25中相似三角形形综合题研究

1、1.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。2.相似比：相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。知识要点相似三角形3.相似三角形的判定方法预备定理:相似三角形的传递性.ABCDEDEABC判定定理1,2,3.1 22 3或2 31 3DEBC, ADEABC.直角三角形相似的判定.DCBA求证：ACDABCCBD.：ACB=Rt,CDAB于D相似三角形根本图形的回忆：现在给你一个锐角三形ABC和一条直线MN 问题：请同学们利用直线MN 在ABC上或在边的延 长线作出一个三角形与 ABC相似，并请同学 们说明理由ABCMN第一种作法： 理由： 1DEBC 2AD

2、E=B 或AED=C 3AD：AB=AE：AC 第二种作法： 理由： 1 ADE=C 或AED=B 2AE：AB=AD：AC AEBCDADEBCM 第三种作法： 理由： 1DEBC 2ADE=B 或AED=C 3AD：AB=AE：AC 第四种作法： 理由： 1 ADE=C 或AED=B 2AE：AB=AD：ACABCEDABCEDMNMN第五种作法： 理由： 1DEBC 2ADE=ABC 或AED=ACB 3AD：AB=AE：AC 第六种作法： 理由： 1 ADE=ACB 或AED=ABC 2AE：AB=AD：ACABCABCDEMNMDEN 第七种作法：1ACD=B2ADC=ACB3AD：

3、AC=AC：ABABD CMNADEBACBABCDADE绕点A旋转DCADEBCABCDEBCADE点E移到与C点重合ACB=RtCDAB相似三角形根本图形的回忆：三部曲：先罗列两要素：R，d；再分类列方程；后解方程、检验一般情况下，这个类型题无法先画出比较准确的示意图由比例线段产生的函数关系问题09上海抽样25当点M在边AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围 由比例线段产生的函数关系问题边长为4的等边三角形ABCM是射线AB上的动点点M与点A、B不重合，AMCNx， CDy由比例线段产生的函数关系问题求y关于x的函数解析式 ABCDMN十二种添加平行线的方法典型题由比例

4、线段产生的函数关系问题求y关于x的函数解析式 MMEMF由比例线段产生的函数关系问题求y关于x的函数解析式 AAE由比例线段产生的函数关系问题求y关于x的函数解析式 AAF由比例线段产生的函数关系问题求y关于x的函数解析式 CCE由比例线段产生的函数关系问题求y关于x的函数解析式 CCF由比例线段产生的函数关系问题求y关于x的函数解析式 DDEDF由比例线段产生的函数关系问题求y关于x的函数解析式 BBE由比例线段产生的函数关系问题求y关于x的函数解析式 BBF由比例线段产生的函数关系问题求y关于x的函数解析式 NNENF由比例线段产生的函数关系问题ABCDMN图中有6个点，4条直线小结过每个

5、点可以画两条平行线共有十二种添加平行线的方法由比例线段产生的函数关系问题6种方法一步到位构造了等边三角形小结DMN由比例线段产生的函数关系问题最最简单的方法线段和差小结MENF由比例线段产生的函数关系问题随心所欲，任意添加只要仔细，总能作对小结十二种添加平行线的方法典型题09上海25点Q在线段AB上时， 求y关于x的函数解析式，并写出函数的自变量的取值范围 由比例线段产生的函数关系问题第一步 标注之后探求思路由比例线段产生的函数关系问题确定三角形的底构造三角形的高第二步 顺势而为由比例线段产生的函数关系问题第三步 自变量的取值范围怎么办？由比例线段产生的函数关系问题Q是P的从动点！第三步 自变

