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文档简介

1、 1. 2. ; ;3. 01;1 () 1n 1AnSeASAB AB ABAB AB AB AnfAnPAPSABPABPAPBPAPA 样 本 空 间 随 机 事 件()事 件 的 关 系 :事 件 的 运 算 :频两 个 特 殊 事 件两 层 理 解当 很 大 时率 :()概 率 的 定 义 () : 满 足当时 ,概, 做 概 率 的率 的 性 质近 似 计 算三 个: 121 2 3 = 4. |, ()()(|), (nnjjjABPAPBPABPAPBPABPABPBAPABPA PBAPABBBSP AP BP ABP B 当时()条 件 概 率 :() 加 法 公 式乘 法

2、 当为 的 一 划 分 时 ,公 式全 概 率 公 式1()(|)|)()(|)5. 4iiinjjjP BP ABAP BP AB事 件 独 立 性P(AB)=P(A)P(B)P(A)0,P(B)0( 个 等 价 的 公 式 )第一章小结第一章小结)kkn-knnp (k)= c p q(k = 0,1,2, q = 1- p其中6 重复独立概型,贝努里定理设一次试验中事件设一次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p(0p1),则则n重贝努里重贝努里试验中,事件试验中,事件A刚好发生刚好发生k次的概率次的概率7 重点题型重点题型古典概率古典概率: 条件概率条件概率乘法公式乘法公式: 全概率公

3、式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式 重复独立概型重复独立概型 典型例题例例1 1:设:设A= 甲来听课甲来听课 ,B= 乙来听课乙来听课 ,则:,则: 甲、乙至少有一人来甲、乙至少有一人来 甲、乙都来甲、乙都来 甲、乙都不来甲、乙都不来 甲、乙至少有一人不来甲、乙至少有一人不来AB AB ABABABAB例例2 2:甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹,以甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹,以A A、B B、C C分别表示甲、乙、丙命中目标,试用分别表示甲、乙、丙命中目标,试用A A、B B、C C的运算关系表示下列事件:的运算关系表示下列事件::654321“三人均未命中目标”“三人均命中目标”

4、“最多有一人命中目标“恰有两人命中目标”“恰有一人命中目标”“至少有一人命中目标AAAAAACBACBACBACBACBABCACABBACACBABCCBA例例3 3 (摸求问题)设合中有3个白球,2个红球,现从合中任抽2个球,求取到一红一白的概率。解:设A-取到一红一白25)(CSN1213)(CCAN53)(251213CCCAP答:取到一红一白的概率为3/5一般地,设合中有N个球,其中有M个白球,现从中任抽n个球,则这n个球中恰有k个白球的概率是nNknMNkMCCCp()(|)()PA BPBAPA()0PA()( )(|)( )(|)P ABP AP B AP BP A B()(

5、) (|) (|)P ABCP A P B A P C AB1212131211()() (|) (|)(|)nnnP A AAP A P AA P AA AP AAA相关公式相关公式 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 例例 在在1 1 1010这这1010个自然数中任取一数,求个自然数中任取一数,求(1 1)取到的数能被)取到的数能被2 2或或3 3整除的概率,整除的概率,(2 2)取到的数即不能被)取到的数即不能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率,整除的概率,(3 3)取到的数能被)取到的数能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。解解:设设AA取到的数能被

6、取到的数能被2 2整除整除; ;取到的数能被取到的数能被3 3整除整除21)(AP103)(BP故故)()()()() 1 (ABPBPAPBAP101)(ABP107)(1)()2(BAPBAP103)()()()3(ABPAPBAP52例例4 4 某市有甲某市有甲, ,乙乙, ,丙三种报纸丙三种报纸, ,订每种报纸的人数订每种报纸的人数分别占全体市民人数的分别占全体市民人数的30%,30%,其中有其中有10%10%的人同时定的人同时定甲甲, ,乙两种报纸乙两种报纸. .没有人同时订甲乙或乙丙报纸没有人同时订甲乙或乙丙报纸. .求求从该市任选一人从该市任选一人, ,他至少订有一种报纸的概率他

