地图投影及其判别与变换

1、现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院n地图投影是地图学重要组成部分之一，是构成地地图投影是地图学重要组成部分之一，是构成地图的数学基础，在地图学中的地位是相当重要的。图的数学基础，在地图学中的地位是相当重要的。n地图投影研究的对象就是如何将地球体表面描写地图投影研究的对象就是如何将地球体表面描写到平面上，也就是研究建立地图投影的理论和方到平面上，也就是研究建立地图投影的理论和方法。法。n地图投影的产生、发展、直到现在，已有一千多地图投影的产生、发展、直到现在，已有一千多年的历史，研究的领域也相当广泛，实际上它已年的历史，研究的领域也相当广泛，实际上它已经形成了

2、一门独立的学科。经形成了一门独立的学科。 现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院n研究各种投影的变形规律是通过把投影后的研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网与地球仪上经纬线网格比较而实现经纬线网与地球仪上经纬线网格比较而实现的。地球仪是地球的真实缩小。通过比较就的。地球仪是地球的真实缩小。通过比较就会发现地球仪上的经纬网形状与投影后经纬会发现地球仪上的经纬网形状与投影后经纬网的形状是不相同的。网的形状是不相同的。n为了研究变形，首先让我们分析一下地球仪为了研究变形，首先让我们分析一下地球仪上经纬网的特点：上经纬网的特点：1.1.所有经线都是通过两极的大

3、圆且长度相等；所有经线都是通过两极的大圆且长度相等；所有纬线都是圆，圆半径由赤道向两极递减，所有纬线都是圆，圆半径由赤道向两极递减，极地成为一点。极地成为一点。2.2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。经线表示南北方向；纬线表示东西方向。3.3.经线和纬线是相互垂直的。经线和纬线是相互垂直的。4.4.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长不等，由赤道向两极递减。差相等的纬线弧长不等，由赤道向两极递减。5.5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积同一纬度带内，

4、经差相同的经纬线网格面积相等，同一经度带内，相等，同一经度带内，纬差相同的经纬线网格纬差相同的经纬线网格面积不等，面积不等，纬度越高，梯形面积越小（由低纬纬度越高，梯形面积越小（由低纬向高纬逐渐缩小）。向高纬逐渐缩小）。 现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院 地图通常是绘在平面介质上的，而地球体表面是曲面，因此制图时地图通常是绘在平面介质上的，而地球体表面是曲面，因此制图时首先需要把曲面展成平面，然而，球面是个不可展的曲面，要把球面直首先需要把曲面展成平面，然而，球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。无论是将球面沿经线切开，或是接展

5、成平面，必然要发生断裂或褶皱。无论是将球面沿经线切开，或是沿纬线切开，或是在极点结合，或是在赤道结合，他们都是有裂隙的。沿纬线切开，或是在极点结合，或是在赤道结合，他们都是有裂隙的。 3.2 3.2 地图投影的定义地图投影的定义 地球椭球体表面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物地球椭球体表面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物表示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换。表示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换。 地图投影：在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函地图投影：在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法。数关系的数学方法。 地图投影的实质：是将地球椭球面上的

6、经纬线网按照一地图投影的实质：是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上。定的数学法则转移到平面上。现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院地图投影的研究对象及任务地图投影的研究对象及任务 1、研究对象、研究对象p地球椭球面描写到地图平面上的理论、方法地球椭球面描写到地图平面上的理论、方法及应用及应用p地图投影的变形规律地图投影的变形规律p不同地图投影之间的转换不同地图投影之间的转换p图上量算等问题图上量算等问题

7、2.2.学习任务学习任务p把地球表面上的地理坐标系转化成平面坐标系把地球表面上的地理坐标系转化成平面坐标系p建立制图网建立制图网经纬线在平面上的表象经纬线在平面上的表象3.3 地图投影变形（1 1）投影变形的概念）投影变形的概念 把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可以发现变形表现在以发现变形表现在长度长度、面积面积和和角度角度三个方面。三个方面。现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院 现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院（2 2）变形椭圆）变形椭圆XmX为经线长度比；为纬线长度比YnY

8、现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院微小圆变形椭圆 该方程证明该方程证明: : 地球面上的微小圆，地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即：投影后通常会变为椭圆，即： 以以O为原点，以相交成为原点，以相交成q q角的两共轭角的两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。直径为坐标轴的椭圆方程式。代入： X2 + Y2 = 1，得得XmXYnY22221XYmn现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院特别方向：特别方向： 变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向. . 长轴方向长轴方向(长度比长度比)

9、a短轴方向短轴方向(长度比长度比) b经线方向经线方向(长度比长度比) m 纬线方向纬线方向(长度比长度比) n主主方方向向底索定律底索定律:无论采用何种转换方法，无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有一对正交方向球面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍能保持其正交线，在投影平面上仍能保持其正交关系。关系。主方向：主方向：在投影后仍保持正交的在投影后仍保持正交的一对线的方向称为主方向一对线的方向称为主方向现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院（3 3）阿波隆尼定理）阿波隆尼定理( (Apollonius):Apollonius): 椭圆内两共轭半径的平

10、方和等于其长短半径的平方和；两个共椭圆内两共轭半径的平方和等于其长短半径的平方和；两个共轭半径与它们的交角正弦的乘积等于其长短半径的乘积。轭半径与它们的交角正弦的乘积等于其长短半径的乘积。根据阿波隆尼定理有根据阿波隆尼定理有: :m2 + n2 = a2 + b2mnsinq = ab椭圆共轭直径椭圆共轭直径: :过椭圆内任一条直径过椭圆内任一条直径( (图中图中LL)LL)的平行弦的平行弦中点的轨迹中点的轨迹( (图中图中KK)KK)。KKLOabmnL1 1）单个变形椭圆可以用来表示某一点上的各种变形）单个变形椭圆可以用来表示某一点上的各种变形2 2）扁平程度反映角度变形的大小扁平程度反映

