考研高等数学上册函数与极限ppt

1、基础考研第一章基础考研第一章函数与极限（函数与极限（1 1） 2考研：考研：早开始早开始比任何事情都重要比任何事情都重要. .1.函数定义：函数定义：)(xfy Dx , Dx 0)(0 xf0 x一、函数一、函数 ( , )( ),Cx yyf xxD( ( 一般为曲线一般为曲线 ) )(xfy yxoD2.函数定义的两要素：函数定义的两要素：3.两个函数相同的条件：两个函数相同的条件：22( )( )12xxf xg xxx 如如：与与是是否否相相同同？2222( )sincos( )f xxxxg tt与与+1+1是是否否相相同同？3433( )-( )-1f xx xg xxx与与是是

2、否否相相同同？不同不同相同相同相同相同 定义域定义域: 对应规律的表示方法对应规律的表示方法: 解析法解析法、图象法、图象法、列表法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.4.定义域的求法：定义域的求法：分母不等于零的自变量的值分母不等于零的自变量的值.2( ),nu x( )0u x 须须使使；ln ( ),u x( )0u x 须须使使；(4)arcsin( ),arccos ( ),u xu x( )1u x 须须使使；使函数解析式有意义的自变量的使函数解析式有意义的自变量的 取值范围是函数的（自然）定义域取值范围是函数的（自然）定义域.(5

3、)tan ( ),sec ( ),u xu x( ), =0,1,2,2u xkk 须须使使(6)cot ( ),csc ( ),u xu x( ), =0,1,2,u xkk 须须使使是其各自定义域的交集是其各自定义域的交集.5.5.函数的四种特性函数的四种特性(1)函数的有界性函数的有界性:( )f xI在在 上上有有界界( )f xI在在 上上无无界界0( ).MxIMf xM 使使，都都有有- -000().MxIf xM ，使使得得设函数设函数( ),yf xxD 区间区间.DI 1( )1,2f xx 如如：在在上上有有界界吗吗？11x ，12x 呢呢？说明：说明：1.1.界不唯一

4、界不唯一,不一定找最小的界不一定找最小的界.2.2.函数的有界性是局部概念函数的有界性是局部概念.3.区分无界与无穷大，区分无界与无穷大， 无穷大一定无界，无穷大一定无界，但无界不一定但无界不一定是无穷大是无穷大.11( )sin( 1,0)(0,1)f xxx 如如：在在上上无无界界， 但但它它不不是是无无穷穷大大. .73.区分无界与无穷大，区分无界与无穷大， 无穷大一定无界，无穷大一定无界，但无界不一定但无界不一定是无穷大是无穷大.11( )sin( 1,0)(0,1)f xxx 如如：在在上上无无界界. .122xk 当当时时，( )(2)sin(2)22f xkk (2)2k 0,

5、1, 2, 3,k 其其中中：12xk 而而当当时时，( )2sin(2)0f xkk ，( )(2).2Mf xkM 找找不不到到使使11( )sin( 1,0)(0,1)f xxx 所所以以：在在上上不不是是无无穷穷大大. .4.4.还可定义有上界、有下界还可定义有上界、有下界有界的充分必要条件是既有上界又有下界有界的充分必要条件是既有上界又有下界(2) 单调性单调性设函数设函数( ),yf xxD,ID 区区间间12,xxI 12xx 当当时时12()(),f xf x 若若称称 ( )f x为为 I 上的上的单调单调增增函数函数 ;xy1x2x12()(),f xf x 若若称称 (

6、)f x为为 I 上的上的单调单调减减函数函数 ;注意注意: :(1)(1)这里是严格单调这里是严格单调(2)(2)单调性是局部概念单调性是局部概念.2(0,)yx 在在内内是是单单调调增增加加的的，(,0)在在内内是是单单调调减减少少. .I,Dx 1()( )fxf x ），2()( )fxf x ），是整体概念；是整体概念；偶函数偶函数关于关于y 轴对称轴对称；tan2yxxk 如如：在在时时是是奇奇函函数数吗吗？是是(3) 奇偶函数的定义域不一定是奇偶函数的定义域不一定是R.(4) 若若( )f x在在 x = 0 有定义有定义 ,(0) 0.f ( )f x为奇函数时为奇函数时, ,

