通信原理数字信号的最佳接收

1、第9章数字信号的最佳接收严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收本章主要内容n9.1 引言(什么是“最佳接收”)n9.2 最大信噪比准则(即匹配滤波器)n9.3 最小误码率准则n9.4 二进制最佳接收机举例对于考研的同学对于考研的同学,9.3节和节和9.2节同等重要节同等重要严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收9.1 引言n一、什么是“最佳接收”类似于香农定理指出了特定带宽和信噪比条件下的传信率的极限，“最佳接收”告诉人们在特定的发送波形和噪声情况下，接收机所能达到的最佳接收效果的极限即“最佳接收”是一种理论，是一种努力方向，但在实际中并不一定这么去设计接收机。严谨 严格

2、求实 求是第9章 数字信号的最佳接收二、最佳接收准则n“最佳”有不同的标准，我们把这些标准称为“最佳接收准则”，常见的准则有最大输出信噪比准则n经过对信号特殊处理，使得输出信号在特定的时刻达到最大信噪比最小均方差准则n因为“方差”代表着相似度，所以接收信号与哪个信号方差最小就表示发送的是哪个信号最小误码率准则n使得差错的概率最小（从概率分布密度入手）严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收9.2 最大信噪比准则及其最佳接收n以“最大信噪比”为准则的最佳接收机又称为“匹配滤波器”，下面将解释这个名字的由来)()()(tntstx设接收端收到的信号为发送信号发送信号高斯白噪声高斯白噪声2)

3、(0ntn的双边功率谱密度为并设即满足叠加定理设匹配滤波器是线性的,)()()(2tntstyoo部分组成则其输出也有输出单独经过匹配滤波器的与分别是与其中)()()()(tntstntsoo严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收)()(1ooSFts即)()(1HSFdeHStj)()(21输出信号的瞬时功率所以输出信号的瞬时功率为所以输出信号的瞬时功率为22)()(21)(deHStstjo22)()(41deHStj严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收输出噪声的平均功率n根据3.9节中的结论公式(3.9.8)可知n一个平稳随机过程通过线性系统后的功率谱密度是原来的|

4、H()|2倍n所以当功率谱密度为n0/2高斯噪声通过线性的匹配滤波器时，输出噪声功率谱密度为20)(2HndHnNo20)(221输出噪声平均功率dHn20)(4严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收匹配滤波器在t0时刻输出的瞬时信噪比d| )(|4de )()(41| )(|202j220oo0HnSHNtsrto兹不等式根据高等数学中的许瓦dxxgdxxfdxxgxf222)()()()(d| )(|4de )(d)(41202j22o0HnSHrt严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收匹配滤波器最大瞬时信噪比2d)(2102onSr即EtsS的能量就是信号伐定理可知根

5、第二章学过的据巴塞)(d)(21200o22nEnEr这就是匹配滤波器能获这就是匹配滤波器能获得的最大瞬时信噪比得的最大瞬时信噪比严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收获得最大瞬时信噪比的条件n即上式中等号成立的条件，也就是许瓦兹不等式中等号成立的条件，为两个函数共轭*)()(0tjeSH即0)(*tjeS对上式两边同时取反付立叶变换可得对上式两边同时取反付立叶变换可得（积分过程详见公式（积分过程详见公式9.2.9）)()(0ttsth在电路学中，两个共轭的阻抗，我们通常称作在电路学中，两个共轭的阻抗，我们通常称作“匹配匹配”，这正，这正是是“匹配滤波器匹配滤波器”名称的由来名称的由

6、来)(,0码元宽度通常取为了使系统可物理实现bTt 严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收)()()(激响应即匹配滤波器的单位冲取反付立叶变换可得对thHdeHthtj)(21)(deeStjtj0)(21*deedestjtjj 0*)(21ddeeestjtjj0)(21dsdeetjtj)(21)(0根据付立叶变根据付立叶变换时移特性换时移特性dstt)()(0)(0tts严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收h(t)与s(t)的波形关系)()(0tTsthTtbb所以有一般取n通过对任意一个s(t)波形，画出h(t)波形的方法，我们可知nh(t)与s(t)关于t=T

7、b/2这条竖线呈左右对称如t)(tsbT2bTt)(thbT2bT则严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收匹配滤波器的输出信号表达式n根据信号与系统知识，输出信号应为单位冲激响应与输入信号之卷积，即d)()(0tsts)()(,0ttRts的自相关函数上式恰好为根据自相关函数定义d)()()(ohtsts严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收例题已知s(t)如图所示，求n（1）输出最大信噪比的时刻n（2）匹配滤波器的单位冲激响应和输出波形n（3）最大信噪比的值t)(tsbTA严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收bbTTt码元结束时刻，最大信噪比时刻即为一般选解：