11、角度变形的大小3 3）一组变形椭圆能揭示全制图区域变形规律）一组变形椭圆能揭示全制图区域变形规律 3.4 3.4 地图比例尺地图比例尺 1.1.含义含义 比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线段长度比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线段长度之比。即比例尺之比。即比例尺= =图上距离图上距离/ /实地距离实地距离 可表达为（可表达为（d d为图上距离，为图上距离，D D为实地距离）为实地距离） 1dDM根据地图投影变形情况，比例尺分为：根据地图投影变形情况，比例尺分为：主比例尺主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。局部比例尺：局部比例尺：

12、 在投影面上有变形处的比例尺。在投影面上有变形处的比例尺。2. 2. 比例尺的表示比例尺的表示 数字式比例尺数字式比例尺 如如 1:10000 1:10000 文字式比例尺文字式比例尺 如如 百万分之一百万分之一 图解式比例尺图解式比例尺 直线比例尺直线比例尺 斜分比例尺斜分比例尺 复式比例尺复式比例尺 特殊比例尺特殊比例尺 变比例尺变比例尺 无级别比例尺无级别比例尺现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院 扁平程度反映角度变形的大小 建立地球椭球面上经纬线网和平面上建立地球椭球面上经纬线网和平

13、面上相应经纬线网的数学基础，也就是建立地相应经纬线网的数学基础，也就是建立地球椭球面上的点的地理坐标（球椭球面上的点的地理坐标（，）与平）与平面上对应点的平面坐标（面上对应点的平面坐标（x，y）之间的函）之间的函数关系：数关系： 当给定不同的具体条件时，将得到不当给定不同的具体条件时，将得到不同类型的投影方式。同类型的投影方式。 ),(),(21fyfx),(),(21fyfx 3.5 3.5 投影变形的相关概念投影变形的相关概念 （1 1) )长度比和长度变形：长度比和长度变形： 长度比长度比( (m m):):设投影面上一微小线段为设投影面上一微小线段为d dS S（变形椭圆半径），（变形

14、椭圆半径），球面上相应微小线段为球面上相应微小线段为d dS S之比。则其长度比公式为：之比。则其长度比公式为：现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院d dssm1Vmm 0 变大= 0 不变 0 变大= 0 不变 0 变大= 0 不变1，m 1经纬线形状：经线是一组间隔相等经纬线形状：经线是一组间隔相等的平行直线；纬线是与的平行直线；纬线是与经线垂直的一组平行线，经线垂直的一组平行线，且其间隔自投影中心向且其间隔自投影中心向南北两极逐渐增大。南北两极逐渐增大。sin2abab圆柱投影 正轴等角圆柱投影圆柱投影正轴等角圆柱投影投影特点：在墨卡托投影中，面积变形最

15、大 圆柱投影 正轴等角圆柱投影投影特点：在墨卡托投影上等角航线表现为直线等角航线：是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线。在地球表面上除经线和纬线以外的等角航线，都是以极点为渐近点的螺旋曲线。等角航线在墨卡托投影中表现为直线，因此对航空、航海具有重要的实际应用价值。投影特点：投影特点：在墨卡托投影中，面积变形最大。在墨卡托投影中，面积变形最大。 在纬度在纬度6060度地区，经线和纬线比都扩大了度地区，经线和纬线比都扩大了2 2倍，面积比倍，面积比P=mP=m* *n=2n=2* *2=42=4，扩扩大了大了4 4倍，愈接近两极，经纬线扩大的越多，在倍，愈接近两极，经纬线扩大的越多，在=80=8

16、0度时，经纬线都扩大了度时，经纬线都扩大了近近6 6倍，面积比扩大了倍，面积比扩大了3333倍，所以墨卡托投影在倍，所以墨卡托投影在8080度以上高纬地区通常就不度以上高纬地区通常就不绘出来了。绘出来了。 在墨卡托投影上等角航线表现为直线（在球心投影上大圆航线表现为直在墨卡托投影上等角航线表现为直线（在球心投影上大圆航线表现为直线线) )。 等角航线：就是指地球表面上与经线交角都相同的曲线，或者说是地球等角航线：就是指地球表面上与经线交角都相同的曲线，或者说是地球上两点间的一条等方位线。上两点间的一条等方位线。就是说船只要按照等角航向航行，不用改变方位角就能从起点到达终点。由就是说船只要按照等

17、角航向航行，不用改变方位角就能从起点到达终点。由于经线是收敛于两极的，所以地球表面上的等角航线是除经线和纬线以外，于经线是收敛于两极的，所以地球表面上的等角航线是除经线和纬线以外，以极点为渐近点的螺旋曲线。因墨卡托投影是等角投影，而且经线投影为平以极点为渐近点的螺旋曲线。因墨卡托投影是等角投影，而且经线投影为平行直线，那么两点间的那条等方位螺旋线在投影中只能是连接该两点的一条行直线，那么两点间的那条等方位螺旋线在投影中只能是连接该两点的一条直线。直线。 大圆航线：地球面上两点间最短距离是通过两点间的大圆弧，也称为大大圆航线：地球面上两点间最短距离是通过两点间的大圆弧，也称为大圆航线。圆航线。

