电磁场与电磁波复习珍藏版

1、第1章 电磁场与电磁波的基本原理第第1章章 电磁场与电磁波的基本原理电磁场与电磁波的基本原理 11 电磁场的基本方程电磁场的基本方程12 静电场静电场 13 恒流电场恒流电场14 恒流磁场恒流磁场15 平面电磁波平面电磁波 第1章 电磁场与电磁波的基本原理11 电磁场的基本方程电磁场的基本方程 一、电磁场中的基本场矢量一、电磁场中的基本场矢量 电磁场中的基本场矢量有四个电磁场中的基本场矢量有四个:电场强度电场强度E,电位移矢量电位移矢量D,磁感应强度磁感应强度B和磁场强度磁场强度H。 第1章 电磁场与电磁波的基本原理 (一一) 电场强度电场强度E 场中某点的电场强度场中某点的电场强度E定义为单

2、位正电荷在该点定义为单位正电荷在该点所受的力所受的力,即即 在上式中在上式中q为检验电荷的电量为检验电荷的电量,它必须足够小它必须足够小,不致不致会影响原来的电场。会影响原来的电场。F为为q所受到的电场力。在国际单所受到的电场力。在国际单位制位制(SI)中中,力力F的单位为牛顿的单位为牛顿(N),电量电量q的单位为库仑的单位为库仑(C),电场强度电场强度E的单位为伏的单位为伏/米米(V/m)。 FEq(111) 第1章 电磁场与电磁波的基本原理 (二二) 电位移矢量电位移矢量D 如果电介质中存在电场如果电介质中存在电场,则电介质中分子将被极化则电介质中分子将被极化,极极化的程度用极化强度化的程

3、度用极化强度P来表示。此时电介质中的电场必须来表示。此时电介质中的电场必须用电位移矢量用电位移矢量D来描写。它定义为来描写。它定义为 式中式中0为真空或空气的介电常数为真空或空气的介电常数,0=8.8510-12 法拉法拉/米米(F/m)。在。在SI单位制中单位制中,D的单位为库仑的单位为库仑/米米2(C/m2)。 (112) 0DEP第1章 电磁场与电磁波的基本原理 对于线性媒质中某点的电极化强度对于线性媒质中某点的电极化强度P正比于该点正比于该点的电场强度的电场强度E。在各向同性媒质中某点的。在各向同性媒质中某点的P和和E方向相方向相同同,即即 式中式中e为电极化率为电极化率,它是没有量纲

4、的纯数它是没有量纲的纯数,不同的介不同的介质就有不同的质就有不同的e。将式。将式(113)代入式代入式(112)得得 0ePxE(113) 0000(1)eerDExEx EEE (114) 第1章 电磁场与电磁波的基本原理 式中式中=0(1+e)称为介质的介电常数称为介质的介电常数,而而r=1+e称称为介质的相对介电常数。对于各向异性介质为介质的相对介电常数。对于各向异性介质,P的方向的方向和和E方向不一定相同方向不一定相同,D的方向和的方向和E的方向也不一定相同的方向也不一定相同,即即e和和为张量。为张量。 (三三) 磁感应强度磁感应强度B 磁感应强度磁感应强度B是描写磁场性质的基本物理量

5、。它表是描写磁场性质的基本物理量。它表示运动电荷在磁场中某点受洛仑兹力的大小。假如示运动电荷在磁场中某点受洛仑兹力的大小。假如,一一个速度为个速度为v的电荷的电荷q在磁场中运动经过该点时在磁场中运动经过该点时,运动电荷运动电荷q受到磁场力受到磁场力F的作用的作用,则该点的磁感应强度则该点的磁感应强度B定义为定义为 FqvB(115) 第1章 电磁场与电磁波的基本原理 (四四) 磁场强度磁场强度H 如果磁介质中有磁场如果磁介质中有磁场,则磁介质被磁化。描写磁介则磁介质被磁化。描写磁介质磁化的程度用磁化强度质磁化的程度用磁化强度M来表示。此时磁介质中的来表示。此时磁介质中的磁场必须引入磁场强度磁场

6、必须引入磁场强度H来描写来描写,它定义为它定义为 0BHM(116) 式中式中0为真空或空气的磁导率为真空或空气的磁导率0=410-7亨利亨利/米米(H/m)。M和和H的单位为安培的单位为安培/米米(A/m)。 在各向同性媒质中在各向同性媒质中M和和H方向相同。即有方向相同。即有 mMH(117) 第1章 电磁场与电磁波的基本原理 将式将式(117)代入式代入式(116),得得 B=0(H+M)=0(1+m)H=0rH=H (118) 式中式中m称为媒质的磁化率称为媒质的磁化率,它是一个没有量纲的纯它是一个没有量纲的纯数。数。=0(1+m)称为媒质的磁导率。称为媒质的磁导率。r=1+m称为相称

7、为相对磁导率。对于各向异性媒质对磁导率。对于各向异性媒质,B和和H及及M和和H方向不一方向不一定相同定相同,即即和和m均为张量。均为张量。 第1章 电磁场与电磁波的基本原理 二、全电流定律二、全电流定律 在普通物理中在普通物理中,曾经讨论了恒流磁场中的安培环路曾经讨论了恒流磁场中的安培环路定律定律,即为即为 上式表明上式表明,磁场强度磁场强度H沿任一闭合回路的环流等于沿任一闭合回路的环流等于此闭合回路所包围的传导电流的代数和此闭合回路所包围的传导电流的代数和。那么这个定。那么这个定律是否适用于律是否适用于非恒流磁场非恒流磁场呢呢?(119) lSdSJIdlH第1章 电磁场与电磁波的基本原理

