信号频域与时域分析

1、第一章 概论与基础知识信号频域与时域分析何永琪何永琪北京大学电子学系北京大学电子学系Tel：62756700；Mobilemail：通信原理通信原理222/58通信系统基本问题n服务质量服务质量p信噪比信噪比/误码率性能误码率性能p抗干扰能力抗干扰能力p抵御抵御/补偿线性补偿线性/非线性失真能力非线性失真能力p纠错能力纠错能力n传输带宽传输带宽p带宽资源带宽资源p带宽利用率带宽利用率p色散与非线性效应的抑制能力色散与非线性效应的抑制能力n传输距离传输距离p传输损耗传输损耗p高发射功率高发射功率p高接收灵敏度高接收灵敏度n性价比性价比p系统实现复杂度系统实现复杂度p系统

2、单位比特成本系统单位比特成本通信原理主要通信原理主要研究对象研究对象322/58关于通信系统的研究n通信系统要求通信系统要求p足够的带宽足够的带宽p足够的功率足够的功率p带宽与功率资源的充分利用带宽与功率资源的充分利用n理论研究方法理论研究方法p研究信息的表达与度量研究信息的表达与度量p研究通信信号的时域和频域特征研究通信信号的时域和频域特征p研究信号与噪声的功率（能量）研究信号与噪声的功率（能量）p研究随机信号的时域和频域特征研究随机信号的时域和频域特征p研究信道的特征研究信道的特征422/58大纲n基本概念基本概念n信号频域特性信号频域特性n信号时域特性信号时域特性522/58基本概念1/

3、2n确知信号与随机信号确知信号与随机信号p确知信号：确知信号：定义：能以确定的时间函数表示的信号，在定义域内任意时刻定义：能以确定的时间函数表示的信号，在定义域内任意时刻都有确定的函数值都有确定的函数值示例：电路中的正弦信号和各种形状的周期信号示例：电路中的正弦信号和各种形状的周期信号p随机信号：随机信号：定义：不能用精确的数学关系式来描述，不能预测其未来任何定义：不能用精确的数学关系式来描述，不能预测其未来任何时刻的准确值；具有统计规律性，可用概率统计方法来描述时刻的准确值；具有统计规律性，可用概率统计方法来描述示例：半导体载流子随机运动所产生的噪声，雷达信号，所有示例：半导体载流子随机运动

4、所产生的噪声，雷达信号，所有的实际信号的实际信号n周期信号与非周期信号周期信号与非周期信号p周期信号：周期信号：p非周期信号非周期信号000000002coscos)(1)(tfttsTfTtTtsts示例：信号基频：信号周期622/58基本概念2/2n信号功率与能量信号功率与能量p信号功率：电流在单位电阻（信号功率：电流在单位电阻（1 ）上消耗的功率，即）上消耗的功率，即p信号能量：信号能量：p信号平均功率：信号平均功率：n能量信号能量信号p定义：能量为有限值的信号定义：能量为有限值的信号p推论：能量信号的平均功率为零推论：能量信号的平均功率为零p示例：数字信号中的单个码元为能量信号示例：数

5、字信号中的单个码元为能量信号n功率信号功率信号p定义：平均功率为有限值的信号定义：平均功率为有限值的信号p推论：功率信号的能量为无穷大推论：功率信号的能量为无穷大p示例：广播信号近似认为持续无限长时间，为功率信号示例：广播信号近似认为持续无限长时间，为功率信号 J)(2dttsE流波形为信号的电压波形或电其中：)(W)(22222tstsIVRIRVPdttsTPTTT222)(1lim适用于确知信号适用于确知信号/随机信号随机信号722/58大纲n基本概念基本概念n信号频域特性信号频域特性n信号时域特性信号时域特性822/58能量信号频谱密度与能量谱密度1/3n能量信号频谱密度能量信号频谱密