18、大圆航线：在球心投影图上两点间的连线即为大圆航线。见课本大圆航线：在球心投影图上两点间的连线即为大圆航线。见课本P73.P73. 等角航线在墨卡托投影图等角航线在墨卡托投影图上表现为直线，这一点对于航上表现为直线，这一点对于航海航空具有重要意义。因为有海航空具有重要意义。因为有这个特征，航行时，在墨卡托这个特征，航行时，在墨卡托投影图上只要将出发地和目的投影图上只要将出发地和目的地连一直线，用量角器测出直地连一直线，用量角器测出直线与经线的夹角，船上的航海线与经线的夹角，船上的航海罗盘按照这个角度指示船只航罗盘按照这个角度指示船只航行，就能达到目的地。行，就能达到目的地。 但是等角航线不是地球

19、上两但是等角航线不是地球上两点间的最短距离，地球上两点点间的最短距离，地球上两点间的最短距离是通过两点的大间的最短距离是通过两点的大圆弧，（又称大圆航线或正航圆弧，（又称大圆航线或正航线）。大圆航线与各经线的夹线）。大圆航线与各经线的夹角是不等的，因此它在墨卡托角是不等的，因此它在墨卡托投影图上为曲线。投影图上为曲线。 用途及意义：用途及意义： 远航时，完全沿着等角航线航行，走的是一条较远路线，远航时，完全沿着等角航线航行，走的是一条较远路线，是不经济的，但船只不必时常改变方向，大圆航线是一条最是不经济的，但船只不必时常改变方向，大圆航线是一条最近的路线，但船只航行时要不断改变方向，如从非洲的

20、好望近的路线，但船只航行时要不断改变方向，如从非洲的好望角到澳大利亚的墨尔本，沿等角航线航行，航程是角到澳大利亚的墨尔本，沿等角航线航行，航程是60206020海里，海里，沿大圆航线航行沿大圆航线航行54505450海里，二者相差海里，二者相差570570海里（约海里（约10001000公公里）。里）。 实际上在远洋航行时，一般把大圆航线展绘到墨卡托投实际上在远洋航行时，一般把大圆航线展绘到墨卡托投影的海图上，然后把大圆航线分成几段，每一段连成直线，影的海图上，然后把大圆航线分成几段，每一段连成直线，就是等角航线。船只航行时，总的情况来说，大致是沿大圆就是等角航线。船只航行时，总的情况来说，大

21、致是沿大圆航线航行。因而走的是一条较近路线，但就每一段来说，走航线航行。因而走的是一条较近路线，但就每一段来说，走的又是等角航线，不用随时改变航向，从而领航十分方便。的又是等角航线，不用随时改变航向，从而领航十分方便。圆柱投影正轴等角圆柱投影等角航线虽利于航行，但却不是两点间的最短距离，球面上两点间的最短距离是过两点的大圆弧，称为大圆航线或正航线。大圆航线虽在球心投影中被投影为直线，但因其与各经线的夹角不相等，故在墨卡托投影中被投影成曲线。墨卡托投影绘大圆航线，可先在球心投影中确定大圆航线并求出其与各经线的交角再转到墨卡托投影中以圆滑曲线连接之。圆柱投影 正轴等距与等积圆柱投影1m1，11m，

22、nP 圆柱投影之二圆柱投影之二高斯高斯- -克吕格投影（等角横切椭圆柱投克吕格投影（等角横切椭圆柱投影）影） 1.1.定义：定义： 以椭圆柱为投影面，使地球椭球体的某一经线与椭圆柱以椭圆柱为投影面，使地球椭球体的某一经线与椭圆柱相切，然后按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地相切，然后按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。 由德国数学由德国数学家、天文学家高斯（家、天文学家高斯（C.F. GaussC.F. Gauss，1777177718551855）及大地测量及大地测量学家克吕格（学家克吕格（J. Kr

23、J. Krgerger，1857185719231923）共同创建。共同创建。2.2.经纬线形式：经纬线形式： 中央经线为直线，其他经线是对称于中央经线的曲线，中中央经线为直线，其他经线是对称于中央经线的曲线，中央纬线为直线，其他纬线是对称于中央纬线的曲线。央纬线为直线，其他纬线是对称于中央纬线的曲线。 在中央经线上纬线间隔相等，在赤道上经线间隔自投影中在中央经线上纬线间隔相等，在赤道上经线间隔自投影中心向东、向西逐渐增大。心向东、向西逐渐增大。3.3.变形分布规律：变形分布规律： 此投影无角度变形，中央经线无长度变形，其他经线长度此投影无角度变形，中央经线无长度变形，其他经线长度比大于比大于

24、1 1。中央经线附近变形小，向东、向西方向变形逐渐。中央经线附近变形小，向东、向西方向变形逐渐增大。长度、面积变形均不大，其中长度变形增大。长度、面积变形均不大，其中长度变形 0.14% 0.14%，面，面积变形积变形 0.27% 0.27% 为保证精度，采用分带投影方法：按经差为保证精度，采用分带投影方法：按经差 6 6或或 3 3进行进行分带。分带。 我国规定我国规定12.512.5万、万、1515万、万、110110万、万、125125万、万、150150万万采用采用6 6分带投影，从分带投影，从0 0子午线起，自西向东每隔经差子午线起，自西向东每隔经差6 6分成分成一带，全球共一带，全

25、球共6060带。（带。（1313- -2323） 我国规定我国规定1111万万采用采用3 3分带投影，从分带投影，从E1E13030子午线起，子午线起，每隔经差每隔经差3 3分成一带，全球共分成一带，全球共120120带。（带。（2525- -4545）yA = 245 863.7 myB = - 168 474.8 myA通通 = 20 745 863.7 myB通通 = 20 331 525.2 m圆柱投影之三圆柱投影之三通用横轴墨卡托投影通用横轴墨卡托投影(UTM(UTM投影投影) ) 以横轴椭圆柱面割于地球椭球体的两条等高圈，以横轴椭圆柱面割于地球椭球体的两条等高圈，按等角条件，将中央