8、我们来分析电容器充放电的情况我们来分析电容器充放电的情况,如图如图111所所示示,在任何时刻穿过金属导体任一个横截面的电流总是在任何时刻穿过金属导体任一个横截面的电流总是相等的相等的,但在电容器的两块极板间的传导电流等于零。但在电容器的两块极板间的传导电流等于零。因此因此,就整个电路而言就整个电路而言,传导电流是不连续的传导电流是不连续的,此时应用此时应用安培环路定律安培环路定律 图 111 l第1章 电磁场与电磁波的基本原理 如取如取S1面面,则有则有 如取如取S2面面,则有则有 (1110) (1111) 上式结果表明上式结果表明,在非恒流的磁场中在非恒流的磁场中,H的环流与闭合的环流与闭

9、合回路回路L为边界的曲面有关为边界的曲面有关,选取不同的曲面选取不同的曲面,环流值就不环流值就不同。同。这说明非恒流磁场中安培环路定律不再适用。后这说明非恒流磁场中安培环路定律不再适用。后来麦克斯韦提出了位移电流的假设来麦克斯韦提出了位移电流的假设,修正了安培环路定修正了安培环路定律律,使它适用于非恒流磁场。使它适用于非恒流磁场。 lidlHldlH0第1章 电磁场与电磁波的基本原理 当电容器充、放电时当电容器充、放电时,电容器极板上的电荷量电容器极板上的电荷量q和电和电荷密度荷密度S均随时间变化。流向极板的电流均随时间变化。流向极板的电流i=dq/dt,而其而其电流密度为电流密度为Jd=dS

10、/dt。在两极板间的电位移矢量。在两极板间的电位移矢量D和和穿过整个极板间截面的电位移通量穿过整个极板间截面的电位移通量D=SD均随时间变均随时间变化。电位矢量化。电位矢量D的大小等于极板上电荷密度的大小等于极板上电荷密度S,而电位而电位移通量移通量D等于极板上的总电量等于极板上的总电量D=SS。因此电位移矢。因此电位移矢量量D和电位移通量随时间的变化率分别为和电位移通量随时间的变化率分别为 (1112) SdDSSddDdJdtdtdddSidtdtdtdsDidtdSdtdqdtd第1章 电磁场与电磁波的基本原理 可见可见,极板间的电位移通量随时间的变化率极板间的电位移通量随时间的变化率d

11、D/dt在数值上等于极板间的电流在数值上等于极板间的电流id、而极板间电位移矢量随、而极板间电位移矢量随时间的变化率时间的变化率dD/dt,在数值上等于板内的电流密度在数值上等于板内的电流密度Jd。在电容器充电时在电容器充电时,dD/dt的方向和的方向和D的方向相同的方向相同;而放电而放电时时,dD/dt的方向和的方向和D的方向相反。因极板间不可能存在的方向相反。因极板间不可能存在传导电流传导电流,因此因此,我们称我们称dD/dt为位移电流为位移电流,dD/dt为位移为位移电流密度。即电流密度。即 dDddDJdtdidt(1113) 第1章 电磁场与电磁波的基本原理 引入位移电流以后引入位移

12、电流以后,极板间的位移电流和电容器外极板间的位移电流和电容器外的传导电流形成了全电流的传导电流形成了全电流i,构成了电流的连续性。此时构成了电流的连续性。此时安培环路定律可以修正为安培环路定律可以修正为 (1114) 式中式中Jc和和Jd分别为传导电流密度和位移电流密度分别为传导电流密度和位移电流密度,ic和和id分别为传导电流和位移电流。分别为传导电流和位移电流。 lSdcDcdlcdSJJdlHdtdiiiidlH)(dSdtdDJSc)(第1章 电磁场与电磁波的基本原理结论：结论：n 磁场强度磁场强度H沿任意闭合回路的环流等于通过此沿任意闭合回路的环流等于通过此闭合回路所围曲面的全电流闭

13、合回路所围曲面的全电流全电流定律全电流定律n 除传导电流产生磁场外，位移电流同样产生磁除传导电流产生磁场外，位移电流同样产生磁场场n 变化的电场产生磁场变化的电场产生磁场第1章 电磁场与电磁波的基本原理 三、电磁感应定律三、电磁感应定律 由全电流定律可知由全电流定律可知,变化的电场会产生磁场变化的电场会产生磁场,那么变那么变化的磁场能否产生电场呢化的磁场能否产生电场呢?通过各种实验证明通过各种实验证明:变化的变化的磁场也会产生电场。磁场也会产生电场。 当穿过线圈所包围面积的磁通量随时间变化时当穿过线圈所包围面积的磁通量随时间变化时,线线圈内会产生感应电动势圈内会产生感应电动势,如图如图112所

14、示。它的大小所示。它的大小等于磁通量随时间的变化率等于磁通量随时间的变化率,它的方向是阻止磁通变化它的方向是阻止磁通变化的方向。用数学式子表示为的方向。用数学式子表示为 mdedt (1115) 第1章 电磁场与电磁波的基本原理 图 112 第1章 电磁场与电磁波的基本原理 感应电势的存在感应电势的存在,使得线圈中产生感应电流使得线圈中产生感应电流,即说明即说明线圈中存在电场线圈中存在电场,促使电子作规则运动促使电子作规则运动,从而形成感应电从而形成感应电流。流。这个电场不是由电荷产生的这个电场不是由电荷产生的,而是由磁通的变化产而是由磁通的变化产生的生的,故称它为故称它为感应电场感应电场,感

