数学建模课程设计论文

1、食品安全指数（FSI）数学建模与评价摘 要：论文针对为不同种类的食品建立综合食品安全指数的问题，分析并确定了影响食品安全指数（Food Safety Index）的三个基本要素，即食品卫生检测合格率、食品有害物质影响和食品营养价值。在此基础上建立了食品安全 指数模型。首先，用分层次建模的方法建立了一个基本的线性分式模型。然后利用现有统计数据进行定量分析，遵循同类相比原则，体现各指标的相对性，从而使得不同种类食品之间的安全程度能够纵向比较。其次，引入权重系 数，对该线性分式模型的参数进行计算估计和改进。再次，根据标准化原则，在计算某种食品的标准安全指数时只 需把其影响因素值和其权重系数相乘，便可

2、以使得对不同类型食品的评价建立在一个公平的基础上。论文提出的模 型可以根据不同人群的需要进行变动，从而应用范围更为广泛。最后，论文用量化因子乘以安全指数作为修正项对 模型进行修正，既考虑了各个因素之间的相互影响，也准确地体现出反馈效应对模型系统的影响。关键词：食品安全指数；食品安全检测；民生指数；食品不安全因素；食品卫生检测合格率1 问题的提出 近年来，食品安全问题越来越受到全社会的关注。“民以食为天”，食品安全关系人民群众生活，关系 社会稳定和谐。食品安全重大事件甚至可能损害国家形象、影响对外交往及经济的发展。所以，如何提高食 品的安全程度，让民众吃得放心，已成为当前各级政府及相关部门急待解

3、决的民生问题之一，也是实现科学 发展观的重要举措。为了能客观、定量、通俗、概括性地反映某地区的食品安全现状，及时发现食品安全领域中存在的问题，帮居民合理选择安全卫生的食品，保障公众安全健康，笔者在大量研究现有食品安全评价体系的基础上提 出了一种食品安全指数（Food Safety IndexFSI）数学模型，力求通用简单地反映食品安全中的主要问题且为 管理部门和大众容易接受，为政府及相关管理机构建立科学的食品安全信息发布和预警体系提供科学的规律 与方法，为政府定期发布权威的“食品安全指数” 提供决策依据，加强对有毒有害物质的预警和食品安全重 大事件的防御，利用这一指数控制食品风险并提高生活质量

4、。使它成为和消费者物价指数（CPI），空气污染 指数那样有较大影响和指导意义的“民生指数”。有关部门可以定期或不定期对主要食品的质量和所含有毒 有害物质进行常规抽检，获取与食品安全有关的相关数据，利用本文提出的数学模型，计算出食品安全指数， 定期向社会公布。为政府、企业、消费者提供科学权威的食品安全指数是本论文的主旨所在。2 问题的分析 广义的食品安全综合评价指数包括食品数量安全指数、食品质量安全指数和食品可持续安全指数。其中食品数量安全指数包括人均热能日摄入量、粮食总产量波动系数、粮食自给率、年人均粮食占有率和低收入 阶层食品安全保障水平；食品可持续安全指数包括人均耕地、人均水资源量、水土流

5、失面积增加和森林覆盖 率。可以看出以上两种均属于国家调控的范围，属于国家战略安全问题，而本文仅需要对产品本身的安全给 以关注，关心食品本身的质量从而指导消费者合理正确的购买，因此，本文所述的食品安全就是指食品的质 量安全。为了叙述方便，对食品安全研究中的相关术语给出定义。食品安全：对食品按其原定用途进行制作和食用时不会使消费者健康受到损害的一种担保。包括食品卫 生检测总体合格率、食品有害物质影响以及食品营养价值。食品卫生检测总体合格率：食品卫生抽检合格数与总抽检数之比。从总体上反应了食品的卫生状况，是 食品质量安全的一个基本指标。食品不安全因素：即食品有害物质，主要分为两类，即化学性危害因素和

6、生物性危害因素。 化学性有害物质包括： 环境污染：无机物污染如汞，镉，铅等重金属以及一些放射性物质。有机物污染如二噁英，多环芳烃，多氯联苯等工业化合物及副产品。 农药、兽药残留：农药，兽药，饲料添加剂中含有的对人类健康构成威胁的或者微量无害过量有害的有机物。 食品添加剂：为了有助于加工，包装，运输，储藏过程中保持食品的营养成分，增强食品的感官性状，适当使用一些食品添加剂是必要的，但是如果大于最低有效水平，则会给食品带来毒性，影响食品的安全性， 危害人体健康。生物性有害物质包括： 各种生物因素直接或间接地引起食品的危害，主要包括各种生物材料甚至是食品加工的原料的某些有害成分，由于处理不当，残留在

