超越考研复习全书数一习题详解第二章

1、第二章 练习题解答一、选择题1. 已知，则当时，函数在点处的微分是（ ）（A）与等价的无穷小 （B）与同阶的无穷小（C）比低阶的无穷小 （D）比高阶的无穷小【解】选（B） 因为，则当时，函数在点处的微分是与同阶的无穷小故选（B）.2. 设在上均可导，且，则必有（ ）（A） （B）（C） （D）【解】选（C） 由于在上均可导，且，则在上均连续，且，即，故选（C）3. 设函数在点的某邻域内有定义，则在处可导的一个充分条件是（ ）（A）存在 （B）存在（C）存在 （D）存在【解】选（D）排除法：因为，所以排除（A）因为存在不能保证及均存在，所以排除（B）同理，排除（C）而，故选（D）4. 设连续，则

2、（ ）.（A） （B） （C） （D）【解】选（C） 因为，所以，故选（C）5. 函数在点处存在的最高阶导数的阶数是（ ）（A） （B） （C） （D）【解】选（C）因为,，则；，则；，因为，所以不存在，故选（C）.6. 设极限，则函数在点处必（ ）.（A）取极大值 （B）取极小值 （C）可导 （D）不可导【解】选（D） 由保号性知， 在内有，即，则函数在点处必不取极值所以排除（A），（B）.由已知 ，即，而，则，即函数在点处不可导7. 设，则在处（ ）（A）不连续 （B）连续而不可导 （C）可导，而导函数不连续（D）导函数连续【解】选（B） 因为，所以函数在处连续；又，由于，则函数在处不可导

3、，故选（B）8. 下列命题正确的是（ ）（A）若在点处可导，则存在 ，使在内连续（B）若是的极值，则（C）若在点连续，在点的去心邻域内可导，且 ，则（D）若在点处可导且，则存在，使在内成立【解】选（C） 取，则，但除点0外处处不连续，可排除（A）.取，则在点取得极小值，但不存在，可排除（B）.若，即，由保号性，在内 ，即 ， 可排除（D）.若，则，故选（C）.9. 设是周期为的可导函数，且，则曲线在点处的切线方程为（ ）（A） （B） （C） （D）【解】选（C） 由，因为可导的周期函数的导函数仍然为周期函数，且周期不变，所以，.则曲线在点处的切线方程为，即10. 设满足，则有（ ）（A）不是

4、极值且 也不是拐点 （B）是极小值（C）是的拐点 （D）是极大值【解】选（C）由，两边对求导，得，即，由保号性，在内，即，即，故是曲线的拐点故选（C）.二、填空题1. 曲线在对应于的点处的切线方程是 【解】填：.时，则曲线在对应于的点处的切线方程是.2. 设，则【解】填：先求极限再求导：因为，所以3. 设，则【解】填：两边微分，整理得 .4. 设函数满足，则.【解】填： 则5. 设则【解】填： ， .6. 函数的极小值点是 【解】填： 为驻点，且，故为函数的极小值点.7. 函数在区间上的最大值是 【解】填： 函数在区间上连续，则一定存在最大值和最小值.，且，则函数在区间上的最大值是.8. 设，

5、则极限 【解】填： 设，则因为，所以9. 设，其中在点的某邻域内可导且，则 【解】填： ， （令），则.10. 设，则【解】填： ，则，由数学归纳法可得 .三、解答题1. 求下列函数的导数或微分：（1）， （2），（3）， （4），（5）， （6），（7）， （8）【解】（1）； （2）；（3）； （4）； （5）；（6）；（7）； （8）2. 求下列函数的高阶导数：（1）， （2），（3）， （4）【解】（1），则，则； （2），因为，则；（3），当时，当时，则（）； （4） 【解】因为时， 时，所以因为时，时，所以.假设函数在点处阶可导且，因为当时，总是形如的有限项之和（其中C为常数，），