15、应电场沿着任意的封闭曲线感应电场沿着任意的封闭曲线的积分应等于感应电势的积分应等于感应电势,用数学式子表示即为用数学式子表示即为 (1116) 由此得出一个结论由此得出一个结论:随时间变化的磁场会产生电场随时间变化的磁场会产生电场,而且磁通量的时间变化率愈大而且磁通量的时间变化率愈大,则感应电动势愈大、电则感应电动势愈大、电场愈强场愈强;反之则愈弱。反之则愈弱。 同时同时,穿过一个曲面穿过一个曲面S的磁通量为的磁通量为 dtddLEeml第1章 电磁场与电磁波的基本原理 式中式中S面是以封闭曲线面是以封闭曲线l为周界的任意曲面。为周界的任意曲面。 将上式代入将上式代入(1116)式式,就有就有

16、 (1117) (1118) SmdSBSldSBdtddLE第1章 电磁场与电磁波的基本原理 以上结论是由实验得到的以上结论是由实验得到的,即假设即假设S面的周界面的周界L一定一定是个导体线圈。而麦克斯韦把这个实验定律是个导体线圈。而麦克斯韦把这个实验定律推广推广到包到包括真空在内的括真空在内的任意介质中任意介质中,即认为变化磁场引起的感应即认为变化磁场引起的感应电场的现象不仅发生在导体回路中电场的现象不仅发生在导体回路中,而且在一切介质中而且在一切介质中,只要有变化的磁场就会产生感应电场。只要有变化的磁场就会产生感应电场。 麦克斯韦对安培环路定律和磁感应定律所作的推麦克斯韦对安培环路定律和

17、磁感应定律所作的推广广,通过大量的实验证明是正确的。通过大量的实验证明是正确的。 第1章 电磁场与电磁波的基本原理 四、高斯定律四、高斯定律 在普通物理中讨论了静电场的高斯定律在普通物理中讨论了静电场的高斯定律,即即 (1119) 式中式中V是封闭曲面是封闭曲面S所包围的体积所包围的体积,q为封闭曲为封闭曲面面S所包围的自由电荷电量的代数和所包围的自由电荷电量的代数和,为为S曲面所包围曲面所包围的自由电荷的体密度。的自由电荷的体密度。 VSdVqdSD第1章 电磁场与电磁波的基本原理 五、磁通连续性原理五、磁通连续性原理 在普通物理中讨论了恒流磁场的磁通连续性原理在普通物理中讨论了恒流磁场的磁

18、通连续性原理,即即 它表示磁感应线永远是闭合的。如果在磁场中取它表示磁感应线永远是闭合的。如果在磁场中取一个封闭面一个封闭面,那么进入闭合面的磁感应线等于穿出闭合那么进入闭合面的磁感应线等于穿出闭合面的磁感应线面的磁感应线,这个原理可推广到任意磁场这个原理可推广到任意磁场,即不仅适用即不仅适用于恒流磁场于恒流磁场,而且适用于时变磁场。而且适用于时变磁场。 (1120) 0SdSB第1章 电磁场与电磁波的基本原理 六、麦克斯韦方程组六、麦克斯韦方程组 (一一)麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦方程组的积分形式 麦克斯韦方程是电磁场的基本方程麦克斯韦方程是电磁场的基本方程,是麦克斯韦在是麦克斯韦在他

19、提出位移电流的假设下他提出位移电流的假设下,全面总结电场产生磁场和磁全面总结电场产生磁场和磁场产生电场的现象后提出来的。场产生电场的现象后提出来的。 将式将式(1114)、(1118)、(1119)和式和式(1120)组合在一起就称为麦克斯韦方程组的积分形组合在一起就称为麦克斯韦方程组的积分形式。即式。即 第1章 电磁场与电磁波的基本原理(1121) lSClSSSvdStDJdLHdStBdLEdSBdVdSD)(0第1章 电磁场与电磁波的基本原理 上述方程组中上述方程组中D和和E,J和和E及及B和和H的关系的关系,决定于媒决定于媒质特性。对于各向同性媒质质特性。对于各向同性媒质,则有则有

20、cDEBHJE(1122) 麦克斯韦方程组描写了麦克斯韦方程组描写了D、E、B和和H几个场矢量之几个场矢量之间的基本关系间的基本关系,因此它是研究和分析电磁场和电磁波的因此它是研究和分析电磁场和电磁波的依据。依据。 第1章 电磁场与电磁波的基本原理 (二二)麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦方程组的微分形式 麦克斯韦方程组的积分形式是讨论场中某一个区麦克斯韦方程组的积分形式是讨论场中某一个区域内场矢量之间的关系的方程。在讨论实际问题时域内场矢量之间的关系的方程。在讨论实际问题时,经经常需要知道场中某一点场矢量之间的关系常需要知道场中某一点场矢量之间的关系,此时不能应此时不能应用麦克斯韦方程组的积

21、分形式来求解用麦克斯韦方程组的积分形式来求解,而必须采用麦克而必须采用麦克斯韦方程组的微分形式。斯韦方程组的微分形式。 将麦克斯韦方程的积分形式转化为微分形式将麦克斯韦方程的积分形式转化为微分形式,既可既可以用矢量分析的方法进行推导以用矢量分析的方法进行推导,也可以利用物理概念进也可以利用物理概念进行分析。这里我们采用矢量分析的方法进行讨论。行分析。这里我们采用矢量分析的方法进行讨论。 应用矢量分析中的散度定理应用矢量分析中的散度定理,即即 VSAdVdSA第1章 电磁场与电磁波的基本原理 可将式可将式(1121)的第的第1和第和第2式分别变为式分别变为 应用矢量分析中的斯托克斯定理应用矢量分

22、析中的斯托克斯定理,即即 可将式可将式(1121)的第三和第四式分别变为的第三和第四式分别变为 cBEtDHJt 0BDlSdSAdLA)(第1章 电磁场与电磁波的基本原理 现归纳如下现归纳如下: (1123) 麦克斯韦方程的微分形式麦克斯韦方程的微分形式,只有两个旋度式是独立只有两个旋度式是独立的的,两个散度式子可以利用电荷守恒定律从两个旋度式两个散度式子可以利用电荷守恒定律从两个旋度式子导出。子导出。 tDJHtBEBDc0第1章 电磁场与电磁波的基本原理 七、电磁场的边界条件七、电磁场的边界条件 在在分布规律分布规律讨论电磁场的实际问题时讨论电磁场的实际问题时,经常会遇到经常会遇到两种不