7、食品中，影响食品质量或造成安全危害，各种有害微生物，寄生虫等，尤其是 食品源病原菌或某些真菌的毒素等污染食品，引起食品安全危害。食品营养价值：食品本身含有对人体有益的物质。包括动物性食品提供热能比和优质蛋白质所占总蛋白 质比重。动物性食品提供热能比是动物性食品提供的热能占总热能的比重；优质蛋白质所占总蛋白质的比重 可以反应出膳食结构中蛋白质的水平。平衡膳食：强调由多种天然食物组成的膳食，可提供人体基本的营养需要，在支持正常发育、保持合适 体重、预防营养不良的同时，减少同营养过剩相关疾病的发生。平衡膳食理论特别强调要避免过量消费在慢 性非传染性疾病的发生中有潜在不良影响的食品与营养素。通过阅读大

8、量的资料，我们获知，影响食品安全的主要因素有：食品卫生监测合格率，致病病原菌抽检 合格率，工业源污染物抽检合格率，各种毒素类抽检合格率，食品添加剂抽检合格率，化学农药、兽药残留 抽检或普查合格率，热能适宜摄入值，优质蛋白质所占比重，脂肪所占热能比以及各微量元素等等。在如此多的因素中，本论文的研究思路是：通过聚类分析，把其中的因素按属性进行合并，从而得出 食品卫生监测合格率、食品有害物质影响和食品营养价值为定量计算食品安全指数的三个基本要素。在下文 中，我们将首先考虑各个因素的决定情况以及它们之间相互的影响来加权分析从而得出食品安全指数。再通 过膳食结构的研究，从而确定更加综合的食品安全指数。3

9、 模型假设 （1）本文所研究的有毒有害物质指的是对人体影响很大或者在食品中相对含量较大的物质，忽略对人体 影响很小或者在食品中含量很少的物质。（2）假设居民平均日摄入量不发生剧大变化，即相当长一段时间内居民的饮食结构不发生大的变化。 （3）假设各种有毒物质对人体的伤害不存在相互促进性，即某几种物质同时存在，并不会引起某种得毒性比其单独存在时的毒性强很多。4 模型的建立与求解 4.1 食品安全指数模型相关因素分析为了研究的方便，我们把食品卫生监测合格率、食品有害物质和食品营养价值作为定量计算食品安全指数 的三个基本要素，并详细研究哪些指标又影响这三个基本因素，进而统筹分析，建立合理的模型。（1）

10、食品卫生安全合格率的分析 在食品投放市场之前，质检部门都会对一定样本数量的食品进行抽检，国家相关法律规定，食品被抽检的合格率要不低于国家标准的的合格率才能上市销售，因此，食品的质检合格率是衡量食品安全指数的一个 重要指标。食品卫生检测总体合格率即实测食品合格率：食品卫生抽检合格数与总抽检数之比，从总体上反应了食 品的卫生状况，是食品质量安全的一个基本指标。（1）但是，由于食品的种属不同，其产品规定合格率会有所差异，也就是说直接用不同种类食品（如蔬菜和 肉类）的合格率来横向比较没有太大实际意义，因此，我们引入食品质检相对合格率的概念，定义如下：用符号来表示，即：（2）公式（2）比公式（1）更合理

11、，因为它将原本不具有横向可比性的两个合格率，通过作比值的一系列处 理，而变成了横向可比的相对量。而且通过数据大小分析可以得出 （注：只有合格率达标的才 会在市场上流通）。这样，我们用所得出的相对质检合格率来进行横向比较，即不同种类食品间的比较，就有 了意义。因此，我们可以用此指标来衡量不同种类食品间的优劣，其相对质检合格率越大，食品的安全指数 也应该成正增长，说明了二者之间具有某种正相关关系。用表 1 中的统计数据来说明这样设计的好处:表1 4类食品合格率统计数据项 目大豆鱼、肉水果类（苹果）水果类（梨）实测质检合格率 QR85.7%88.5%95.1%95.5%相对质检合格率 RR28.5%

