西南交通大学振动力学_第 2 章(II) 单自由度系统的强迫振动

1、2022年7月5日振动力学22022年7月5日中国力学学会学术大会200522022年7月5日22022年7月5日振动力学3单自由度系统振动单自由度系统振动2022年7月5日振动力学32022年7月5日振动力学4单自由度系统振动单自由度系统振动2022年7月5日振动力学4振动力学5单自由度系统的振动单自由度系统的振动2-4 2-4 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 简谐激励简谐激励所引起的系统响应所引起的系统响应 周期激励周期激励所引起的系统响应所引起的系统响应 任意激励任意激励所引起的系统响应所引起的系统响应1.1.简谐激振力引起的强迫振动简谐激振力引起的强迫振动 （1 1）运动

2、微分方程及求解）运动微分方程及求解 图图2-272-27为单自由度系统受简谐激振力为单自由度系统受简谐激振力的力学模型。简谐力的力学模型。简谐力F=FF=F0 0 sin sin 0 0 t, t, 0 0为激振为激振频率频率，则系统运动微分方程为，则系统运动微分方程为上式坐标原点在静平衡位置。方程（上式坐标原点在静平衡位置。方程（2-352-35）的解可表示为的解可表示为图图 2-272-2700sin(2 35)mx cx kxFt12( )( )( )x tx tx tF=FF=F0 0 sin sin 0 0 t t2022年7月5日600sinmxcxkxFt振动微分方程：振动微分方

3、程：显含时间显含时间 t t非齐次微分方程非齐次微分方程非齐次微分方程非齐次微分方程通解通解齐次微分方程齐次微分方程通解通解非齐次微分方程非齐次微分方程特解特解（阻尼）自由振动（阻尼）自由振动逐渐衰减逐渐衰减瞬态响应瞬态响应持续等幅振动持续等幅振动稳态响应稳态响应本节内容本节内容单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / / 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动振动力学7单自由度系统的振动单自由度系统的振动其中其中x x 1 1(t)(t)为齐次方程通解，为齐次方程通解，称为瞬态响应称为瞬态响应，在弱阻尼情况下，在弱阻尼情况下x x 2 2(t)(t)为特解，为特解，称为稳态响应称为稳态

4、响应，令其形式为，令其形式为为求为求B B和和 将将x x 2 2(t)(t) 代入式（代入式（2-352-35）整理得）整理得令令 0 0/ / = = , , 称为称为频率比频率比，则，则则（则（2-372-37）为）为系统稳态响应系统稳态响应相位角相位角 112( )(cossin )tx teDtDt20( )sin()(236)x tBt022200(237)()()FBkmc22200002,22mckk0222/(238)(1)(2)FkB020222/( )sin()(239)(1)(2)Fkx tt0222arctan()arctan()(240)1ckm振动力学8单自由度系

5、统的振动单自由度系统的振动 系统的阻尼的存在，使系统的阻尼的存在，使系统的稳态响应在相位上比激振力之后系统的稳态响应在相位上比激振力之后 角角。 若没有阻尼，即若没有阻尼，即 =0=0，则，则 =0=0，此时激振力与响应同相位。，此时激振力与响应同相位。 强迫振动性质：强迫振动性质： 1 1）简谐激励下，稳态响应）简谐激励下，稳态响应为简谐运动，其频率与激振频率为简谐运动，其频率与激振频率 0 0 相相同。同。 2 2）稳态响应振幅）稳态响应振幅B B和相位差和相位差 只决定于系统只决定于系统本身的物理性质和激振力本身的物理性质和激振力的振幅大小与频率的振幅大小与频率，与初始条件无关；，与初始

6、条件无关； 3) 3) 初始条件只影响系统的瞬态响应初始条件只影响系统的瞬态响应; ; 记记B B0 0= =F F0 0/ /k k ，则，则 4) 4) 影响稳态响应幅值因素有影响稳态响应幅值因素有3 3个：个：B B0 0、 B B0 0反映了激振力的影响，因此改变振幅方法之一是改变激振幅值。反映了激振力的影响，因此改变振幅方法之一是改变激振幅值。 反映激励频率的影响。反映激励频率的影响。 反映阻尼的影响。反映阻尼的影响。 式（式（2-412-41）写为）写为0222(241)(1)(2)BB振动力学9单自由度系统的振动单自由度系统的振动 称为称为动力放大系数，动力放大系数，是评估机械系

7、统是评估机械系统动态工作环境动态工作环境的重要指标之一。为了的重要指标之一。为了分析系统的特性，以频率比分析系统的特性，以频率比 为横坐标，为横坐标， 为纵坐标、以阻尼比为纵坐标、以阻尼比 为参数画为参数画出一组曲线，称为出一组曲线，称为幅频响应曲线幅频响应曲线。 可见：可见： . . 111时，即时，即 0 0 远大于远大于 时，无论时，无论阻尼大小如何，阻尼大小如何， ，此时，此时 22201=(242)(1)(2)BB图图 2-282-28001FBBBk，0200022200=FFFBkkm振动力学10单自由度系统的振动单自由度系统的振动振幅大小主要决定于系统惯性，这一区域振幅大小主要