23、同媒质特性的分界面。两种不同媒质特性的分界面。在分界面上电磁场的分在分界面上电磁场的分布规律称为边界条件。布规律称为边界条件。由于界面上的媒质特性是不连由于界面上的媒质特性是不连续的续的,故不能采用麦克斯韦方程组的微分形式故不能采用麦克斯韦方程组的微分形式,而只能采而只能采用麦克斯韦方程的积分形式来进行分析。用麦克斯韦方程的积分形式来进行分析。 (一一) 边界上的电场强度边界上的电场强度E和磁场强度和磁场强度H 电磁感应定律的积分形式为电磁感应定律的积分形式为 (1124) lSdStBdLE第1章 电磁场与电磁波的基本原理 为了要求边界上的电场强度为了要求边界上的电场强度E,把上式左边的积分

24、的把上式左边的积分的闭合回路取在媒质的分界面的两边闭合回路取在媒质的分界面的两边,并使并使l1和和l2与分与分界面平行且相等界面平行且相等,矩形的两短边矩形的两短边h垂直于分界面且无限垂直于分界面且无限缩短并趋向于零缩短并趋向于零,如图如图113所示。那么所示。那么,式式(1124)的左边积分为的左边积分为 图 113 lEEdLEtlt)(21第1章 电磁场与电磁波的基本原理 而式而式(1124)的右边积分当的右边积分当h0(S0)时时,由由于于dB/dt不可能为无限大不可能为无限大,故右边积分为零。即得到故右边积分为零。即得到 12ttEE(1125) 此式表明此式表明,不同媒质分界面上的

25、电场强度的切线分不同媒质分界面上的电场强度的切线分量是连续的量是连续的。 全电流定律的积分形式为全电流定律的积分形式为 (1126) 采用前面相同的方法采用前面相同的方法,则上式左边的积分为则上式左边的积分为 lSCdSTDJdLH)(lHHdLHtlt)(21第1章 电磁场与电磁波的基本原理 对于对于一般媒质一般媒质,因因Jc和和dD/dt均为有限值均为有限值,故当故当S0时时,式式(1126)右边积分等于零。于是得到磁场强度右边积分等于零。于是得到磁场强度的边界条件为的边界条件为 如果媒质如果媒质2为为理想导体理想导体(2为无限大为无限大),在分界面处电在分界面处电流密度流密度Jc趋向于无

26、限大趋向于无限大,且有且有 则式则式(1126)的右边可以表示为的右边可以表示为 12ttHH(1127) 0limctkhJJ lhlJlhJdSTDJlChSC0lim)(即不同媒质分界面上即不同媒质分界面上,磁场强度的切线分量是连续的磁场强度的切线分量是连续的。第1章 电磁场与电磁波的基本原理 由此可以得到由此可以得到 式中式中Jl为理想导体表面的电流的线密度为理想导体表面的电流的线密度,它的方向它的方向与磁场强度相垂直与磁场强度相垂直,单位为单位为A/m。此时。此时磁场强度的切线磁场强度的切线分量是不连续的分量是不连续的如图如图114所示。所示。 12ttlHHJ(1128) 图图 1

27、14 第1章 电磁场与电磁波的基本原理 (二二) 边界上的电通密度边界上的电通密度D和磁通密度和磁通密度B 高斯定律的积分形式为高斯定律的积分形式为 在分界面的两边作一个小的封闭圆柱体在分界面的两边作一个小的封闭圆柱体,如图如图115所示。所示。S1和和S2分别为圆柱体的顶面和底面且分别为圆柱体的顶面和底面且相等相等,即即S1=S2=S,它们分别与分界面平行且无限接它们分别与分界面平行且无限接近近,使圆柱面的侧面很小并趋近于零使圆柱面的侧面很小并趋近于零,则穿过圆柱体侧面则穿过圆柱体侧面的电通量可以略去不计。故式的电通量可以略去不计。故式(1129)的左边积分的左边积分为为 (1129) Sv

28、dVdSDSDDdSDnSn)(21第1章 电磁场与电磁波的基本原理 图图 115 第1章 电磁场与电磁波的基本原理 若分界面上不存在自由电荷若分界面上不存在自由电荷,则式则式(1129)右边右边积分为零积分为零,于是得到界面上无自由电荷时的电通密度的于是得到界面上无自由电荷时的电通密度的边界条件为边界条件为12nnDD(1130) 即表明即表明在无自由电荷的分界面上在无自由电荷的分界面上,电通密度的法向电通密度的法向分量是连续的分量是连续的。 若分界面上存在自由电荷时若分界面上存在自由电荷时,并设电荷的面密度并设电荷的面密度S,则由高斯定律可以得到则由高斯定律可以得到12nnSDD(1131

29、) 第1章 电磁场与电磁波的基本原理 磁通连续性定理的积分形式为磁通连续性定理的积分形式为 120SnnB dSBB采用上面相同的方法采用上面相同的方法,便可得到便可得到 (1132) 即即分界面上磁感应强度的法向分量永远连续分界面上磁感应强度的法向分量永远连续。因此。因此电磁场的边界条件可归纳如下电磁场的边界条件可归纳如下:121212121212(0),(0)(0),(0)tttttttttnnSnnSSnnEEHHJHHJ JDDDDBB(1133) lllSdSB0第1章 电磁场与电磁波的基本原理 八、交变电磁场的能量及能流八、交变电磁场的能量及能流 电磁场中能量守恒定律可由麦克斯韦方

