工程随机数学：第3章 多维随机变量及其分布

1、1第3章 多维随机变量及其分布关键词： 联合分布 边缘分布 条件分布 函数的分布2第3章 多维随机变量及其分布1、二维随机变量及其联合分布2、边缘分布3、条件分布4、随机变量的独立性5、二维随机变量函数的分布31 二维随机变量及其联合分布图示41.定义 将n个随机变量X1，X2，.,Xn构成一个n维向量 (X1,X2,.,Xn)称为n维随机变量。一维随机变量XR1上的随机点坐标二维随机变量(X,Y)R2上的随机点坐标n维随机变量(X1,X2,Xn)Rn上的随机点坐标多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律5实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y )

2、就是一个二维随机变量. 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W ).说明 6几何意义：分布函数F( x0,y0)表示随机点(X,Y)落在区域 中的概率。如图阴影部分： 设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称 F(x,y)=PXx, Yy为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。 （一）联合分布函数7 对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),则Px1X x2， y1Yy

3、2 F(x2, y2)F(x2, y1) F (x1, y2)F (x1, y1).(x1, y1)(x2, y2)(x2, y1)(x1, y2)8分布函数F(x, y)具有如下性质：且(1)归一性 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1, (2)单调不减 对任意y R, 当x1x2时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1y2时， F(x, y1) F(x , y2). 9(3)右连续 对任意xR, yR, (4)矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)F(x1, y2) F

4、(x2, y1)F (x1, y1)0.反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。10例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为1)求常数A，B，C。 2)求P0X2,0Y3解:11（二）联合分布律 若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列对值(xi, yj), (i, j1, 2, )，则称(X, Y)为二维离散型随机变量。称 PXxi, Y yj, pij , (i, j1, 2, )，为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.可记为 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2,

5、)，12X Y y1 y2 yj p11 p12 . p1j . p21 p22 . p2j . pi1 pi2 . pij . .联合分布律的性质 (1) pij 0 , i, j1, 2, ； (2)x1 x2xi二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:13例2 袋中有2只黑球、2只白球、3只红球，在其中任取2只球.以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数. (1)求(X,Y)的分布律. (2)求概率解 (1)X所有可能取的不同值为0,1,2;Y所有可能取的不同值为0,1,2. (X,Y)的分布律为14分布律也可写成以下表格的形式. X Y01201/72/71/2112/74/

6、21021/210015(2)16（三）联合概率密度函数1、定义 对于二维随机变量(X, Y)，若存在一个非负函数f (x, y)，使对(x, y)R2，其分布函数 则称 (X, Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为(X, Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为 (X, Y) f (x, y)， (x, y)R2172、联合密度f(x, y)的性质 (1)非负性： f (x, y)0, (x, y)R2; (2)归一性： 反之，具有以上两个性质的二元函数f (x, y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。18(4)对于任意平面区域G R2, (3)若f (x, y)

7、在(x, y)R2处连续，则有此外，f (x, y)还有下述性质19求：(1)常数A；(2) F(1,1)； (3)(X,Y)落在三角形区域 D:x0,y0,2x+3y6 内的概率。 例3. 设解 (1) 由归一性20(3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6内的概率。解21 3. 两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布* 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为则称(X, Y)在区域D上(内) 服从均匀分布。 易见，若 (X, Y) 在区域D上(内) 服从均匀分布, 对D内任意区域G, 有22例4.设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，(1)求(X,Y)的概率密

8、度；(2)求PY0, 20, |0, 则称同理，对固定的i, pi. 0, 称为X xi的条件下，Y的条件分布律;39例140解由上述分布律的表格可得4142例2 一射手进行射击,击中目标的概率为p(0p0，极限存在，则称此极限为在条件下X的条件分布函数.记作可证当 时 46若记 fX|Y(x|y) 为在Y=y条件下X的条件概率密度，则当 时 类似定义，当 时47答请同学们思考48解例349又知边缘概率密度为50解例45152定义 如果对任意实数ab,cd，有PaXb,cYd=PaXbPcYd 即事件aXb与事件cYd独立，则称随机变量X与Y独立。4 随机变量的独立性53（一） 二维的情形54

9、由上述定理可知，要判断两个随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点, 边缘分布的乘积都等于联合分布即可55解: 因为 X 与 Y 相互独立,所以求随机变量 ( X, Y ) 的分布律.例1 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为56例2 某种保险丝的寿命(以一百小时计) X 服从指数分布,其概率密度为有两只这种保险丝，其寿命分别为 X1, X2, 设 X1, X2 相互独立，求X1, X2 的联合概率密度.(2) 在(1)中，一只是原装的，另一只是备用的，备用的只在原装的熔断时自动投入工作，于是两只保险丝的总寿命为 X1+X2 ，求PX1+

10、X21.57因X1, X2 相互独立，故 X1, X2 的联合概率密度为, 2概率密度为解 (1) 58(2) 59（二） 二维随机变量的推广(1) N维随机变量60(2) 分布函数61(3) 概率密度函数62 其它依次类推.(4) 边缘分布函数63(5) 边缘概率密度函数64(6) 相互独立性65定理 设(X1,X2, ,Xn )与(Y1,Y2,，Ym )相互独立，则Xi (i=1,2,n)与Yj (j=1,2, m)相互独立；又若h, g是连续函数，则h(X1,X2, , Xn)与g(Y1,Y2,，Ym )相互独立.665 二维随机变量函数的分布67（一）离散型随机变量的情况Z=X+Y 的

11、分布Z=max(X,Y)的分布Z=min(X,Y)的分布6869例3. 设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为 X 0 1 P q p (1) 求WXY的分布律;(2) 求Vmax(X, Y)的分布律；(3) 求Umin(X, Y)的分布律。(4) 求W与V的联合分布律。70(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijq2pqpqp2WXY0112Vmax(X, Y)0111Umin(X, Y)0001VW0 10 1 20007172（二）连续型随机变量的情况1、一般的方法：分布函数法 若(X1, X2, , Xn)f (x1, x2, , xn), (x1,

12、x2, ,xn)Rn, Y=g(X1, X2, , Xn), 则可先求Y的分布函数: 然后再求出Y的密度函数:7374两边对 z 求导可得 Z 的概率密度函数由于 X 与 Y 对称,这两个公式称为卷积公式, 可记为75例4.设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布。76一般地，设随机变量X1, X2，., Xn独立且Xi服从正态分布N(i ,i2),i=1,.,n, 则设X,Y相互独立，77解例5.7879故有考虑到定义域80对任意的实数有81推广82例683解8485(3)商和积的分布 已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, ZY/X, Z=XY的密度特别，当X，Y相互独立时，上式可化为其中fX(x), fY(y)分别为X和Y的密度函数。证明见后 86