6、度p能量信号及其频谱：能量信号及其频谱：p能量信号频谱特点能量信号频谱特点S(f)为连续谱：能量信号能量有限，平均功率为零，频谱连续为连续谱：能量信号能量有限，平均功率为零，频谱连续分布于频率轴分布于频率轴实能量信号频谱对称性：正负频谱振幅偶对称、相位奇对称实能量信号频谱对称性：正负频谱振幅偶对称、相位奇对称 Hz/VV22dtetsfSdfefStsftjftj傅里叶变换对傅里叶变换对 *22fSfSdtetsdtetsftjftj922/58能量信号频谱密度与能量谱密度2/3n能量信号频谱密度示例能量信号频谱密度示例p单位冲激函数频谱密度单位冲激函数频谱密度p单位阶跃函数的频谱密度？单位阶

7、跃函数的频谱密度？ 1sinsinlimlim00120000dtetftfdttttfdttttftttSatktktSaktttdttftjkk函数频谱密度：函数性质：为抽样函数其中：函数：抽样函数与函数定义： tt0 波形t ff01 频谱密度t ttutttu01001022/58能量信号频谱密度与能量谱密度3/3n能量信号能量谱密度能量信号能量谱密度p能量谱定义：能量谱定义：p实能量信号能量谱密度：实能量信号能量谱密度： dffGEfSts0)(2为偶函数为实函数 dffGdffSdffSfSdtdfetsfSdfdtefStsdttsEftjftj)()()()()(2222信号能

8、量：Hz/J)()(2fSfG信号能量谱密度：1122/58功率信号频谱与功率谱密度1/4n周期性功率信号频谱周期性功率信号频谱p信号频谱信号频谱p信号频谱特点信号频谱特点频谱函数频谱函数Cn为离散值双边谱，双边谱中负频谱仅有数学意义，为离散值双边谱，双边谱中负频谱仅有数学意义，物理上不存在负频率物理上不存在负频率实信号（物理可实现）实信号（物理可实现） ：正负频谱振幅偶对称，相位奇对称：正负频谱振幅偶对称，相位奇对称 V12220020000njnTTTntjnnTntjneCdtetsTnfCCeCts周期性函数傅周期性函数傅里叶级数展开里叶级数展开 *2220222000000011nT

9、TTntjTTTntjnCdtetsTdtetsTC1222/58功率信号频谱与功率谱密度2/4n周期性功率信号频谱示例周期性功率信号频谱示例p周期性方波信号周期性方波信号n非周期性功率信号：作为思考题？非周期性功率信号：作为思考题？ 为振幅为脉冲宽度，为周期，其中：周期性条件：其它信号表达式：VTTtststVts00t- 02 nTntjTntjTTTntjneTnTVtstttSaTnTVTnnVdtetsTdtetsTC0000020000022202220sinsinsinsin 11信号：为抽样函数其中：频谱：-T0T0002T0TV实偶信号的频谱为实函数实偶信号的频谱为实函数13

10、22/58功率信号频谱与功率谱密度3/4n功率信号功率谱密度功率信号功率谱密度p功率谱密度定义：功率谱密度定义：功率信号能量无穷大，能量谱密度不存在。功率信号能量无穷大，能量谱密度不存在。功率信号功率谱密度存在，需采用功率信号的截短信号计算。功率信号功率谱密度存在，需采用功率信号的截短信号计算。 量纲？信号功率谱密度：信号功率：信号功率：信号能量：其它定义：信号的截短信号222222222222)(1lim)(1limlim)(1)(1)()( 02fSTfPtsdffPdffSTPPtsdffSTdttsTPtsdffSdttsEtsTttstststsTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

11、TTT1422/58功率信号频谱与功率谱密度4/4n功率信号功率谱密度（续）功率信号功率谱密度（续）p周期性功率信号功率：周期性功率信号功率：p周期性功率信号功率谱密度：周期性功率信号功率谱密度：dfnfffCCCCdtetsTCdteCtsTfTdttsTdttsTPnnnnnnTTTntjnTTnTntjnTTTTTT)()()(1)(1, )(1)(1lim022*2220222000222022200000000为基频为周期离散谱表式离散谱表式连续谱表式连续谱表式 0)(0其它时当其中：nffCfCn)()()(02nfffCfP1522/58大纲n基本概念基本概念n信号频域特性信号频