30、程导得电磁场中能量守恒定律可由麦克斯韦方程导得,下下面写出具体推导过程。面写出具体推导过程。 麦克斯韦方程的两个旋度式为麦克斯韦方程的两个旋度式为cBEtBHJt 应用矢量恒等式应用矢量恒等式 ( 1 1 35) HEEHHEtD第1章 电磁场与电磁波的基本原理 将式将式(1134)代入上式代入上式,便得到便得到 (1136) 对于各向同性媒质对于各向同性媒质,则有下列关系则有下列关系: ,DE BH JE(1137) 将式将式(1137)代入式代入式(1136)便得到便得到 222)2121(EEHtHE)()()(tDJEtBHHEC第1章 电磁场与电磁波的基本原理 将上式对电磁场空间中任

31、取一个封闭面将上式对电磁场空间中任取一个封闭面S所包围的所包围的体积体积V作体积分作体积分,则有则有 22211()()22VVVEH dVHEdVE dVt应用散度定理上式变为应用散度定理上式变为 -电磁场能量守恒定律电磁场能量守恒定律电磁能量增长率电磁能量增长率消耗的电磁能量消耗的电磁能量VVSdVEdVEHtdSHE222)2121(第1章 电磁场与电磁波的基本原理S=EH 单位面积的电磁能流单位面积的电磁能流 又称波印亭矢量又称波印亭矢量 HES21波印亭复矢量波印亭复矢量)Re(21)Re(HESP平均能流密度平均能流密度 第1章 电磁场与电磁波的基本原理1 1 库仑定律库仑定律21

32、202121R4qqeFN( 牛顿)1221FF可推广到无限大各向同性均匀介质中可推广到无限大各向同性均匀介质中)(022102112R4qqeFN( 牛顿)结论：电场力符合矢量叠加原理结论：电场力符合矢量叠加原理图1.1.1 两点电荷间的作用力 库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明: : 真空中两个静止真空中两个静止的点电荷的点电荷 与与 之间的相互作用力之间的相互作用力: :2q1q* 静电场补充定律静电场补充定律第1章 电磁场与电磁波的基本原理2 2 静电场基本物理量静电场基本物理量电场强度电场强度定义：定义： t0qq)z,y,x

33、()z,y,x(limtFEV/m (N/C)a) a) 点电荷产生的电场强度点电荷产生的电场强度r20tpr4qq)(eFrEV/mV/m4qq)(20tprrrrrrFrE304)(qrrrrR20R4qeV/mV/m图图1.1.2 1.1.2 点电荷的电场点电荷的电场第1章 电磁场与电磁波的基本原理 b) b) n n个点电荷产生的电场强度个点电荷产生的电场强度 ( (注意注意: :矢量叠加矢量叠加) )c) c) 连续分布电荷产生的电场强度连续分布电荷产生的电场强度)(dq41)(30rrrrrrdEkN1k2kk0kkN1k2kk0Rq41q41)(errrrrrrEV/m体电荷分布

34、体电荷分布dV)(dqrdq41)(V30rrrrrER v20Rdv)(41er面电荷分布面电荷分布R s20Rds)(41)(errE) (dsdqr线电荷分布线电荷分布Rl20Rdl)(41)(errE) (dldqr图1.1.3 体电荷的电场第1章 电磁场与电磁波的基本原理12 静电场静电场 一、静电场的基本方程一、静电场的基本方程 从麦克斯韦方程组知道从麦克斯韦方程组知道,电场和磁场是不可分割的电场和磁场是不可分割的统一整体。但在某些特殊情况下统一整体。但在某些特殊情况下,电场和磁场可以单独电场和磁场可以单独地表现出来。例如地表现出来。例如,对于观察者来说在静止不动的电荷对于观察者来

35、说在静止不动的电荷周围周围,只能发现电场只能发现电场;在静止不动的永久磁铁周围在静止不动的永久磁铁周围,只能只能发现磁场。因此发现磁场。因此,我们就有可能将电场和磁场分开来加我们就有可能将电场和磁场分开来加以研究。以研究。第1章 电磁场与电磁波的基本原理 静电场是电磁现象中的一种特殊情况静电场是电磁现象中的一种特殊情况,即电荷相对即电荷相对观察者来说是静止不动的观察者来说是静止不动的,因此静电场是因此静电场是不随时间变化不随时间变化的。这样麦克斯韦方程组的微分形式可简化为的。这样麦克斯韦方程组的微分形式可简化为(121) 00BDJHEC第1章 电磁场与电磁波的基本原理 上式表明电场和磁场是相

36、互独立的上式表明电场和磁场是相互独立的,可以分开来加可以分开来加以讨论。于是静电场的基本方程为以讨论。于是静电场的基本方程为0EDDE(122) 因此因此,静电场是静电场是无旋场无旋场,即静电场所在的空间电场强即静电场所在的空间电场强度的旋度处处为零度的旋度处处为零;静电场又是一个静电场又是一个有源场有源场,即电通密度即电通密度矢量来自空间电荷分布。矢量来自空间电荷分布。 DE0第1章 电磁场与电磁波的基本原理 二、高斯定律二、高斯定律 由静电场的基本方程知道由静电场的基本方程知道,静电场是一个有源场静电场是一个有源场,即即把它写成积分形式把它写成积分形式,即为静电场的高斯定律即为静电场的高斯

37、定律(123) 即在静电场中穿过任意闭合曲面的电位移通量等于即在静电场中穿过任意闭合曲面的电位移通量等于闭合曲面内所包围的自由电荷电量的代数和。这是静电闭合曲面内所包围的自由电荷电量的代数和。这是静电场的一个重要性质。场的一个重要性质。 DVSdVqdSD第1章 电磁场与电磁波的基本原理 在一般情况下在一般情况下,当给定电荷分布时当给定电荷分布时,不能直接应用高不能直接应用高斯定律来求电位移矢量斯定律来求电位移矢量D。因为它只给出。因为它只给出D沿闭合面的沿闭合面的通量通量,根据通量一般无法求出任意一点的根据通量一般无法求出任意一点的D。但当电荷。但当电荷是按一定的是按一定的对称性分布对称性分

