大学物理近代物理习题课

1、u 斯特藩斯特藩- -玻尔兹曼定律玻尔兹曼定律04d)()(TTMTMBBu 维恩位移定律维恩位移定律Tm=b sJ1063. 6 )1e (2)(3452 hhcTMkThcB u 普朗克黑体辐射公式普朗克黑体辐射公式1u爱因斯坦光电效应方程爱因斯坦光电效应方程hAEkm00时为红限eAeheEUkmaAvmAEhmkm221 hIN 2u康普顿效应康普顿效应碰撞前后能量和动量守恒碰撞前后能量和动量守恒能量能量2200mchcmh动量动量coscos0chmchvsinsin0chmv2sin22sin22200ccmh式中常量式中常量c= =0.00242nm是散射角是散射角 =90 方向

2、上测得的方向上测得的波长改变量，称为波长改变量，称为康普顿波长康普顿波长。 cmh03u康普顿效应康普顿效应4注意：（注意：（1）原子量小的，康普顿散射强，反之，弱。）原子量小的，康普顿散射强，反之，弱。（2）反冲电子的动能）反冲电子的动能20220)(1cmccvmEk 2021vm 220)(121vcvm 3 光子与自由电子碰撞光子与自由电子碰撞，散射光的波长移动散射光的波长移动光子与束缚电子碰撞，散射光波长不移动光子与束缚电子碰撞，散射光波长不移动 hh5u光的波粒二相性光的波粒二相性光子的动量光子的动量hchmcp光子的质量光子的质量E=h=mc2光子的能量光子的能量2chm 光波动

3、理论中的光强光波动理论中的光强I与单位时间内通过单位面与单位时间内通过单位面积的光子数积的光子数N相联系相联系I=Nh6u德布罗意波假设德布罗意波假设71、不考虑相对论效应时：不考虑相对论效应时：kmEhmvhmvhP2 hmvmvhEk2 2122 E、m、P 的关系：的关系：mPEk22 2、考虑相对论效应时：、考虑相对论效应时：20)(1cvvmhPh )(hE动动 E、m、P 的关系：的关系：42022cmcPE 总总 hPhE 频频率率速速度度 v2202)(1cvhcmhmchE 总总8 1、求波长为求波长为 （或频率为（或频率为 ）的光子）的光子能量、动量、质量能量、动量、质量

4、chmhPhcchmchPh 2 2、电子与光子各具有、电子与光子各具有 =2.0A0 它们的它们的动量动量、总能量总能量各等于多少？各等于多少？电子的电子的动能动能等于多少？等于多少？解：电子与光子的解：电子与光子的动量动量均为：均为：11410323 smkghP总能量总能量eVPcchhE310216 光子光子eVcmcpE542022105120 电子电子问题：问题：为何为何?102163eVchE 电子电子电子动能电子动能 (非相对论性）非相对论性）kmEh2 eVmhEk737222 电子电子电子电子vhE频率频率速度速度 v9202cmmcEk 3、261、（、（1）写出实物粒子

5、德布罗意写出实物粒子德布罗意波长波长与粒子与粒子动能动能Ek 和和 静止静止质量质量 m0 的关系的关系解解2022cmEEhcmvhkk 220ccmEmk 202022cmEcmEEcvkkk 20220)(1cmcvcmEk 解得解得当当 时时,20cmEk 202cmEEkk (2)证明证明 时时,20cmEk ;20kEmh kkEhccmE ,20时时202cmEhck 202202,2cmEEcmEkkk kEhc 02mEhk 10(3)计算动能分别是计算动能分别是 0.01 MeV 和和 1GeV 电子的电子的 德布罗意波长德布罗意波长对对 Ek=0.01MeV 的电子的电子

6、, 因因 Ek2moc20510241AEhck u海森伯不确定关系海森伯不确定关系24 hpxx2 ypy2 zpzxxph 做数量级估算时也可以用做数量级估算时也可以用:xxp 严禁使用严禁使用2xhxp 11u能量和时间的不确定关系能量和时间的不确定关系2 tE1213例题：例题：利用不确定关系式估算氢原子基态的结合能和第一利用不确定关系式估算氢原子基态的结合能和第一玻尔半径。玻尔半径。解：设解：设PPrx ,rhrPPx 2由由remPE02242 remrh0222248 则得到则得到令令 , 0 drdE: , 202min将将其其代代入入上上式式玻玻尔尔半半径径 mehreVhm