7、则当则当则则(5)( ),f xD设设函函数数的的定定义义域域 关关于于原原点点对对称称( )f x则则一一定定可可以以.表表示示成成奇奇函函数数与与偶偶函函数数的的和和事事实实上上 11( )=( )() +( )+ ()22f xf xfxf xfx ( )=+f x奇奇函函数数 偶偶函函数数(4) 周期性周期性,0,xDl 且且,xlD )()(xflxf则称则称( )f x为为周期函数周期函数 ,若若称称 l 为为周期周期.例如例如, 常量函数常量函数( )f xC 狄里克雷函数狄里克雷函数( )f x x 为有理数为有理数x 为无理数为无理数, 1,0说明：说明：10周期函数的定义域

8、是无限的点集周期函数的定义域是无限的点集.20周期函数不一定存在最小正周期周期函数不一定存在最小正周期 .都都是是周周期期函函数数但但都都没没有有最最小小的的正正周周期期. .结论：结论：( )f xT若若以以 为为最最小小正正周周期期，()Tfx 则则以以为为0. 最最小小正正周周期期，设函数设函数( ),yf xxD cos ( )=sin(1)xf xxx exR 是是( (例例 ) )( ); ( ); ( ); ( ).ABCD有有界界函函数数单单调调函函数数周周期期函函数数偶偶函函数数解解注意：注意：考考查查函函数数的的基基本本性性质质时时， 会会根根据据函函数数的的特特征征， 迅

9、迅速速将将其其限限定定在在某某个个范范围围内内, ,其其一一般般方方法法如如下下：(1)(1)表表达达式式中中含含有有绝绝对对值值符符号号的的函函数数在在其其定定义义域域内内一一般般不不具具有有单单调调性性，(2)(2)若若在在自自变变量量的的某某变变化化过过程程中中, , 函函数数表表达达式式中中含含有有“ ”因子而无因子而无“0”因子因子,则则此此函函数数必必无无界界, , 但但不不一一定定是是 ，.nx(3)(3)含含有有幂幂函函数数因因子子的的函函数数必必不不是是周周期期函函数数cos()()=sin()=xfxxx e cossin=xxx e( )f x()D选选D12例例2.设在

10、区间设在区间(,)( )0,f xk 内内函函数数且且当当 为为大大于于0 0的的常常1(),(,)( )( )f xkf xf x 数数时时有有则则在在内内函函数数是是( )( )(2 )f xk解解C( ); ( ); ( ); ( ).ABCD奇奇函函数数偶偶函函数数周周期期函函数数单单调调函函数数 ()fxkk1()f xk 11( )f x ( ),f x(2 )f xk( )f x(,)( )f x 在在内内函函数数是是周周期期函函数数. .sin ( )=3tan,( )xf xxxef x设设函函数数则则是是例例（ ）( ); ( ); ( ); ( ).ABCD偶偶函函数数无

11、无界界函函数数周周期期函函数数单单调调函函数数解解2lim( )=xf x sin2limtan=xxxxe ，( ).f x故故无无界界( )B选选6.反函数反函数( )( ),yf xxy 由由( )( )xyyf x 则则叫叫的的反反函函数数，.( )yf x 叫叫直直接接函函数数11( )( )( ) ,()yf xxfyyfxxf D习习惯惯上上：sinarcsin arcsinyxxyyx 如如：记记作作：(1)定义定义1( ).xfy 记记作作: :(2)性质性质其反函数其反函数(减减)(减减) .1) yf (x) 单调递增单调递增1( ),yfx 存存在在且也单调递增且也单调

12、递增 2) 函数函数( )yf x 与其反函数与其反函数1( )yfx 的图形关于直线的图形关于直线yx 对称对称 .（注意：对单值函数而言的）（注意：对单值函数而言的）7. 复合函数复合函数 1( ),yf uuD( ),ug xxD1()g DD 且且则则 ( ),yf g xxD设有函数链设有函数链称为由称为由, 确定的确定的复合函数复合函数 , u 称为称为中间变量中间变量. 注意注意: 构成复合函数的条件构成复合函数的条件 1()g DD 不可少不可少. 例如例如, 函数链函数链 :arcsin ,yu 22 1,ux 2arcsin21,yxxD 32 1, 32,1 但函数链但函