12、域特性n信号时域特性信号时域特性1622/58自相关函数与互相关函数n自相关函数自相关函数p数学定义：数学定义：p数学含义：数学含义：s(t)及其时延及其时延 后的相关程度后的相关程度p对称性：对称性：n互相关函数互相关函数p数学定义：数学定义：p数学含义：数学含义： s1(t)和和s2(t)时延时延 后的相关程度后的相关程度p对称性：对称性： dttstsR)()( RdxxsxsdttstsR)()()()( dttstsR)()(2112 tst0ts ts1t0ts2 21212112)()()()(RdxxsxsdttstsR1722/58能量信号自相关函数与互相关函数1/2n能量信

13、号自相关函数能量信号自相关函数p定义：定义：p信号能量：信号能量：p自相关函数与能量谱密度的关系：自相关函数与能量谱密度的关系： dttstsR)()( EdttsR)(02 dfefSRFFRfSfSfSdtetsfSdtedetstsdtdetstsdeRRFfjftjftjtfjfjfj221222222)()()()()(1822/58能量信号自相关函数与互相关函数2/2n能量信号互相关函数能量信号互相关函数p定义：定义：p互相关函数与互能量谱密度的关系：互相关函数与互能量谱密度的关系：p互能量谱密度：互能量谱密度： dttstsR)()(2112 dfefSdfefSfSRFFRfS

14、fSfSdtetsfSdtedetstsdtdetstsdeRRFfjfjftjftjtfjfjfj21222*112112122*1212222122121212)()()()()( fSfSfS2*1121922/58功率信号自相关函数与互相关函数1/2n功率信号自相关函数功率信号自相关函数p定义：定义：p信号平均功率：信号平均功率：p周期性功率信号自相关函数与功率谱密度的关系：周期性功率信号自相关函数与功率谱密度的关系： dttstsTRTTT22)()(1lim PdttsTRTTT222)(1lim0 deRRFfPdfefPdfenfffCeCCdteCtsTdttstsTRfjf

15、jnfjnTnjnnTTnTtnjnTT222022*2220220000000)(1)()(12022/58功率信号自相关函数与互相关函数2/2n功率信号互相关函数功率信号互相关函数p定义：定义：p周期性功率信号互相关函数与互功率谱密度的关系：周期性功率信号互相关函数与互功率谱密度的关系：p互功率谱密度：互功率谱密度： 对周期性功率信号dttstsTRdttstsTRTTTTT222101222211200)()(1)()(1lim dfenfffCeCeCCdtetsTeCdteCtsTdttstsTRnfjnTnjnTnjnnnTTTntjTnjnTTnTtnjnTT20122122,

16、2*, 1222102, 2222, 2102221012)()(1)(1)()(100000000000 012, 2*, 112nfffCCCCnn2122/58例题n求单位冲激序列求单位冲激序列 的傅里叶变换的傅里叶变换n解：解：p若若s(t)是周期为是周期为T的周期函数，则其可以作傅里叶变换：的周期函数，则其可以作傅里叶变换：p 为周期函数，因此：为周期函数，因此：p单位冲激序列的傅里叶变换为：单位冲激序列的傅里叶变换为： nTnTtt 2222)(1TTTntjnnTntjndtetsTTnCCeCts nnnnTntjnnTntjnTTnTTnCeFCeCFtF222222Tdte

17、tTdtetTCTTTntjTTTntjTn1)(1)(1222222 nTnTtt2222/58小结n信号类型：信号类型：p确知信号与随机信号确知信号与随机信号p能量信号与能量信号与功率信号功率信号能量信号：采用傅里叶变换分析方法。能量信号：采用傅里叶变换分析方法。能量信号：采用截短函数傅里叶变换分析方法。能量信号：采用截短函数傅里叶变换分析方法。n信号频域特性信号频域特性p能量信号频谱密度与能量谱密度能量信号频谱密度与能量谱密度p功率信号频谱与功率谱密度功率信号频谱与功率谱密度p能量信号频谱密度与周期性功率信号频谱的比较能量信号频谱密度与周期性功率信号频谱的比较能量信号连续谱：能量有限，平