38、布时时,我们只要选择一个合适的高我们只要选择一个合适的高斯面斯面,使得高斯面上各点的使得高斯面上各点的D值相等值相等,且且D的方向永远和的方向永远和高斯面相垂直。在这种情况下高斯面相垂直。在这种情况下,应用高斯定律就很方便应用高斯定律就很方便地求得静电场中某点的地求得静电场中某点的电场强度电场强度。第1章 电磁场与电磁波的基本原理 例题例题121 设电荷均匀分布在半径为设电荷均匀分布在半径为a的介质球的介质球内内,其体电荷密度为其体电荷密度为,求该电荷产生的电场分布。球内求该电荷产生的电场分布。球内的介电常数为的介电常数为,球外为球外为0。 解解:由于电荷分布是由于电荷分布是球对称球对称分布分

39、布,因此可应用高斯因此可应用高斯定律来求解。只要以球心为圆心定律来求解。只要以球心为圆心,以距球心距离以距球心距离r为半为半径作一个高斯面径作一个高斯面,在这个高斯面上的电位移矢量处处相在这个高斯面上的电位移矢量处处相等等,且方向垂直于高斯面。因此在各个区域内且方向垂直于高斯面。因此在各个区域内,离球心为离球心为r处的电场强度分别为处的电场强度分别为: (1)在球内在球内(ra)第1章 电磁场与电磁波的基本原理 图 121 第1章 电磁场与电磁波的基本原理 (2) 在球外在球外(ra) 得得2032322233440raEaErdSD334413121rErErdSD第1章 电磁场与电磁波的基

40、本原理 三、电位、电位梯度三、电位、电位梯度 (一一) 电位电位 由静电场的基本方程可知由静电场的基本方程可知,静电场是个无旋场。根静电场是个无旋场。根据矢量分析据矢量分析,任何一个无旋矢量场均可用一个标量场来任何一个无旋矢量场均可用一个标量场来表示。即表示。即 因此因此,静电场同样可用一个标量的电位函数来描写。静电场同样可用一个标量的电位函数来描写。它具有明确的物理意义它具有明确的物理意义,它和它和电场力对电荷所作的功有电场力对电荷所作的功有关关。0第1章 电磁场与电磁波的基本原理 根据电场强度根据电场强度E的定义的定义,E表示单位正电荷在场中所表示单位正电荷在场中所受的电场力。当单位正电荷

41、在电场力的作用下受的电场力。当单位正电荷在电场力的作用下,由由A点点经过经过l到到B点点,则则电场力对单位正电荷所作的功电场力对单位正电荷所作的功为为(124) 由于静电场是无旋场由于静电场是无旋场,故有故有 (125) ldlEW0ldlE第1章 电磁场与电磁波的基本原理 此式表明此式表明,单位正电荷在电场力的作用下移动一个单位正电荷在电场力的作用下移动一个闭合回路闭合回路,则电场力对单位正电荷所作的功为零。例如则电场力对单位正电荷所作的功为零。例如,对于如图对于如图122所示的闭合路径所示的闭合路径ANBMA,则有则有(126) 0AMBANBBMAANBANBMAdlEdlEdlEdlE

42、dlEAMBANBdlEdlE第1章 电磁场与电磁波的基本原理 图图 122 第1章 电磁场与电磁波的基本原理 由此可见由此可见,在静电场中当电荷在电场力的作用下发在静电场中当电荷在电场力的作用下发生位移时生位移时,电场力对电荷所作的功仅和电荷位移的电场力对电荷所作的功仅和电荷位移的起点起点和和终点终点的坐标有关的坐标有关,而和电荷位移的路径无关。因此式而和电荷位移的路径无关。因此式(124)可以表示可以表示 (127) 把单位正电荷从把单位正电荷从A点移到点移到B点点,电场力所作的功称电场力所作的功称为为A点到点到B点的电位差。即点的电位差。即(128) BAdlEWBABAdlE第1章 电

43、磁场与电磁波的基本原理 如果我们选择场中某点如果我们选择场中某点P作为作为参考零电位点参考零电位点,即令即令其电位为零其电位为零,则有则有 (129) 因此因此,场中任意一点的电位是单位正电荷在电场力场中任意一点的电位是单位正电荷在电场力的作用下从该点移到参考零电位点电场力所作的功的作用下从该点移到参考零电位点电场力所作的功。 PAAdlE第1章 电磁场与电磁波的基本原理 由上面的分析可知由上面的分析可知,电位是标量电位是标量,它的计算要比电场强它的计算要比电场强度矢量的计算方便得多度矢量的计算方便得多,因此因此,我们常采用电位来描写电场。我们常采用电位来描写电场。 当电荷分布已知时当电荷分布

44、已知时,可以求出场中任一点的电位。可以求出场中任一点的电位。 例例:求点电荷产生电场中的电位。求点电荷产生电场中的电位。 解：取距点电荷距离为解：取距点电荷距离为rp的一点作为参考点的一点作为参考点,则距点电荷则距点电荷距离为距离为r一点的电位为一点的电位为第1章 电磁场与电磁波的基本原理224444444pppprrArrrrrrrppqE dla dlrqdrqrrqqqCrrqCr (1210) rPPrrrrrAdlarqdlE24 如取如取rp=,则则C=0。第1章 电磁场与电磁波的基本原理 对于体、面及线电荷密度分别为对于体、面及线电荷密度分别为V、S及及l的电荷的电荷分布时分布时