12、23.3%51.0%55.0%国家标准合格率 SR80.0%85.0%90.0%90.0%由表中数据不难看出，由于国家标准不同，比如苹果合格率要在 90%以上才能上市，而大豆只要 80%就 可以，所以比较苹果和大豆的抽检合格率大小没有意义，而我们用相对值表示偏离程度，就可以用来比较， 说明苹果的 55%确实比大豆的 28.5%要好。（2）有害物质含量的分析 如上所述，有害物质主要分为两类：即化学类和生物类。化学类有害物质包括化学农药残留、兽药残留和添加的各种有害化学物质(如添加剂)等，生物类有害物质主要包括细菌类毒素、真菌类毒素以及某些植物毒 素等。对化学类有害物质影响的分析，需规范如下术语的

13、定义： 残留，指食物中非食品本身固有的各种化学物质的微量存在； 残留监控，是一个国家或地区对其消费者所食用的各种食品中残留情况进行调查，在此基础上采取相应措施对残留进行控制的行动； 由于化学污染物的毒害作用与其进入人体的绝对量有关，因此评价食品安全时用检测中某种污染物的实际残留量与国家允许最高残留量来比较更为科学合理，在这样一种理论背景下，导出可以用来评价食品中某 种化学物质残留对消费者健康影响的算式。首先，我们定义了化学有害物质影响率 这一概念，公式如下：（3）其中是化学物质i的实际检测残留量（mg·kg-1）； 为化学毒物i的国家允许最高残留量（mg·kg-1）；显然可

14、以发现，在全面考虑了某一种食品中各种可能存在的化学有害残留物后，加上的各项具有可加 性，因此值就可以很好的衡量在化学有害物质的影响下的食品安全状况。由的计算公式可以看到，其分子分母都是性质完全相同的数据，故其比值没有任何单位，仅表示摄 入量的比，不包含任何其它信息的数值。因此，食品中的 值采取加和取平均是完全合理的。（4）2009 年 10 月第三届全国农业环境科学学术研讨会论文集975之所以这里写成矩阵的形式有两个好处，首先可以看得更清晰，很直观的把常量与变量区分开来；另外 这也阐明了化学性毒物和下文论述的生物性毒物对目标因素贡献的相似性，在形式上也便于理解。我们把 称 为标准摄入矩阵，称为

15、摄入判断矩阵。通过对数据值的大小进行分析，可以得到，它的取值范围和我们的食品质检相对合格率的范围相同，这样可以使我们所研究的每个因素的值都在一个区间（0，1）内，从而使我们提出的模型终值有 着比较明确的意义。用表2统计数据来说明：表2中数据为国家允许的该有毒化学物质在各类食品中存在的最大值。基于有毒 化学物质众多，我们在此只研究国家明确要求必须检验的四种毒性最大的化学元素，至于其他毒性较小或含 量较少的元素我们可以认为其无显著影响，或者在研究特定类食品时予以考虑，比如在研究卷心菜时要考虑 元素钼的含量。但是由于我们的模型是以算术平均值的形式给出，所以加上其它元素应不影响我们结果的合 理性。表2

16、 国家允许的该有毒化学物质在各类食品中存在的最大值项目镉/mg·kg-1铅/mg·kg-1汞/mg·kg-1砷/mg·kg-1大豆0.20.20.010.1肉类0.10.20.050.05苹果0.050.10.010.05鱼类0.10.50.050.1因为不同元素含量的数量级不同，因此没有横向比较的意义，通过我们的模型无量纲化以后，计算得的 是没有任何单位的数值，便产生了横向比较的价值，下面我们引入权重系数，可使得值对食品安全指数的 影响能够合理显现出来。同样的道理，对于生物类毒素，由于其毒害作用也与其进入人体的绝对量有关，因此评价食品安全时同 样用人体

17、对各类生物毒素的实际摄入量与其安全摄入量来比较，在同样的理论背景下，导出可以用来评价食 品中生物毒素残留对消费者健康影响：（5）其中是生物毒素k的实际检测残留量（mg·kg-1）； 为生物毒素k的国家允许最高残留量（mg·kg-1）；（6）综合化学类与生物类有害物质的分析，我们在模型中均采用差值形式减掉有害物质的含量来求得其相对 含量，可以预见，当有害物质含量越小时，或 的值都会越大，这样和 都与食品安全指数成正相关 关系，与我们先前分析的相对质检合格率的影响是一致的，而且通对数值大小的分析可以同样得出：这样我们通过巧妙设计算法，就可以把本来不相同的各个因素统一到一种形式下