26、经线两侧各一定范围内的地区按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。又称投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。又称Universal Transverse MercatorUniversal Transverse Mercator UTM UTM 投影。投影。 此投影无角度变形，此投影无角度变形，中央经线长度比为中央经线长度比为0.99960.9996，距中央经线，距中央经线约约180180kmkm处的两条处的两条割线上无变形。亦采割线上无变形。亦采用分带投影方法：经用分带投影方法：经差差6 6或或3 3分带。长分带。长度变形度变形 0.04% 0.04

27、%圆锥投影圆锥投影一、圆锥投影的概念和种类一、圆锥投影的概念和种类 1.1.概念：概念： 圆锥投影：是假定以圆锥面作为投影面，使圆锥面和地球体相切或圆锥投影：是假定以圆锥面作为投影面，使圆锥面和地球体相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后把圆锥面沿一条母线剪相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后把圆锥面沿一条母线剪开展为平面而成。（当圆锥面与地球相切时，称为切圆锥投影，当圆锥开展为平面而成。（当圆锥面与地球相切时，称为切圆锥投影，当圆锥面与地球相割时，称为割圆锥投影。）面与地球相割时，称为割圆锥投影。） 2.2.种类：种类： 按圆锥面与地球相对位置的不同，可分正轴、横轴、斜轴圆锥

28、投按圆锥面与地球相对位置的不同，可分正轴、横轴、斜轴圆锥投影，影， 但横轴、斜轴圆锥投影实际上很少应用。所以凡在地图上注明是圆但横轴、斜轴圆锥投影实际上很少应用。所以凡在地图上注明是圆锥投影的，一般都是正轴圆锥投影。锥投影的，一般都是正轴圆锥投影。 按标准纬线分为切圆锥投影和割圆锥投影按标准纬线分为切圆锥投影和割圆锥投影 切圆锥投影，视点在球心，纬线投影到圆锥面上仍是圆，不同的纬线投影为不切圆锥投影，视点在球心，纬线投影到圆锥面上仍是圆，不同的纬线投影为不同的圆，这些圆是互相平行的，经线投影为相交于圆锥顶点的一束直线，如果将圆同的圆，这些圆是互相平行的，经线投影为相交于圆锥顶点的一束直线，如果

29、将圆锥沿一条母线剪开展为平面，则呈扇形，其顶角小于锥沿一条母线剪开展为平面，则呈扇形，其顶角小于360360度。度。 在平面上纬线不再是圆，而是以圆锥顶点为圆心的同心圆弧，经线成为由圆锥在平面上纬线不再是圆，而是以圆锥顶点为圆心的同心圆弧，经线成为由圆锥顶点向外放射的直线束，经线间的夹角与相应的经差成正比，但比经差小。顶点向外放射的直线束，经线间的夹角与相应的经差成正比，但比经差小。 在切圆锥投影上，圆锥面与球面相切的一条纬线投影后是不变形的线。叫做标在切圆锥投影上，圆锥面与球面相切的一条纬线投影后是不变形的线。叫做标准纬线。它符合主比例尺，这条纬线通常位于制图区域的中间部位。从切线向南向准纬

30、线。它符合主比例尺，这条纬线通常位于制图区域的中间部位。从切线向南向北，变形逐渐增大。北，变形逐渐增大。 在割圆锥投影上，两条纬线投影后没有变形，是双标准纬线，两在割圆锥投影上，两条纬线投影后没有变形，是双标准纬线，两条割线符合主比例尺，离开这两条标准纬线向外投影变形逐渐增大，条割线符合主比例尺，离开这两条标准纬线向外投影变形逐渐增大，离开这两条标准纬线向里投影变形逐渐减小，凡是距标准纬线相等距离开这两条标准纬线向里投影变形逐渐减小，凡是距标准纬线相等距离的地方，变形数量相等，因此圆锥投影上等变形线与纬线平行。离的地方，变形数量相等，因此圆锥投影上等变形线与纬线平行。圆锥投影按变形性质分为等角

31、、等积和等距圆锥投影三种圆锥投影按变形性质分为等角、等积和等距圆锥投影三种.二、等角圆锥投影二、等角圆锥投影 投影条件：投影条件：w=0 w=0 或或 m = n m = n 投影面投影面圆锥面圆锥面 1. 1.等角切圆锥投影等角切圆锥投影 即相切纬线（标准纬线）没有变形，长度比为即相切纬线（标准纬线）没有变形，长度比为1 1。其他纬。其他纬线投影后为扩大的同心圆弧并且离开标准纬线越远，这种扩线投影后为扩大的同心圆弧并且离开标准纬线越远，这种扩大的变形程度也就越大，标准线以北变形增加的要比以南快大的变形程度也就越大，标准线以北变形增加的要比以南快些。经线为过纬线圆心的一束直线。由于些。经线为过

32、纬线圆心的一束直线。由于m=nm=n所以在纬线方向所以在纬线方向上扩大多少，就在经线上扩大多少。这样才能使经纬线方向上扩大多少，就在经线上扩大多少。这样才能使经纬线方向上的长度比相等。所以在等角圆锥投影上纬线间隔从标准纬上的长度比相等。所以在等角圆锥投影上纬线间隔从标准纬线向南向北是逐渐增大的。线向南向北是逐渐增大的。2.2.等角割圆锥投影等角割圆锥投影 n n1 1=1 n=1 n2 2=1 =1 在在1 1、2 2 之间：之间：n n 1 1，m 1 m 1 1，m 1m 1 即相割的两条纬线为标准纬线，其长度比为即相割的两条纬线为标准纬线，其长度比为1 1，没有变形。两条标准纬，没有变形