7、至少订有一种报纸的概率. .%80000%103%30)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP解解: 设设A,B,C分别表示选到的人订了甲分别表示选到的人订了甲,乙乙,丙报丙报例例5 5 盒中有盒中有3 3个红球,个红球,2 2个白球,每次从袋中任个白球,每次从袋中任取一只,观察其颜色后放回,并再放入一只与所取一只,观察其颜色后放回,并再放入一只与所取之球颜色相同的球,若从合中连续取球取之球颜色相同的球,若从合中连续取球4 4次次, ,试试求第求第1 1、2 2次取得白球、第次取得白球、第3 3、4 4次取得红球的概率次取得红球的概率。解:设解:设A Ai

8、 i为第为第i i次取球时取到白球,则次取球时取到白球,则)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP63)|(12AAP73)|(213AAAP84)|(3214AAAAP 例例6 6:某厂生产的产品能直接出厂的概率为:某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%70%,余,余下下 的的30%30%的产品要调试后再定,已知调试后有的产品要调试后再定,已知调试后有80%80% 的产品可以出厂,的产品可以出厂,20%20%的产品要报废。求的产品要报废。求该厂产该厂产 品的报废率。品的报废率。 解:解: 设设 A=A=生产的产品要报废生产的产

9、品要报废 B= B=生产的产品要调试生产的产品要调试 已知已知P(B)=0.3P(B)=0.3,P(A|B)=0.2P(A|B)=0.2,(|)0P A B ( )()P AP ABAB( )(|)( )(|)P BP A BP BP A B0.3 0.20.7 06%ABABAB与不相容利用乘法公式()()P ABP AB 全概率用法:全概率用法:找找事件组事件组A A1 1,A A2 2,A An n (n(n可为可为 )满足满足:.,.,2 , 1,),(,)(;)(1njijiAAiiSAijinii则对任何事件则对任何事件B S,在,在A1,A2,An上分解上分解1( )() ( |

10、)niiiP BP A P B A1() (|)(|),(1,., )() (|)jjjniiiP A P B AP ABjnP A P B A* 全概率公式可由以下框图表示:全概率公式可由以下框图表示:设设 P(BP(Bj j)=p)=pj j, P(A|B, P(A|Bj j)=q)=qj j, j=1,2,n, j=1,2,n易知:易知:11njjpSP1P2Pn.B2B1Bn.q2q1qnA 1|njjjP AP BP A B例7 有三个箱子,分别编号为有三个箱子,分别编号为1,2,3,1号箱装号箱装有有1个红球个红球4个白球,个白球,2号箱装有号箱装有2红红3白球,白球,3号箱装有号

11、箱装有3红球红球. 某人从三箱中任取一箱,从某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率中任意摸出一球,求取得红球的概率.解:记解:记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球即即 B= A1B+A2B+A3B, 且且 A1B、A2B、A3B两两互斥两两互斥B发生总是伴随着发生总是伴随着A1,A2,A3 之一同时发生,之一同时发生,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式得1239.车间有甲、乙、丙车间有甲、乙、丙3 3台机床生产同一种产品,且台机床生产同一种产品,且知它们的次品率依次是知它们的次品率依次是0.20.2,0.3

12、0.3,0.10.1,而生产,而生产的产品数量比为:甲:乙:丙的产品数量比为:甲:乙:丙=2=2:3 3:5 5,现从,现从产品中任取一个,(产品中任取一个,(1 1)求它是次品的概率?)求它是次品的概率?(2 2)若发现取出的产品是次品,求次品是来自)若发现取出的产品是次品,求次品是来自机床乙的概率?机床乙的概率?10.10.三个箱子中,第一箱装有三个箱子中,第一箱装有4 4个黑球个黑球1 1个白球,第个白球,第二箱装有二箱装有3 3个黑球个黑球3 3个白球,第三箱装有个白球,第三箱装有3 3个黑球个黑球5 5个白球。现先任取一箱,再从该箱中任取一球个白球。现先任取一箱,再从该箱中任取一球。

13、问(。问(1 1)取出球是白球的概率?()取出球是白球的概率?(2 2)若取出)若取出的球为白球,则该球属于第二箱的概率?的球为白球,则该球属于第二箱的概率?11.11.若已知事件若已知事件A A与与B B相互独立,证明事件相互独立,证明事件A A与与事件事件与相互独立与相互独立B 例例 8 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞飞 机被一机被一人击中而击落的概率为人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的被两人击中而击落的概率为概率为0.6, 若三人都击中若三人都击中, 飞机必定被击落飞机必

