理论力学第十二章

1、12 121 力的功力的功 122 质点和质点系的动能质点和质点系的动能 123 动能定理动能定理 124 功率功率 功率方程功率方程 机械效率机械效率 125 势力场势力场 势能势能 机械能守恒定理机械能守恒定理 12-6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例第十二章第十二章 动能定理动能定理3 与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量动能和作用力的物理量功之间的联系，这是一种能量传递的规律。12-1力的功力的功 力的功是力沿路程累积效应的

2、度量。力的功是力沿路程累积效应的度量。SFFSW cos力的功是代数量。时,正功；时,功为零；时,负功。单位：焦耳（）；222m1N1J1一常力的功一常力的功4二变力的功二变力的功 dsFrdF ZdzYdyXdxkdzjdyidxrdkZjYiXF,()ZdzYdyXdxrdF力在曲线路程中作功为F21MM2121cosMMMMdsFdsFW（自然形式表达式）21MMrdF（矢量式）21MMZdzYdyXdx（直角坐标表达式）dsFWcos元功元功：5三合力的功三合力的功 质点M 受n个力 作用合力为则合力的功nFFF,21 iFRRrdFFFrdRWnMMMM )(212121rdFrdF

3、rdFMMnMMMM 21212121nWWW 21 即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。iWW6四常见力的功四常见力的功 1重力的功重力的功21)(21zzzzmgmgdzW质点系：)()(2121CCiiiizzMgzzgmWW 质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。mgZYX , 0 , 0质点：重力在三轴上的投影：72弹性力的功弹性力的功弹簧原长，在弹性极限内k弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力。N/m , N/cm。0l0

4、0)(rlrkFrrr/0212100)(mMMMrdrlrkrdFWdrrdrrrdrrdrrrdr)(21)(2120200)( 2 )(2121lrdkdrlrkWrrrr022011202201, )()(2lrlrlrlrk令)( 22212 kW即弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。变形有关，而与质点运动的路径无关。8dFmrdFdsFWz)()(1221)( dFmWz作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。21mdW若m = 常量, 则)(12 mW注意：功的符号的确定。注意：功的

5、符号的确定。3万有引力的功万有引力的功)11(120rrGmmW万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。如果作用力偶，m , 且力偶的作用面垂直转轴 4作用于转动刚体上的力的功，力偶的功作用于转动刚体上的力的功，力偶的功设在绕 z 轴转动的刚体上M点作用有力，计算刚体转过一角度 时力所作的功。M点轨迹已知。FFbnFFFF90dtvrdC0dtvFrdFWC正压力，摩擦力作用于瞬心C处，而瞬心的元位移NF(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功(3) 滚动摩擦阻力偶滚动摩擦阻力偶m的功的功 5摩擦力的功摩擦力的功(1) 动滑动摩擦力的功动

6、滑动摩擦力的功2121MMMMNdsfdsFWN=常量时, W= fN S, 与质点的路径有关。RsmmW若m = 常量则10五质点系内力的功五质点系内力的功 只要只要A、B两点间距离保持不变两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零不可伸长的绳索内力功之和等于零。BArdFrdFWBArdFrdF)(BArrdF)(BAdF11六理想约束反力的功六理想约束反力的功约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束约束反力元功为零或元功之

7、和为零的约束称为理想约束。1光滑固定面约束光滑固定面约束2活动铰支座、固定铰支座和向心轴承活动铰支座、固定铰支座和向心轴承3刚体沿固定面作纯滚动刚体沿固定面作纯滚动4联接刚体的光滑铰链（中间铰）联接刚体的光滑铰链（中间铰）5柔索约束（不可伸长的绳索）柔索约束（不可伸长的绳索）拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。)( 0)(rdNrdNWNrdNrdNWN)(0rdNrdN1212-2质点和质点系的动能质点和质点系的动能 物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。 一质点的动能一质点的动能 二质点系的动能二质点系的动能 221mvT 瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与