33、。两条标准纬线之间纬线长度线之间纬线长度比小于比小于1 1，即投影后的纬线长比圆面上相应纬线缩短了，便形成，即投影后的纬线长比圆面上相应纬线缩短了，便形成离开标准纬线向里成负的方向增大。两条标准纬线之外，纬线长度比大于离开标准纬线向里成负的方向增大。两条标准纬线之外，纬线长度比大于1 1，即离，即离开标准纬线长度变形逐渐增大。经线的变形长度也是如此。所以在等角割圆锥投影开标准纬线长度变形逐渐增大。经线的变形长度也是如此。所以在等角割圆锥投影上从两条标准纬线向外，纬线间距是逐渐增大的。从两条标准纬线逐渐向里，纬线上从两条标准纬线向外，纬线间距是逐渐增大的。从两条标准纬线逐渐向里，纬线距离是缩小的

34、。等角圆锥投影面积变形大距离是缩小的。等角圆锥投影面积变形大. . 双标准纬线等角圆锥投影，广泛应用于中纬度地区的分国地图和地区图。双标准纬线等角圆锥投影，广泛应用于中纬度地区的分国地图和地区图。例如例如“中国地图集中国地图集”各分省图就是用的这种投影。各分省图就是用的这种投影。“世界地图集世界地图集”大部分分国地图大部分分国地图采用该投影。世界上有些国家如法国、比利时、西班牙也都采用此投影作为地形图采用该投影。世界上有些国家如法国、比利时、西班牙也都采用此投影作为地形图的数学基础。此外西方国家出版的许多挂图和地图集中已广泛采用等角圆锥投影。的数学基础。此外西方国家出版的许多挂图和地图集中已广

35、泛采用等角圆锥投影。 相割纬线：相割纬线：1 = 25 ； 2 = 45 三、等积圆锥投影三、等积圆锥投影 等积投影条件：等积投影条件：p=1 p=1 或或 mn=1 mn=1 投影面投影面圆锥面圆锥面1.等积切圆锥投影等积切圆锥投影 n n0 0=1 =1 其它其它n 1n 1 即相切的纬线没有变形，其长度比为即相切的纬线没有变形，其长度比为1 1，其他纬线投影后，其他纬线投影后均扩大并且离开标准纬线越远，这种变形也就越大。所以投影均扩大并且离开标准纬线越远，这种变形也就越大。所以投影后要保持面积相等，在纬线方向上变形扩大多少倍，那么在经后要保持面积相等，在纬线方向上变形扩大多少倍，那么在经

36、线方向上就得缩小多少倍。所以在等积切圆锥投影图上，纬线线方向上就得缩小多少倍。所以在等积切圆锥投影图上，纬线间隔从标准纬线向南向北是逐渐缩小的。间隔从标准纬线向南向北是逐渐缩小的。 等积圆锥投影常用以编制行政区划图，人口密度图。及社会经济地图或等积圆锥投影常用以编制行政区划图，人口密度图。及社会经济地图或自然图。当制图区域所跨纬度较大时，常采用双标准纬线等积圆锥投影。自然图。当制图区域所跨纬度较大时，常采用双标准纬线等积圆锥投影。2.2.等积割圆锥投影等积割圆锥投影n n1 1=1 n=1 n2 2=1 =1 在在1 1、2 2 之间：之间：n n 1 1 m 1 在在1 1、2 2 之外：之

37、外：n n 1 1，m m 1n 1 从标准纬线向南向北纬线长度比大于从标准纬线向南向北纬线长度比大于1 1，离开标准纬线越远纬线长度变，离开标准纬线越远纬线长度变形、面积变形、角度变形也越大。形、面积变形、角度变形也越大。 2 2. .等距割圆锥投影等距割圆锥投影 n n1 1=1 n=1 n2 2=1 =1 在在1 1、2 2 之间：之间：n n 1 1，m 1 m 1 1，m 1m 1 两条标准纬线内纬线长度比小于两条标准纬线内纬线长度比小于1 1，面积变形向负方向增大，两条标准，面积变形向负方向增大，两条标准纬线之外，纬线长度比大于纬线之外，纬线长度比大于1 1，面积变形向正方向增加。

38、角度变形离标准线，面积变形向正方向增加。角度变形离标准线越远变形越大。等距圆锥投影，在面积变形方面比等角圆锥投影要小，在角越远变形越大。等距圆锥投影，在面积变形方面比等角圆锥投影要小，在角度变形上比等积圆锥投影要小，这种投影图上最明显的特点是：纬线间隔相度变形上比等积圆锥投影要小，这种投影图上最明显的特点是：纬线间隔相等。这种投影变形均匀常用于编制各种教学用图和中国大陆交通图等。这种投影变形均匀常用于编制各种教学用图和中国大陆交通图。 8 8 其它投影其它投影8.1 8.1 多圆锥投影多圆锥投影1 1 概念概念 在切圆锥投影中，离开标准纬线越远，变形越大。如果在切圆锥投影中，离开标准纬线越远，

39、变形越大。如果制图区域包含纬差较大时，则在边远部分会产生相当大的变制图区域包含纬差较大时，则在边远部分会产生相当大的变形，因此采用双标准纬线圆锥投影比单标准纬线圆锥投影变形，因此采用双标准纬线圆锥投影比单标准纬线圆锥投影变形要小些。如果有更多的标准纬线则变形会更小些，多圆锥形要小些。如果有更多的标准纬线则变形会更小些，多圆锥投影就是由这样的设想建立的。投影就是由这样的设想建立的。 假设有许多圆锥与球假设有许多圆锥与球面上的纬线相切，将球面面上的纬线相切，将球面上的经纬线投影到这些圆上的经纬线投影到这些圆锥面上，然后沿同一母线锥面上，然后沿同一母线方向将圆锥面剪开展平，方向将圆锥面剪开展平，并在