18、来分析，并且使它们的作用一致，就可以很好的实现我们的目标。 （3）有益物质影响的分析对食品中有益物质的测定（或称营养价值的评定）主要由以下两个基础评价指标完成，即热能比和 优质蛋白质比，从操作性上讲它们都具有可测性、可比性、可获得性等特点；从营养学上讲它们所涉及 的有益物质都是人体正常生理活动能量的提供者、即是基本保证，可以从本质上反映有益物质各部分的状况。查阅文献我们知道，热能比一项主要包括脂肪提供的热能占总的热能的比重 和动物性食物提供 的热能占总热能的比重两大类，其它形式的热能比因为其在数量和质量两方面的微弱影响我们可以在此 忽略不计。因此我们用脂肪热能比和动物性食物提供的热能比两项相乘

19、作为热能比的相对值，即：（7）而观另一影响因子，由于在所有蛋白质中优质蛋白质的种类是确定的，即不存在特异性，因此其值 便 可以直接在不同食品之间进行横向比较，其大小情况便可以反映其蛋白质类对食品安全指数的贡献。因此，我们可以用的值即来反映有益物质对我们要建立的食品安全指数模型 的贡献。表3食品成分表项 目大 豆牛 肉苹 果苹 果总热能比ER0.355.4600.0280.521优质蛋白质比PR0.3630.2010.0030.181由表3中数据可以看出，鱼、肉类含有的优质蛋白质和脂肪与大豆差异不大，但却远远高于苹果，因此， 仅凭此一项来判断食品安全程度是不科学的。所以，我们只把有益物质的分析列

20、为完整食品安全指数的一个 指标，通过下文对模型的建立，我们可以通过适当的权重系数使本项指标更加合理的在食品安全指数中体现 出来。4.2 食品安全指数模型的建立根据我们的分析，是食品的相对质检合格率、有害物质和有益物质共同影响食品安全指数。因此我们用 综合指数法将各个因素的控制因素累乘，然后按权值相加，从而最后计算得出食品安全的综合评价指数。为此，我们采取同类相比、综合考虑的原则，首先做出以下假设：各因素的子因素之间地位等同，不分 优劣，即等权重。从而，我们提出以下的数学模型公式2009 年 10 月第三届全国农业环境科学学术研讨会论文集977（8）其中，分别为质检相对合格率的权重系数、有害物质

21、影响的权重系数、有益物质影响的权重系数，它们的具体求法将在下文给出。 我们知道，一种食品的安全指数是由这种食品的三个属性来共同决定，那么此食品的值自然是由各种影响因素按其贡献程度叠加而成，属于线性叠加。也就表现为我们上面的加权和形式。之所以加权，是因 为考虑到各个影响因素对于整个食品的安全指数的贡献程度不同，有两方面的原因：一是由于各个因素之间 有着很大的差异，例如食品的质检合格率和食品的有害物质影响对其安全指数的影响显然是不能等同的；二 是其有益物质与有害物质所占的比重也不同，自然贡献成分也有所不同。但这样的模型仍然稍有不足，即各个因素的子因素我们认为是等同的，比如在有害物质影响里，我们认

22、为化学性毒物和生物性毒物这两个子因素对有害物质这个因素的影响是等危害的，而实际中，显然它们是不 能等同的，例如有些化学毒物在体内显示累加效应，即含量超过一定值后才有显著危险；而有些生物性毒物 虽然含量微小但足以致命。因此，二者之间仍有显著不同。对有益物质的分析也是一样，脂肪和蛋白质同为 人体正常生理活动所必需的物质，但脂肪大量贮藏，易再生；而蛋白质作为结构的组成部分，一旦不足将影 响新陈代谢。所以这二者也有显著区别。为了使模型更具有一般性，我们再一次进行改进，即我们充分考虑各个因素的子因素对其的决定关系， 也按照其贡献程度进行加权。由于各子因素之间是乘积的形式，于是我们考虑把权重系数加在指数上

23、。接下来，我们给出以下数学模型：（9）这样我们得到的模型较之前面更为深入了一步，而且更为合理了一些，依次为化学有害物 质影响率的权重系数、生物有害物质影响率的权重系数、脂肪比影响率的权重系数以及优质蛋白质比影响率 的权重系数。它们的具体算法将随后给出。这样，从各个子影响指标来看我们按其权值累乘来分析是合理的，从三个直接影响指标来看，我们按其 权值累加分析也是合理的。事实上，我们在得到上面的几个公式时，都是在假定影响本食品安全指数的三要素是相互不影响的，而 实际情况中，这三要素之间是有一定联系的，比如若食品中有害化学物质含量一多必然会引起质检合格率的 降低，而上述模型不能体现这一点，因此我们做出