6、量的取值范围怎么办？由比例线段产生的函数关系问题Q是P的从动点，PQPC点Q在线段AB上时， 求y关于x的函数解析式，并写出函数的自变量的取值范围 自变量的取值范围小结由比例线段产生的函数关系问题点Q在线段AB上时， 求y关于x的函数解析式，并写出函数的自变量的取值范围求函数解析式，思路是顺畅的，方法是明显的，计算是简单的！求函数解析式，底构造高，先求高的比，结果是一次函数！小结由比例线段产生的函数关系问题点Q在线段AB上时， 求y关于x的函数解析式，并写出函数的自变量的取值范围写自变量的取值范围哪能直接写出来啊！先明确PQPC，再画图、计算，后集结、反思！自我感觉致死： Q在线段AB上概念错

7、误悔死： Q在线段AB上0 x209松江25当点F在线段CD的延长线上时，设BPx，DFy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的自变量的取值范围 由比例线段产生的函数关系问题原题无此图如果点P在BC边上移动点P与点B、C不重合，且满足EPFC，PF交直线CD于点F，交直线AD于点M， 原题求证相似当点F在线段CD的延长线上时，设BPx，DFy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的自变量的取值范围 由比例线段产生的函数关系问题x =2分类的依据x 2不是研究对象！x 2此图难画啊！第一步 画示意图二选一当点F在线段CD的延长线上时，设BPx，DFy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的自变量的取

8、值范围 由比例线段产生的函数关系问题原题求证相似第二步 迁移求解函数关系式如果相似问题解决由比例线段产生的函数关系问题第三步 迁移求解函数定义域如果点P在BC边上移动点P与点B、C不重合，且满足EPFC，PF交直线CD于点F，交直线AD于点M. 由比例线段产生的函数关系问题起步就错了！由比例线段产生的函数关系问题第一步画示意图时，二选一是经验错误！x =2不是分类的依据！x 2不是研究对象！x 2？！原题求证相似由比例线段产生的函数关系问题第一步画示意图时，二选一是经验错误！原题求证相似如果相似把2换为x由比例线段产生的函数关系问题第一步画示意图时，应该是这样的！写自变量的取值范围 ，哪能轻易

9、写对啊！这是挑战总分值的决定性的1分！由比例线段产生的函数关系问题如果1B C，那么EBPPCD.小结典型题等底角问题典型性在于证明23是三因一果因为EPC1 3， EPCB 2， 1 B，所以3 2.由比例线段产生的函数关系问题如果1B C，那么ABPPCF.小结典型题等底角问题动点P由比例线段产生的函数关系问题小结典型题等底角问题如果1B C，那么EBPPCF.动点E由比例线段产生的函数关系问题小结典型题等底角问题如果P是BC的中点，1B C，那么EBPPCF EPF.动点E09义乌23设APx，EF2y，当点E在AD上，点F在BC上时，写出y关于x的函数解析式 由比例线段产生的函数关系问

10、题点P翻折到点P，折痕为EF 原题无此图设APx，EF2y由比例线段产生的函数关系问题第一步 自然而然地联想，构造辅助线EF2勾股定理构造直角三角形设APx，EF2y由比例线段产生的函数关系问题第二步 探索前进相似三角形小结典型题横平竖直构造直角三角形由比例线段产生的函数关系问题在平面直角坐标系中，在矩形、正方形、直角梯形中，在直角三角形中，在图形割补中，常常用到横平竖直的方法构造辅助线！先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后根据题意取舍面积的存在性问题解题策略先假设存在，再列方程求解，后根据方程的解验证假设常见类型1常见类型2几何法代数法几何法与代数法相结合又好又快确定目标准确定位面积的存

11、在性问题解题策略面积的存在性问题解题策略08长春25当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两局部的面积比为1:4时，求点C的坐标. 点C在抛物线上滑动面积的存在性问题解题策略第一步确定分类标准按照矩形被x轴分成两局部的面积比为1:4，分为两种情况：面积的存在性问题解题策略第二步 计算面积的存在性问题解题策略面积的存在性问题解题策略第二步 计算面积的存在性问题解题策略面积的存在性问题解题策略小结 思想指导行动！分类讨论思想数形结合思想方程思想面积的存在性问题解题策略08河北26如果QK平分矩形CDEF的面积，求t. 射线QKAB三边中点D、E、F动点Q: BA, v4, tRtABC中，三边长30

