周期现象角的概念推广

1、1.1 周期现象周期现象钱塘江一线潮钱塘江一线潮由于月球和太阳的引潮力作用，使海洋水面发生的周期性涨落由于月球和太阳的引潮力作用，使海洋水面发生的周期性涨落的潮汐现象的潮汐现象。 众所周知，海水会发生潮汐现象，大众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，波浪每间隔一段约在每一昼夜的时间里，波浪每间隔一段时间就会重复出现。时间就会重复出现。 这种现象就是我们今天要学到的这种现象就是我们今天要学到的 周期周期现象。现象。月盈则亏是周期现象地球自转和公转 周期现象周期现象(1)定义：某种动作或现象定义：某种动作或现象_就会就会_出现出现,这种现象被称为周期现象这种现象被称为周期现象.(2

2、)判断一个现象是否为周期现象判断一个现象是否为周期现象,关键是抓住这关键是抓住这一现象是否具有一现象是否具有_.每隔一段每隔一段时间时间重复性重复性重复重复每隔一段时间会重复出现重复出现的现象被称为周期现象周期现象.周期现象周期现象 某港口在某一天水深与时间的对应关系表时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m1:005.0 9:002.5 17:006.2 2:006.2 10:002.7 18:005.3 3:007.5 11:003.5 19:004.1 4:007.3 12:004.4 20:003.1 5:006.2 13:005.0 21:002.5 6:005.3 14:006.2 2

3、2:002.7 7:004.1 15:007.5 23:003.5 8:003.1 16:007.3 24:004.4 从散点图可以看出，每经过相同的时间从散点图可以看出，每经过相同的时间T T（12h12h），水深度就重复），水深度就重复出现相同的数值，因此，水深是周期性变化出现相同的数值，因此，水深是周期性变化. . 例例1.1.地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y y随时间的随时间的变化是周期性的吗？变化是周期性的吗？ 在任何确定的时间，地球与太阳距离在任何确定的时间，地球与太阳距离y是唯一确定的，每经是唯一确定的，每经过一年地球围绕着太阳转一周。过一年

4、地球围绕着太阳转一周。无论从哪个时间无论从哪个时间t算起，经过一年时间算起，经过一年时间(T=365天），地球又回到天），地球又回到原来的位置，所以地球与太阳的距离是周期变化的。原来的位置，所以地球与太阳的距离是周期变化的。 例例2.2.如图是钟摆的示意图，摆心如图是钟摆的示意图，摆心A A到铅垂线到铅垂线MNMN的距离的距离记为记为y y，钟摆偏离铅垂线，钟摆偏离铅垂线MNMN的角记为的角记为，根据物理知识，根据物理知识，y y与与都随时间的变化而周期性变化都随时间的变化而周期性变化. . Ny 摆心摆心A到铅垂线到铅垂线MN的距离记为的距离记为y，钟摆偏离铅垂线的角度记，钟摆偏离铅垂线的角

5、度记为为。无论从哪个时间无论从哪个时间t算起，经过一段时间，钟摆又回到了原算起，经过一段时间，钟摆又回到了原来的位置，角度又变成了来的位置，角度又变成了，所以所以y与与都随时间的变化而周期都随时间的变化而周期性变化。性变化。 例例3. 3. 如图是水车的示意图，水车上如图是水车的示意图，水车上A A点到水面的距点到水面的距离为离为y.y.假设水车假设水车5min5min转一圈，那么转一圈，那么y y的值每经的值每经5min5min就会重就会重复出现，因此，该距离复出现，因此，该距离y y随时间的变化也具有周期性随时间的变化也具有周期性. 由上面的例子，我们可以看到在现实生活中存在着由上面的例子

6、，我们可以看到在现实生活中存在着大量的周期现象大量的周期现象. 水车上水车上A点到水面的距离记为点到水面的距离记为y，假设水车假设水车5分钟转一圈，那分钟转一圈，那么么y的值每经过的值每经过5分钟就会重复出现，分钟就会重复出现，因此，距离因此，距离y随时间的变化随时间的变化规律也具有周期性。规律也具有周期性。1.1.2 角的概念的推广角的概念的推广过去我们是如何定义一个角的？角的范围是过去我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？什么？定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角. .顶顶点点边边边边角的范围：角的范围：0 0360360初中定义初中定义问