8、决定于系统惯性，这一区域称为称为“惯性控制区惯性控制区”。 对启动次数不多的高速旋转机械，在对启动次数不多的高速旋转机械，在通过共振区后就有抑制振幅的预防措施，通过共振区后就有抑制振幅的预防措施，在越过共振区到达高速旋转时，振幅反而在越过共振区到达高速旋转时，振幅反而很小，旋转更趋平衡。很小，旋转更趋平衡。 . . 1 1 时，即时，即 0 0接近接近 ，振幅大小，振幅大小与阻尼情况极为密切。在与阻尼情况极为密切。在 较小的情况下较小的情况下，振幅，振幅B B可以很大，在可以很大，在0 0 的情况下，振的情况下，振幅幅B B趋向无穷大。趋向无穷大。 因为因为 可见可见惯性力和弹性力基本平衡惯性

9、力和弹性力基本平衡，从而有，从而有激振力与阻尼力相平衡激振力与阻尼力相平衡， 即有即有BcBc 0 0=F=F 0 0 ，B=FB=F0 0/c/c 0 0 , ,因此阻尼对系统响应有着因此阻尼对系统响应有着决定性影响，振幅决定性影响，振幅B B大小随阻尼大小随阻尼c c而定，这而定，这一区域称为一区域称为“阻尼控制区阻尼控制区”。 2200, mBmBkB故 振动力学11单自由度系统的振动单自由度系统的振动 激振力频率激振力频率 0 0与系统固有频率与系统固有频率 相等相等时，称为时，称为共振共振。实际上当有阻尼作用时，。实际上当有阻尼作用时，振幅最大不在振幅最大不在 0 0 = = 处处

10、可见，响应的峰值出现在可见，响应的峰值出现在 0 0比比 略略小的地方。实际上，阻尼往往比较小，所小的地方。实际上，阻尼往往比较小，所以一般以以一般以 0 0 = = 作为作为共振频率共振频率。 相对阻尼系数相对阻尼系数 对振幅的影响，从对振幅的影响，从幅频响应曲线可以看出阻尼在共振附近一幅频响应曲线可以看出阻尼在共振附近一定范围内，对减小振幅有显著作用，增加定范围内，对减小振幅有显著作用，增加阻尼，振幅可以明显下降。阻尼，振幅可以明显下降。20= 1-2 时，阻尼对振时，阻尼对振幅几乎没有什么作用。幅几乎没有什么作用。 . .共振时的动力放大系数称为共振时的动力放大系数称为“品质因子品质因子

11、”用符号用符号Q Q表示。由式（表示。由式（2-422-42），当），当 =1=1时时 在频率比为在频率比为 =1=1的虚线两侧，曲线可以近似的虚线两侧，曲线可以近似地认为是对称的，作地认为是对称的，作 的一条水平线与响应的一条水平线与响应曲线交于曲线交于q q1 1和和q q2 2两点，称为两点，称为半功率点半功率点，其对应的频率比为，其对应的频率比为 1 1和和 2 2。对于半功。对于半功率点率点q q1 1和和q q2 2 ，由式，由式(2-42)(2-42)与式（与式（2-442-44）得）得00max2BFBc图图 2-292-291(2 44)2Q/ 2Q2211222(1)(2)

12、Q振动力学13单自由度系统的振动单自由度系统的振动从上式可解出两个根从上式可解出两个根 ，这里，这里 1 1和和 2 2 就是半功率点的横坐就是半功率点的横坐标，标， 2 2- - 2 2=2=2或或2 2 1 1 称为称为系统的带宽系统的带宽，于是，于是Q Q 值可表示为值可表示为 当阻尼大时，带宽就宽，过共振时振幅变化平缓，振幅较小；反之，当阻尼大时，带宽就宽，过共振时振幅变化平缓，振幅较小；反之，阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅就大。所以阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅就大。所以品质因子品质因子反映了系统阻尼强弱性质和共振峰的陡峭程度反映了系统阻尼强弱性质和共

13、振峰的陡峭程度。在机械系统中，为了过共。在机械系统中，为了过共振时比较平稳，希望振时比较平稳，希望Q Q值小些。式（值小些。式（2-452-45）提供了由）提供了由试验估算系统阻尼比试验估算系统阻尼比 的方法的方法。 半功率点半功率点q q1 1和和q q2 2 处的相位角由式（处的相位角由式（2-402-40）估算如下：估算如下： 121,1 212111(245)2Q11221122222222 (1)tan111(1)4522 (1)tan111(1)135 。振动力学14单自由度系统的振动单自由度系统的振动 . .相位差相位差 与频率比与频率比 、阻尼、阻尼比比 关系曲线如图关系曲线如

14、图2-302-30，称为，称为相频相频响应曲线响应曲线。 a. a.当当 =1=1，即共振时，不管系，即共振时，不管系统阻尼如何，响应总是滞后于激振统阻尼如何，响应总是滞后于激振力力9090； b. b.若若 =0=0，相位角仅是，相位角仅是0 0或或180180。相位在共振点前后发生突。相位在共振点前后发生突变；变； c. c.若若 00，则，则 随随 增大而逐增大而逐渐增大，不会发生突变，但在共振渐增大，不会发生突变，但在共振点，特别当点，特别当 较小时，相位角较小时，相位角 变化变化较大。较大。图图 2-302-302022年7月5日振动力学15振动力学15单自由度系统的振动单自由度系统