18、均功率为零，频谱连续分布能量信号连续谱：能量有限，平均功率为零，频谱连续分布功率信号离散谱：功率有限，能量无限，频谱离散分布功率信号离散谱：功率有限，能量无限，频谱离散分布n信号时域特性信号时域特性p能量信号自相关函数与互相关函数能量信号自相关函数与互相关函数p功率信号自相关函数与互相关函数功率信号自相关函数与互相关函数第一章 概论与基础知识随机过程基础（1）何永琪何永琪北京大学电子学系北京大学电子学系Tel：62756700；Mobilemail：通信原理通信原理2422/58通信系统基本问题n服务质量服务质量p信噪比信噪比/误码率性能误码率性能p抗干扰能力抗干扰能

19、力p抵御抵御/补偿线性补偿线性/非线性失真能力非线性失真能力p纠错能力纠错能力n传输带宽传输带宽p带宽资源带宽资源p带宽利用率带宽利用率p色散与非线性效应的抑制能力色散与非线性效应的抑制能力n传输距离传输距离p传输损耗传输损耗p高发射功率高发射功率p高接收灵敏度高接收灵敏度n性价比性价比p系统实现复杂度系统实现复杂度p系统单位比特成本系统单位比特成本2522/58大纲n问题的提出问题的提出n随机过程基本概念随机过程基本概念n高斯随机过程高斯随机过程n随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统n窄带随机过程窄带随机过程n正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声2622/58问题提出：如何处理噪声1

20、/3n42.8 Gbit/s 1200km光纤传输系统测试眼图（光纤传输系统测试眼图（NRZ码型，电吸收调制）码型，电吸收调制）噪声？信噪比？误码率？噪声？信噪比？误码率？2722/58问题提出：如何处理噪声2/3n带噪声的信号波形示例带噪声的信号波形示例10102030405060708090100-0.4-0.200.20.40102030405060708090100-0.4-0.200.20.40102030405060708090100-0.4-0.200.20.40102030405060708090100-0.3-0.2-0.100.10.22822/58问题提出：如何处理噪声3

21、/3n带噪声的信号波形示例带噪声的信号波形示例20102030405060708090100-2-10120102030405060708090100-2-10120102030405060708090100-0.500.511.50102030405060708090100-0.500.511.50102030405060708090100-0.2-0.100.10.20.3050100150200250300350400450500-0.4-0.200.20.4有无规律可寻有无规律可寻?2922/58通信系统中的随机信号n通信通信系统中传输的信号基本是随机信号系统中传输的信号基本是随机信号

22、n系统的系统的噪声噪声（热噪声、干扰噪声、辐射噪声、等（热噪声、干扰噪声、辐射噪声、等等）均为随机的等）均为随机的n随机信号的分析方法随机信号的分析方法p对确定信号行之有效的分析方法（如：信号与系统的对确定信号行之有效的分析方法（如：信号与系统的分析方法）分析方法）不一定能够不一定能够直接应用于随机信号分析直接应用于随机信号分析p研究随机信号统计特性所采用的主要数学工具是随机研究随机信号统计特性所采用的主要数学工具是随机过程过程3022/58大纲n问题的提出问题的提出n随机过程基本概念随机过程基本概念n高斯随机过程高斯随机过程n随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统n窄带随机过程窄带随机过程

23、n正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声3122/58基本概念1/3n随机变量随机变量p定义：将观察结果用一个变量来表示，如果变量的取定义：将观察结果用一个变量来表示，如果变量的取值是随机的，该变量称为随机变量值是随机的，该变量称为随机变量p分类：离散随机变量，连续随机变量分类：离散随机变量，连续随机变量p描述方法：随机变量的统计规律用概率分布函数或概描述方法：随机变量的统计规律用概率分布函数或概率密度函数来描述率密度函数来描述n样本函数样本函数p定义：样本函数即为观察结果的每次记录（即一个确定义：样本函数即为观察结果的每次记录（即一个确定的时间函数定的时间函数xi(t)）p含义：含义：样本