8、功相同的量纲,单位也是J。221iivmT 对于任一质点系：（ 为第i个质点相对质心的速度）iv222121iiCvmMvT柯尼希定理132J21PT （P为速度瞬心）2JJMdCP22222J21 21)(21J21CCCvMdM22222121)(2121CiiiMvMvvmvmT2222J21)(2121ziiiirmvmT1平动刚体平动刚体2定轴转动刚体定轴转动刚体3平面运动刚体平面运动刚体三刚体的动能三刚体的动能1412-3动能定理动能定理1质点的动能定理：质点的动能定理：)21()(2)( 2mvdvvdmdtvvmdtd而Wmvd)21(2因此动能定理的微分形式动能定理的微分形式

9、将上式沿路径积分，可得21MMWmvmv21222121动能定理的积分形式动能定理的积分形式两边点乘以，有dtvrdrdFdtvvmdtdFvmdtdFam)( 15对质点系中的一质点 ：iMiiiWvmd)21(2即 质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式iWdT21MMWTT12质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的形式)(12)( ; FFWTTWdTiiiiiiWvmdWvmd)21( )21(22对整个质点系，有2质点系的动能定理质点系的动能定理将上式沿路径 积分，可得16例例1 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半

10、径均为R, 两盘中心线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)17解解：取系统为研究对象)/( )(RhQhmWF01T222221 2121BCAOIvgQIT)78(16232121221222222PQgvRgPvgQRgPBA)(12FWTT由PQhgQRMvhQRMPQgv78)/(4 )(0)78(162上式求导得：)( )(21678dtdhvdtdhQRMdtdvvgPQPQgQRMa78)/(818动能定理的应用练习题动能定理的应用练习题 1图示的均质杆OA的质量为30k

11、g，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数k =3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA，在铅直位置时的角速度至少应为多大？解解：研究OA杆)(212 . 12221)(kPWF)22 . 14 . 2(03000212 . 18 . 93022) J (4 .388, 8 .284 . 2303121202021T02T由)(12FWTTrad/s67. 3 4 .3888 .280020192行星齿轮传动机构, 放在水平面内。 动齿轮半径r ,重P, 视为均质圆盘；曲柄重Q, 长l , 作用一力偶, 矩为M(常量), 曲柄由静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角 的函数表示

12、) 和角加速度。解解：取整个系统为研究对象MWF)(01T21221222 2 2121321grPvgPgQlTrlrvlv111 , 222222221292)( 4 )(26lgPQrlgrPlgPgQlT根据动能定理，得MlgPQ0129222PQgMl9232将式对t 求导数，得2)92(6lPQgM203两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。mgmgmgWF35. 1)15. 06 . 0(29 . 02)(01T2222219 . 023121mvmTv9 . 0得

13、代入到 )(1222 65FWTTmvTm/s98. 3 35. 10652vmgmv解解：取整个系统为研究对象2112-4功率功率 功率方程功率方程 机械效率机械效率一功率一功率：力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。dtWN作用力的功率：vFvFdtrdFdtWN力矩的功率：30nMMdtdMdtWNzzz功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s 。22二功率方程二功率方程：由 的两边同除以dt 得WdT无用有用输入即NNNNdtdTdtWdtdT 分析：起动阶段（加速）：即制动阶段（减速）：即稳定阶段（匀速）：即0dtdT0dtd

14、T0dtdT无用有用输入NNN无用有用输入NNN无用有用输入NNN机器稳定运行时，机械效率0/dtdT%100输入有用NN是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下 。2312-5势力场、势能、机械能守恒定律势力场、势能、机械能守恒定律一势力场一势力场1力场力场：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。质点在势力场中受到的场力称为有势力(保守力),如重力、弹力等。2势力场势力场： 在力场中, 如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为势力场。24二势能二势能在势力场

15、中, 质点从位置M 运动到任选位置M0, 有势力所作的功称为质点在位置M 相对于位置M0的势能，用V 表示。00MMMMZdzYdyXdxrdFVM0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。势能具有相对性。dVZdzYdyXdx),(zyxVV 是坐标的单值连续函数。等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。dzzVdyyVdxxVdV , , zVZyVYxVX质点系的势能： ioiMMiiiiiinnndzZdyYdxXzyxzyxV)(),(111251.重力场重力场 质点： 质点系：2. 弹性力场弹性力场：取弹簧的自然位置为零势能点3. 万有