15、的振动（2 2）系统初始阶段的响应）系统初始阶段的响应 a) a) 响应特征响应特征 在简谐激振力作用下系统的总响应为在简谐激振力作用下系统的总响应为 由两种由两种不同频率不同频率和和振幅振幅的简谐运动叠的简谐运动叠加而成的比较复杂的运动。加而成的比较复杂的运动。 实线实线表示某种情况下两种表示某种情况下两种运动叠加运动叠加的的结果。结果。 虚线虚线表示表示等幅等幅运动。运动。 经过一段时间后，实线逐渐与虚线相经过一段时间后，实线逐渐与虚线相重合而成为重合而成为单纯的稳态振动单纯的稳态振动。120( )( )( )(246)sin()sin()tx tx tx tAetBt振动力学16单自由度

16、系统的振动单自由度系统的振动 b) b) 积分常数特征积分常数特征 1 1）式（）式（2-462-46）中的积分常数）中的积分常数A A、 虽然虽然仍由初始条件定，但在此情况下不能按自仍由初始条件定，但在此情况下不能按自由振动得到的积分常数直接代入；由振动得到的积分常数直接代入； 2 2）强迫振动情况下，即使初位移和初）强迫振动情况下，即使初位移和初速度均为零，在响应中仍包含瞬态部分，速度均为零，在响应中仍包含瞬态部分，积分常数必须与稳态解一起考虑。积分常数必须与稳态解一起考虑。 如无阻尼，将式（如无阻尼，将式（2-462-46）改写为）改写为 设设t=0t=0时，时， , ,代入初始条件得代

17、入初始条件得图图 2-31002sin( )sin()(247)1Ftx tAtk0,0 xx002,0(1)FAk振动力学17单自由度系统的振动单自由度系统的振动代入（代入（2-472-47）得）得 可见：可见：1 1）强迫振动即使在初位移和初速度均为零，在强迫振动即使在初位移和初速度均为零，在激振力作用下仍存在着瞬态响应激振力作用下仍存在着瞬态响应，即上式等号右端括号，即上式等号右端括号中的第二项，在有阻尼的情况下，此项数值将逐渐趋向中的第二项，在有阻尼的情况下，此项数值将逐渐趋向于零。于零。 2 2）当系统的固有频率比较低时，瞬态振动振幅）当系统的固有频率比较低时，瞬态振动振幅就可能比较

18、大，而且在较长时间内不易衰减下去。就可能比较大，而且在较长时间内不易衰减下去。 3 3）因此）因此实验中测定强迫振动振幅时，应该在经实验中测定强迫振动振幅时，应该在经过一段时间稳定以后再测量过一段时间稳定以后再测量，否则可能测到的是两部分，否则可能测到的是两部分振动之和。振动之和。 0002( )(sinsin)(248)(1)Fx tttk2022年7月5日振动力学1818单自由度系统的振动单自由度系统的振动 c) c)一般初值响应一般初值响应 如果初始条件是如果初始条件是t=0, t=0, ，由式（，由式（2-462-46），在简谐），在简谐激振力作用下系统初始阶段的响应为激振力作用下系统

19、初始阶段的响应为其中其中00,xx xx0sin()sin()txAetBt22000000002 22sincos()(sin )(sin )arctan(2 49)sincos/(1)(2)xxBBAxBxBxxBBFkB22000000()arctanxxAxxxx自由振动自由振动振动力学19单自由度系统的振动单自由度系统的振动 d) d) 激振力频率激振力频率 0 0等于或接近于自由振动频率等于或接近于自由振动频率 情形情形 引入引入 0 0 =2=2考虑式（考虑式（2-482-48），当），当 很小时，则很小时，则式（式（2-502-50）中）中很小，很小，sinsint t变化缓慢

20、，周期变化缓慢，周期2 2/ /很大。式（很大。式（2-502-50）可看成周期为可看成周期为2 2/ / 、可变振幅等于、可变振幅等于 的振动。的振动。这种现这种现象称为拍，象称为拍，按图按图2-322-32中规律变化。拍的周期为中规律变化。拍的周期为/ / 。 0sincos(250)2Ftxtm 0(/2)sinFmt 图图 2-322-322022年7月5日振动力学20振动力学20单自由度系统的振动单自由度系统的振动当当 0 0接近接近 时时 说明共振时，如无阻尼，振幅将随时说明共振时，如无阻尼，振幅将随时间无限的增大，拍的周期称为无穷大，如间无限的增大，拍的周期称为无穷大，如图图2-

21、332-33。0cos2F txtm 图图 2-332-33振动力学21单自由度系统的振动单自由度系统的振动例例 2-17 2-17 如图如图2-26 2-26 所示系统，若所示系统，若m=20kgm=20kg，k k=8kN/m=8kN/m，c=130N.s/mc=130N.s/m，受到，受到F(t)=24sin15t (N)F(t)=24sin15t (N)的激振力作用；设的激振力作用；设t=0t=0时，时， , ,求系统的稳态响应、瞬态响应和总响应。求系统的稳态响应、瞬态响应和总响应。解：解：稳态响应：稳态响应：(0)0, (0) 100/xxmm s图图 2-2622800020/20