40、中央经线上排接起来并在中央经线上排接起来就得到了所谓多圆锥投影。就得到了所谓多圆锥投影。 在多圆锥投影中，由于圆在多圆锥投影中，由于圆锥顶点不是一个，所以纬锥顶点不是一个，所以纬线投影为线投影为同轴圆弧同轴圆弧。圆心。圆心在中央经线上，中央经线在中央经线上，中央经线投影为直线。其他经线投投影为直线。其他经线投影为对称中央经线的曲线。影为对称中央经线的曲线。 由于多圆锥投影的经纬线系弯曲的曲线，具有良好的球形感，所由于多圆锥投影的经纬线系弯曲的曲线，具有良好的球形感，所以它经常用于编制世界地图。以它经常用于编制世界地图。 2.2.普通多圆锥投影普通多圆锥投影投影条件：投影条件： m m0 0=1

41、 =1 其它其它 m 1 n = 1 m 1 n = 1 经纬线形式：经纬线形式：中央经线为直线，其他经线是对称于中央经线的曲线，赤道为直线，其他纬中央经线为直线，其他经线是对称于中央经线的曲线，赤道为直线，其他纬线是对称于赤道的同轴圆弧。线是对称于赤道的同轴圆弧。在中央经线上纬线间隔相等，在每一条纬线上经线间隔相等。在中央经线上纬线间隔相等，在每一条纬线上经线间隔相等。普通多圆锥投影属于任意投影，中央经线是一条没有变形的线，离开中央经普通多圆锥投影属于任意投影，中央经线是一条没有变形的线，离开中央经线越远变形越大。线越远变形越大。用途：用途： 适于做南北方向延伸地区的地图。美国海岸测量局曾用

42、此投影做美国海适于做南北方向延伸地区的地图。美国海岸测量局曾用此投影做美国海岸附近地区的地图。普通多圆锥投影的另一个用途就是绘制地球仪用的图形。岸附近地区的地图。普通多圆锥投影的另一个用途就是绘制地球仪用的图形。把整个地球按一定经差分为若干带，每带中央经线都投影为直线，各带的投把整个地球按一定经差分为若干带，每带中央经线都投影为直线，各带的投影图在赤道相接，将这样的投影图贴在预制的球胎上，就是一个地球仪。影图在赤道相接，将这样的投影图贴在预制的球胎上，就是一个地球仪。3.3.等差分纬线多圆锥投影等差分纬线多圆锥投影 这个投影是由我国地图出版社于这个投影是由我国地图出版社于19631963年设计

43、的一种不等分纬线的多圆年设计的一种不等分纬线的多圆锥投影。是我国编制锥投影。是我国编制“世界地图世界地图”常用的一种投影。常用的一种投影。 投影特点：投影特点：中央经线取中央经线取E150E150，以突出我国在图幅中央的位置。，以突出我国在图幅中央的位置。全球大陆不产生目视变形，同纬度带面积变形近似相等，以利于比较我全球大陆不产生目视变形，同纬度带面积变形近似相等，以利于比较我 国与同纬度国家面积的对比。国与同纬度国家面积的对比。太平洋保持完整，利于显示我国与邻近国家的水陆联系。太平洋保持完整，利于显示我国与邻近国家的水陆联系。经纬线形式：经纬线形式： 赤道和中央纬线是互相垂直的直线，其他纬线

44、是对称于赤道的同轴圆赤道和中央纬线是互相垂直的直线，其他纬线是对称于赤道的同轴圆弧，其圆心均在中央经线上，其他经线为对称于中央经线的曲线，每一条弧，其圆心均在中央经线上，其他经线为对称于中央经线的曲线，每一条纬线上各经线间的间隔，随离中央经线距离的增大而逐渐缩小，按等差级纬线上各经线间的间隔，随离中央经线距离的增大而逐渐缩小，按等差级数递减。极点为圆弧，其长度为赤道的数递减。极点为圆弧，其长度为赤道的1/21/2。 变形分布规律：变形分布规律： 这种投影的变形性质属任这种投影的变形性质属任意投影。我国绝大部分地区的意投影。我国绝大部分地区的面积变形在面积变形在10%10%以内，面积比等以内，面

45、积比等于于1 1的等变形线自东向西横贯我的等变形线自东向西横贯我国中部，中央经线和纬线国中部，中央经线和纬线4444度度的交点处没有角度变形。我国的交点处没有角度变形。我国境内绝大部分地区的角度变形境内绝大部分地区的角度变形在在1010度以内，少数地区在度以内，少数地区在1313度度左右。变形最小地区在南北纬左右。变形最小地区在南北纬4545东西经东西经3030之间。之间。 地图出版社用这一投影编地图出版社用这一投影编制过数种比例尺的世界政区图制过数种比例尺的世界政区图和其他类型的世界地图。和其他类型的世界地图。 8.2 8.2 伪圆柱投影伪圆柱投影 伪圆柱投影是在圆柱投影经纬线形状的基础上，

46、规定其伪圆柱投影是在圆柱投影经纬线形状的基础上，规定其纬线投影的形状与圆柱投影相似即纬线为平行直线，但经线纬线投影的形状与圆柱投影相似即纬线为平行直线，但经线则不同，除中央经线为直线外，其余的经线均为对称与中央则不同，除中央经线为直线外，其余的经线均为对称与中央经线的曲线。经线的形状是任意曲线，但通常选择为正弦曲经线的曲线。经线的形状是任意曲线，但通常选择为正弦曲线或椭圆曲线。按变形性质，伪圆柱投影没有等角投影。因线或椭圆曲线。按变形性质，伪圆柱投影没有等角投影。因为投影后经纬线不正交。只有等积和任意投影两种。为投影后经纬线不正交。只有等积和任意投影两种。1.1.桑逊（桑逊（Sanson -