45、,则空间任一点的电位分别为则空间任一点的电位分别为141414VVSSlldVCrdVCrdVCr(1211) 式中式中r为源点到场点的距离为源点到场点的距离,C决定于参考点的位置。决定于参考点的位置。第1章 电磁场与电磁波的基本原理 电位参考点的选择原则电位参考点的选择原则 场中任意两点的电位差与参考点无关。场中任意两点的电位差与参考点无关。 同一个物理问题，只能选取一个参考点。同一个物理问题，只能选取一个参考点。 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。例如例如：点电荷产生的电场：点电荷产生的电场：Cr4q000rpC0rprq0

46、40C表达式无意义表达式无意义0 RrpR4qr4q00R4qC0第1章 电磁场与电磁波的基本原理 (二二) 电位梯度电位梯度 虽然利用标量电位求解静电场比较方便虽然利用标量电位求解静电场比较方便,但描写电场的但描写电场的基本物理量还是电场强度矢量。因此有必要找到空间某一基本物理量还是电场强度矢量。因此有必要找到空间某一点电位点电位和电场强度矢量和电场强度矢量E的关系。的关系。 在静电场中，任意一点的电场强度在静电场中，任意一点的电场强度E的方向总是沿着电的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。E在直角坐标系中：在直角坐标系中

47、：zyxzyxeeeE第1章 电磁场与电磁波的基本原理四、电位的泊松方程和拉普拉斯方程四、电位的泊松方程和拉普拉斯方程E由由00 DED0 020 电位的泊松方程电位的泊松方程若空间电荷分布为零，则有若空间电荷分布为零，则有20 电位满足的拉普拉斯方程电位满足的拉普拉斯方程020 第1章 电磁场与电磁波的基本原理 例例 如图如图124所示的金属球壳所示的金属球壳,其内壳半径为其内壳半径为a,外壳半径为外壳半径为b(球壳厚度可不计球壳厚度可不计)。设内球壳电位为。设内球壳电位为Ua,外外球壳电位为球壳电位为Ub,求球壳间的电位分布及电场强度分布。求球壳间的电位分布及电场强度分布。 解解:由于球壳

48、内无电荷分布由于球壳内无电荷分布,故电位满足拉普拉斯方故电位满足拉普拉斯方程。在球坐标中程。在球坐标中: 22222221()11(sin)0sinsinrrrrr2222sin1r第1章 电磁场与电磁波的基本原理 图图 124 第1章 电磁场与电磁波的基本原理 由于电位分布是球对称的由于电位分布是球对称的,即得即得d/d=d/d =0,因因此上式简化为此上式简化为 221()0rrr上式对上式对r两次积分两次积分,得到得到 1221rC rCCCr式中常数式中常数C1和和C2可由边界条件来确定可由边界条件来确定,其边界条件为其边界条件为,;,abraUrbU第1章 电磁场与电磁波的基本原理

49、将此边界条件代入上式将此边界条件代入上式,解得解得 12()()()abbaabbaaUbUCabab UUCabaUbUab UUabab r 在球坐标中在球坐标中011sin0raaarr第1章 电磁场与电磁波的基本原理 五、静电场的边界条件五、静电场的边界条件 在两种介质的介电常数分别为在两种介质的介电常数分别为1和和2的分界面上的分界面上,由由于介质性质的变化于介质性质的变化,电场也会相应发生变化。在分界面电场也会相应发生变化。在分界面两侧的介质中场量之间的关系称为分界面上的边界条两侧的介质中场量之间的关系称为分界面上的边界条件。件。 静电场的边界条件可由静电场的边界条件可由静电场的基

50、本方程静电场的基本方程导出导出 。2()()rbaraErab UUEaab r 第1章 电磁场与电磁波的基本原理 小圆柱侧面积，小圆柱侧面积， h 为无为无穷小量，该面积趋于零穷小量，该面积趋于零1 1、电位移矢量、电位移矢量D D 的边界条件的边界条件n n122D1D2nD1nDShdsSS 12DSD nDnDS方程左边方程左边1n2nDDS电位移矢量电位移矢量D D 的边界条件的边界条件用矢量表示用矢量表示12n DD方程右边方程右边dSqDSsq12nnSDDS 第1章 电磁场与电磁波的基本原理2 2、电场强度、电场强度E E 的边界条件的边界条件12dl ElElEl012nEE

51、电场强度电场强度E E的边界条件：的边界条件：或表示为或表示为22tE2Eln1E1tEh1 在分界面上作一小的矩形回路，其两边在分界面上作一小的矩形回路，其两边 分居于分界面两侧，而分居于分界面两侧，而高高 。将方程。将方程 用于此回路用于此回路l0hd0lElttEE12介质分界面两侧电场强度的介质分界面两侧电场强度的切向分量切向分量连续连续12ttEE第1章 电磁场与电磁波的基本原理121212212(0)(0)llaaansnnssEEDDEDD(1217) 可见可见,在两种不同介质的分界面上电场强度的法向在两种不同介质的分界面上电场强度的法向分量总是不连续的分量总是不连续的,其原因在

52、于介质分界面上存在束缚其原因在于介质分界面上存在束缚电荷。其电荷。其束缚电荷束缚电荷的密度为的密度为21021210()PsnnnnpsnnDDEEEE (1218) 0EE221121snnnnDD或静电场的边界条件：静电场的边界条件：第1章 电磁场与电磁波的基本原理 根据上述边界条件根据上述边界条件,可以求出没有电荷分布的分界可以求出没有电荷分布的分界面上电场强度矢量方向的改变情况。假设面上电场强度矢量方向的改变情况。假设1介质中的介质中的电场电场E1与分界面的法线成与分界面的法线成1的夹角的夹角,而而2介质中电场介质中电场E2与分界面的法线成与分界面的法线成2的夹角的夹角, 则由式则由式