24、函数具有确定性样本函数具有确定性随机变量的每次观察结果出现哪个样本函数是不可预知的随机变量的每次观察结果出现哪个样本函数是不可预知的3222/58基本概念2/3n随机过程随机过程p定义：定义：通俗定义：随机过程为全体样本函数的集合通俗定义：随机过程为全体样本函数的集合 xi(t) , i=1,2,n 数学定义：对给定概率空间数学定义：对给定概率空间(, F, P)和一个参数集和一个参数集T R，若对，若对每一个每一个t T，均有定义在，均有定义在(, F, P)上的一个随机变量上的一个随机变量X( , t) （ ）与之对应，称依赖于参数）与之对应，称依赖于参数t的随机变量族的随机变量族X( ,

25、 t)为随为随机过程。机过程。：全体可能组成的集合：全体可能组成的集合F ：全体可观测事件组成的事件族：全体可观测事件组成的事件族P：F上定义的一个取值于上定义的一个取值于0，1区间的函数区间的函数p含义含义 通信理论中的随机过程通常是时间通信理论中的随机过程通常是时间t的函数，记为的函数，记为 (t)，即即 (t) = xi(t) , i=1,2,n 在任意给定的时刻在任意给定的时刻t1T，随机过程，随机过程(t)的取值的取值(t1)是一个一维是一个一维随机变量随机变量随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述3322/58基本概

26、念3/3n随机过程（续）随机过程（续）p示例：示例：x1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Sn (t)tk3422/58随机过程的统计特性1/3n随机过程一维分布函数随机过程一维分布函数p定义：定义：p局限性：局限性： 随机过程的一维函数仅能随机过程的一维函数仅能描述随机过程在各个孤立时刻的统描述随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而不能描述随机过程在不计特性，而不能描述随机过程在不同时刻取值之间的内在联系同时刻取值之间的内在联系 的概率为随机变量其中：的一维分布函数：随机过程111111111,xtxtPxtPtxFt 存在其中假设偏导数的一维概率密度函数：随机过程1111111

27、1111,xtxFxtxFtxft3522/58随机过程的统计特性2/3n随机过程随机过程n维分布函数维分布函数p定义：定义：n关于分布函数的维数：关于分布函数的维数：p维数维数n越大，随机过程统计特性的描述越充分越大，随机过程统计特性的描述越充分p维数维数n越大，数学描述与分析方法越复杂越大，数学描述与分析方法越复杂p实际应用中需在维数和分析复杂性之间找平衡实际应用中需在维数和分析复杂性之间找平衡 nixtxtxtxtPxtxtxtPtttxxxFntiinnnnnnn, 2 , 1,;,221122112121的概率为维分布函数：的 nnnnnnnnxxxtttxxxFtttxxxfnt2

28、121212121,;,;,维概率密度函数：的3622/58随机过程的统计特性3/3n随机过程与随机变量的对比随机过程与随机变量的对比随机变量随机过程概率分布函数概率密度函数11111x(tP,txF111xXPxF),(),(1111111txfxtxF)()(11111xfdxxdF3722/58数字特征1/3n均值（数学期望）均值（数学期望）n方差方差n相关函数相关函数 tadxtxxftE,1 2112222222,2dxtxxfdxtxfxtatEtattatEttatEtD 2121112212121,xddxttxxfxxttEttR 两时刻所得随两时刻所得随机变量的统计机变量的

