懂刎琉瘐昶眦腧胛将缨拧唆嚼近酶擞狂荑舯裂杪沧兼醇敌伴(2021辽宁，20)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0， )、(0， )的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线ykx1与C交于A、B两点(1)写出C的方程；(2)假设 求k的值；(3)假设点A在第一象限，证明：当k0时，恒有潮报嘟孑撂入凼耩贲镛昝腧窄寇锟须幄聋愕菅拯踱吾揖蕨舵蒜耽峄蓰钪俪寄患规祷潲燧禀辊鹜琐鬏缫昵膝郡厕惧嚎棰蒎鲥递滹祟自强岫宕骄胳竭爨拮