第29讲 图形的旋转

1、数学数学第29讲图形的旋转第七章图形的变化课标解读1通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等2了解中心对称，中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分3探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质4认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形年份题号题型考查点考查内容分值201325(3)解答题图形的旋转以两个全等三角形旋转为背景：(3)计算重叠部分的面积2201117填空题图形的旋转以等腰直角三角形的旋转为背

2、景，计算扫过的阴影部分面积3近几年山西中考，对图形的旋转的考查形式灵活多样，在填空题中考查三角形或线段旋转的性质，在解答题中大多与折叠、相似及探究性问题结合考查，可能会和平面直角坐标系结合起来考查相关知识而在作图题中，多以旋转的特殊情况中心对称为考查重点预计2016年会在解答题中以几何图形猜想证明题为背景考查图形的旋转 1图形的旋转：(1)定义：把一个图形绕着某一个点O转动一定角度的图形变换叫做_，如果图形上的点P经过旋转变为点P，那么这两个点叫做这个旋转的对应点；(2)要素：确定一个旋转运动的条件是要确定旋转中心、_和旋转角度；(3)性质：对应点到旋转中心的距离_；对应点与旋转中心所连线段的

3、夹角等于_；旋转前、后的图形_旋转旋转方向相等旋转角全等2中心对称：(1)定义：把一个图形绕着某一个点旋转_，如果它能够与_图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做_，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点；(2)性质：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过_，而且被对称中心_；关于中心对称的两个图形是_180另一个对称中心对称中心平分全等3中心对称图形：(1)定义：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做_，这个点就是它的_；(2)常见的中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、边数为偶数的正多边形、圆等中心对称

4、图形对称中心1中心对称与中心对称图形的区别和联系区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180，与原图形重合联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称 2中心对称与轴对称的区别和联系区别：中心对称有一个对称中心点；图形绕中心旋转180，旋转后与另一个图形重合轴对称有一条对称轴直线图形沿直线翻折180，翻折后与另一个图形重合联系：如果一个轴对称图形有

5、两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形3旋转作图(1)旋转作图的依据是旋转的特征(2)旋转作图的步骤如下：确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；确定图形的关键点(如三角形的三个顶点)，并标上相应字母；将这些关键点沿旋转方向转动一定的角度；按照原图形的连接方式，顺次连接这些对应点，得到旋转后的图形，写出结论命题点：用轴对称、中心对称设计图案(2012山西)实践与操作：如图是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图是以图为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形；(1)请你仿照图，用两段相等的圆

6、弧(小于或等于半圆)，在图中重新设计一个不同的轴对称图形；(2)以你以图中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图中拼成一个中心对称图形解：(1)在题图中设计出符合题目要求的图形即可，图略(2)在题图中画出符合题目要求的图形即可，图略(注：此题为开放性试题，答案不唯一，只要符合题目要求即可)A识别中心对称图形【例1】(2015杭州)下列图形是中心对称图形的是( )【点评】把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这样的图形才是中心对称图形 对应训练1(2015绥化)下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数有( )A1个 B2个 C3个 D4个B(2)如图，A

7、BC中，ABAC1，BAC45，AEF是由ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D.求证：BECF；当四边形ACDE为菱形时，求BD的长【点评】(1)抓住旋转中的“变”与“不变”；(2)找准旋转前后的对应点和对应线段、旋转角等；(3)充分利用旋转过程中线段、角之间的关系 对应训练2(1)(2015吉林)如图，在RtABC中，ACB90，AC5 cm，BC12 cm，将ABC绕点B顺时针旋转60，得到BDE，连接DC交AB于点F，则ACF与BDF的周长之和为_cm.42 (2)(2015日照)如图，已知，在ABC中，CACB，ACB90，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将

8、ECF绕点C逆时针旋转角(090)，得到MCN，连接AM，BN.求证：AMBN；当MACN时，试求旋转角的余弦值与旋转有关的作图【例3】(2015昆明)如图，ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)(1)请画出ABC关于x轴对称的A1B1C1，并写出点A1的坐标；(2)请画出ABC绕点B逆时针旋转90后的A2BC2；(3)求出(2)中C点旋转到C2点所经过的路径长(结果保留根号和)【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键 对应训练3(2015厦门)在平面直角坐标系中，已知点A(3，1)，B(2，0)，C(