12、，40，50面积的存在性问题解题策略经典回忆 DF是ABC的中位线, DF=25平分矩形CDEF面积的直线，一定经过DF的中点M. 面积的存在性问题解题策略问题解决 求出B、M之间的水平距离， v4 ，就可以求出t. 面积的存在性问题解题策略小结一个运动，串联了三个经典 三角形的中位线定理矩形是中心对称图形直角梯形添加辅助线的一般策略 面积的存在性问题解题策略在x轴上方的抛物线上求点Q的坐标，使得三角形QOB的面积等于矩形ABOC的面积 08奉贤24面积的存在性问题解题策略经典回忆 三角形的面积底OB高QH2长方形的面积长OB宽CO面积的存在性问题解题策略问题解决 如果三角形QOB的面积等于矩

13、形ABOC的面积，那么QH2AB ，因此yQ2yA 4 面积的存在性问题解题策略问题解决 由yQ2yA 4 面积的存在性问题解题策略问题解决 面积的存在性问题解题策略小结 有更简单的方法吗？说理计算面积的存在性问题解题策略09兰州29当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标 面积的存在性问题解题策略问题一 三角形OPQ的底OQ可以表示为1+t那么高PH如何用t表示？面积的存在性问题解题策略问题二 怎样求三角形OPQ面积的最大值？0t10 面积的存在性问题解题策略问题三 面积最大时，求点P的坐标三部曲：先罗列两要素：R，d；再分类列方程；后解方程、检验一般情况下，这个类型题无法先画出比

14、较准确的示意图由面积公式产生的函数关系问题09青浦25点P不与A、B重合 由面积公式产生的函数关系问题设APE的面积为y，求出y关于t的函数解析式，并写出函数的自变量的取值范围 第一步 读懂题目，分类画图由面积公式产生的函数关系问题第二步 确定方法，寻找矛盾构造高EN由面积公式产生的函数关系问题确定底AP怎样求EN第三步 分类解决矛盾求EN由面积公式产生的函数关系问题相似三角形对应高的比等于对应边的比第三步 分类解决矛盾求EN由面积公式产生的函数关系问题相似三角形对应高的比等于对应边的比第四步 分类整理变形由面积公式产生的函数关系问题第五步 自变量取值范围没有悬念由面积公式产生的函数关系问题点

15、P不与A、B重合 小结思想方法技巧由面积公式产生的函数关系问题分类讨论思想对应高的比等于对应边比画图，磨刀不误砍柴工第(2)(4)两个临界图不必画出来，但要心中有数09北京24P为射线CD上任意一点P不与C重合，连结EP，将线段EP绕点E逆时针旋转90得到线段EG. 由面积公式产生的函数关系问题设CP的长为x，PFG的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 第一步 解读背景图由面积公式产生的函数关系问题第二步 按题意分类画图由面积公式产生的函数关系问题如果你的图形很标准，那么直觉四边形CEFH是正方形. 如果你知道旋转的性质，那么四边形CEFH是正方形. 否那么，你会一筹

16、莫展！ 第三步 解决矛盾由面积公式产生的函数关系问题第四步 分类整理变形由面积公式产生的函数关系问题第五步 定义域的临界点是H由面积公式产生的函数关系问题P为射线CD上任意一点P不与C重合x的取值范围是0 x4.小结由面积公式产生的函数关系问题典型题赋予了新环境09广东22由面积公式产生的函数关系问题设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大值 由面积公式产生的函数关系问题第一步 确定方法，寻找矛盾用x表示DN割补由面积公式产生的函数关系问题第二步 解决矛盾相似三角形第三步 整理变形由面积公式产生的函数关系问题第四步