13、数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数不能构成复合函数 .可定义复合可定义复合函数函数23322211 1,1xx 8. 初等函数初等函数(1) 基本初等函数基本初等函数幂函数、幂函数、 指数函数、指数函数、 对数函数、对数函数、 三角函数、三角函数、 反三角函数反三角函数(2) 初等函数初等函数由由常数及基本初等函数常数及基本初等函数否则称为否则称为非初等函数非初等函数 . 例如例如 ,2xy y0,xx0,xx并并可用一个式子表示可用一个式子表示的函数的函数 ,经过经过有限次四则运算有限次四则运算和和复合复合步步骤所构成骤所构成 ,称为称为初等函数初等函数 .可表为可表为故为初等函

14、数故为初等函数.,12arcsin2xy为初等函数为初等函数.yx xya sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,cscyx yx yxyx yx yxarcsin ,arccos ,arctan ,arccotyx yxyx yxlogayx 非初等函数举例非初等函数举例:符号函数符号函数sgnyx当当 x 0,1当当 x = 0,0当当 x 0,1xyo11,xR 对对有有sgnxx x 取整函数取整函数当当 yx 1,nxnnZ-4 3 -2 -1 1 2 3 41234-1-2-3-4oxy注意：注意：分段函数一般不是初等函数分段函数一般不是初等函数. f 解解(5)f(

15、)f 103 (10)f(7)f f (12)f( )f 123 (9)f . 6 1,1( ), ( )=_.0,1 5 xf xf f xx 设设函函数数例例则则 1,( )1( )0,( )1f xff xf x ，( )1f x 而而， ( )=1.f f x则则解解3,8( )(5). (5) ,84xxf xfff xx ，求求例例设设函函数数 1,1( ), ( ) 1 =0,xf xff f xx 设设例例6 6函函数数则则（ ）解解1101( ) ; ( ) ; ( ); ( ).0,11,1xxABCDxx ，0 01 1 1,( )1( )0,( )1f xff xf x

16、 ，( )1f x 而而， ( )=1.f f x则则 ( ) =1.ff f x于于是是( )B选选22-cos ,0,0( ), ( )=,lg ,01-, 07x xxxf xg xx xx x 设设函函数数例例 (-2) .g f求求(-2)=4,f (-2) =g f则则1- 4= -1.解解 注注意意：( ), ( ),f x g x已已知知 ( )( )f g xg f x求求或或时时，一一般般,用用代代入入法法逐逐次次复复合合即即可可( )g x应应特特别别注注意意的的是是的的( ).f x值值域域与与的的定定义义域域的的对对应应关关系系21例例8. 设函数设函数31,1( )

17、, ( ).,1xxf xf f xxx 求求解解 ( )f f x 3 ( )1,( )1f xf x( ),( )1f xf x = 3(31)1,311xx1x 且且，31x ， 31x 1 11x 且且，,x1x = 94,0 xx 31,x 01x,1xx 221( ),( )1 ( )0, ( )1g xg xf g xg x 1,1(0,19), x xf xx 函函数数例例 设设,2( ),2,2x xg xx x ( ).f g x求求1, x 解解1x 2-1x 1+(2- ),x0,其其它它2x 且且2x 且且1, -11=xx 23x3- , x0,其其它它例例102s

18、in(2)( )(1)(2)xxf xx xx 函函数数在在下下列列哪哪个个区区间间内内有有界界（ ）( )( 1,0); ( )(0,1); ( )(1,2); ( )(2,3).ABCD 解解-13xx 和和不不需需要要求求0,1,2,( )xf x 时时连连续续，0lim( )=xf x sin2,4 20sin(2)lim=(1)(2)xxxx xx 0lim( )=xf x 而而sin2,420sin(2)lim=(1)(2)xxxx xx 1lim( )=xf x21sin(2)lim(1)(2)xxxx xx , 24例例102sin(2)( )(1)(2)xxf xx xx 函函数数在在下下列列哪哪个个区区间间内内有有界界（ ）( )( 1,0); ( )(0,1); ( )(1,2); ( )(2,3