9、0，1)，请在图中画出ABC，并画出与ABC关于原点O对称的图形解：作图如下：轴对称、平移、旋转的综合应用【例4】(2015东营)如图，两个全等的ABC和DFE重叠在一起，固定ABC，将DEF进行如下变换：(1)如图，DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动)，连接AF，AD，BD.请直接写出SABC与S四边形AFBD的关系；(2)如图，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么ABC应满足什么条件？请给出证明【点评】本题主要考查了正方形的判定以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练应用正方形的判定方法是解题关键试题如图，正方形ABCD的顶点A与正三角形AEF的顶点A重合

10、，将AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BEDF时，BAE的大小是_错解15解析：正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，BEDF，ABAD，AEAF，ABE ADF(SSS)，BAEFAD.EAF60，BAEFAD30，BAEFAD15 15或165剖析正三角形AEF可以在正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解正解解：(1)当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，BEDF，ABAD，AEAF，ABEADF(SSS)，BAEFAD.EAF60，BAEFAD30，BAEFAD15.(2)当正三角形AEF在正方形ABCD

11、的外部时，如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，BEDF，ABAD，AEAF，ABE ADF(SSS)，BAEFAD，EAF60，2BAEEAF90360，BAE165.故答案为15或1652016年中考预测题如图，在ABC中，ABAC，BAC90，点D，E分别是AB，AC边的中点，将ABC绕点A顺时针旋转角(0180)，得到ABC.(1)探究DB与EC的数量关系，并给予证明；(2)当DBAE时，试求旋转角的度数一、选择题(每小题5分，共25分)1(2015甘南州)下列交通标志中，是中心对称图形的是( )D2(2015德州)如图，在ABC中，CAB65，将ABC在平面内绕点A旋转到

12、ABC的位置，使CCAB，则旋转角的度数为( )A35B40C50D65CB4(2015扬州)如图，在平面直角坐标系中，点B，C，E，在y轴上，RtABC经过变换得到RtODE.若点C的坐标为(0，1)，AC2，则这种变换可以是( )AABC绕点C顺时针旋转90，再向下平移3BABC绕点C顺时针旋转90，再向下平移1CABC绕点C逆时针旋转90，再向下平移1DABC绕点C逆时针旋转90，再向下平移3AA5(2015宁波)如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为( )A B C

13、D7(2015扬州)如图，已知RtABC中，ACB90，AC6，BC4，将ABC绕直角顶点C顺时针旋转90得到DEC.若点F是DE的中点，连接AF，则AF_ _59(2013兰州)如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒，点E在量角器上对应的读数是_ _度144三、解答题(共50分)11(8分)(2013温州)如图，在方格纸中，ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上(1)将ABC平移，使点P落在平移后的三角

14、形内部，在图甲中画出示意图；(2)以点C为旋转中心，将ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图解：(1)平移后的三角形如图所示：(2)旋转后的三角形如图所示：12.(10分)(2014咸宁)如图，在RtABC中，ACB90，B30，将ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到DEC，点D刚好落在AB边上(1)求n的值；(2)若点F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由 解：(1)在RtABC中，ACB90，B30，将ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到DEC，ACDC，A60，ADC是等边三角形，ACD60，n的值是60(2)四边形ACFD是菱形；理由：DCE

15、ACB90，点F是DE的中点，FCDFFE，CDFA60，DFC是等边三角形，DFDCFC，ADC是等边三角形，ADACDC，ADACFCDF，四边形ACFD是菱形13(10分)(2013荆州)如图，是一个44的正方形网格，每个小正方形的边长为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4.解：如图所示：答案不唯一14(10分)(2015南昌)如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)(1)求对称中心的坐标(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标解：(1)根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，D1，D的坐标分别是(0，3)，(0，2)，对称中心的坐标是(0，2.5)(2