7、eE 61382024min 基态结合能为基态结合能为613* EE14解解PPdx2 , PPhPdhPx 2 ;dhP2min 222minmin82mdhmPE JJ1310101003 说明电子不可能在原子核内说明电子不可能在原子核内!21431234)1041(10198)1066( d例题：近似估算电子局限在原子核例题：近似估算电子局限在原子核 (d 1.4 10-14m )内内,最最 小允许能量小允许能量 为多少为多少 ? 将此能量与原子核内质子与中子将此能量与原子核内质子与中子 的结的结 合能合能 (大约大约 10 -13 J)相比较相比较,说明什么问题说明什么问题?u一维自由

8、粒子物质波的波函数一维自由粒子物质波的波函数)(0)(20)(20eee),(EtpxiEtpxhixtitx u波函数的统计解释波函数的统计解释2),(tVWrdd概率密度概率密度：粒子在粒子在t 时刻在空间时刻在空间r 处附近单位体积中出现处附近单位体积中出现的概率。的概率。概率波不是任何物概率波不是任何物理量的真实波动。理量的真实波动。15u波函数的统计解释波函数的统计解释标准化条件标准化条件：单值、连续、有限。单值、连续、有限。归一化条件归一化条件：实物粒子存在于空间，总要在空间某处出：实物粒子存在于空间，总要在空间某处出现，因此粒子在整个空间出现的总概率应该等于现，因此粒子在整个空间

9、出现的总概率应该等于1，即，即 VVt1d),(2r16熟练计算熟练计算2),(tr 概率密度的极大、极小值的极大、极小值概率概率?)(212 dxxxxnu薛定谔方程薛定谔方程),(),(),(2),(22trtrUtrmtrti 这就是微观粒子运动时所需满足的微分方程，称为这就是微观粒子运动时所需满足的微分方程，称为含时薛定谔方程含时薛定谔方程，它描述了低速运动的粒子运动状态随，它描述了低速运动的粒子运动状态随时间的变化关系，反映了微观粒子运动的规律。时间的变化关系，反映了微观粒子运动的规律。 u定态薛定谔方程定态薛定谔方程0)()(2)(22 rrUEmr 0)()(2)(222 xxU

10、Emdxxd 粒子处于定态时，粒子处于定态时，它在各处的出现它在各处的出现的概率不随时间的概率不随时间变化。变化。 17u一维无限深方势阱一维无限深方势阱 axxaxxU, 000)(U(x)oax0)(2d)(d222 xmExx ax 0axxx , 0 0)( 归一化定态波函数归一化定态波函数 （本征函数）（本征函数）2sin (1,2,3,) 0( )0, ,0nxnxaxaaxa x ，18u一维无限深方势阱中粒子运动特征一维无限深方势阱中粒子运动特征 能量量子化能量量子化 能量本征值能量本征值 3 , 2 , 1 ,22222 nmanEn 零点能零点能22212maE22222m

11、anEnn=1 概率分布概率分布19u量子隧道效应量子隧道效应)(221202EUmaeACT贯穿势垒的概率贯穿势垒的概率（U0 E）贯穿概率与势垒的宽度与高度有关贯穿概率与势垒的宽度与高度有关2021例题：粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为例题：粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为)0( )sin(2)(axaxnaxn 若粒子处于若粒子处于 n=1 的状态的状态,在在 0a /4区间发现该粒子的几率区间发现该粒子的几率是多少？是多少？ 2sin4121sin2Cxxxdx 解解dxaxaWa 240sin2402sin4122aaxax )(sin2240axdaxaaa 0

12、910)42sin(41422 aaaa提示：提示：22例题：在宽度为例题：在宽度为 a 的一维无限深方势阱中运动的电子，的一维无限深方势阱中运动的电子，已知：已知： )(xaxx ,0 0axxanA 0 sina41a43解（解（1）1)(sin202 dxxanAaaA2 （2）axxmEdxxd 0 0)(2)(222由边界条件可求得由边界条件可求得22212maE （3）amEh221 （4）n=1 时，几率密度：时，几率密度： )(sin2)(22axnaxW (4) n=1 及及 n=2时，几率密度最大的位置时，几率密度最大的位置（5）处在基态的处在基态的 粒子，粒子， 在在 和

13、和 范围内的几率范围内的几率（6）波函数图形波函数图形求（求（1）归一化系数归一化系数 A（2）基态能量基态能量 （3）基态德布罗意波长基态德布罗意波长23几率密度最大的位置：几率密度最大的位置：)(sin2)(22axnaxW 0)cos(sin40 anaxnaxnadxdW即即令令用倍角公式：用倍角公式： 将将 代入此式：代入此式：0)2sin( xa 3 ,2 , , 02xaaaax23 , ,2 ,0 若若 n=2 可求得可求得 aaaax,43,2,4,0 dxaxaWaa24341sin218180 (6)波函数图形波函数图形:略略（5）处在基态的粒子处在基态的粒子 在在 和和