7、题提出问题提出如：如：体操运动员表演中的转体体操运动员表演中的转体108010800 0跳水运动员后空翻跳水运动员后空翻7207200 0花样滑冰运动员转体花样滑冰运动员转体126012600 0这些例子中有的角不仅不在范围：这些例子中有的角不仅不在范围：0至至 360 ，而且而且方向不同方向不同，有，有必要必要将角的概念将角的概念推广推广到到任意任意角角，那么用什么办法才能推广到，那么用什么办法才能推广到任意角任意角？ 关键是用关键是用运动的观点运动的观点来看待角的变化。来看待角的变化。 角角可以看做可以看做: :平面内一条射线绕着它的平面内一条射线绕着它的端点从一个位置端点从一个位置旋转旋

8、转到另一个位置所到另一个位置所形成的图形。形成的图形。顶点顶点始边始边终边终边oAB1.1.角的第二定义：角的第二定义：规定：规定： 按按逆时针逆时针方向旋转形成的角叫做方向旋转形成的角叫做正角正角， 按按顺时针顺时针方向旋转形成的角叫做方向旋转形成的角叫做负角负角 如图，以如图，以OA为始边的角为始边的角=210，=150， =660. 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做叫做零角零角即即零度角零度角（0）此时零角的始边与）此时零角的始边与终边重合。终边重合。 角的记法：角的记

9、法：角角或可以简记成或可以简记成，或简，或简记为：记为： .如如=-1500 ， =00， =6600 等等等等角的概念推广的意义：角的概念推广的意义：用用“旋转旋转”定义角之后，定义角之后，角的范围角的范围大大地大大地扩大扩大了了 角有正负之分角有正负之分; 如：如： =210 , = 150 , =660 . 角可以任意大角可以任意大; 实例：体操动作：旋转实例：体操动作：旋转2周（周（360 2=720 ） 3周（周（360 3=1080 ） 还有零角还有零角, 一条射线，没有旋转一条射线，没有旋转.1.1.时钟从时钟从1212时到时到1515时时, ,时针所走的角度为时针所走的角度为_

10、； 分针所走的角度为分针所走的角度为_。课堂练习课堂练习12.2.请大家作出下列各角：请大家作出下列各角：-50-50，405405，-250-250. .- - 9 90 - -1080 - -504 405-250-250画图表示一个大小一定的角，先画一条射线画图表示一个大小一定的角，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负确定角的旋转作为角的始边，再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注注. . 2.2.象限角定义：象限角定义：角的顶点与角的顶点与坐

11、标原点坐标原点重合，角的始边与重合，角的始边与x轴的非负轴的非负半轴半轴重合，重合，角的终边在第几象限，我们就说这个角角的终边在第几象限，我们就说这个角是是第几象限的角第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于象限角，或称这个角为为这个角不属于象限角，或称这个角为轴线角轴线角. .那么下列各角：那么下列各角：-50-50，405405，-250-250, , 分别分别是第几象限的角？是第几象限的角？- -50 xyoxyo4 405xyo-250-250为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角

12、。思考：思考：在直角坐标系中，在直角坐标系中，135135角的终角的终边在什么位置？终边在该位置的角一边在什么位置？终边在该位置的角一定是定是135135吗？吗？Oxy135135-225-225495495S=| |= =k360360，kZ 一般地，所有与角一般地，所有与角终边相同的终边相同的角，连同角角，连同角在内所构成的集合在内所构成的集合 S 可可以表示为：以表示为： 3.3.终边相同的角：终边相同的角：与与 终边相同的角的集合为：终边相同的角的集合为：S=| |= =k360360，kZ （3）终边相同的角不一定相等，但相等）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同

13、的角有无数多的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差个，它们相差 360的整数倍。的整数倍。注注: （1） k Z ; （2） 是任意角是任意角;例例1. 在在0360范围内，找出与下列各角终边相同的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角角，并判断它是哪个象限的角.(1) 120；(2) 640；(3) 95012.解：解：120=240+（-1）360， 120的角与的角与 240的角终边相同，的角终边相同， 它是第三象限角它是第三象限角 640=280+1 360， 640的角与的角与 280的角终边相同，的角终边相同， 它是第四象限角它是第四象限角 解：解：