47、Flam steedSanson - Flam steed）投影投影它是一种经线为正弦曲线的等积伪圆柱投影。是法国人桑逊于它是一种经线为正弦曲线的等积伪圆柱投影。是法国人桑逊于16501650年所创。年所创。 投影条件：投影条件： m m0 0 = 1 = 1 其它其它 m 1 n = 1 p = 1 m 1 n = 1 p = 1 经纬线形式：经纬线形式： 纬线为间隔相等的平行线，中央经线为直线，其他经线为对称于中央经纬线为间隔相等的平行线，中央经线为直线，其他经线为对称于中央经线的正弦曲线。线的正弦曲线。 在中央经线上纬线间隔相等，在中央纬线上经线间隔相等。在中央经线上纬线间隔相等，在中央

48、纬线上经线间隔相等。 变形分布规律：变形分布规律： 所有纬线长度比均等于所有纬线长度比均等于1 1。纬线长度无变形，中央经线长度比等于。纬线长度无变形，中央经线长度比等于1 1，其，其他经线长度比均大于他经线长度比均大于1 1，而且离中央经线越远，其数值越大。赤道和中央经，而且离中央经线越远，其数值越大。赤道和中央经线是两条没有变形的线，离开这两条线越远变形越大。线是两条没有变形的线，离开这两条线越远变形越大。 用途：适合于作赤道附近南北延伸的地区地图。用途：适合于作赤道附近南北延伸的地区地图。 现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院2.2.摩尔魏特（摩尔魏特（

49、MollweideMollweide）投影投影 是一种经线为椭圆曲线的等积伪圆柱投影。由德国人摩尔魏特于是一种经线为椭圆曲线的等积伪圆柱投影。由德国人摩尔魏特于18051805年设年设计而得名。计而得名。 投影条件：投影条件： n 4044 11.8 =1 p = 1 =1 p = 1 经纬线形式：经纬线形式： 纬线为间隔不等的平行线，中央经线为直线，其他经线为对称与中央经线纬线为间隔不等的平行线，中央经线为直线，其他经线为对称与中央经线的同中心的椭圆，在离中央经线的经差正负的同中心的椭圆，在离中央经线的经差正负9090度的经线为一个圆，圆的面积等度的经线为一个圆，圆的面积等于地球面积的一半。

50、赤道长度于地球面积的一半。赤道长度= = 中央经线中央经线 2 2 在中央经线上纬线间隔从赤道向南、北方向逐渐缩小；在赤道上经线间隔在中央经线上纬线间隔从赤道向南、北方向逐渐缩小；在赤道上经线间隔相等。相等。 变形分布规律：变形分布规律：在这种投影上没有面积变形。长度和角度都有变形，赤道长度比等于在这种投影上没有面积变形。长度和角度都有变形，赤道长度比等于0.90.9，中，中央经线和南北纬央经线和南北纬4040度的两交点是没有变形的点，从这两点向外变形逐渐增大。度的两交点是没有变形的点，从这两点向外变形逐渐增大。S90 = Searth / 24044 11.8 用途：用途：常用于编制世界地图

51、及东、西半球地图常用于编制世界地图及东、西半球地图3.3.古德（古德（J.Paul GoodeJ.Paul Goode）投影投影 从伪圆柱投影的变形情况来看离中央经线越远变形越大，为了减小远从伪圆柱投影的变形情况来看离中央经线越远变形越大，为了减小远离中央经线部分的变形，美国地理学家古德于离中央经线部分的变形，美国地理学家古德于19231923年提出了一种分瓣方法，年提出了一种分瓣方法，就是在地图上几个主要制图区域的中央都定一条中央经线，将地图分为几就是在地图上几个主要制图区域的中央都定一条中央经线，将地图分为几个部分，按同一主比例尺及统一的经纬差展绘地图，然后沿赤道拼接起来，个部分，按同一主

52、比例尺及统一的经纬差展绘地图，然后沿赤道拼接起来，这样每条中央经线两侧投影范围不宽，变形就小一些。这样每条中央经线两侧投影范围不宽，变形就小一些。 投影条件：投影条件： n 4044 11.8 为接合线为接合线 p = 1p = 1 NS NS4044 11.8 之间为之间为桑逊桑逊（Sanson - Flam steed）投影，投影， NSNS4044 11.8 之外为之外为摩尔魏特（摩尔魏特（MollweideMollweide）投影投影经纬线形式：经纬线形式： 中央经线为直线，其他经线是对称于中央经线的曲线，纬线为一组平行中央经线为直线，其他经线是对称于中央经线的曲线，纬线为一组平行直线

53、。直线。投影特点：投影特点： a.a.分瓣、组合投影，分瓣、组合投影， b.b.变形减小且均匀变形减小且均匀 c.c.大陆完整，大洋割裂大陆完整，大洋割裂 d.d.大洋完整，大陆割裂大洋完整，大陆割裂 用途：常用于编制世界地图用途：常用于编制世界地图 为了保证大陆的完整性，则在为了保证大陆的完整性，则在海洋部分断裂，古德分瓣方法如下：海洋部分断裂，古德分瓣方法如下：北美洲，中央经线为西经北美洲，中央经线为西经100100度。度。南美洲中央经线为西经南美洲中央经线为西经6060度。非洲度。非洲中央经线东经中央经线东经2020度。澳大利亚中央度。澳大利亚中央经线为东经经线为东经150150度，如果