14、定被击落, 求求飞机被击落的概率飞机被击落的概率. 设设B=飞机被击落飞机被击落 Ai=飞机被飞机被i人击中人击中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)则则 B=A1B+A2B+A3B求解如下求解如下:依题意,依题意,P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1 例例9 9:有:有4 4个独立元件构成的系统个独立元件构成的系统( (如图如图) ),设每个元,设每个元件能正常运行的概率为件能正常运行的概率为p p,求系统正常运行的概率,求系统正常运行的概率。 ,1,2

15、,3,4 iAiiA解:设第 个元件运行正常系统运行正常1432注意:这里系统的概念与电路注意:这里系统的概念与电路 中的系统概念不同中的系统概念不同1234AAA AA则:1234,A A A A由题意知,相互独立231234( )()()()P AP AP A AAp ppp32512314( )()P AP A A AA Appp另解,对吗?第二章小结之一维随机变量0 -1 分 布二 项 分 布 B ( n ,p )泊 松 分 布 P ( )离离 散散 型型 分分 布布 律律归 一 性分 布 函 数 与 分 布 律 的 互 变概概 率率 计计 算算分分 布布 函函 数数归 一 性概概 率

16、率 计计 算算单单 调调 性性正 态 分 布 的 概 率 计 算均 匀 分 布 U (a ,b )正 态 分 布 N (a , )指 数 分 布 E ( )连连 续续 型型 概概 率率 密密 度度归归 一一 性性概概 率率 计计 算算分 布 函 数 与 概 率 密 度 的 互 变随随 机机 变变 量量随 机 变 量 函 数 的 分 布2第三章二维随机变量边 缘 分 布 律离 散 型 分 布 律归 一 性概 率 计 算分 布 函 数 与 分 布 立 场 律 的 互 变独 立 性边 缘 分 布 函 数分 布 函 数归 一 性概 率 计 算边 缘 概 率 密 度均 匀 分 布正 态 分 布连 续 型

17、 概 率 密 度归 一 性概 率 计 算分 布 函 数 与 概 率 密 度 的 互 变多 维 随 机 变 量二 维 随 机 变 量 函 数 的 分 布 基本题型基本题型 1、实际问题求分布率。、实际问题求分布率。 2、实际问题求分布函数。、实际问题求分布函数。 3、已知概率密度,求系数、分布函数,随机、已知概率密度,求系数、分布函数,随机变量落在某个区间的概率。变量落在某个区间的概率。 4、实际问题利用均匀分布计算事件概率。、实际问题利用均匀分布计算事件概率。 5、正态分布化标准正态分布求值。、正态分布化标准正态分布求值。 6、已知概率密度,求随机变量函数的分布、已知概率密度,求随机变量函数的

18、分布 7.已知联合分布,求边缘分布并验证独立性。已知联合分布,求边缘分布并验证独立性。2. 设连续型随机变量的概率密度为设连续型随机变量的概率密度为000)(2xxkexfx 则则 ),(),(_,)2(_,)21 (_,DEPPk习题习题1. 盒内有盒内有5个零件,其中个零件,其中2件次品,从中任取件次品,从中任取3件,件,用用 表示取出的次品数,则表示取出的次品数,则 的概率分布的概率分布为为 。例1. 某射手连续向一目标射击,直到命中为某射手连续向一目标射击,直到命中为止,已知他每发命中的概率是止,已知他每发命中的概率是p,求,求所需射击所需射击发数发数X 的概率函数的概率函数.解解:

19、显然,显然,X 可能取的值是可能取的值是1,2, , P(X=1)=P(A1)=p, 为计算为计算 P(X =k ), k = 1,2, ,Ak = 第第k发命中发命中,k =1, 2, ,设设于是于是pp )1 ()() 2(21AAPXP)() 3(321AAAPXPpp 2)1 (例例3 3 向向0,10,1区间随机抛一质点,以区间随机抛一质点,以X X表示质点表示质点坐标坐标. .假定质点落在假定质点落在0,10,1区间内任一子区间内的区间内任一子区间内的概率与区间长成正比,求概率与区间长成正比,求X X的分布函数的分布函数解:解: F(x)=PXF(x)=PXx x 1, 110,0

