Ch9_1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位

1、第九章第九章 振动振动 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和频率周期和频率 相位相位2 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和频率周期和频率 相位相位3任何一个物理量(物体的位置、电流强度、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近的反复变化.复杂振动复杂振动 = = 简谐振动简谐振动是最基本、最简单的振动理想模型是最基本、最简单的振动理想模型. .物体发生机械振动的条件：物体受到始终指向平衡位置的回复力回复力；物体具有惯性惯性。物体在它的平衡位置附近所作的往复运动。如声源的振动、钟摆的摆动等。是研究各种复杂振动的重要基础。这里主要讨论简谐振动。 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和

2、频率周期和频率 相位相位4机械振动、电磁振荡机械振动、电磁振荡机械波、电磁波机械波、电磁波德布罗意波德布罗意波几率波几率波振动学是波动学的基础振动学是波动学的基础振动振动 波动的成因波动的成因振动和波动的关系振动和波动的关系: : 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和频率周期和频率 相位相位5始终指向平衡位置以物体受力为零的平衡位置为坐标原点水平光滑面，弹簧劲度 质量可忽略，物体质量物体在任一位置受的弹性力 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和频率周期和频率 相位相位6以铅垂方向 为摆角参考轴线，单摆在任一角位置 所受的重力矩为则取摆幅很小始终指向平衡位置 9-1 简谐运动简谐运动

3、 振幅振幅 周期和频率周期和频率 相位相位7振动的成因振动的成因回复力回复力+ +惯性惯性 线性回复力线性回复力fkxi 动力学特征动力学特征 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和频率周期和频率 相位相位8X对于给定的弹簧振子 为常量，其比值亦为常量。令则即得 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和频率周期和频率 相位相位9简谐振动微分方程得由应用转动定律，同理也可求得单摆的角振动微分方程具有加速度具有加速度 与位移的大小与位移的大小 成正比成正比, ,而方向相反特征的而方向相反特征的振动称为振动称为简谐运动简谐运动具有加速度具有加速度 与位移的大小与位移的大小 成正比成正比, ,而

4、方向相反特征的而方向相反特征的振动称为振动称为简谐运动简谐运动动力学特征动力学特征运动学特征运动学特征 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和频率周期和频率 相位相位10简谐振动微分方程得 为微分方程求解时的积分常量，由系统的初始条件决定。简谐振动方程A该微分方程的解通常表成余弦函数A 运动方程运动方程周期振动周期振动特征特征等幅振动等幅振动 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和频率周期和频率 相位相位11简谐振动的加速度AA简谐振动的振动方程简谐振动的速度AAAAAA最大最大最大 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和频率周期和频率 相位相位12弹簧振子单 摆振幅 ： 的最大绝

5、对值A周期：完成一次振动需时频率：角频率： 表征振动的强弱，其大小由初始条件确定表征振动的强弱，其大小由初始条件确定 表征振动的周期性，由振子固有性质确定表征振动的周期性，由振子固有性质确定kmT 22w弹簧振子周期周期和频率仅与振动系周期和频率仅与振动系统统本身本身的物理性质有关的物理性质有关 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和频率周期和频率 相位相位13频率为频率为 Hz33. 1/1T例如，例如，心脏的跳动心脏的跳动80次次/ /分分s 75.0) s (8060(min801）T周期为周期为大象大象 2530 马马 4050猪猪 6080 兔兔 100松鼠松鼠 380 鲸鲸 8

6、动物的心跳（次动物的心跳（次/ /分）分） 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和频率周期和频率 相位相位14 昆虫翅膀振动的频率（昆虫翅膀振动的频率（Hz） 雌性蚊子雌性蚊子 355415 雄性蚊子雄性蚊子 455600 苍苍 蝇蝇 330 黄黄 蜂蜂 220 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和频率周期和频率 相位相位15对于乐器，频率高，音调高；频率低，音调低。人发音的音调是不同的，一般来说，小孩的音调比成人高；女人的音调比男人高。同样是成年的男人(或女人)，音调也有不同。人的发声频率，大约在85Hz到1100Hz左右。 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和频率周期和频率

7、 相位相位16AA是界定振子在时刻 的运动状态的物理量运动状态要由位置 和速度 同时描述，而 和 的正负取决于 相位 ：，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。所谓时质点的运动状态AA位置速度初始条件即为初相 ：是 时，振子的相位 确定物体振动状态单位：弧度（单位：弧度（rad） 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和频率周期和频率 相位相位17 相位的物理意义相位的物理意义o o- A- At tx xb bA Aa a a a 与与 b b 点的位移相同，但速度状态不同。点的位移相同，但速度状态不同。 a a 与与 b b 点的相位不同。点的相位不同。 相位的意义相位的意义: : 表征

