理论力学第十五章

1、第十五章第十五章虚位移原理虚位移原理理论力学（）东北大学 应用力学研究所李 永 强第十五章第十五章 虚位移原理虚位移原理15-1 15-1 约束约束 虚位移虚位移虚功虚功1 约束及其分类限制质点或质点系运动的条件称为限制质点或质点系运动的条件称为约束约束，限制条件的数学方程称为限制条件的数学方程称为约束方程约束方程.限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束几何约束.222lyx（1）几何约束和运动约束如如0,zyxf15-1 15-1 约束约束 虚位移虚位移虚功虚功限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束运动约束.0rvA 022BABABy

2、lyyxx0rxA222ryxAA15-1 15-1 约束约束 虚位移虚位移虚功虚功2022tvlyx2 定常约束和非定常约束约束条件随时间变化的称非定常约束非定常约束,否则称定常约束称定常约束.15-1 15-1 约束约束 虚位移虚位移虚功虚功（3 3） 其它分类其它分类约束方程中包含坐标对时间的导数约束方程中包含坐标对时间的导数, ,且不可能积分为有且不可能积分为有限形式的约束称限形式的约束称非完整约束非完整约束, ,否则为否则为完整约束完整约束. .约束方程是等式的，称约束方程是等式的，称双侧约束双侧约束（或称（或称固执约束固执约束），），约束方程为不等式的，称约束方程为不等式的，称单侧

3、约束单侧约束（或称（或称非固执单侧约束非固执单侧约束）。）。本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束；本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束；sizyxzyxfnnni, 2, 10,111 n n为质点系数，为质点系数，S S 为约束方程数为约束方程数15-1 15-1 约束约束 虚位移虚位移虚功虚功2 2 虚位移虚位移 在某瞬时在某瞬时,质点系在约束允许的条件下质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何可能实现的任何无限小的位移称为无限小的位移称为虚位移虚位移 .虚位移虚位移,xr等等实位移实位移d ,d ,drx等等虚功虚功 rFW4 4 理想约束理想约束如果在质点系的任何虚位移中如果在质点系的

4、任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为等于零，称这种约束为理想约束理想约束.0iNiNiNrFWW力在虚位移中作的功称虚功力在虚位移中作的功称虚功.15-1 15-1 约束约束 虚位移虚位移虚功虚功即即0iirF设质点系处于平衡设质点系处于平衡, ,有有0NiiFF或记为或记为0FiW此方程称此方程称虚功方程,其表达的原理称其表达的原理称虚位移原理虚位移原理或或虚功原理虚功原理:0iNiiirFrF0iNiiirFrF 15-2 15-2 虚位移原理虚位移原理对于具有理想约束的质点系对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是其平衡的充分必要条件是:

5、作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零等于零.解析式为解析式为0iziiyiixizFyFxF例例15-1 15-1 如图所示如图所示, ,在螺旋压榨机的手柄在螺旋压榨机的手柄ABAB上作用一在上作用一在水平面内的力偶水平面内的力偶( ( ),),其力矩其力矩 , ,螺杆的螺螺杆的螺距为距为. .FF,FlM2h求求:机构平衡时加在被压物体上的力机构平衡时加在被压物体上的力. 15-2 15-2 虚位移原理虚位移原理解解:给虚位移给虚位移, s02FlsFWNF满足如下关系：满足如下关系：s与hs2022hFFlWNF是任

6、意的因，故故02hFFl2NFhlFN4平衡时加在物体上的力求螺距为已知:,2:hFlM 例15-2图中所示结构,各杆自重不计,在点作用一铅直向上的力,lGEDGCBCDCEAC求求: :支座支座的水平约束力的水平约束力. . 15-2 15-2 虚位移原理虚位移原理解解: :解除解除B端水平约束端水平约束, ,以力以力F FBX BX 代替：代替：cos3,sin2sin3,cos20lylxlylxyFxFwGBGBGBBxF0l3Fl2FBxcossincot23FFBx代入虚功方程代入虚功方程: 处水平反力求已知BlGEDGCBCDCEACF:,:0cos3cos3cos)sin2(0