8、0) 1 ( 对称关于应与响应匹配滤波器的单位冲激2)()()2(bTttsth图形如下所以)(tht)(thbTA严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收的卷积与为输出根据信号与系统知识，)()()(thtstsot)(thbTA)(sAbT)(th0)()(, 0stht当0)()()(dsthtso00)()(,0区间内不为只有在当tsthTtb)()(tTTAthbb且bTAs)(且严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收bTA)(sAtTb)(tht的积分区域时bTt 0时当bTt 0dsthtso)()()(dTAtTTAbtbb0)(62322ttTTAbbt)(

9、tsobT严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收bTA)(sAtTb)(tht的积分区域时bbTtT2时当bbTtT2dsthtso)()()(dTAtTTAbTtbbbbT-)(t)(tsobTbT2严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收bTA)(sA)(thtbT2时当bTt20)()()(dsthtsot)(tsobTbT2严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收02)3(nEro直接利用公式dttsEbT02)(dttTAbTb02bTbtTA0323332bbTTA32bTA0232nTArbo的最大值为严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收关于

10、这类题型的总结n1、 h(t)与输出信号不是一回事n2、 h(t)与s(t)关于Tb/2对称n3、输出信号是h(t)与s(t)的卷积，通常要分段来讨论相乘以后的积分结果n4、信号能量可以从信号波形中计算出来严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收匹配滤波器最佳接收模型严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收作业n课后习题9.1n注意：（1）设噪声功率谱密度n0已知（2）h(t)与输出信号不是一回事（3）h(t)与s(t)关于Tb/2对称（4）而输出信号是h(t)与s(t)的卷积，共分4段严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收9.3 最小误码率准则n我们在第7章讲过,二

11、进制不归零信号的误码率1/0) 1 (0/1)0(PPPPPe0a1a)(0 xf)(1xfy)(100/1对应图中红色阴影面积的条件概率误判成是发其中P)(011/0对应图中兰色阴影面积的条件概率误判成是发其中P根据第根据第7章的讨论章的讨论,最佳判决电平最佳判决电平y应满足应满足:)()0()() 1 (01yfPyfPx1,判成时当yx 1)()0()() 1 (01判为xfPxfP0反之判成严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收最大似然准则n根据上面的公式，我们可以得出一个误码率最小的最佳判决准则n这个准则简称为“最大似然准则”当发当发“1”或发或发”0”是一个恒定电平时是一

12、个恒定电平时两个条件概率就是高斯分布，从而可以具体计算。两个条件概率就是高斯分布，从而可以具体计算。但，如果信号不是恒定信号呢？但，如果信号不是恒定信号呢？)() 1 (1xfP)() 0(0 xfP10严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收当发送信号不是恒定电平信号时的条件概率分布密度(证明过程从略)n例如2ASK/2FSK/2(D)PSK调制波形,发”1”或发“0”时，波形不是一个恒定电平n所以该信号加上噪声后，也不是一个简单的高斯分布n可证明其k维联合概率密度为)()(1exp)2(1)(020)(dttstynyfbTknts是一个随机过程是接收机收到的信号其中,)(ty严谨

13、 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收任意二进制波形的最大似然准则n对于非恒定电平波形的信号（如2进制数字调制信号），最大似然准则变成：)()(1exp)(02101dttstynsPbT1s2s)()(1exp)(02202dttstynsPbT0)(1)(21表示发；表示发其中tsts严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收最小误码率准则下的最佳接收机n对上式两端同取以e为底的对数（因为指数函数不易用电路实现）dttstynsPbT02101)()(1)(ln1s2sdttstynsPbT02202)()(1)(ln把积分号里的平方项展开把积分号里的平方项展开严谨 严格 求实

14、 求是第9章 数字信号的最佳接收最小误码率准则下的最佳接收机)()()(2)(1)(ln021010201dttsdttstydttynsPbbbTTT1s2s)()()(2)(1)(ln022020202dttsdttstydttynsPbbbTTT),2PSK,2FSK()()(021021双极性基带信号调制例如假设dttsdttsbbTT由于基于这个假设，所以下面的结论和框图不适用由于基于这个假设，所以下面的结论和框图不适用于单极性的基带信号和于单极性的基带信号和2ASK信号！信号！严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接收最小误码率准则下的最佳接收机n整理上式得dttstysPnbT0110)()()(ln21s2sdttstysPnbT0220)()()(ln21U计为2U计为)(2ts+1U+2U严谨 严格 求实 求是第9章 数字信号的最佳接