8、任意时刻（表征任意时刻（t t）物体振动状态（相物体振动状态（相貌）貌）. . 物体经一周物体经一周期的振动，相位改期的振动，相位改变变 .2 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和频率周期和频率 相位相位18 比较两个谐比较两个谐 振动的步调振动的步调1111cosxAtw2222cosxAtw相位差相位差 2211ttww 当当 = = 2 2k k , (, ( k k =0,1,2,), =0,1,2,), 两振动步调相同两振动步调相同 同相同相 当当 = = (2(2k k+1)+1) , (, ( k k =0,1,2,), =0,1,2,), 两振动步调相反两振动步调相反 反

9、相反相 x x2 2T Tx xo oA A1 1-A-A1 1A A2 2- A- A2 2x x1 1t t反相反相t tx xo oA A1 1-A-A1 1A A2 2- A- A2 2x x1 1x x2 2T T同相同相 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和频率周期和频率 相位相位19xto为其它为其它超前超前落后落后12txo反相反相对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它们间的简谐运动，相位差表示它们间步调步调上的上的差异差异0 xto同相同相)cos(111wtAx)cos(222wtAx（注意相位差取值）（注意相位差取值） 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振

10、幅 周期和频率周期和频率 相位相位20由 和 求给定振子的振幅AAAA消去 得初相 由 和 求给定振子的AAA消去 得A A 和和 对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定振幅和初相由初始条件决定. . 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和频率周期和频率 相位相位21 试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。平衡点在受力平衡点小球受弹性力大小选取受力平衡点作为位置坐标原点小球在为置坐标 处所受弹性力合外力振动方程A动力学方程微分方程的解：均与水平弹簧振子结果相同 9-1

11、 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和频率周期和频率 相位相位23（为什么（为什么 不取不取 ？) )(2)(2)由由(1)(1)中结果中结果t 0 . 6cos04. 002. 0210 .6costttx0 . 6sin24. 0ddvtt0 . 6cos10 . 6sin2221123依题意，依题意，v v0 02324. 0v1sm208.0例例1:1: 一轻弹簧的一端固定，另一端连一轻弹簧的一端固定，另一端连接一定质量的物体接一定质量的物体. .整个系统位于水平整个系统位于水平面内，系统的角频率为面内，系统的角频率为6.0s6.0s-1-1. .今将物今将物体沿平面向右拉长到体沿平面向

12、右拉长到x x0 0=0.04m=0.04m处释处释放，试求：放，试求：(1)(1)简谐运动表达式；简谐运动表达式；(2)(2)物物体从初始位置运动到第一次经过体从初始位置运动到第一次经过A A/2/2处时的速度处时的速度. .100s0 . 6, 0,m0.04wvxm04. 00202020 xxAwv振幅：m0 . 6cos04. 0tx 得得：0arctan00wxv解：解：(1)(1)例例2 一一 船模浮在水中，船模浮在水中，其平均水平截面积为其平均水平截面积为 材料平均密度为材料平均密度为210m.S 3800/kgmm.l30, 竖直高度竖直高度今将其竖直压入水中，然后放手。今将

13、其竖直压入水中，然后放手。求振动方程？求振动方程？解解：glSgSl0m.ll2400glSSg)zl (f0gzSlgztzdd22s/rad4 . 6lgwwtAzcos22020wvzA001ztgwv初始时，浮力与重力平衡初始时，浮力与重力平衡当船模运动在任意位置，受力当船模运动在任意位置，受力zCol( SI )m.06000l线性回复力线性回复力例例3 竖直方向的弹簧振子，求振动方程。竖直方向的弹簧振子，求振动方程。0llmxOxOk解解)(xlkmgfi分析系统受力分析系统受力kxlkmgkx线性回复力线性回复力0dd22xmktx 该运动是谐振动该运动是谐振动 重力改变平衡位置

14、重力改变平衡位置0coswtAx 初始条件：初始条件：00102.4/0.40.175/xcmmsmkgkNcmv006.610.1753.8 ,126.2HzAmw mt939.0cos17.0wOAA 旋转法分析旋转法分析例例4:4: 证明图示系统的振动为简证明图示系统的振动为简谐运动谐运动. .其频率为其频率为mkkkk212121 xk1k2 x证：证：设物体位移设物体位移x x，弹簧分别，弹簧分别伸长伸长x x1 1和和x x2 221xxx2211xkxkF联立解得联立解得xkkkx2112根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律22ddtxmF 22212122ddtxmxkkkkxk0dd212122xmkkkktx-振动为简谐振动振动为简谐振动其频率为其频率为mkkkk2121212w 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和频率周期和频率 相位相位27cos0A2 0, 0, 00vxt已知已知 求求讨论讨论xvo)2 cos(tAxwtx图图AA xT2Tto0sin0wAv0sin取取2 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和频率周期和频率 相位相位28海豚利用声纳定位海豚利用声纳定位蝙蝠调整声音的频率回声定位蝙蝠调整声音的频率回声定位 9-1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期和频