29、统计相关性相关性 3822/58数字特征2/3n协方差协方差n协方差与相关函数的关系协方差与相关函数的关系n互相关函数互相关函数n互协方差互协方差 221121,tattatEttB 212121,tatattRttB 2121,ttEttR 221121,tattatEttR3922/58数字特征3/3随机过程随机过程（噪声、信号）（噪声、信号）相关函数数学期望方差统计、观测、计算统计、观测、计算目标：获得某目标：获得某时刻的平均值、某时刻偏时刻的平均值、某时刻偏离平均值的程度、两时刻间的相关离平均值的程度、两时刻间的相关程度程度4022/58随机过程的平稳性1/3n平稳随机过程应用广泛，对

30、通信研究意义重大平稳随机过程应用广泛，对通信研究意义重大4122/58随机过程的平稳性2/3n狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程p定义：即为任何定义：即为任何n维概率密度函数与时间起点无关维概率密度函数与时间起点无关p含义：平稳随机过程统计特性与时间推移无关，从而含义：平稳随机过程统计特性与时间推移无关，从而随机过程分析大大地简化随机过程分析大大地简化p特例：特例：一维情况：一维分布函数与时间无关一维情况：一维分布函数与时间无关二维情况：二维分布函数只与时间间隔二维情况：二维分布函数只与时间间隔 =t2-t1有关有关nnnnnntttxxxftttxxxf,;,;,21212121 11111,

31、xftxf;,;,21221212xxfttxxf4222/58随机过程的平稳性3/3n广义平稳随机过程（弱平稳、宽平稳过程）广义平稳随机过程（弱平稳、宽平稳过程）p平稳随机过程的数字特征平稳随机过程的数字特征均值与时间无关，即为常数均值与时间无关，即为常数自相关函数只与时间间隔有关，即自相关函数只与时间间隔有关，即p定义：满足上述两个条件的随机过程即为广义平稳随定义：满足上述两个条件的随机过程即为广义平稳随机过程机过程p理解：狭义平稳随机过程必是广义平稳随机过程，反理解：狭义平稳随机过程必是广义平稳随机过程，反之不一定成立之不一定成立p适用性：通信系统中的信号与噪声通常可视为平稳随适用性：通

32、信系统中的信号与噪声通常可视为平稳随机过程机过程 RttR11,4322/58随机过程的各态历经性1/4n问题的提出问题的提出p随机过程的分析是基于其所有样本函数的统计平均，随机过程的分析是基于其所有样本函数的统计平均，但大量样本的公测实际上很难实现但大量样本的公测实际上很难实现p能否从一次观测所得样本函数确定随机过程数字特征能否从一次观测所得样本函数确定随机过程数字特征4422/58随机过程的各态历经性2/4n概念：各态历经性过程的数字特征完全可由任一概念：各态历经性过程的数字特征完全可由任一实现的时间平均值确定实现的时间平均值确定n条件：条件：p假设假设x(t)是平稳随机过程是平稳随机过程

33、(t)的任意一个实现（样本）的任意一个实现（样本）,其时间均值和时间相关函数分别为其时间均值和时间相关函数分别为p若平稳随机过程使下式成立，则其具有各态历经性若平稳随机过程使下式成立，则其具有各态历经性 2/2/2/2/11limlimTTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa RRaa 4522/58随机过程的各态历经性3/4n物理意义：物理意义：p从随机过程得到任一实现，均经历了随机过程的所有从随机过程得到任一实现，均经历了随机过程的所有可能状态可能状态p只须作一次考察就可求时间平均，无需作无限多次考只须作一次考察就可求时间平均，无需作无限多次考察来求统计平均察来求统计平均p具有

34、各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但但平稳随机过程不一定是各态历经的平稳随机过程不一定是各态历经的n适用性：适用性：p确定随机过程是否各态历经通常很困难。实际上，可确定随机过程是否各态历经通常很困难。实际上，可以通过直觉来判断时间平均和集总平均可不可以互换以通过直觉来判断时间平均和集总平均可不可以互换p在分析没有暂态效应的大多数通信信号时，可以假设在分析没有暂态效应的大多数通信信号时，可以假设随机波形的均值和自相关函数为各态历经随机波形的均值和自相关函数为各态历经p通信系统中所遇到的随机信号和噪声，通信系统中所遇到的随机信号和噪声， 一般均能