7、0lFlklklFBx解得解得cotcot230kFFBx000GGGCCBBxFGCyFyFyFxFWkFFcos3,cos,sin2sin3,sin,cos2lylylxlylylxGCBGCB如图在如图在CG CG 间加一弹簧间加一弹簧, ,刚度刚度K, ,且已有伸长量且已有伸长量0 0 , ,仍求仍求 F FBXBX . .在弹簧处也代之以在弹簧处也代之以力力, ,如图如图, ,其中：其中： 例例15-315-3图所示椭圆规机构中图所示椭圆规机构中, ,连杆连杆AB长为长为L, ,滑块滑块, ,与杆重均不计与杆重均不计, ,忽略各处摩擦忽略各处摩擦, ,机构在图示位置平衡机构在图示位置

8、平衡. .BAFF 与求：主动力求：主动力 之间的关系。之间的关系。 15-2 15-2 虚位移原理虚位移原理解解: (1) (1) 几何法：几何法： 给虚位移给虚位移,BArr0iirF代入虚功方程代入虚功方程, ,有有0cosBBBArFrF即即tanBAFF 由由sincosABrr( ( 在在 A , ,B 连线上投影相等连线上投影相等) )BArr,0BBAArFrF关系。与平衡时求略自重和摩擦已知BAFFl:,:(2) (2) 用解析法用解析法. .建立建立坐标系坐标系, ,由：由：0FFFziziyiyixixi有有0yAAxBBFFsin,coslylxAB得得tanBAFF

9、cos,sinllyAxB关系。与平衡时求略自重和摩擦已知BAFFl:,:代入到代入到得中,0iirF由速度投影定理由速度投影定理, ,有有,sincosABvv代入上式代入上式得得tanBAFF 0AABBvFvF(3) (3) 虚速度法虚速度法定义定义: trvtrvBBAAdd,为虚速度为虚速度关系。与平衡时求略自重和摩擦已知BAFFl:,:例例15-415-4如图所示机构如图所示机构, ,不计各构件自重与各处摩不计各构件自重与各处摩擦擦, ,求机构在图示位置平衡时求机构在图示位置平衡时, ,主动力偶矩主动力偶矩与主动力与主动力之间的关系之间的关系. . 15-2 15-2 虚位移原理虚

10、位移原理解解: : 给虚位移给虚位移cr,0cFrFMw由图中关系有由图中关系有sinearr 2sin,sinhrrhOBraCe代入虚功方程得代入虚功方程得 2sinFhM 关系。与平衡时求略自重和摩擦已知FM:,:用虚速度法用虚速度法:2sin,sinhvvhOBvCae代入到代入到 2sin,0FhMFvMC亦得亦得中中用建立坐标用建立坐标,取变分的方法取变分的方法,有有0CxFM解得解得2sinFhM 关系。与平衡时求略自重和摩擦已知FM:,:2sinhxCBChxCcot求求:AF例例15-515-5求图所示无重组合梁支座求图所示无重组合梁支座的约束力的约束力. .解：解除解：解除

11、A处约束，代之处约束，代之 ，给虚位移，如图：，给虚位移，如图： AF代入虚功方程代入虚功方程, ,得得MFFFA811411832102211sFMsFsFWAAFAMAAsssss81111,833,81AAM2sss束反力无重组合梁，求：支座已知A:r rE EOABD4m5mEM3mF0ErFMBArr 4r rB Br rA A 例例156 已知：已知：M，忽略各杆自重，问：平衡时弹簧受力，忽略各杆自重，问：平衡时弹簧受力F解：解： 去掉弹簧支座以反力代替去掉弹簧支座以反力代替并给出虚位移：并给出虚位移：列虚功方程：列虚功方程：534 5)3(BErr其中：

12、MF203代入后可得：AB 杆瞬时平动杆瞬时平动ABD P1P1P2CFE例例15157 7 均质杆长均质杆长AB=BC=AB=BC=L L，杆重皆为，杆重皆为P P1 1，滑块，滑块 C C重重P P2 2，滑轨倾角为，滑轨倾角为，求：平衡时角求：平衡时角为多大。为多大。yxABD P1P1P2CFE解：建立如图坐标系，解：建立如图坐标系，？平衡时求已知：:,21PPlBCABsin2lxD各力作用点坐标各力作用点坐标及其变分为：及其变分为：cos2lxDcos2lyDsin2lyDsin2lxEcos2lxEcos23lyEsin23lyE0Cx0Cxcos2lyCsin2lyC？平衡时求已知：:,21PPlBCAB列虚功方程：列虚功方程：0)(yFxFyx0sinsincossincos21111CEEDDyPyPxPyPxPcot)(2tan211PPP代入各坐标变分后解