14、 范围内的几率范围内的几率43a)12(1 注意这个加号注意这个加号1 n0)2sin( xan24关于玻尔理论关于玻尔理论1 、三点假设、三点假设nEEEE321 , ,knEEh nL 3 , 2 , 1 n2 由由库仑力库仑力 =向心力向心力量子化条件量子化条件可得可得nnnEvr , ,0202)530(Ananrn eVnnEEn221613 注意注意 （1）各谱线系及频率计算）各谱线系及频率计算 （2）单位）单位JeV1910611 25状态能量状态能量：原子系统处于某激发态时所具有的能量：原子系统处于某激发态时所具有的能量所以，某一状态的所以，某一状态的激发能量激发能量 = 该状

15、态的该状态的状态能量状态能量基态能量基态能量氢氢原子的原子的状态能量状态能量 氢原子中氢原子中电子的电子的状态能量状态能量电离能电离能：把某能级的电子搬到无限远处所需要的能量。数值上：把某能级的电子搬到无限远处所需要的能量。数值上 等于等于状态能量的绝对值状态能量的绝对值结合能结合能：将动能为零的电子从无限远处移来和一个离子：将动能为零的电子从无限远处移来和一个离子 结合成基结合成基态态 的原子所放出的能量。数值上等于的原子所放出的能量。数值上等于最低能量的绝对值最低能量的绝对值例题：电子由能量为例题：电子由能量为 0.85eV 的状态跃迁到激发能为的状态跃迁到激发能为 -10.21eV 的状

16、态时，所发射光子的能量。的状态时，所发射光子的能量。eV542 （注意激发能是基态跃迁到该激发态所需的能量）（注意激发能是基态跃迁到该激发态所需的能量）eVEx3932110)613( 解解：激发能为：激发能为-10.21eV的的状态是状态是54. 2)39. 3()85. 0( h激发能量激发能量：原子从基态被激发到某一激发态，外界所提供的能量：原子从基态被激发到某一激发态，外界所提供的能量2654321n-13.6+13.06=-0.54-13.6=-0.54n2n=510) , 5( n例题：处于基态的氢原子吸收例题：处于基态的氢原子吸收13.06eV的能量后可激发到的能量后可激发到n=

17、？ 的能级的能级,当它跃迁回到基态时当它跃迁回到基态时,可能辐射的光谱线有几条？可能辐射的光谱线有几条？27 5、质量为、质量为 m 的卫星在半径为的卫星在半径为 r 的轨道上绕地球运动线速度为的轨道上绕地球运动线速度为v（1）假定玻尔氢假定玻尔氢原子理论中关于轨道动量的条件对于地球卫星同样成立，原子理论中关于轨道动量的条件对于地球卫星同样成立，证明证明地球卫星的轨道半地球卫星的轨道半径与量子数的平方成正比。即径与量子数的平方成正比。即r=kn2 （ k 是常数）是常数） ( 2）应用（应用（1）的结果求卫星轨道和它的下一个）的结果求卫星轨道和它的下一个“容许容许”轨道间轨道间 的距离，进的距

18、离，进一步说明在宏观问题中，轨道半径实际上可认为一步说明在宏观问题中，轨道半径实际上可认为 是是连续变化连续变化的。取的。取证明（证明（1）rmvrGmM22 nmvr )(108222mMGmk （2）221)1(knnkrrnn 21)(22)12(nkrnkkn kgm 1 说明轨道可以认为是连续变化的说明轨道可以认为是连续变化的010)(244211 nnnnrkrrrkgM24106 )(10466mr 22111076kgNmG sJh 341066222)(knMGmnr u氢原子的定态薛定谔方程氢原子的定态薛定谔方程0)(42)(0222rreEmr 能量量子化和主量子数能量量

19、子化和主量子数n n422220113.6=eV 1,2,38nmeEnnhn 轨道角动量量子化和角量子数轨道角动量量子化和角量子数l1, 2 , 1 , 0 )1( nlllL 轨道角动量轨道角动量空间取向空间取向量子化和磁量子数量子化和磁量子数m ml llmmLllz , 2, 1, 0 28u氢原子的定态薛定谔方程氢原子的定态薛定谔方程称称为为径径向向概概率率密密度度为为概概率率密密度度222)()(),(rRrrPrnl u 自旋角动量取向是量子化的，用自旋角动量取向是量子化的，用 在外磁场方向的投影在外磁场方向的投影 来表示来表示 SSZmL 21 Sm共共 个值，实际个值，实际