20、, 0)()(xxxxxXPxF)(xFx101当当x1时时,F(x)=1当0 x1时,kxxXPxF0)(特别特别,F(1)=P0 x1=k=1例例5 5 长途汽车起点站于每时的长途汽车起点站于每时的1010分、分、2525分、分、5555分发车分发车,设乘客不知发车时间,于每小时的任意时刻随机地,设乘客不知发车时间,于每小时的任意时刻随机地到达车站,求乘客候车时间超过到达车站,求乘客候车时间超过1010分钟的概率分钟的概率60554525(1510)(XPXPXPAP15154545解:设解:设AA乘客候车时间超过乘客候车时间超过1010分钟分钟XX乘客于某时乘客于某时X X分钟到达,分钟

21、到达,则X X U(0,60)U(0,60)216052055.设连续型随机变量设连续型随机变量 的概率密度为的概率密度为 求(求(1)系数)系数 (2) 的分布函数的分布函数 (3) 01( )02402xkexf xxxk1 ,1 ,12PPP6.设连续型随机变量设连续型随机变量 的分布函数为的分布函数为 求(求(1)系数)系数A;(;(2)P P ,P 300( )0212xF xAxxx011.52237.某种型号的电灯泡使用时间(单位:小时)某种型号的电灯泡使用时间(单位:小时) 为一随机变量为一随机变量 ,其概率密度为,其概率密度为 求求3个这种型号的电灯泡使用了个这种型号的电灯泡

22、使用了1000小时后至少有小时后至少有2个仍可继续使用的概率个仍可继续使用的概率500010()500000 xexfxx例例 2:设随机变量:设随机变量X在区间(在区间(0,10)上服从均)上服从均匀分布,现对匀分布,现对X进行进行4次独立观察,试求至少有次独立观察,试求至少有3次观察值大于次观察值大于5的概率。的概率。例例 设X X U(-1,1),U(-1,1),求求Y=XY=X2 2的分布函数与概率密度。的分布函数与概率密度。 dxxfyFxxgyxxfyxXYX22)(01121其它ydxFyyY21其它01021)( )(yyyFyfYY当y0时0)(yFY当0y1时当y1时1)(

23、yFYyy8. 已知离散型随机变量已知离散型随机变量 的分布律为的分布律为 求:(求:(1) 的分布律;的分布律; (2) 的分布律。的分布律。 (3) P12161311219291 -3 -1 0 1 3 5 12122XY),(YX),(YX9. 将一枚硬币掷将一枚硬币掷3次,以次,以 表示前表示前2次中出现次中出现H的次数,的次数,以以 表示表示3次中出现次中出现H的次数,求的次数,求 的联合分布律以及的联合分布律以及 的边缘分布律。的边缘分布律。2()E ),(YX10.二维随机变二维随机变量量 共有六个取正概率的点,共有六个取正概率的点,它们是:(它们是:(1,-1),(2,-1)

24、 , (2,0) ,(2,2) , (3,1) , (3,2) , 并且并且 取得它们的概率相同,取得它们的概率相同,),(YXXY布律以及关于布律以及关于的边缘分布律的边缘分布律,和和),(YX的分的分求求并判断并判断XY的相互独立性的相互独立性.和和12. 随机变量随机变量 的分布密度的分布密度 求(求(1) 与与 的边缘分布密度;的边缘分布密度; (2)问)问 与与 是否独立。是否独立。),(YX),(YX3 ,01 ,0( , )0,xxy xf x y 其 它XXXYYY13.二维随机变量二维随机变量 在单位圆上服从均匀分布,在单位圆上服从均匀分布,证明:随机变量证明:随机变量 ,

25、不相互独立。不相互独立。(, )X Y(),0,0( , )0,x yCexyf x y其它(01 ,01 )PXY 11.设设 的联合分布密度为的联合分布密度为试求:(试求:(1)常数;()常数;(2)第四章习题课内容第四章习题课内容E(C)E(cX)E(X+Y)E(XY)定义式函数的期望E(X)D(C)D(cX)D(X+Y)定义式计算式D(X)COV(X,X)COV(aX,bY)COV(X+Y,Z)定 义 式计 算 式COV( X,Y)不 相 关与独 立相 关 系 数几种重要的几种重要的分布分布二项分布二项分布分布率分布率期望和方差期望和方差最可能分布最可能分布超几何分布超几何分布分布率分