22、/ 2130 / (22020)0.1625120 10.162519.73/kradsmcmrads0022222 22sin()( )(1)(2)24sin(15)800015151 () (2 0.1625)20200.006sin(15)6sin(15)Ftx tktttF(t)振动力学22单自由度系统的振动单自由度系统的振动瞬态响应：瞬态响应：总响应为总响应为由初始条件由初始条件得得总响应为总响应为221520.1625220arctanarctan29.121511()20。3.251( )sin( )sin(19.73)ttx tAetAet3.25( )sin(19.73)6s

23、in(1529.12 )tx tAett。(0)0sin6sin( 29.12 )(0)100 xAx。3.31,61.82A。3.25( )3.31sin(19.7361.82 ) 6sin(1529.12 )tx tett。2022年7月5日振动力学232022年7月5日振动力学23单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022年7月5日振动力学242022年7月5日振动力学24单自由度系统振动单自由度系统振动2022年7月5日振动力学24振动力学25单自由度系统的振动单自由度系统的振动2.2.偏心质量引起的强迫振动偏心质量引起的强迫振动 设总质量为设总质量为M M，其中转子质量为，其中

24、转子质量为m m，转子质心到转轴距离，即偏心距，转子质心到转轴距离，即偏心距为为e e，转子以角速度，转子以角速度 0 0转动，机器通过弹簧与阻尼器安装在基础上。由转动，机器通过弹簧与阻尼器安装在基础上。由于约束的限制，机器只能沿铅直方向运动，如图于约束的限制，机器只能沿铅直方向运动，如图2-342-34（a a）所示。）所示。 设设x(t)x(t)为非转动部分的质量（为非转动部分的质量（M-mM-m）自静平衡起的垂直位移，则）自静平衡起的垂直位移，则m m的的垂直位移为：垂直位移为：x(t)+esinx(t)+esin 0 0t t。由牛顿第二定律：。由牛顿第二定律：整理得整理得式中式中 为

25、因转子失衡而产生的为因转子失衡而产生的激振力的幅值，其等效系统如图激振力的幅值，其等效系统如图2-342-34（b b）图图 2-342-3422022()(sin)d xddxM mmx etckxdtdtdt20000sinsin(251)MxcxkxmetFt200Fme振动力学26单自由度系统的振动单自由度系统的振动 可见只要用可见只要用meme 0 02 2 取代取代F F0 0，前面分析皆适用。稳态强迫振动为，前面分析皆适用。稳态强迫振动为且有且有根据式（根据式（2-522-52）可画）可画 与与 的关的关系曲线，如图系曲线，如图2-352-35。0sin()xBt22022222

26、2200022202222/()(2)(1)(2)22arctanarctan1(252)(1)(2)meMmeBMMBmeMBme图图 2-352-352 2201=(2 42)(1)(2)BB振动力学27单自由度系统的振动单自由度系统的振动可见：可见：当当 , ,即动态响应为零，因为即动态响应为零，因为 时，自然就无振动时，自然就无振动. .当当 ，出现共振，出现共振， =90=90。即当整个系统向上运动通过。即当整个系统向上运动通过静平衡位置时，偏心质量正好处于旋转中心的正上方，因此，静平衡位置时，偏心质量正好处于旋转中心的正上方，因此，可用试验可用试验方法来测定系统的固有频率方法来测定

27、系统的固有频率( (测定由水平或底部位置到达顶部时间测定由水平或底部位置到达顶部时间）。当当 , , 说明说明超越临界转速后，系统的响应与频超越临界转速后，系统的响应与频率及阻尼无关，且振幅保持为率及阻尼无关，且振幅保持为一个常数，相位角一个常数，相位角 是是180180。也就是说整个系统向上运动到也就是说整个系统向上运动到最顶位置时，偏心质量正好在最顶位置时，偏心质量正好在旋转中心的最下方。旋转中心的最下方。0,/0MB me001,/1/2MB me1,/1/MB meme M，即 B图图 2-352-352022年7月5日振动力学282022年7月5日振动力学282022年7月5日振动力

28、学28单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022年7月5日振动力学292022年7月5日振动力学292022年7月5日振动力学29单自由度系统振动单自由度系统振动2022年7月5日振动力学292022年7月5日振动力学30振动力学30单自由度系统的振动单自由度系统的振动3.3.支承运动引起的强迫振动支承运动引起的强迫振动 系统振动在不少情况下是由支承运动引起的。系统振动在不少情况下是由支承运动引起的。 如：地面的振动会引起它上面机器的振动；如：地面的振动会引起它上面机器的振动； 汽车驶过不平的路面产生的振动。汽车驶过不平的路面产生的振动。振动力学31单自由度系统的振动单自由度系统的振动支

29、承运动下的强迫振动模型如图支承运动下的强迫振动模型如图2-362-36设设y(t)y(t)和和x(t)x(t)分别为基础和质量的位移，其相对位移分别为基础和质量的位移，其相对位移z=x-yz=x-y，以质量，以质量块为对象，由牛顿第二定律得块为对象，由牛顿第二定律得以以z=x-yz=x-y代入上式，并设支承点作简谐代入上式，并设支承点作简谐运动：运动：y=asiny=asin 0 0t,t,则则其稳态响应为其稳态响应为式中式中图图 2-362-36()()(2 53)mxc xyk xy 200sin(2 54)mzczkzmymat0sin()zBt2202 222 2200220()(1)