16、引力场万有引力场：取与引力中心相距无穷远处为零势能位置PhzzPV)(0hPzzPVCC)(0221kV )(0rrmGmV21有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。三有势力的功三有势力的功在M1位置：10101WrdFVMM20202WrdFVMMM2位置：21201012VVWWWM1M2：26设质点系只受到有势力(或同时受到不作功的非有势力) 作用，则211212VVWTT机械能守恒定律机械能守恒定律常量2211 VTVT对非保守系统，设非保守力的功为W12 , 则有121122)()(WVTVT四机械能守恒定律四机械能守恒定律机

17、械能：系统的动能与势能的代数和机械能：系统的动能与势能的代数和。这样的系统成为保守系统这样的系统成为保守系统。例例1 长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角和质心的位置表达）。27解解：由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心C铅垂下降。由于约束反力不作功, 主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。sin2 , sin2 cos12 lylyly即又由机械能守恒定律：)2(2124120222ylmgymmlmgl将代入上式，化简后得sin2ly ygy22sin31sin6mglVT2, 011初瞬时：222222212412

18、121ymmlymITC)2(2ylmgV任一瞬时：2812-6普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用 动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理。动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。 动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：一是能根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求

19、解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。 求解过程中求解过程中,要正确进行运动分析要正确进行运动分析, 提供正确的运动学补充方程。提供正确的运动学补充方程。 29举例说明动力学普遍定理的综合应用：举例说明动力学普遍定理的综合应用： 例例1 两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的速度。30讨论 动量守恒定理动能定理求解。 计算动能时，利用平面运动的运动学关系。解解：由于不求系统的内力，可以

20、不拆开。研究对象：整体分析受力：，且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。 0)(exFPhhPWF22)(01T222223123121lgPlgPT代入动能定理：ghvPhvgPCC3 03122231 CCvgPTlv31 例例2 均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。解：选系统为研究对象)cossin2( cos sin 2)(fSmgmgSfSmgWF22222121212121 0mrmvmvTT运动学关系：rv 2245mvT 由动能定理：)cossin2(0452fmgSmv对求导，得gf

21、a)cos52sin54(32例例3 重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求求系统经过最低位置B点时的速度及支座A的约束反力。解解：（：（1）取圆盘为研究对象）取圆盘为研究对象; 0)(FmB0 0BBBI00B，圆盘平动。33（2）用动能定理求速度）用动能定理求速度。 取系统研究。初始时T1=0 ， 最低位置时：22222121BAvgGIT221222163213121BBBvgGGvgGvgG)30sin)(2()30sin()30sin22(2121)(llGGllGllGWF)(12FWTT)30sin)(2(0632

22、1221llGGvgGGB代入数据，得m/s 58. 1Bv34（3）用动量矩定理求杆的角加速度）用动量矩定理求杆的角加速度 。)31(312221221lgGlgGvlgGlgGLA由于0)()(eAAFmdtdL所以 0 。杆质心杆质心 C的加速度：的加速度：盘质心加速度：盘质心加速度：)0( 22CnCCalaa)0( 2BnBBalaarad/s 58. 624. 058. 1lvB（4）由质心运动定理求支座反力。）由质心运动定理求支座反力。研究整个系统。; 021ABcixiXagGagGam代入数据，得N401 , 0AAYX2122212GGYlgGlgGamAiyi35 相对质心动量矩守恒定理相对质心动量矩守恒定理+动能定理动能定理+动量矩定理动量矩定理+质心运动定理。质心运动定理。 可用对积分形式的动能定理求导计算可用对积分形式的动能定理求导计算 ，但要注意需取杆，但要注意需取杆AB在在 一般位置进行分析一般位置进行分析。mLmvPC61)6(12122LmmLILOO291mL222181