53、(1217)可方便可方便得到得到1122tgtg(1219) 对于电位对于电位 由由ttEE1212tt1212nnDD1222nn1122nnEE1第1章 电磁场与电磁波的基本原理 图 125 第1章 电磁场与电磁波的基本原理在此总结和举例电场强度的三种求解方法：在此总结和举例电场强度的三种求解方法：1 1、电场强度的积分叠加定义式求解。、电场强度的积分叠加定义式求解。2 2、高斯公式的场空间及场源对称分布情况求解。、高斯公式的场空间及场源对称分布情况求解。3 3、通过求解电位间接求解电场强度。、通过求解电位间接求解电场强度。 下面分别通过实例熟悉求解过程。下面分别通过实例熟悉求解过程。第1

54、章 电磁场与电磁波的基本原理1，定义法求解定义法求解 例：计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度例：计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度。 解解：如图所示，环形薄圆盘的内半径为如图所示，环形薄圆盘的内半径为a 、外半径为、外半径为b，电荷，电荷面密度为面密度为 。在环形薄圆盘上取面积元在环形薄圆盘上取面积元 ，其位置矢量为其位置矢量为 ，它所带的电量为它所带的电量为 。而薄圆盘轴线上的场点而薄圆盘轴线上的场点 的位置的位置矢量为矢量为 ，因此有，因此有Sd d d Sredd d d SSqS (0,0, )Pzzre z222 3/200( )dd4()bzSae zeE

55、rz P(0,0,z)brRyzx均匀带电的环形薄圆盘均匀带电的环形薄圆盘dSadE2200dcossin)d0 xye(ee故故223/222 1/222 1/200d11( )2()2()()bSSzzazzzzazb E ree由于由于第1章 电磁场与电磁波的基本原理 在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。算电场强度。 2 2， 利用高斯定理计算电场强度利用高斯定理计算电场强度具有以下具有以下几种对称性的场几种对称性的场可用高斯定理求解：可用高斯定理求解： 球对称分布球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同

56、心球壳等。包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。带电球壳带电球壳多层同心球壳多层同心球壳均匀带电球体均匀带电球体aO0第1章 电磁场与电磁波的基本原理 无限大平面电荷无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。如无限大的均匀带电平面、平板等。 轴对称分布轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。第1章 电磁场与电磁波的基本原理 例例 求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为a ，电电 荷密度为荷密度为 0 。 解解：（1）球外某点的场强球外某点的场强0300341daqSES（2）

57、求球体内一点的场强求球体内一点的场强VSEVSd1d00ar0rrEa20303raE3023414rEr003rE （r 2时时 , 即使即使1取得很取得很大大,2还是很小。还是很小。表明铁磁物质表面的磁场方向基本上表明铁磁物质表面的磁场方向基本上与铁磁物质表面相垂直。与铁磁物质表面相垂直。第1章 电磁场与电磁波的基本原理 四、电感四、电感 在静电场中我们定义电荷和电压的比值为电容在静电场中我们定义电荷和电压的比值为电容;在在恒流磁场中恒流磁场中,我们定义我们定义穿过闭合回路磁通与该回路中的穿过闭合回路磁通与该回路中的电流的比值电流的比值为电感。电感可分为电感。电感可分自感自感和和互感互感。

58、自感又可。自感又可分分内自感内自感和和外自感外自感。下面我们分别讨论之。下面我们分别讨论之。 (一一) 自感自感 1、外自感、外自感 设有一闭合回路中通有电流设有一闭合回路中通有电流I, 穿过该闭合回路的磁穿过该闭合回路的磁通为通为m, 则该回路的自感为则该回路的自感为mLI(1417) 第1章 电磁场与电磁波的基本原理 现有如左图所示的现有如左图所示的单匝单匝线圈中通有电流线圈中通有电流I, 则穿过该线圈的磁通可由矢量磁位的闭合则穿过该线圈的磁通可由矢量磁位的闭合积分求得。即式积分求得。即式( 1 4 18) 对于细导线我们假设电流集中于导线的轴线对于细导线我们假设电流集中于导线的轴线l1上

59、上, 则矢量则矢量磁位磁位A为为(1419) 将上式代入式将上式代入式(1418)得得 (1420) 2lsSmdlAdSAdSB 21214llmrdldlI第1章 电磁场与电磁波的基本原理 上式为二重积分上式为二重积分,式中式中r为为dl1与与dl2间的距离间的距离,故单匝故单匝线圈的自感为线圈的自感为(1421) 对于对于多匝多匝线圈线圈,且假定各个线圈紧密绕在同一个位且假定各个线圈紧密绕在同一个位置置,此时产生磁场的电流可以看成是此时产生磁场的电流可以看成是NI(N为线圈的匝数为线圈的匝数),则穿过线圈则穿过线圈每匝的磁通每匝的磁通为为(1422) 21214llmrdldlIL 12

60、214llmrdldlNI第1章 电磁场与电磁波的基本原理 由于通过每一匝线圈的磁通都相同由于通过每一匝线圈的磁通都相同,故故N匝线圈穿匝线圈穿过的总磁通为过的总磁通为=N。因此多匝线圈的自感为。因此多匝线圈的自感为(1423) 式中式中L为相同尺寸单匝线圈的自感。为相同尺寸单匝线圈的自感。多匝线圈的自多匝线圈的自感与感与匝数平方匝数平方成正比。成正比。LNrdldlNILll2212124 第1章 电磁场与电磁波的基本原理 假设载流导线所构成的回路尺寸远比导线的截面假设载流导线所构成的回路尺寸远比导线的截面尺寸大尺寸大,则导线则导线内部的磁场内部的磁场可以认为和可以认为和无限长直导线无限长直