14、95012=12948 +（-3）360， 95012的角与的角与 12948的角终边相同，的角终边相同， 它是第二象限角它是第二象限角 分析：终边落在坐标轴上的情形分析：终边落在坐标轴上的情形xyo o0090018002700+k 3600+k 3600+k 3600+k 3600或或3600k3600 例例2 2写出终边落在写出终边落在y y轴上的角的集合轴上的角的集合。 例例2 2写出终边落在写出终边落在y y轴上的角的集合轴上的角的集合。 解：解：终边落在轴终边落在轴正正半轴上的角的集合为半轴上的角的集合为S1=| |=900+K3600,KZ =| =900+2K1800,KZ=|

15、 =900+1800 的的偶偶数倍数倍终边落在轴终边落在轴负负半轴上的角的集合为半轴上的角的集合为S2=| =2700+K3600,KZ=| =900+1800+2K1800,KZ=| =900+（2K+1）1800 ，KZ=| =900+1800 的的奇奇数倍数倍于是，终边落在于是，终边落在y y轴上的角的集合为轴上的角的集合为S=s1s2=| =900+1800 的的偶偶数倍数倍 | =900+1800 的的奇奇数倍数倍=| =900+1800 的的整整数倍数倍 =| =900+K1800,KZ 终边落在终边落在x轴上的角的集合轴上的角的集合; ;终边落在第终边落在第一象限内的角的集合一象

16、限内的角的集合; ;终边落在第二象限终边落在第二象限内的角的集合内的角的集合。例例3. 3. 写出终边分别落在四个象限的角的集合写出终边分别落在四个象限的角的集合. . 终边落在坐终边落在坐标轴上的情标轴上的情形形xyo090180270+K 360+K 360+K 360+K 360或或360+ K 360 第一象限的角表示为第一象限的角表示为 |k 360 90 + k 360 ,k Z； 第二象限的角表示为第二象限的角表示为 | 90 + k 360 180 +k 360 ，k Z； 第三象限的角表示为第三象限的角表示为 | 180 + k 360 270 + k 360 ，k Z 第四

17、象限的角表示为第四象限的角表示为 | 270 + k 360 360 + k 360 ，k Z例例4. 写出与下列各角终边相同的角的集合写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把并把S中在中在360720间的角写出来：间的角写出来： (1) 60；(2) 21；(3) 36314.解：解：(1) S=| =60+k360 ，kZ , S中在中在360720间的角是间的角是 0360+60=60 ； 1360+60=300 ； 1360+60=420(2) S=| = 21 +k360，kZ S中在中在360720间的角是间的角是 036021=21； 136021=339； 236021=699

18、(3) S=| = 36314 +k360，kZ S中在中在360720间的角是间的角是 0360+36314=36314； 1360+36314=314； 2360+36314=35646例例3. 写出与下列各角终边相同的角写出与下列各角终边相同的角的集合的集合S，并把，并把S中在中在 360720间的角写出来：间的角写出来： (1) 60；(2) 21；(3) 36314.1锐角是第几象限的角？第一象限的角是锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于否都是锐角？小于90的角是锐角吗？区间的角是锐角吗？区间(0,90)内的角是锐角吗？内的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不

19、一定答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于是锐角；小于90的角可能是零角或负角，故的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间它不一定是锐角；区间(0,90)内的角是锐内的角是锐角角 课堂练习课堂练习2 课堂练习课堂练习2 (2)(2)与与-496-496终边相同的角是终边相同的角是 ，它是第它是第 象限的角，它们中最小正角是象限的角，它们中最小正角是 ，最大负角是最大负角是 。 (3)(3)时针经过时针经过3 3小时小时2020分，则时针转过的角度分，则时针转过的角度为为 ，分针转过的角度为，分针转过的角度为 。 - -496+k360(kZ) 三三 224 136 - -100 - -1200 例：例：用集合表示顶点在坐标原点，始边重合