30、(2)2tan1maaBkmcckm振动力学32单自由度系统的振动单自由度系统的振动若用质量块的绝对运动若用质量块的绝对运动x x来表示，则来表示，则可见：可见：支承运动时相当于系统上作用了两个激振力支承运动时相当于系统上作用了两个激振力。一个是经过弹簧一个是经过弹簧传递过来的传递过来的kyky，另一个是，另一个是 。两者相位不同，前者与。两者相位不同，前者与y y同向，后者超同向，后者超前前9090，与，与 同向。同向。 设（设（2-552-55）解为）解为x=Bsin(x=Bsin( 0 0t-t- ) )，则，则动力放大系数为动力放大系数为(2 55)mx cxkxkycycy y 22

31、223221 (2)(1)(2)2arctan(256)1(2)Ba22221 (2)(257)(1)(2)Ba振动力学33单自由度系统的振动单自由度系统的振动幅频响应和相频响应曲线如图幅频响应和相频响应曲线如图2-372-37可见：可见： 1 1）当）当 。这时质量块相对支承几乎没有运动。这时质量块相对支承几乎没有运动。 2 2）当）当 时，响应大小决定于系统的阻尼比时，响应大小决定于系统的阻尼比 的数值。且阻尼较小时，的数值。且阻尼较小时， 有极值，系统发生共振。有极值，系统发生共振。 3 3）当）当 时，不论时，不论 为何值，都有为何值，都有 =1=1图图 2-372-37000=1=0

32、即时，1= 2振动力学34单自由度系统的振动单自由度系统的振动 4 4）当）当 时，振幅时，振幅B B 就小于支承运动的振幅就小于支承运动的振幅a a，而且阻尼大的，而且阻尼大的系统比阻尼小的振幅反而要稍大些。系统比阻尼小的振幅反而要稍大些。 5 5）当）当 时，时，B/a0,B/a0,质量块几乎不动，说明支承的运动对重质量块几乎不动，说明支承的运动对重物影响极小。物影响极小。22图图 2-372-372022年7月5日振动力学352022年7月5日振动力学352022年7月5日振动力学352022年7月5日振动力学35单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022年7月5日振动力学3620

33、22年7月5日振动力学362022年7月5日振动力学362022年7月5日振动力学36单自由度系统振动单自由度系统振动2022年7月5日振动力学362022年7月5日振动力学37振动力学37单自由度系统的振动单自由度系统的振动4.4.隔振原理隔振原理 隔振隔振是在物体与支承面之间加入弹性衬垫，以隔离振动。是在物体与支承面之间加入弹性衬垫，以隔离振动。 分主动隔振和被动隔振两种情况。分主动隔振和被动隔振两种情况。 （1 1）主动隔振）主动隔振 机器本身是根源，使它与地基隔离开来，以机器本身是根源，使它与地基隔离开来，以减少它对环境的影减少它对环境的影响响，称，称主动隔振主动隔振。例如把机器安装在

34、较大的基础上，在基础与地基。例如把机器安装在较大的基础上，在基础与地基之间设置若干橡胶隔振器就是一种常用的主动隔离措施。之间设置若干橡胶隔振器就是一种常用的主动隔离措施。 主动隔离效果用主动隔离效果用主动隔振系数主动隔振系数 1 1来表示。来表示。1隔振后传到地基上的力幅没有隔振时传到地基上的力幅隔振系数越小，隔振效果越好。隔振系数越小，隔振效果越好。振动力学38单自由度系统的振动单自由度系统的振动图图2-382-38（a a）表示质量块）表示质量块m m未未加隔振装置，其上作用有简加隔振装置，其上作用有简谐干扰力谐干扰力F=FF=F0 0 sin sin 0 0t t，显然，显然传到地基上的

35、力幅是传到地基上的力幅是F F0 0。加隔振装置后，如图加隔振装置后，如图2-382-38（b b），），传到地基上的力为弹簧作用力传到地基上的力为弹簧作用力F Fk k与阻尼器作用的力与阻尼器作用的力F Fc c之和。之和。 这两部分力频率相同，均为这两部分力频率相同，均为 0 0，用旋转矢量表示如图，用旋转矢量表示如图2-382-38（c c）。合）。合力最大值为力最大值为 000sin()cos()kcFkxkBtFcxcBt0222(1)(2)FBk2022年7月5日振动力学39振动力学39单自由度系统的振动单自由度系统的振动 因为在激振力因为在激振力F=FF=F0 0 sin sin

36、 0 0t t作用下，系统稳态响应振幅为作用下，系统稳态响应振幅为代入（代入（2-582-58）得到）得到是得主动隔振系数是得主动隔振系数222222maxmax01 (2)(2 58)TkcFFFB kckB202221(2)(1)(2)TFF212 2201 (2)(2 59)(1)(2)TFF0222/(1)(2)FkB振动力学40单自由度系统的振动单自由度系统的振动以以 为横坐标，为横坐标， 1 1为纵坐标为纵坐标，阻尼比，阻尼比 取不同值时，得到主动隔振系数取不同值时，得到主动隔振系数 1 1与频率比与频率比 的关系曲线。的关系曲线。 因为只有因为只有 1 1 1 1 1，传给地基的