26、布率当当N很大时很大时的结论的结论普哇松分布普哇松分布分布率分布率期望和方差期望和方差一个结论一个结论指数分布指数分布分布率分布率期望和方差期望和方差正态分布正态分布概率密度概率密度期望和方差期望和方差计算计算 1、 掷掷10颗骰子,假定每颗骰子出现颗骰子,假定每颗骰子出现1至至6点都是等点都是等可能的,则可能的,则10颗骰子的点数和的数学期望为颗骰子的点数和的数学期望为 ,方差为方差为 。 2、盒中有盒中有2个白球,个白球,3个黑球,从中任取个黑球,从中任取3个,个,表示取到的白球个数,表示取到的白球个数, 表示取到的黑球个数,表示取到的黑球个数, )(E)(D)(E)(D , , , 3、

27、已知随机变量已知随机变量的概率密度为的概率密度为 1221)(xxexx( 则则 )(E)(D , 4.设连续型随机变量设连续型随机变量 的概率密度为的概率密度为 其他010)(xbaxxf且且 181)(D则则 _,ab)(E , 5. 设两随机变量设两随机变量与与 的方差分别为的方差分别为25与与16, 与与相互独立相互独立 (1) )2 (D )2(D则则 ,(2)相关系数为)相关系数为0.4,则,则 )2 (D )2(D , 8.设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量 的联的联合概率密度为合概率密度为),(其他00 , 10),(xyxkyxfk)()(DE与试确定常数试确定常数,并

28、计算并计算9.设随机变量设随机变量( , ) 的联合分布律为的联合分布律为 -1 0 1-1 1/8 1/8 1/80 1/8 0 1/81 1/8 1/8 1/8 试证试证与与既不相关也不独立既不相关也不独立 例例2 2 从某大学到火车站途中有从某大学到火车站途中有6 6个交通岗个交通岗, ,假设在各假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立个交通岗是否遇到红灯相互独立, ,并且遇到红灯的概并且遇到红灯的概率都是率都是1/3.1/3.(1)(1)设设X X为汽车行驶途中遇到的红灯数为汽车行驶途中遇到的红灯数, ,求求X X的分布律的分布律. .(2)(2)求汽车行驶途中至少遇到求汽车行驶途中至少遇

29、到5 5次红灯的概率次红灯的概率. .解解: :(1)(1)由题意由题意,XB(6,1/3),XB(6,1/3),于是于是,X,X的分布的分布律为律为: :66120,1,.,633kkkP XkCk 655)2(XPXPXP729133132316556 C例例 设某国每对夫妇的子女数设某国每对夫妇的子女数X X服从参数为服从参数为 的泊松分的泊松分布布, ,且知一对夫妇有不超过且知一对夫妇有不超过1 1个孩子的概率为个孩子的概率为3e3e-2-2. .求求任选一对夫妇任选一对夫妇, ,至少有至少有3 3个孩子的概率。个孩子的概率。解解:由题意由题意,23 101),(eXPXPXPpX且2

30、1013XPXPXPXP323. 051! 22! 121222212eeee232eee例例 . .电子元件的寿命电子元件的寿命X(X(年)服从参数为年)服从参数为3 3的指数分布的指数分布(1)(1)求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2 2年的概率。年的概率。(2)(2)已知该电子元件已使用了已知该电子元件已使用了1.51.5年,求它还能使用年,求它还能使用两年的概率为多少?两年的概率为多少?解, 000)(3xxexfx362(1) 23,.xp Xedx e65 . 135 . 33335 . 15 . 1, 5 . 35 . 1|5 . 3)2(edxedxeXXXpXXpxx

31、例例 一种电子元件的使用寿命(小时)服从正态分一种电子元件的使用寿命(小时)服从正态分布布(100,15(100,152 2),),某仪器上装有某仪器上装有3 3个这种元件,三个元个这种元件,三个元件损坏与否是相互独立的件损坏与否是相互独立的. .求:使用的最初求:使用的最初9090小时内小时内无一元件损坏的概率无一元件损坏的概率. .解解: :设设Y Y为使用的最初为使用的最初9090小时内损坏的元件数小时内损坏的元件数, ,2514. 0)67. 0()1510090(90XPp故4195. 0)1 (03pYP则 YB(3,p)其中第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理1。切贝谢夫。切贝谢夫(Chebyshev)不等式不等式2DPE21DPE 2.三

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