24、以下改进。首先，我们做出以下假设：食品安全指数是用我们上面所得的公式来衡量的，在上面的公式中，我们考虑这三个影响因素之间是没 有相互作用的。用原方法计算时，由于有益物质、有害物质的含量均会影响到质检合格率，所以就表现为原式计算出来 的食品安全指数又反过来影响了三要素中的质检合格率。这其实是一种反馈效应。为此我们再次进行修正计算，既使得第二迭代计算食品安全指数时又要考虑到第一次算法中食品安全指 数对质检合格率的影响。但各因素自身的算法是不变的。假设食品安全指数和质检合格率是成最基本的线性关系，即食品安全指数越高，该食品的质检合格率就 越高；而食品安全指数越低，该食品的质检合格率就越低。这也是一种

25、最简易而又最显然的关系。 考虑食品安全指数与质检合格率有关，于是我们定义质检合格率因素对食品安全指数的修正因子，那么有（10）（11）这样计算出来的食品安全指数值显然要比用式（9）计算出来的 值更合理些，因为我们在这里 进一步考虑了质检合格率和食品安全指数之间的作用关系，控制了反馈效应对结果的扰动，属于对已有模型 的进一步优化。当然公式确实变得更为复杂了，为了在形式上进一步简化，我们可以把上面的公式用前面定 义的符号进一步化为：（12）其中：4.3 模型中各个权重系数的确定在的模型中,权重系数可分为两类。一类是不同指标累加时的权重系数 ，另一类则是不同指标累乘时的权重系数 ，我们分类给出其求解

26、方法。 比较了常用的求权重系数的方法如层次分析法、模糊评判法后，我们发现层次分析法主观性太强，求得的权重系数抗干扰性很差；而模糊评判法则需要回收专家给出的权值来统计分析，因此一般也认为这种方法 具有一定的主观性，为此，我们设计了一种基于数据来分析求解权重的比较公正、客观的求解方法。首先，我们从内层权重系数开始求起，即先求，（取）因为表44类食品热能、蛋白质比项 目大 豆牛 肉苹 果带 鱼总热能比ER0.3550.4600.0280.521优质蛋白质比PR0.3630.2010.0030.181因为各个项都是处于区间（0，1）上的，故将其取对数后，再取其相反数，这样可以保证各个数都是正 值，比较

27、便于处理。首先，确定 的值。我们选用大豆、牛肉、苹果和带鱼四种不同属性的食品进行研究，易发现没有 加权时它们的值显著不同，因此也具有分析的价值。具体算法为，定义， 从 ，取 上述四种截然不同种属的食品为对象，算出它们的四条曲线 值，从曲线中找到使得四条曲线的平 均比值最小。其中，若有n种食品，则商数的值为m= Cn2根据上述算法通过MATLAB软件模拟计算得出下列曲线：再用MATLAB语言编程找出最佳的使平均比值最小值为。采用类似的方法，取 我们可以来确定 的值（略）。我们通过采集到的数据，得出了权数如表5：表5 参数权数项 目修订前11.813.2修订后0.35710.64290.23810

28、.7619为了使我们的式子能更好地符合实际情况，由于以上四个权数都是出现在指数上的，如果指数过大，那 么显然即使某一个数较大，但是也会由于乘方太多而使数值太小，从而使结果有些偏颇，为此我们采用如下 方法进行标准化：（13）则可得修订后的各个权数，见表5。 通过上面的权重系数，我们可以分别求出各食品的以下值：项 目大 豆肉 类苹 果鱼 类GN2/0.42160.49050.58410.4848GN3/0.35780.34230.01260.3572最后，采用类似的方法，可求得 :确定的值。先忽略从，取大豆，肉类，苹果以及鱼类四 种未加权值时值显著不同的不同种属的食品为对象，算出它们的四条曲线值，从曲线中找到 使得四条曲线的平均比值最小。数据如下表：项目大豆肉类苹果鱼类0.60050.66160.59040.6634再由以上数据，便可以求出系数 最后，我们用类似的方法对三个权数进行标准化可以得到：可以看出，我们得标准化方法不会影响的正相关关系，而能把数据归一化为（0，1）之间，从 而产生比较的价值。量化因子确定 在确定了前面两类权重系数后，我们也采取对 遍历取值的方法来确定 。根据以上求出的权数我们便可以得最终的食品安全指数和量化因子为直线关系，对于不同的食品，其直线并不相同。再用相同的做法我们可以得