37、力比不用隔振弹簧还大。，传给地基的力比不用隔振弹簧还大。22221(2)(1)(2)221111 或2222022年7月5日振动力学41振动力学41单自由度系统的振动单自由度系统的振动当当 ， 1 1 值随阻尼值随阻尼 增加而变大，如盲目增大阻尼，反而使增加而变大，如盲目增大阻尼，反而使隔振效果变坏。隔振效果变坏。2振动力学42单自由度系统的振动单自由度系统的振动 （2 2）被动隔振）被动隔振 振源：地基运动振源：地基运动 力学原理：支承运动引起系统发生的强迫振动力学原理：支承运动引起系统发生的强迫振动 为为减少环境振动对系统减少环境振动对系统影响，采取的隔振措施称为影响，采取的隔振措施称为被

38、动隔振被动隔振，其，其隔振效果用隔振效果用被动隔振系数被动隔振系数 2 2来表示来表示设振源振动是简谐的，设振源振动是简谐的，y=asiny=asin 0 0t t，隔振后物块振幅，隔振后物块振幅得被动隔振系数得被动隔振系数 由（由（2-592-59）和（）和（2-602-60）可见，无论主动还是被动隔振，隔振系数与）可见，无论主动还是被动隔振，隔振系数与频率变化规律是相同的，对主动隔振时频率变化规律是相同的，对主动隔振时 1 1的讨论也适用于被动隔振。的讨论也适用于被动隔振。2被 隔 振 物 块 振 幅振 源 振 动 的 振 幅22221(2)(1)(2)Ba222221(2)(260)(1

39、)(2)Ba振动力学43单自由度系统的振动单自由度系统的振动例例 2-18 2-18 一台电机质量一台电机质量31kg31kg，转速，转速n=2970r/minn=2970r/min，在电机与基础之间，在电机与基础之间加油弹性衬垫，阻尼不计。要使传到基础上的力减为不平衡力的加油弹性衬垫，阻尼不计。要使传到基础上的力减为不平衡力的1/101/10，问弹性衬垫的刚度系数，问弹性衬垫的刚度系数k k因为多少。因为多少。解：令式（解：令式（2-592-59）中）中 =0=0，则得不计阻尼时的隔振系数为，则得不计阻尼时的隔振系数为由由 得得2211(2)11才有隔振效果1=10211=10-12202=

40、112（）02297099/30radskm22(99)1131(99)312726/11kkNcm2022年7月5日振动力学442022年7月5日振动力学442022年7月5日振动力学442022年7月5日振动力学44单自由度系统振动单自由度系统振动2022年7月5日振动力学4445单自由度系统的振动单自由度系统的振动5.5.测振原理测振原理测量振动的仪器测量振动的仪器: :测量振幅、振速和振动加速度测量振幅、振速和振动加速度基本原理基本原理: : 强迫振动理论强迫振动理论( (支承运动）支承运动）原理图组成原理图组成: : 弹簧弹簧k k、质量、质量m m、阻尼、阻尼c c和机械式记录器、

41、外壳和机械式记录器、外壳外壳固定于被测物体上外壳固定于被测物体上 2022年7月5日振动力学46振动力学46单自由度系统的振动单自由度系统的振动设设y y、x x分别为被测物体和仪器质量分别为被测物体和仪器质量m m的位移，在记录器转筒上所记录的的位移，在记录器转筒上所记录的则是它们的相对位移则是它们的相对位移(x-y)(x-y) 设设则则稳态响应为稳态响应为式中式中0sin,yatzxy200()()sinmxc xyk xymzczkzmat 0sin()zBt22022222200220()()(1)(2)2tan(2.61)1maaBkmcckm振动力学47单自由度系统的振动单自由度系

42、统的振动对各个不同的对各个不同的 值，值，B/aB/a与与 的关系如图的关系如图2.402.40。图图 2-402-402022年7月5日振动力学48振动力学48单自由度系统的振动单自由度系统的振动两种惯性式测振仪两种惯性式测振仪（1 1）位移计）位移计 当当 11，即，即 0 0 时，时， B/a1 B/a1， ，表明：记录的相对运动振幅与频率与被测物体的振幅与频表明：记录的相对运动振幅与频率与被测物体的振幅与频率都相同，相位相反。这时率都相同，相位相反。这时x=y+z0,x=y+z0,质量块在空间几乎质量块在空间几乎不动。不动。 为扩大仪器使用范围，应使为扩大仪器使用范围，应使B/a 1B

43、/a 1的范围尽量大。的范围尽量大。 由于由于 0 0 ，位移计是一种低固有频率的仪器，体积，位移计是一种低固有频率的仪器，体积大、笨重，适用于测量大型机器的振动和地震等。大、笨重，适用于测量大型机器的振动和地震等。00sin()sinzataty振动力学49单自由度系统的振动单自由度系统的振动（2 2）加速度计）加速度计 当当 11，即，即 0 0 时，时， 因加速度计体积小，质量轻，仪器本身质量对测量结果影响小，工因加速度计体积小，质量轻，仪器本身质量对测量结果影响小，工程上现已广泛使用加速度计。程上现已广泛使用加速度计。 为使测量结果准确，需尽量使为使测量结果准确，需尽量使 接近于接近于