54、为了完态度，如果为了完态的表示海洋则可在大陆部分断开。的表示海洋则可在大陆部分断开。摩尔威特摩尔威特 古德投影古德投影8.3 8.3 伪圆锥投影伪圆锥投影 伪圆锥投影是对圆锥投影的经纬线形状加以改变而成的。纬线形状类伪圆锥投影是对圆锥投影的经纬线形状加以改变而成的。纬线形状类似圆锥投影为同心圆弧，圆心位于中央经线上，但经线则不同，除中央经似圆锥投影为同心圆弧，圆心位于中央经线上，但经线则不同，除中央经线为直线外，其余的经线均为对称与中央经线的曲线。按投影的变形性质，线为直线外，其余的经线均为对称与中央经线的曲线。按投影的变形性质，伪圆锥投影没有等角投影，因为这种经纬线不直交，伪圆锥投影只有等积

55、伪圆锥投影没有等角投影，因为这种经纬线不直交，伪圆锥投影只有等积投影和任意投影，最常用的是等积伪圆锥投影。投影和任意投影，最常用的是等积伪圆锥投影。等积伪圆锥投影等积伪圆锥投影又称又称彭纳彭纳投影，投影，它是由法国水利工程师彭纳于它是由法国水利工程师彭纳于19521952年首先提出并应用于法国地形图年首先提出并应用于法国地形图而得名。而得名。1.1.投影条件：投影条件： m m0 0 = 1 = 1 其它其它 m 1 n = 1 p = 1m 1 n = 1 p = 12.2.经纬线形式：经纬线形式： 中央经线为直线，其他经线为对称于中央经线的曲线，纬线为同心圆弧。中央经线为直线，其他经线为对

56、称于中央经线的曲线，纬线为同心圆弧。 在每一条纬线上的经线间隔相等，在中央经线上纬线间隔相等。在每一条纬线上的经线间隔相等，在中央经线上纬线间隔相等。现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院3.3.变形分布规律：变形分布规律： 中央经线与所有的纬线正交。中央纬线与所有的经线正交。彭纳投影中央经线与所有的纬线正交。中央纬线与所有的经线正交。彭纳投影没有面积变形，中央经线和中纬线是两条没有变形的线。离开这两条线越没有面积变形，中央经线和中纬线是两条没有变形的线。离开这两条线越远变形越大。远变形越大。4.4.用途：用于编制小比例尺的大洲图。用途：用于编制小比例尺的大洲图

57、。 第四讲 常用地图投影总结一、世界地图常用投影一、世界地图常用投影1、正轴等角切圆柱投影、正轴等角切圆柱投影等角航线：等角航线：大圆航线：大圆航线：2、桑逊投影、桑逊投影3、摩尔威特投影、摩尔威特投影4、古德投影、古德投影5、等差分纬线多圆锥投影（我国、等差分纬线多圆锥投影（我国1963年出版世界地年出版世界地图时所设计）图时所设计）6、正切差分纬线多圆锥投影（、正切差分纬线多圆锥投影（1976年出版时设计）年出版时设计）二、我国常用地图投影 1：100万：兰勃特万：兰勃特(Lambert)投影（投影（正轴等角正轴等角割圆锥投影割圆锥投影） 大部分分省图、大多数同级比例尺地图也大部分分省图、

58、大多数同级比例尺地图也采用兰勃特投影和属于同一投影系统的阿采用兰勃特投影和属于同一投影系统的阿尔勃特（尔勃特（Albert）投影）投影 (正轴等积割圆锥投影正轴等积割圆锥投影) 1：50万、万、1：25万、万、1：10万、万、1：5万、万、1：2.5万、万、1:1万、万、1：5000采用高斯采用高斯克吕克吕格投影格投影(等角横切椭圆柱投影等角横切椭圆柱投影/横轴墨卡托投影横轴墨卡托投影)（投影后角度不变、中央径经线长不变、中央径投影后角度不变、中央径经线长不变、中央径线与赤道线垂直线与赤道线垂直）1：100万：兰勃特万：兰勃特(Lambert)投影投影（正轴等角割圆锥投影）（正轴等角割圆锥投影

59、）大部分分省图、大多数同级比例尺大部分分省图、大多数同级比例尺地图也采用兰勃特投影和属于同一地图也采用兰勃特投影和属于同一投影系统的阿尔勃特（投影系统的阿尔勃特（Albert）投）投影影 (正轴等积割圆锥投影正轴等积割圆锥投影)u正轴割圆锥投影（Lambert投影） 这种投影是将一圆锥面套在地球椭球外面，将这种投影是将一圆锥面套在地球椭球外面，将地球表面上的要素投影到圆锥面上，然后将圆锥地球表面上的要素投影到圆锥面上，然后将圆锥面沿某一母线（经线）展开，即获得面沿某一母线（经线）展开，即获得Lambert投投影。影。这种投影中，经线为交于一点的这种投影中，经线为交于一点的直线束，纬线为同心圆圆

60、弧，圆直线束，纬线为同心圆圆弧，圆心即直线束的交点心即直线束的交点经线呈辐射状经线呈辐射状，为纵向直线，纬线近似于弧形，为纵向直线，纬线近似于弧形，与经线正交。，与经线正交。适用于适用于1 1：100100万（包括万（包括1 1：100100万万）以上地形图。）以上地形图。现代地图学教程 第二章 地图的数学基础 西北师范大学地理与环境科学学院正轴圆锥投影 Lambert投影（正轴等角割圆锥投影）。1 1. .正轴等角割圆锥投影正轴等角割圆锥投影 n n1 1=1 n=1 n2 2=1 =1 在在1 1、2 2 之间：之间：n n 1 1，m 1 m 1 1，m 1m 1 即相割的两条纬线为标准