17、配方由面积公式产生的函数关系问题因此，当x2时，y取最大值，最大值为10 小结由面积公式产生的函数关系问题根本没有障碍，只需计算细心。步步为赢！CNDNSADNy=SABCN 如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？NMQPEDCBA解：设正方形PQMN是符合要求的ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。因为PNBC，所以APN ABC所以AEAD=PNBC因此 ，得 x=48（毫米）。答：-。80 x80=x12009日照23由面

18、积公式产生的函数关系问题该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗阴影局部均不通风，MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆 请你探究EMN的面积S平方米有无最大值，假设有，请求出这个最大值；假设没有，请说明理由 设MN与AB之间的距离为x米，试将EMN的面积S平方米表示成关于x的函数； 由面积公式产生的函数关系问题第一步 解读背景图由面积公式产生的函数关系问题第一步 分类画图，寻找矛盾设EF为x，EMN的面积为S用x表示MN MN为定值2由面积公式产生的函数关系问题第二步 分类

19、解决矛盾MN为定值2设EF为x，EMN的面积为S第三步 分类整理变形由面积公式产生的函数关系问题MN为定值2第四步 写自变量的取值范围由面积公式产生的函数关系问题0 x1第五步 求S的最大值由面积公式产生的函数关系问题S的最大值为10 x1小结求函数解析式，分类是明显的，思路是清晰的，计算不很麻烦！写函数自变量取值范围，一目了然！由面积公式产生的函数关系问题求函数最大值，放弃也是一种选择！S的最大值为10 x109温州24由面积公式产生的函数关系问题设四边形AEFD的面积为S，求S关于t的函数关系式 由面积公式产生的函数关系问题第一步 解读背景图数据的特殊性由面积公式产生的函数关系问题第二步

20、确定割补方法，突破矛盾由面积公式产生的函数关系问题第三步 解决问题由面积公式产生的函数关系问题小结 如果这样割补？两个阴影三角形是等高的，底的和式定值！由面积公式产生的函数关系问题小结 如果这样割补？小结由面积公式产生的函数关系问题关键是认识两个阴影三角形是等高的思路决定出路！关键是求公共底边DE的长几何法三部曲：先分类；再画图；后计算代数法三部曲：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验几何法与代数法相结合相似三角形的存在性问题解题策略几何法代数法几何法与代数法相结合又好又快确定目标准确定位相似三角形的存在性问题解题策略相似三角形的存在性问题解题策略三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算0

21、8上海25AB2，AD4，DAB90，AD/BC 连结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与BME相似，求线段BE的长 M是DE的中点，BE x第一步 寻找分类标准画阴影三角形相似三角形的存在性问题解题策略AND与BME中，唯一确定的角是ADN ADNDBEMBE 分两种情况：ADNBME ADNBEM三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算第二步 比比画画不求准确，但求思路相似三角形的存在性问题解题策略ADNBEMADNBME三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算第三步 计算具体问题具体分析相似三角形的存在性问题解题策略当ADNBME又ADNDBE所以BMEDBE因此BM

22、EDBE三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算第三步 计算具体问题具体分析相似三角形的存在性问题解题策略当ADNBME用x表示ED2？第三步 计算具体问题具体分析相似三角形的存在性问题解题策略当ADNBEM又ADNDBE所以BEMDBE因此DBE是等腰三角形于是BE2AD=8三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算小结步步有障碍相似三角形的存在性问题解题策略先找分类标准；再画示意图；后计算标准不容易确定示意图不容易画准确；两种情况的计算各有特点相似三角形的存在性问题解题策略三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算09卢湾24点P在抛物线的对称轴上，如果ABP与ABC相似，求所有满足条件的P点

23、坐标 (3,3)直线x=3与抛物线交于B，与直线OA相交于C 第一步 寻找分类标准画阴影三角形相似三角形的存在性问题解题策略ABC与ABP中，保持不变的是ABC= BAP 分两种情况：三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算第二步 无须画图罗列线段的长相似三角形的存在性问题解题策略三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算(3,3)第三步 计算具体问题具体分析相似三角形的存在性问题解题策略三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算第三步 计算具体问题具体分析相似三角形的存在性问题解题策略三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算小结 夹角相等，两边对应成比例相似三角形的存在性问题解题策略三部曲：先找