35、满足一般均能满足各态历经条件各态历经条件4622/58随机过程的各态历经性示例4/4n随机过程各态历经性的应用：随机过程各态历经性的应用： 0 22xacdcxacdcdcRPPPPaPtxEaX归一化总平均功率归一化交流平均功率归一化直流功率信号直流分量随机信号的平随机信号的平均功率问题得均功率问题得以解决以解决4722/58数字特征相关函数相关函数R（t ，t+ ）随机过程随机过程(t)（噪声、信号）（噪声、信号）数学期望数学期望E(t)方差方差D(t)统计、观测、计算统计、观测、计算如果平稳如果平稳与时间起点无关与时间起点无关E(t)=aD(t)=2 R（ ）如果各态历经如果各态历经用时

36、间平均代替集平均用时间平均代替集平均aa 22 )()( RR 通信系统中所遇到的信号与噪声通信系统中所遇到的信号与噪声一般都能满足各态历经条件一般都能满足各态历经条件*4822/58相关函数性质1/4 归一化平均交流功率归一化平均直流功率归一化平均功率定义 -0 022RRtEtEtEttERttERttER这里利用了当这里利用了当T时，时，(t)与与(t+T)没有依赖关系，即统计独没有依赖关系，即统计独立，立， 且认为且认为(t)中不含周期分量中不含周期分量时域性质时域性质4922/58相关函数性质2/4n时域性质（续）时域性质（续） 上界偶函数定义RRRRttER0 思考：相关是一个广泛

37、的概念，不仅可以用于随机思考：相关是一个广泛的概念，不仅可以用于随机信号，也可以用于确知信号，对于确知信号，可以信号，也可以用于确知信号，对于确知信号，可以认为是某一样本以概率为认为是某一样本以概率为1出现的出现的“特殊特殊”的随机的随机过程，此时，样本统计已经没有意义，同时，该随过程，此时，样本统计已经没有意义，同时，该随机过程也非平稳随机过程。因此，对于确知信号，机过程也非平稳随机过程。因此，对于确知信号，相关函数是指时间上的统计平均相关函数是指时间上的统计平均5022/58相关函数性质3/4n时域分析：随机信号的平均值、偏离平均值的程时域分析：随机信号的平均值、偏离平均值的程度（方差）归

38、一化的直流交流功率，统计相关程度（方差）归一化的直流交流功率，统计相关程度，都已经清晰的描述度，都已经清晰的描述n频域分析：对通信系统理论分析至关重要频域分析：对通信系统理论分析至关重要还差什么？还差什么？频率特性！频率特性！*5122/58相关函数性质4/4n频域性质：维纳频域性质：维纳-欣钦（欣钦（Wiener-khintchine）定理）定理 PRdePRdeRPFourierjj21 若若随机过程是广义平稳的，可用自相关函数随机过程是广义平稳的，可用自相关函数的傅立叶变换得到其的傅立叶变换得到其功率谱密度功率谱密度 PttRFourier,对于对于非平稳过程，用时间平均的非平稳过程，用

39、时间平均的代替代替R(R( ),),该该定理同样成立定理同样成立 5222/58数字特征相关函数相关函数R（t ，t+ ）随机过程随机过程(t)（噪声、信号）（噪声、信号）数学期望数学期望E(t)方差方差D(t)统计、观测、计算统计、观测、计算如果平稳如果平稳与时间起点无关与时间起点无关E(t)=mD(t)=2 R（ ）如果各态历经如果各态历经用时间平均代替集平均用时间平均代替集平均aa 22 )()( RR 最终求出功率谱，从而获得了频率域上的功率分最终求出功率谱，从而获得了频率域上的功率分布，获得其带宽、功率性能，达到了研究通信系布，获得其带宽、功率性能，达到了研究通信系统的目的统的目的*5322/58例题1/4n设有正弦波设有正弦波 ，角频率，角频率 0为为常数，相常数，相位位 为均匀