20、2 个值个值自旋磁量子数自旋磁量子数SZLSm12 SSL29u氢原子的定态薛定谔方程氢原子的定态薛定谔方程30)()()(),(lllmlmnlnlmrRr例题：例题：22.13(p243)22.13(p243)3102/242121501( )( )3r aPrRrrrea0/2213001( )3(2)rarRreaa0)(21drrdP0max4ar0/400/04/3ararearer32氢原子（核外电子）的状态由一组量子数表征氢原子（核外电子）的状态由一组量子数表征), 3 , 2 , 1( 6132 neVnEnn.)1, 2 , 1 , 0( )1( nlllLl)2, 1,

21、0( lmmLmllZl )21( ssSZsmmLm n 个值个值n 个值个值2 个值个值主壳层主壳层 个态个态支壳层支壳层 个态个态22n)12(2 l33例题：波函数为例题：波函数为 则则 表示表示_. (粒子在粒子在 t 时刻时刻,在在x 、 y、z附近出现的几率附近出现的几率)例题：粒子运动的波函数图形分别为以下各图确定粒子例题：粒子运动的波函数图形分别为以下各图确定粒子 动量的精确度最高的波函数是哪个图动量的精确度最高的波函数是哪个图?AB( A )例题：原子内电子的量子态由例题：原子内电子的量子态由 n 、l 、m l 、 m s 四个量子四个量子数表征数表征.当当 n、l、m

22、l 一定时一定时, 不同的量子态数目为不同的量子态数目为_；当；当 n 、 l 一定时，不同的量子态数目为一定时，不同的量子态数目为_；当；当 n 一定时，不同的一定时，不同的 量子态数目为量子态数目为_。2 ),12(2 , 22nl ),(tr * 34 2 )( 2 )(2PhaBRaAaPRhDRPhaC2 )( )(2 )( 例题：例题：光电效应和康普顿效应都包含有电子与光子的相互光电效应和康普顿效应都包含有电子与光子的相互作用过程对此，在以下几种理解中，正确的是：作用过程对此，在以下几种理解中，正确的是： （A）两种效应电子与光子组成的系统都服从动量守恒和）两种效应电子与光子组成的

23、系统都服从动量守恒和 能量守恒能量守恒（B）两种效应都相当于电子与光子的弹性碰撞过程）两种效应都相当于电子与光子的弹性碰撞过程（C）两种效应都属于电子吸收光子的过程）两种效应都属于电子吸收光子的过程（D）光电效应是吸收光子的过程，而康普顿效应则相当）光电效应是吸收光子的过程，而康普顿效应则相当 于光子和电子的弹性碰撞过程于光子和电子的弹性碰撞过程例题：如图，一束动量为例题：如图，一束动量为 P 的电子通过缝宽为的电子通过缝宽为 a 的狭缝的狭缝，在距离狭缝为，在距离狭缝为 R 处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央 最大的宽度最大的宽度 d 等于等于u 原子中电子的运

24、动状态可由四个量子数确定。原子中电子的运动状态可由四个量子数确定。主量子主量子数数 n角量子角量子数数 l磁量子磁量子数数 ml自旋磁量子自旋磁量子数数 msu 泡利不相容原理泡利不相容原理u 能量最小原理能量最小原理35u激光产生的原理激光产生的原理u固体的能带理论：导体、绝缘体、半导体固体的能带理论：导体、绝缘体、半导体un n型半导体、型半导体、p p型半导体、型半导体、pnpn结结3637关于实验关于实验量子物理中有哪些重要实验量子物理中有哪些重要实验?它们分别说明了什么问题它们分别说明了什么问题? (1)光电效应光电效应：说明光的波粒二相性，光与物质相互作用时，：说明光的波粒二相性，

25、光与物质相互作用时， 其能其能量有不连续的结构。量有不连续的结构。（2）康普顿效应康普顿效应：说明光的量子理论是正确的，动量守：说明光的量子理论是正确的，动量守 恒、能量恒、能量守恒在微观单体过程中是正确的。守恒在微观单体过程中是正确的。（3）氢原子光谱氢原子光谱的实验规律：表明了原子光谱是分立的间接反映的实验规律：表明了原子光谱是分立的间接反映了原子内部结构的不连续性。了原子内部结构的不连续性。（4）卢瑟福卢瑟福 粒子散射粒子散射实验：发现原子的核式结构。实验：发现原子的核式结构。（5）夫兰克夫兰克赫兹实验赫兹实验：证明原子内部存在分立的定态能级。：证明原子内部存在分立的定态能级。（6）代维逊代维逊革末实验革末实验：证明实物粒子（电子）的波粒二象性。：证明实物粒子（电子）的波粒二象性。（7）斯特恩斯特恩盖拉赫实验盖拉赫实验：证明电子自旋及角动量空间量子化。：证明电子自旋及角动量空间量子化。例题：例题：20.5 (p181)20.5 (p181)3822221