44、1 1。 与与 、 的关系见图的关系见图2.282.28。将图中。将图中 11的部分放大画出图的部分放大画出图2.412.41。 可见要扩大频率使用范围，应选择适当的阻尼，在可见要扩大频率使用范围，应选择适当的阻尼，在 =0.65=0.65 0.700.70， =0=0 0.400.40时，时， 1 1，误差小于，误差小于0.1%0.1%。 因此阻尼的合理选择可以增高加速度计的频率使用范围。因此阻尼的合理选择可以增高加速度计的频率使用范围。202aB2222201(1)(2)Ba振动力学50单自由度系统的振动单自由度系统的振动（3 3）加速度计的相位矢量）加速度计的相位矢量 加速度计所示值与被

45、测振动物体运动之间有相位差加速度计所示值与被测振动物体运动之间有相位差 。 与与 的变化规律通常是的变化规律通常是非线性非线性的，在测量由若干简谐函数叠加而的，在测量由若干简谐函数叠加而成的非简谐周期振动时，会造成成的非简谐周期振动时，会造成波形畸变波形畸变（或（或相位畸变相位畸变）。）。 图图 2-412-41振动力学51单自由度系统的振动单自由度系统的振动避免畸变的方法：避免畸变的方法：所测的各次简谐波的所测的各次简谐波的相相位角皆为零位角皆为零; ;( (2)2)使每一简谐波相位角使每一简谐波相位角 与频率比与频率比 成正比，成正比， 即即线性变化线性变化。 由图可见当由图可见当 =0.

46、7=0.7时时, ,在在00 1ttt1 1时系统响应时系统响应方法方法1 1：0110011cos()sin()sin()sinFxCttDttkFFtttk tk001111sin(1 cos)FFCtDtk tk t ，2022年7月5日振动力学80振动力学80单自由度系统的振动单自由度系统的振动 方法方法2 2：也可看作两个从不同时间开始的斜坡函数叠加。对无阻尼系也可看作两个从不同时间开始的斜坡函数叠加。对无阻尼系统，可得统，可得tttt1 1时系统响应为时系统响应为11111001sin()sin()()sin()sinsin()sinttataxtttkkatattttkkFFtt

47、tkk振动力学81单自由度系统的振动单自由度系统的振动 三角形脉冲的响应三角形脉冲的响应( (无阻尼）无阻尼） a. tt a. tttt1 1时的响应按自由振动处理。时的响应按自由振动处理。t=tt=t1 1时的位移与速度为时的位移与速度为将将 作为初始条件代入自由振动公式得作为初始条件代入自由振动公式得式中式中a=F a=F 0 0/t/t1 1，代入得，代入得10101sin(),(1s)taaxtxcotkk00 xx 、0011111111cos ()+sin()sin=()cos ()+(1-cos t )sin (),xxxtttttaatttttttkk01111111 cos

48、 ()sin()sin,Fxtttttt ttkt2022年7月5日振动力学82振动力学82单自由度系统的振动单自由度系统的振动b. ttb. tt tt1 1时的响应按自由振动处理，时的响应按自由振动处理， 图图2.492.49（c c）右侧图看作左侧图）右侧图看作左侧图两个斜坡函数的叠加，得两个斜坡函数的叠加，得因因a=F a=F 0 0/t/t1 1，整理得，整理得0111sin()sin()()1 cos ()Fttataxtttttkkk0111111 cos ()sin()sin(2.78)Fxttttttkt振动力学83单自由度系统的振动单自由度系统的振动半波正弦脉冲的响应半波正

49、弦脉冲的响应 图（图（d d）右侧为半波正弦脉冲。）右侧为半波正弦脉冲。方法方法1 1：把图（把图（d d）右侧图看作左侧图两正弦）右侧图看作左侧图两正弦 函数叠加。设函数叠加。设t=0t=0时的初速度、初位时的初速度、初位 移为移为0 0。则。则tttt1 1是响应为是响应为因半波时间长度为因半波时间长度为t t1 1,t,t1 1= = / / 0 0，代入有，代入有 000112=sint- sint+sin(t-t )- sin(t-t )(1-)Fxk012=-sin(t-t )+sint2.79(1-)Fxk（）2022年7月5日振动力学84振动力学84单自由度系统的振动单自由度系

50、统的振动方法方法2 2：tttt tt1 1时的响应按自由振动处理，时的响应按自由振动处理， 把把t=tt=t1 1 = = / / 0 0 代入上式得代入上式得把把 代入自由振动响应公式，得代入自由振动响应公式，得002=(sint- sint)(1-)Fxk0020=-sin(1-)Fxk00020=-1-cos(1-)Fxk011200012=-(1+cos)sin (t-t )+sincos(t-t )(1-)-sin (t-t )+sint(1-)FxkFk00 x x 、2022年7月5日振动力学85振动力学85单自由度系统的振动单自由度系统的振动（2 2）任意激励的响应）任意激励

51、的响应 将激励看成是持续时间非常短的脉冲的叠加将激励看成是持续时间非常短的脉冲的叠加. . 单位脉冲或狄拉克单位脉冲或狄拉克 函数定义：如果函数函数定义：如果函数 （t) t)满足满足 （1 1） 当当tt 时时 （2 2）当）当t=t= 时，有时，有 称函数称函数 （t) t)为为单位脉冲函数或狄拉克单位脉冲函数或狄拉克 函数函数()0t()1(2.80)tdt 函数几何意义函数几何意义 在在t=t=处，脉冲以处，脉冲以(t-(t-) )表示，函数不为零的时间间隔被限定表示，函数不为零的时间间隔被限定为无穷小为无穷小，该间隔内函数的值不定，曲线下面积等于，该间隔内函数的值不定，曲线下面积等于