24、分类标准；再画示意图；后计算相似三角形的存在性问题解题策略三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算09闸北25当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使ABC与DEF相似？假设存在，请求出线段BF的长；假设不存在，请说明理由 AB=BC=5，AC=3，DE /BC 第一步 寻找分类标准相似三角形的存在性问题解题策略ABC是等腰三角形，那么在DEF中，DE是腰还是底边？ 三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算AB=BC=5，AC=3，DE /BC 分两种情况：DE为等腰DEF的腰 DE为等腰DEF的底边第二步 画图讲究一点技巧相似三角形的存在性问题解题策略三部曲：先找分类标准；再画示意图；后

25、计算等腰ABC与等腰ADE相似探求等腰ABC与等腰DEF相似那么DEF 与ABC、ADE相似DE为等腰DEF的腰因此DEF 与ADE相似，且有公共的腰所以DEF 与ADE全等第二步 画图讲究一点技巧相似三角形的存在性问题解题策略三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算DE为等腰DEF的底边先画等腰DEF 的顶点F再过点F画BC第三步 计算具体问题具体分析相似三角形的存在性问题解题策略三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算如果DE为等腰DEF的腰那么DE为ABC的中位线，DE=2.5相似三角形的存在性问题解题策略三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算第三步 计算具体问题具体分析如果DE为等腰

26、DEF的底边那么四边形DECF为平行四边形小结二级二次分类相似三角形的存在性问题解题策略三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算画图重要还是计算重要？想的多还是算的多？相似三角形的存在性问题解题策略三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算08嘉定24点D在x轴的正半轴上，假设以点D、C、B组成的三角形与OAB相似，试求点D的坐标 第一步 寻找分类标准相似三角形的存在性问题解题策略三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算ABC是固定不动的，点D在点C的左边还是右边？ 第一步 寻找分类标准相似三角形的存在性问题解题策略三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算分两种情况：第二步 无须画图罗列线段的长

27、相似三角形的存在性问题解题策略三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算第三步 计算上下对应，书写整齐相似三角形的存在性问题解题策略三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算相似三角形的存在性问题解题策略三部曲：先找分类标准；再画示意图；后计算分类标准： 夹角相等，两边对应成比例小结 分类讨论，数形结合数形结合： 求线段CD的长，写点D的坐标分两种情况：二、几何与代数综合题的考法归纳1、根本方式一 在图形中引入动元素题1(青岛市试题) 如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA

28、方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE若设运动时间为t（s）（0t5）解答下列问题 ：AEDQPBFC2设PEQ的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；4连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由（3）是否存在某一时刻t，使 若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由 AEDQPBFC题209江西省试题如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，过点E作EFBC交CD于点FAB=4，BC=6，B=60.1求点E到BC的距离；2点P为线段EF上的一个动点，过P作EF交BC于点M，过M作MNAB交折线ADC于点N，连结PN，设EP=x.A

29、DEBFC图1当点N在线段AD上时如图2，PMN的形状是否发生改变？假设不变，求出PMN的周长；假设改变，请说明理由；当点N在线段DC上时如图3，是否存在点P，使PMN为等腰三角形？假设存在，请求出所有满足要求的x的值；假设不存在，请说明理由. ADEBFC图4(备用)ADEBFC图5(备用)图2ADEBFCPNM图3ADEBFCPNM2、根本方式二 将图形置于坐标系内题1（09北京市试题）如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个顶点的坐标分别为A(6,0), B(6,0), C(0, )延长AC到点D，使CD= AC，过D点作DEAB交BC的延长线于点E（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；yDECBOAx11yDECBOAx11HSMTGF(3) 设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，假设P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明 yDECBOAx1