6、且由洛必塔法则，所以，从而，所以函数在处也阶可导.由数学归纳法知在处无穷次可微且.3. 设是由方程组所确定的隐函数，求【解】.4. 设函数其中为正整数，试问（1）当为何值时，在处连续；（2）当为何值时，在处可导；（3）当为何值时，在处连续【解】（1）若在处连续，必有 此时；（2）若在处可导，必有 存在 ，当时，有（3） 若在处连续，必有，此时5. 求曲线上任意点处的法线到原点的距离【证明】设曲线上任意点为，对应的参数值为，则由参数函数求导法可得：于是，处法线方程为：，整理可得：由点到直线距离公式可得所求距离为：6. 已知且，求【解】由通解公式得，由解得，故，由莱布尼茨公式 7. 证明：可导的周

7、期函数的导函数是周期函数【证明】设是以为周期的可导函数，即，两边对求导得，则是以为周期的周期函数.8. 判定下列命题是否正确，若认为正确，请给出证明；若认为错误，请举出反例：（1）若在点处可导，则在点处均可导；（2）若在点处可导，在点处不可导，则在点处一定不可导【解】（1）错误反例：则在点处可导, 但在点处均不连续故均不可导.（2）正确（反证法）假设在点处可导，由已知在点处可导，则 存在，矛盾.9. 设在有限开区间内可导，试问：（1）若，能否断定？（2）若，能否断定？【解】（1）取 （）；而，则，但当时，.故由，不能断定.（2）取 （）由于，则，但.故由，不能断定.10. 当时，若是关于的四阶

8、无穷小，求【解】由已知有 ，即整理得则必有.11. 设函数，（1）讨论的单调性，求其极值；（2）判定的凹凸性，求其拐点；（3）求在内的最小值，并由此证明不等式；（4）作出函数的图形；（5）就常数，讨论方程的根【解】（1）定义域为，为驻点，因为 ，所以在内单减，在内单增，极小值；（2），且由于，则在内是凹曲线，在内是凸曲线，是拐点；（3）因为，所以在内的最小值是；即，（4）略（5）方程即为，当时，无根；当时，一根；当时，两根12. 证明：，其中，【证明】设，则在或上为凹弧，故有，即.13. 证明：（）【证明】设，则在上连续，故存在最大值和最小值.， ，故在上的最小值为，则有（）14. 证明：（）

9、【证明】令， ，则 ， ， 则单调递增，当时，所以单调递增，当时，即知，当时 ，;令， ，则 ， ，单调递增，当时,，所以单调递增，当时，即知，当时 ，即.即证 （）15. 已知函数且存在，试确定常数【解】， ， ，由已知即有，,16. 已知是二阶连续可导函数且，（1）确定使得在处连续；（2）当在处连续时，求；（3）讨论在处的连续性【解】（1）在处连续 ，即当时在处连续；（2）时， ；时故（3）故在处连续17. 在直线上求一点，使过已知点和的直线与直线以及轴在第一象限内围成的三角形面积最小【解】设点的坐标为， 则过已知点和的直线方程为 ，令，得该直线与轴的交点为 , 则过已知点和的直线与直线以

10、及轴在第一象限内围成的三角形面积为，对求导，解为唯一驻点，即为最小值点.即过点和直线上点的直线与直线以及轴在第一象限内围成的三角形面积最小18. 求内接于半径为的球体内圆锥体的最大体积【解】设圆锥体的底半径为，则内接于半径为的球体内圆锥体的体积为，对求导，解为唯一驻点，即为最大值点.此时19. 设函数在上有连续二阶导数，若，其中，证明：在内至少存在一点，使【证明】令，显然在，上分别满足拉格朗日中值定理的条件，故有，由条件知在上有连续二阶导数，则在上满足拉格朗日中值定理的条件，故有，即在内至少存在一点，使20. 设函数在上可微，在内单调增加，证明：对任意，恒有【证明】显然在上满足罗尔定理的条件，则至少存在一点，使得，由于在内单调增加，则对有单调递减，故，有，即；同理，对有单调递增，故，有，即，故对任意，恒有21. 设函数在上二阶可导，其中满足，证明：（1）对任意，所构成的数列收敛且；（2）当时，是的二阶无穷小【证明】（1）因为，所以，即；（2），即当时，是的二阶无穷小22. 已知在处有极值，确定系数，并求出的所有极值与拐点，描绘函数图形【解】由已知，则. 令为驻点，没有不可导的点.，因为所以，则为凸弧，为凹弧，故为拐点23. 求函数的最大值与最小值【解】 为驻点，没有不可导的点.