52、1.1. 函数的单位为函数的单位为s s-1-1。振动力学86单自由度系统的振动单自由度系统的振动图图 2-502-502022年7月5日振动力学87振动力学87单自由度系统的振动单自由度系统的振动 函数的力学意义函数的力学意义一个力的冲量一个力的冲量 是力是力F F（t t）对时间的积分，即）对时间的积分，即 若力若力F F（t t）的值非常大但作用时间却很短，那么冲量）的值非常大但作用时间却很短，那么冲量 仍是有限仍是有限值，该力就称为值，该力就称为脉冲力脉冲力。在时间。在时间t=t=时作用的脉冲力可用时作用的脉冲力可用 函数表为函数表为函数函数 （t)-t)-冲量为冲量为1 1的脉冲力的

53、脉冲力 函数还有如下性质：函数还有如下性质：F( )FFt dtF( )()F tFt( ) ()( )(2.81)f ttdtf振动力学88单自由度系统的振动单自由度系统的振动单自由度阻尼系统的脉冲响应单自由度阻尼系统的脉冲响应单自由度阻尼系统在单自由度阻尼系统在t=0t=0时受到一脉冲力的激励，振动方程为时受到一脉冲力的激励，振动方程为对零初始条件，即对零初始条件，即 ，则在极短时间，则在极短时间t= = 内，有内，有右侧积分为右侧积分为 ，左侧积分，左侧积分记号记号 表在时间增量表在时间增量t=t= 之后速度的变化。因时间之后速度的变化。因时间t t非常短，来不非常短，来不及发生位移，所

54、以及发生位移，所以x(x()=0)=0。( )mxcxkxFt(0)(0)0 xx0000lim ()lim( )(2.82)mxcxkx dtFt dtF00000limlimlim ( )(0)(0 )mxdtmxm xxmx00000limlimlim ( )(0)0cxdtcxc xx00lim0kxdt(0 )x2022年7月5日振动力学89振动力学89单自由度系统的振动单自由度系统的振动方程（方程（2.822.82）可写成）可写成因系统动量的变化等于系统所受的力在此刻的冲量，即因系统动量的变化等于系统所受的力在此刻的冲量，即 因速度变化因速度变化dv=dv= ，从动量定理也可导出式

55、（，从动量定理也可导出式（2.832.83）可见可见0 0时，时，x(x() ) 0,0, 方程方程可以看成在初始条件可以看成在初始条件x(x()=0, ,t)=0, ,t 的自由振动，其响的自由振动，其响应为（称为应为（称为脉冲响应脉冲响应） =1 =1时的响应称为时的响应称为单位脉冲响应，单位脉冲响应，用用h h( (t t) )表示表示(0 )/(2.83)xF m( )mdvF t dtF(0 )x( )sin(2.84)tFx tetm( )mxcxkxFt( )/(2.83)xF m( )/xF mF振动力学90单自由度系统的振动单自由度系统的振动 若单位脉冲力在若单位脉冲力在t=

56、t=时施加，则响应记为时施加，则响应记为h(t-h(t-) )，表达式为，表达式为 1( )sin (2.85)th tetm()1()sin ()(2.86)th tetm2022年7月5日振动力学91振动力学91单自由度系统的振动单自由度系统的振动任意激励的响应任意激励的响应 设任意激励力设任意激励力F F（ ），），00 t t，如图，如图2.512.51，作用于弹簧，作用于弹簧质量质量- -阻尼单自由度系统上，振动方程为阻尼单自由度系统上，振动方程为 将该任意激励分为很多脉冲力，将该任意激励分为很多脉冲力，在在t=t=邻近的微小冲量为邻近的微小冲量为F(F() )，由单位脉冲响应公式，

57、得由单位脉冲响应公式，得F(F() )产生产生的响应为的响应为 将将0,t0,t上响应叠加，有上响应叠加，有图图 2-512-51( )(2.87)mxcxkxF( )()xFh t 0( )( ) ()(2.88)tx tFh td振动力学92单自由度系统的振动单自由度系统的振动将将h(t-h(t-) ) 代入得代入得上式为阻尼单自由度系统受任意激励上式为阻尼单自由度系统受任意激励F(t)F(t)作用时的响应，称为作用时的响应，称为杜哈美积杜哈美积分分(Duhamel)(Duhamel)。注意注意: :杜哈美积分包括了稳态响应和瞬态响应两部分。杜哈美积分包括了稳态响应和瞬态响应两部分。 对小

58、阻尼，即对小阻尼，即 =0=0， = = ，有，有 在在t=0t=0时有初速度时有初速度 和初位移和初位移 存在，系统总响应为存在，系统总响应为忽略阻尼，总响应为忽略阻尼，总响应为()1( )( )sin()(2.89)tx tFetdm01sin ()(2.90)txFtdm0 x 0 x()00001( )sincos ( )sin()tttxxx tetxtFetdm0001( )sincos( )sin ()(2.92)txx ttxtFtdm振动力学93单自由度系统的振动单自由度系统的振动任意支承运动函数的响应任意支承运动函数的响应 系统在支承运动下振动，支承运动规律是任意时间函数系统在支承运动下振动，支承运动规律是任意时间函数y(y( ) )，同，同样可用杜哈美积分来求系