《空间几何中的角度计算与距离计算》导学案

1、导 学 固 思. . . 1.利用直线与平面的平行和垂直的判定定理、性质定理进行一些空间几何中的线面角和二面角的计算.2.空间几何中有关的点面距离、空间几何体的高和体积的计算.导 学 固 思. . . 前面我们了解了直线与平面所成的角、二面角的概念,那么在实际应用中我们如何计算它们的角度呢?又有哪些方法技巧呢?我们在了解距离概念后,能否求出几何体的高,进一步求出空间几何体的体积呢?今天我们将初步揭开它们的面纱,探寻解这类问题的方法规律呢?导 学 固 思. . . 问题1空间几何体的角度和距离空间几何体的角度和距离(1)空间几何中有关角度的类型有:线线角:主要指两条异面直线所成角. :直线与平面

2、所成角. :从一条直线出发的两个半平面所成的图形. 线面角二面角点到直线的距离点到平面的距离(2)空间几何中有关距离的类型有: 、 、 . 、两异面直线间的距离(不要求掌握)、直线与平面平行时的线面距离、 .这些距离问题往往都会转化成点面、点线之间的距离来求解. 两平行线间的距离两平行平面之间的距离导 学 固 思. . . 问题2求直线与平面所成角的基本思想和方法求直线与平面所成角的基本思想和方法求直线和平面所成的角,几何法一般先定斜足,再作垂线找射影,然后通过 求解,可以简述为“作(作出线面角)证(证所作为所求)求(解直角三角形)”.通常,通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连

3、线是产生线面角的关键. 解直角三角形求二面角的基本思想和方法求二面角的基本思想和方法问题3求二面角时,关键是作出二面角的平面角,其常用作法有三种:导 学 固 思. . . (1)定义法:在二面角的棱上找一点(为了便于解决问题,可结合图形找某特殊的点),在两个半平面内过该点分别作与棱 的射线. (2)垂面法:过棱上一点作棱的垂面,该平面与二面角的两个半平面形成交线(实质是射线),这 所成的角是二面角的平面角.垂直两条交线(3)垂线法:如图,由一个半平面内不在棱上的点A向另一个半平面作垂线AB,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线BO,垂足为O,连接AO,易证 即为二面角的平面角.AOB导 学 固

4、思. . . 求空间中的点面距离的基本思想和方法求空间中的点面距离的基本思想和方法问题4空间中的距离问题都可以转化为点面距离,故解决点面距离问题是一切距离问题的基础,通常有以下几种方法求空间中的点面距离:(1)找出该点到平面的 ,再找到垂线段所在的 ,然后 求出垂线段的长度,运用这种方法求解关键在于垂足是否容易找到及三角形是否易解. (2)该点的垂线段不容易寻找时,可以将该点等价转化为其他点到相应平面的距离.垂线段三角形解直角三角形导 学 固 思. . . 如:直线与平面 时,该直线上任意一点到平面的距离相等;两平面 时,其中一个平面上的任意一点到另一平面的距离相等;线段被平面 时,线段两端的

5、点到平面的距离相等. (3)体积法:根据体积公式,若求出该几何体的. 和 ,也就可以求出高,即点到平面的距离. 平行平分体积平行底面积导 学 固 思. . . 1A已知A,P,PA与平面所成的角为60,PA=4,则PA在平面上的射影的长度为().导 学 固 思. . . 已知平面ABC平面ABD=AB,直线m,n满足:m平面ABC,n平面ABD,直线m,n所成的角为60,则二面角C-AB-D的大小为().2DA.30 B.60C.120 D.60或120【解析】 两个半平面的垂线所成的角,与二面角相等或互补,故选D.导 学 固 思. . . 在三棱锥A-BCD中,AD底面BCD,BDDC,AD

6、=BD=DC=1,则点D到平面ABC的距离h= .导 学 固 思. . . 4导 学 固 思. . . 求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角导 学 固 思. . . 导 学 固 思. . . 求二面角求二面角如图,在ABC中,ABBC,SA平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于点D、E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.导 学 固 思. . . 求点到直线的距离求点到直线的距离如图,底面是正方形ABCD,PC平面ABCD,E,F是AB,AD的中点,AB=4,PC=3.(1)求证:EF平面PCH;(2)求点B到平面PEF的距离.导 学 固 思. . . 导 学 固 思. . . 在三棱锥P-ABC中,侧面PAC与面ABC垂直,PA=PB=PC=3.(1)求证:ABBC;(2)若AC=4,求PB与平面ABC所成角的余弦值.导 学 固 思. . . 导 学 固 思.